Exercice 1 : 6 points (30 minutes) Exercice 2 : 2,5 points (15 minutes)

Transcription

1 1S : DST du 16 décembre 015 Durée : 4h00 ; Calculatrice : autorisée Mme Ancel : Séparer chaque exercice d un trait horizontal, sans oublier de me laisser une marge! Important : le barème tiendra compte de la rédaction qui devra être précise et concise, les copies peu soignées seront pénalisées. Exercice 1 : 6 points (30 minutes) Soit g la fonction définie sur [ 10 ; 10] par : g(x) = x 3 3x a. Etudier les variations de g sur [ 10 ; 10] b. Démontrer que l équation g(x) = 0admet une unique solution sur! que l on notera α. c. On souhaite obtenir un encadrement de α au centième. Compléter l algorithme de dichotomie ci-dessous : Variables a, b, h et m sont des nombres réels Traitement Saisir a Saisir b h prend la valeur.. Tant que b a > h m prend la valeur. Si alors sinon Fin Si Fin Tant que Sortie Afficher a et b Faire tourner cet algorithme et donner l encadrement obtenu. d. En déduire le signe de g(x) sur [ 10 ; 10].. Soit f la fonction définie sur 1;10 par : f (x) = x3 + 3 x 1 a. Etudier les variations de f sur 1;10. b. En utilisant la définition de α, démontrer que f (α ) = 3α. En déduire un encadrement du minimum de f. Exercice :,5 points (15 minutes) On considère la fonction f définie sur! dont le tableau de variation est donné ci-dessous : On sait que l expression de la fonction est : f (x) = ax 3 + bx + cx + d, pour tout réel x. En utilisant les informations du tableau, déterminer les valeurs des coefficients a, b, c et d

2 Exercice 3 : points (10 minutes) Trois fonctions f, g et h sont dérivables sur 0;+. Elles sont représentées par les courbes C 1, C et C 3, mais dans le désordre. On sait que h est la dérivée de g et que g est la dérivée de f. Retrouver leurs courbes représentatives, en expliquant. Exercice 4 : 3,5 points (10 minutes) ( ) = x + x 1 Soit f la fonction définie pour tout x réel non nul par f x x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale.. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite D d équation y = 3 x + 7. Exercice 5 :,5 points (0 minutes) On considère les fonctions f et g définies sur! par f x Les courbes des fonctions f et g ont-elles des tangentes communes? Exercice 6 : 3 points (15 minutes) Soit la fonction f définie par f x ( ) = x 3 x. ( ) = x 4x + 3 et g( x) = x + x Détermine une équation de la tangente T à la courbe C de f au point d abscisse 1.. Etudier la position relative de C par rapport à T. Exercice 7 : 3,5 points (15 minutes) Un éditeur doit produire un livre avec les contraintes suivantes : sur chaque page le texte imprimé doit être contenu dans un rectangle de 300 cm, les marges doivent mesurer 1,5 cm sur les bords horizontaux et cm sur les bords verticaux. Quelles doivent être les dimensions d une page pour que la consommation de papier soit minimale? Exercice 8 : 4,5 points (0 minutes) Soit ABC un triangle. 1. Soit G le point défini par! AG!!" =! 3 AB!!". a. Construire G.!!! "!!!" " b. Démontrer que GA + GB!!! = " 0.!!!" ". Soit H un point tel que HB + 3HC = 0 a. Démontrer que! BH!!" = 3! 5 BC!!" b. Construire le point H.

3 !!!" 1! 3. Construire le point K tel que AK = AB!!" 3! + 8 AC!!". 4. Démontrer que les points G, H et K sont alignés. Exercice 9 : 3,5 points (15 minutes) Pour tout réel m, on note D m la droite d équation cartésienne : ( m 3)x + 5my + 4m + 3 = 0 1. Déterminer m tel que D m passe par le point A( ; 1).. Parmi les droites D m y a-t-il des droites parallèles aux axes des coordonnées? Si oui, les déterminer. 3. Démontrer que toutes les droites D m passent par un point fixé noté K. Exercice 10 : points (5 minutes) On considère les vecteurs u!, v! et!" w non nuls tels que : u!,v! π et v!,w "! π ( ) = π 3 ( ) = π 6 Déterminer les mesures principales des angles suivants : a. u!, v! ( ) b. ( u!,w "! ) c. ( 3u!,v! ) d. ( w!", u " ) Exercice 11 : 3 points (10 minutes) ABC est un triangle rectangle en A et de sens direct tel que CB = AC. ACD est un triangle isocèle et rectangle en C de sens direct et BAE est un triangle équilatéral direct. Donner, en justifiant, la mesure principale des angles orientés : 1.! AD!!" ;!!! ( AE " )!!! ". CB!!! ( " ; AD )!!! " 3. EA!!! " ; BC ( ) Exercice 1 :,5 points (10 minutes) On donne la valeur exacte ci-dessous : cos π 8 = + 1. Déterminer la valeur exacte de sin π 8.. En déduire la valeur exacte de cos 5π Calculer la valeur exacte de l expression suivante : A = cos 9π 8 3sin 5π 8 + cos 7π 8

4 Exercice 13 : 6,5 points (0 minutes) 1. On sait que cos x = et sin x = quelle est la mesure principale de x?. On sait que cos x = 1 3 et sin x = quelle est la mesure principale de x? 3. Résoudre dans!, puis dans π;π les équations suivantes : a. cos x = 3 b. sin x cos π 6 4. Résoudre dans π;π l inéquation cos x < 3 représenter et d utiliser le cercle trigonométrique). = 0 c. sinx = d. sin x + sin x 1= 0 (utiliser le résultat de la question 3.a. sans oublier de

5 1S : DST du 16 décembre Dérivation Algorithme Fonctions généralités Polynôme Vecteurs et géométrie analytique Equation de droite Angles orientés Trigonométrie Dérivation : savoir déterminer l équation réduite de la tangente à une courbe en un point Dérivation : savoir déterminer la courbe de f' à partir de celle de f Dérivation : savoir justifier la dérivabilité d une fonction Dérivation : savoir calculer la dérivée d une fonction Dérivation : savoir établir les variations d une fonction à partir de sa dérivée Dérivation : savoir déterminer le nombre de solution d une équation à partir de son tableau de variation Dérivation : savoir déterminer le signe d une fonction à partir de son tableau de variation Dérivation : savoir résoudre un problème d optimisation Algorithme : connaître l algorithme de dichotomie Fonctions généralités : déterminer la position relative de deux courbes Polynômes : Savoir déterminer les racines d un polynôme Polynômes : Savoir déterminer le signe d un polynôme du second degré Polynômes : Savoir factoriser un polynôme du second degré Polynômes : Savoir déterminer une racine évidente puis utiliser la méthode d identification pour factoriser un polynôme Polynômes : Savoir résoudre une équation ou une inéquation avec un changement de variable Vecteurs : savoir tracer une figure Vecteurs : Savoir démontrer que des points sont alignés, que des droites sont parallèles Vecteurs : savoir démontrer que des vecteurs sont colinéaires (définition ou critère de colinéarité) Vecteurs : savoir utiliser la relation de Chasles Equation de droite : Déterminer un vecteur directeur ou un coefficient directeur Equation de droite : Savoir déterminer une équation cartésienne d'une droite Equation de droite : savoir démontrer que des droites dépendants d un paramètre sont concourantes Angles orientés : connaître et appliqués les propriétés des angles orientés Angles orientés : déterminer la mesure d angles orientés et «géométrie de base». Trigonométrie : connaître et utiliser le cercle trigonométrique ; connaître les cosinus et sinus des angles remarquables Trigonométrie : connaître et utiliser les relations trigonométriques Trigonométrie : savoir résoudre une équation Trigonométrie : savoir résoudre une inéquation

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