Chapitre 6 Triangle rectangle et cercle circonscrit

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1 Chapitre 6 Triangle rectangle et cercle circonscrit Compétences : Exemples d'activités, commentaires :. Ex N 1,,13,31,37,56 p175 Interrogation I 6 DST n 6 poly DM6 + sur chapitre et chapitre 6 ( IUFM) 5/5 Démonstrations : Activités,3 ;4 et 5 I. Triangle inscrit dans un cercle Activité 1 1 Le cercle circonscrit à un triangle est : Le cercle qui passe par le milieu des côtés du triangle Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours des 3) Médiatrices des côtés de ce triangle Le cercle qui passe par les trois sommets du triangle Bissectrices des angles de ce triangle Médianes de ce triangle Définitions : Lorsque les trois sommets d un triangle appartiennent à un même cercle, on dit que le triangle est inscrit dans le cercle. Ce cercle est le cercle circonscrit à ce triangle Propriété admise : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours de ses médiatrices. Annexe 1 Données Construction Conclusion ABC est un triangle. ( C) est le cercle circonscrit à ce triangle. O point de concours des médiatrices du triangle ABC est le centre du cercle circonscrit à ce triangle Méthode : Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle, on construit les médiatrices de deux côtés. Page 1 sur 6

2 II. Triangle rectangle et cercle circonscrit 1) Propriété Activité * Conjecture et Démonstration 1) ) Partie 1 3) Le centre du cercle semble être le milieu de l hypoténuse 1) Partie ) Démontrer que le point O est le milieu du côté [AC] Je sais que ABC est un triangle rectangle en B J en déduis que (BC) et (AB) sont perpendiculaires Je sais que (d 1 ) est la médiatrice de [AB] Or la médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment J en déduis que (d 1 ) et (AB) sont perpendiculaire et que (d 1 ) passe par le milieu de [AB]. Je sais que (BC) et (d 1 ) sont perpendiculaires à [AB] Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. J en déduis que (BC) et (d 1 ) sont parallèles. Je sais que ABC est un triangle, que (d 1 ) passe par le milieu de [AB] et que (BC) et (d 1 ) sont parallèles. Page sur 6

3 Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. J en déduis que (d 1 ) coupe [AC] en son milieu O et donc que O est le milieu de [AC]. 3) Je sais que O est le milieu de [AC] et que (d) est la médiatrice de [AC]. Or la médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment. J en déduis que (d) passe par le point O. 4) Je sais que les deux médiatrices du triangle ABC se coupent en O. Or le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours de ses médiatrices. J en déduis que le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est O. 5) Je sais que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et que O est le milieu de [AC]. J en déduis que le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC est son hypoténuse [AC] 6) «Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse et pour centre le milieu de l hypoténuse.» Propriété démontrée: Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse et pour centre le milieu de son hypoténuse. Annexe Données Construction Conclusion ABC est un triangle rectangle en A. ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] ) Conséquence de la propriété Activité 3* - Démonstration 1) a) b) Je sais que EFG est un triangle rectangle en E Or le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. J en déduis que le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu I de l hypoténuse [GF]. c) Je sais que I est le milieu de [GF] et que E est un sommet du triangle EFG Or dans un triangle, la médiane issue d un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. J en déduis que la droite (EI) est la médiane issue du sommet E pour le triangle EFG. Page 3 sur 6

4 ) a) Je sais que I est le centre du cercle circonscrit au triangle EFG Or tout point d un cercle est à la même distance du centre. J en déduis que EI = FI = GI b) Je sais que I est le milieu de l hypoténuse [GF] et que EI = FI = GI GF J en déduis que EI c) «Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse» Propriété admise : Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. Remarque : Dans cette propriété la médiane représente un segment et non une droite. Autre formulation : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est équidistant des sommets du triangle. Annexe 3 Données Construction Conclusion ABC est un triangle rectangle en A. I milieu de [BC] IA IB IC BC 3) Propriété réciproque Activité 4 * Conjecture et Démonstration 1))3)4) Annexe 4 Partie 1 5) L angle BAC mesure 90 6) Lorsque nous déplaçons le point A sur le cercle. L angle mesure toujours 90. Nous pouvons conjecturer que le triangle ABC est rectangle en A. 7) Oui c est encore vrai lorsque le point A est confondu avec le point B ou avec le point C Page 4 sur 6

5 1) Figure Partie ) a) Je sais que [BC] et [AD] sont des diamètres du cercle de centre 0. J en déduis que [BC] et [AD] se coupent en leur milieu O et que BC = AD. Je sais que ABDC est un quadrilatère, que [BC] et [AD] se coupent en leur milieu O et que BC = AD. Or si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c est un parallélogramme et si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c est un rectangle. J en déduis que ABDC est un rectangle. b) Je sais que ABDC est un rectangle Or un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. J en déduis que ABC est un triangle rectangle en A. 3) «Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté» Propriété réciproque démontrée : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. Autre formulation : Si trois points appartiennent à un même cercle, deux d entre eux déterminant un diamètre de ce cercle, alors le triangle formé par ces trois points est rectangle. Annexe 5 Données Construction Conclusion ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] ABC est un triangle rectangle en A 4) Conséquence de la propriété réciproque Activité 5 * - Démonstration 1) Dans le triangle ABC, Je sais que OA = OB = OC, que les points O,A et B sont alignés AB J en déduis que O est le milieu de [AB] et que OA OB OC Page 5 sur 6

6 J en déduis que la longueur de la médiane relative au côté [AB], [OC ]est égale à la moitié de l hypoténuse [AB]. ) Je sais que OA = OB = OC et que les points A,B et O sont alignés Or Tout point situé à la même distance d un point O appartient à un cercle de centre O. J en déduis que A,B et C appartiennent au même cercle de centre O et de diamètre AB Or si trois points appartiennent à un même cercle, deux d entre eux déterminant un diamètre de ce cercle, alors le triangle formé par ces trois points est rectangle. J en déduis que le triangle ABC est rectangle en C. 3) «Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectanglee et a pour hypoténuse ce côté.» Propriété démontrée (conséquence) : Si, dans un triangle la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. Autre formulation. Si, dans un triangle le milieu d un côté est équidistant de ses trois sommets, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. Annexe 6 Données Construction Conclusion I est le milieu de [BC] et BC IA ABC est un triangle rectangle en A Page 6 sur 6

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