CHAPITRE 3 : Nombres complexes Terminale S, 2014, L. JAUNATRE

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1 CHPITRE 3 : Nombres complexes Terminale S, 2014, L. JUNTRE 1. Histoire CRDN en 1545 réussit à résoudre des équations du troisième degré, mais rencontre des problèmes avec des racines carrées de nombres négatifs. BOBELLI introduit la notation a en les appelant nombres impossibles.en 1637, DESCRTES les appellera quantités imaginaires. EULER introduit ensuite le symbole i tel que i 2 = 1. Enfin GUSS les nomme en 1831 : nombres complexes.ils vont devenir un outil indispensable en physique par exemple en optique ou en éléctricité. 2. Définition et propriétés de calcul Définition 1. Il existe un ensemble C appelé ensemble des nombres complexes tel que : L ensemble des rééls est contenu dans celui des complexes : R C. C est muni d une addition qui prolonge celle de R, avec les mêmes propriétés. C est muni d une multiplication qui prolonge celle de R, avec les mêmes propriétés. C contient un élément noté i tel que i 2 = 1. Pour tout z C, il existe un unique couple de réels (a;b) tel que z = a+ib. On appelle forme algébrique du nombre complexe z son écriture sous la forme a+ib. Le nombre réel Re(z) = a est la partie réelle de z Le nombre réel Im(z) = b est la partie imaginaire de z : Im(z) R. Lorsque Re(z) = 0, on dit de z qu il est imaginaire pur. il est impossible de comparer deux nombres complexes (z < z n a pas de sens) Exemple 1. Simplifier : (2+i)(1 i) =... (1+i) 2 =...i 2012 =... (3 2i)(3+2i) =... Re(i 1) =... Im(3 2i) =... Remarque 1. L unicité de la forme algébrique signifie que z = z si et seulement si a = a et b = b où a+ib et a +ib sont les formes algébriques respectives de z et z. Propriété 1. Puissances et inverse de i : 1 Pour tout entier naturel n : i 4n = 1, i 4n+1 = i, i 4n+2 = 1 et i 4n+3 = i. 2 l inverse de i est égal à son opposé. 1/8

2 3. Interprétation géométrique Dans toute la suite du cours, on munit le plan d un repère orthonormé direct (O; u; v). (le terme direct signifie tel que ( u; v) = + π 2 mod 2π. Définition 2. L affixe du point (a;b) est le nombre complexe z = a+ib. De même, l affixe du vecteur u(x;y) est z = x+iy. (z ) signifie que est le point du plan d affixe z C. Si (z ) et B(z B ), l affixe du vecteur B est z B z. Si (z ) et B(z B ), l affixe du milieu de [B] est le nombre complexe z = z +z B. 2 Ne pas confondre (point) et z (nombre complexe). v b O u (a + ib) a Exemple 2. Représenter les points ( i),b(2) et D(1+i). ffixe de?... Déterminer les affixes des milieux I de [] et J de [BD]... Déterminer l affixe du vecteur D Conjugué, nombres Complexes et équations Définition 3. Soit z = a+ib un nombre complexe sous forme algébrique. Le conjugué de z est z = a ib. Propriété 2. Pour tous z,z C, on a : 1 z z = a 2 +b 2 [0;+ [ 2 Re(z) = 1 (z + z) 3 2 Im(z) = 1(z z) 4 z = z 2i 5 z +z = z + z 6 z z = z z 7 z/z = z/ z avec z 0 éthode 1. Pour mettre un quotient ω sous forme algébrique, où ω,z C, (et z 0), on z multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : ω = ω z z z z Cette méthode s applique notamment lors de la résolution d équations du premier degré à coefficients complexes. 2 i Exemple i =... Résoudre (1 i)z = 1+i... 2/8

3 Propriété 3. Racines carrées d un nombre réel dans C Tout nombre réel non nul admet deux racines carrées dans C. si a > 0, ce sont les nombres : a et a si a < 0, ce sont les nombres : i a et i a Exemple 4. Déterminer dans C les racines carrées des nombres : 1 et Théorème 4. Soient a,b,c R, avec a 0. Soit = b 2 4ac. L équation az 2 +bz +c = 0 admet : deux racines réelles si > 0 : z 1 = b+ et z 2a 2 = b 2a une racine réelle double si = 0 : z 0 = b 2a deux racines complexes conjugées si < 0 : z 1 = b+i 2a et z 2 = z 1 = b i 2a Exemple 5. Résoudre z = 0 dans C... Résoudre z 2 +z +1 = 0 dans C... 3/8

4 5. odule et argument d un nombre complexe Définition 4. Lemodule dez Cestlenombreréelpositif z = z z = ( Re(z) 2 +Im(z) 2. Un argument de z est un réel arg(z) tel arg(z) = u; ) O où est le point d affixe z. La forme trigonométrique de z est z = r(cos(θ)+isin(θ)) où r = z et θ = arg(z) mod 2π. Remarque 2. On rappelle que les coordonnées polaires[r; θ] d un point de coordonnées cartésiennes (x; y) sont définies par r = x 2 +y 2 ; x = rcos(θ) et y = rsin(θ). Les coordonnées polaires de (z) sont donc [ z ; arg(z)]. De même, ω(z) vérifie ω = z et ( u; ω) = arg(z) mod 2π. Im(z) v O u z arg(z) (z) Remarque 3. Par unicité des coordonnées polaires, si z = r(cos(θ)+isin(θ) avec r,θ R et r 0 alors r = z et θ = arg(z) mod 2π. Exemple 6. Forme algébrique de z de module 1 et d argument π 2 : z =... Forme trigo de z = 3+i :... Remarque 4. Pour θ R, soit f(θ) = cos(θ) + isin(θ). La fonction f est dérivable sur R (au sens où Re(f) et Im(f) le sont) et f (θ) = sin(θ)+icos(θ) = i(cos(θ)+isin(θ)). insi, g(θ) = f( θ i ) vérifie formellement g = g et g(0) = 1 donc par analogie on notera : Définition 5. e iθ = cos(θ)+isin(θ) pour θ R. La forme exponentielle de z C est z = re iθ avec r = z et θ = arg(z) mod 2π. Comme dans la remarque 3, si z = re iθ avec r 0 et θ R, r = z et θ = arg(z) Exemple 7. e iπ +1 =... Théorème 5. Pour z,z C (non nuls si nécessaire) et θ,θ R, 1 zz = z z 2 arg(zz ) = arg(z)+arg(z ) mod 2π 3 e i(θ+θ ) = e iθ e iθ 4 z/z = z / z 5 arg(z/z ) = arg(z) arg(z ) mod 2π 6 e i(θ θ ) = e iθ /e iθ 7 z = z 8 arg( z) = arg(z) mod 2π 9 e iθ = e iθ 10 z = z 11 arg( z) = arg(z)+π mod 2π 12 e iθ = e i(θ+π) 13 (oivre) (cos(θ)+isin(θ)) n = cos(nθ)+isin(nθ) 14 (e iθ ) n = e inθ 15 z R arg(z) = 0 mod π ou z = 0 16 z ir (imaginaire pur) arg(z) = π 2 mod π ou z = 0 Re(z) 4/8

5 6. pplications géométriques 6.1. ffixes de vecteurs Exemple 8. L affixe de B est z B z (définition 2). Situations où cette formule intervient : 1 BCD est un parallélogramme si et seulement si B = DC. 2 est l image de par la translation de vecteur u = u. 3 est l image de par l homothétie de centre et rapport r = k. C D B u 1 z B z = z C z D. 2 z z = z 3 u z z = 3(z z ) Exemple 9. Soit (z ) l image de (z) par la translation de vecteur u( 1+2i). Exprimer z en fonction de z : odule, distance et cercles Exemple 10. e iθ =... Forme exp. de z de module 1?... Propriété 6. 1 Soient (z ) et B(z B ). lors B = z B z = B. 2 inégalité triangulaire : z +z z + z pour tous z,z C. 3 (z) appartient au cercle de centre et de rayon r z z = re iθ pour θ R. 5/8

6 Démonstration Exemple 11. situations où la formule 1 intervient : 1 cercle de centre et de rayon r = r 2 médiatrice du segment [B] = B. 3 BC isocèle en B = C; 4 BC équilatéral B = C = BC. 5 BC rectangle en BC 2 = B 2 +C 2. 6 Le parallélogramme BCD est un losange B = BC. 7 Le rectangle BCD est un carré B = BC. r 1 z z = r Exemple 12. ontrer que l ensemble des points d affixe z telle que z z 2Re(z) 3 = 0 est le cercle de centre (1) et de rayon rguments et angles B 2 : z z = z z B Propriété 7. Soient quatre points du plan (z ), B(z B ), C(z C ) et D(z D ) avec B. ) 1 arg (z D z C z B z = ( B; CD) mod 2π. 2 θ = ( B; CD) mod 2π z D z C z B z = re iθ avec r > 0. 3 (B) // (CD) z D z C z B z R (donc,b et C alignés z B z C z B z R) 4 (B) (CD) z D z C z B z ir (imaginaire pur). Exemple 13. Situations où la propriété 7 intervient : 1 appartient au cercle de diamètre [B] () (B) 2 un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle. 3 Un losange avec un angle droit est un carré. 4 imagede parlarotationcentréeend angleθ = ;( ; ) = θ. 5 appartient à la demi droite [B) ( B; ) = 0 mod 2π. 6 si appartient à un cercle de centre, le point P appartient à la tangente au cercle en si et seulement si () (P). 6/8

7 P B θ 1 z z z z B ir ou z = z B 4 z z z z = e iθ ou z = z 6 z P z z z ir Exemple 14. Soient (1), B( 1) et C(i 3). Forme exp. de z C z B z z B et nature de BC? 6.4. utres propriétés Remarque 5. Soient unpointd affixez Cet lepointd affixe z : est le symétrique de par rapport à l axe des abscisses. v (z) Remarque 6. L affixe du centre de gravité d un triangle est la moyenne des trois affixes des sommets. Plus généralement, l isobarycentre d un ensemble de points a pour affixe la moyenne des affixes des points. Le milieu et le centre de gravité en sont des exemples. O u ( z) 7. pplications trigonométriques 7.1. Formules de duplication Remarque 7. la définition 5 de la forme exponentielle permet de retrouver facilement les formules de duplication. Exemple 15. e i(a+b) =... e ia e ib =... cos(a+b) =...sin(a+b) =... Exemple 16. Soient z = 1+i, z = e iπ 3 et Z = z /z. Forme exp. de z :... Forme algébrique de z :... Forme algébrique de Z :... Forme exp de Z :... cos( π 12 ) =...sin( π 12 ) =... 7/8

8 7.2. Formule d Euler Propriété 8. Pour θ R, on a : cos(θ) = eiθ +e iθ 2 et sin(θ) = eiθ e iθ 2i Exemple 17. Linéariser sin 3 (θ) (écrire sin 3 (θ) comme combinaison de sin(nθ) et cos(nθ)) : sin 3 (x) =... L. JUNTRE Terminale S, CHPITRE 3 : Nombres complexes 8/8