EXPONENTIELLE. Vérification des acquis p 8. Si non acquis se reporter à la page 29

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1 EXPONENTIELLE Vérification ds acquis p 8. Si non acquis s rportr à la pag 29 Rappl d la Méthod d Eulr sur un mpl voir livr activité p 0 Empls :. En utilisant la méthod d Eulr, tracr avc un tablur un approimation d la rprésntation graphiqu d un fonction f défini t dérivabl sur 0 ; 2 vérifiant : f () = ² + t f(0) =. En utilisant vos connaissancs sur ls dérivés, rchrchr l prssion d un tll fonction f t comparr sa rprésntation graphiqu avc son approimation. 2. En utilisant la méthod d Eulr, tracr avc un tablur ou un calculatric un approimation d la courb d un fonction f défini t dérivabl sur ; vérifiant f () = t f(0) = 0 + ² II) Définitions t conséquncs immédiats :. Cas f = f : Introduction Activité 2 p 0- Th t déf2 : Il ist un uniqu fonction dérivabl t strictmnt positiv sur tll qu f = f t f(0) =. Ctt fonction st applé fonction ponntill, on la not p. Dém d l unicité : Si g st un fonction dérivabl sur tll qu g = g g(0) = Posons la fonction h = g st défini t dérivabl sur (dmandr pourquoi) f g f f g h = = 0 sur car f = f f² g = g Donc h st constant sur. Or h(0) = g(0) = donc pour tout rél on a h() = donc g() = h() pour tout d. f(0) Vocabulair : On dit qu la fonction ponntill st solution d l équation différntill y = y L imag du rél par la fonction ponntill st noté p ou p(). Prop :. La fonction ponntill st défini t dérivabl sur 2. p > 0 pour tout rél d. 3. p 0 = 4. p = p pour tout d 5. la fonction ponntill st strictmnt croissant sur. /6

2 2. Cas général : f = kf Th3 : Soit k un rél. Il ist un uniqu fonction f sur solution d l équation différntill f = k f t f(0) =. Ctt fonction, noté f k st défini sur par f k () = p(k ). Eistnc : Il suffit d vérifir qu la fonction f k () = p(k) st solution. Unicité : Idm précédmmnt. Empls : En utilisant la méthod d Eulr, tracr avc un tablur un approimation d la rprésntation graphiqu d la fonction p sur l intrvall 3 ; 3 a. Donnr ls valurs approchés obtnus pour p() ; p(2) ; p(3). Comparr p(3) t p() p(2). b. Donnr ls valurs approchés obtnus pour p(-) ; p(-2) ; p(-3). Comparr p(-3) t p(-) p(-2). c. Donnr ls valurs approchés obtnus pour p(0.4) ; p(.8) ; p(2.2). Comparr p(2.2) t p(0.4) p(.8). d. Donnr ls valurs approchés obtnus pour p(.5) t p(3), comparr Eos p 29 t 9 p Rlation fonctionnll caractéristiqu : Th4 : Pour tous réls t y, p( + y) = p() p(y) p( + y) y st un rél fié, soit h la fonction défini sur par h() = p() D après l théorèm d dérivation ds fonctions composés t d un quotint (car p() 0). p ( + y)p() p( + y) p () h st dérivabl sur t h () = p²() p( + y)p() p( + y)p() h () = = 0 pour tout d p²() Donc h st un fonction constant sur. Or h(0) = p(y) p(0) = p(y) p( + y) Donc = p(y) donc p( + y)= p() p(y) pour tout rél. p() Or ctt proposition st vrai pour tout rél y donc cqfd. Rm : () f k st aussi solution d la rlation fonctionnll (2) Ls fonctions dérivabls sur distincts d la fonction null qui solutions d la rlation fonctionnlls sont d la form f() = p(k) où k st un rél. 2/6

3 II)Propriétés algébriqus : Th5 : Pour tout rél a t b on a p(a + b) = p(a) p(b) Pour tout rél a, p( a) = p(a) Pour tous réls a t b, p(a b) = p(a) p(b) Pour tous réls a, a 2,,a n, p(a + a a n ) = p(a ) p(a 2 ) p(a n ) Pour tout rél a t tout ntir rlatif p, ( p a ) p = p(p a). Rlation fonctionnll 2. Dans l prssion précédnt prndr b = a on obtint p(0) = p(a) p( a) = p(a) p( a) p( a) = car p(a) 0 pour tout a d. p(a) 3. p( y) = p( + ( y)) = p() p( y) = p() p(y) = p p y 4. On généralis l équation fonctionnll à n réls 5. Pour n > 0, dans la rlation 4. on prnd a = a 2 = = a n = a Pour n = 0, l égalité st vrai Pour n < 0, on a p(n) = p( ( n) ( ) ) avc n > 0 Donc on put appliqur la rlation valabl sur ls positifs donc p(n) = ( ) p( ) n = p n = ( p ) n. pour tout t y d. Empl p(25) = p (25 5) = p 20 p(5) Notation Déf3 : L nombr st l imag d par la fonction ponntill : p = 2.78 TD 3 suit convrgnt vrs p 23 Rm : Rmarquons qu pour tout ntir rlatif n, p(n)= n (car p(n) = p(n ) = [p() ] n ) Nous posrons par convntion, p() = pour tout rél. Th6 : 0 = ; a + b = a b ; a = a ; a b = a b ; ( a ) n = na Rm : Ls résultats du th précédnt, rformulés avc ctt notation, produisnt ds formuls conforms à l usag d un notation «puissanc» 3/6

4 Empls : Simplifir : 2 2 ; ; ( + - )² ; Soit f un fonction défini sur par f() = Soit f un fonction défini sur par : f() = + Montrr qu f() = + = = = = Eos 2 à 4 p 3 III) Propriétés analytiqus. Dérivabilité : Th7 : la fonction ponntill st égal à sa dérivé : (p) = p 2. Sns d variation : Th8 : la fonction ponntill st strictmnt croissant sur Conséquncs : Pour tout réls a t b, a = b équivaut à a = b Pour tout réls a t b, a < b équivaut à a < b Pour tout réls a t b, a b équivaut à a b Empls : Résoudr dans ls équations t inéquations suivants :. 2 + = = = = = > > < Eos p 3 3. Étud d its au borns : Th9 : + = + =0 Posons f la fonction défini sur + par f() =. f st dérivabl sur + t f () = d après th8. Donc f () 0 sur + 4/6

5 Donc f st croissant sur + Donc 0 f() f(0) f() donc f() 0 pour tout d +. Donc pour tout d + Or + = + donc + = + d après ls théorèms d comparaisons On pos X =. Alors = X = X Or X = + X + X = 0 donc = 0 Empls : ; Rm : L a ds abscisss st asymptot au voisinag d - à la courb rprésntativ d la fonction ponntill. y p() 0 + j O i Eos à p 32 Eos p Fonction composé Théorèm : Si u st un fonction dérivabl sur un intrvall I, la fonction p u st dérivabl sur I t (p u) () = u () p u() Empls : Justifir qu chacun ds fonctions st dérivabls sur, calculr la dérivé t étudir l sign d ctt dérivé.. f() = 2² + 2. g() = (2 + ) h() = t() = 2 + Ercic 29 p 2 5/6

6 5. Approimation affin : h 0 + hp (0) h + h st un approimation affin d h pour h proch d 0 Th0 : = 0 la fonction p st dérivabl n 0 t (p) (0)= p(0) = ; Donc, pour tout rél, p()=p(0) +.p (0) +. ϕ () avc ϕ(h) = 0 h 0 Donc pour tout rél, p() = + +. ϕ () avc ϕ(h) = 0 h 0 = + ϕ() avc ϕ(h) = 0. Cqfd. h 0 Rm : la droit d équation y = + st un approimation affin d la fonction p au voisinag d 0. Empl : Croissanc comparé Prop7 : = + t + = 0 () f() = ² calcul d f, d f t f, on montr qu 2 + th d comparaison 2 (2) Changmnt d variabl X =. Prop9 : Pour tout ntir naturl non nul n : + n = + n = 0 Empls : ( + ) Ercics p 9 6/6