Les nombres complexes

Transcription

1 Chapitre 1 Les nombres complexes Dès le XVIe siècle, des mathématiciens ont été amenés à utiliser des symboles purement formels du type v=a, lorsque a est un réel positif, par exemple pour représenter les solutions d'une équation du troisième degré. Jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, ces nombres "impossibles" furent utilisés, sans qu'une définition précise en ait été donnée. Ce n'est qu'au début du XIX e siècle que ces nombres furent définis. 1. Le corps des nombres complexes 1.1 Définition Il existe un ensemble (: dont les éléments, appelés nombres complexes, s'écrivent de manière unique sous la forme a + i b, avec a et b réels 1 et i tel que i 2 == -1. Cet ensemble est muni de deux lois + et x qui lui confèrent une structure de corps. Les règles de calcul dans ( sont données par: (a + i b) + (c + i d) == (a + c) + i (b + d) (a + i b) x (c + i d) == a c + i (a d + bc) + i 2 bd == (a c - bd) + i (a d + bc). Lorsque z == a + i b est non nul, c'est-à-dire lorsque les réels a et b ne sont pas tous les deux nuls, l'inverse de z est donné par: 1 a. b ---== -z. a + i b a 2 + b2 a 2 + b Par convention tacite, une telle écriture sous-entend que a et b sont réels.

2 20 LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES Démor~$trati«~~de ~jex.i$te~cedfj (: '.'! Vérifions que si l'on munit IR 2 de l'addition et de la multiplication définies par: (a, b) + (c, d) == (a + b, c + d) on obtient un corps C répondant au problème. (a, b) x (c, d) == (a c - bd, a d + bc) ~ On montre par le calcul que ces lois sont commutatives, associatives, que la multiplication est distributive par rapport à l'addition. ~- L'élément (0,0) est neutre pour l'addition et (1,0) neutre pour la multilplication. ~ Tout élément (a, b) admet (-a, -b) comme symétrique pour l'addition.... Tout élément (a, b) i= (0,0) admet un symétrique pour la multiplication puisque: (a,b) x (a 2 :b 2 '-a 2 :b 2 ) =(1,0). On identifie l'élément (x,o) de IR 2 avec le réel x de façon à avoir IR Ce. Cette identification est possible, car: (x,o) + (y, 0) == (x + y, 0) et (x,o) x (y,o) == (x y, 0) ce qui montre que les opérations sur les réels x et y sont les mêmes qu'on les considère comme réels ou comme complexes. Remarque Ce qui précède signifie que l'application cp : IR ~ IR 2 x f (x,o) est un morphisme injectif de corps. C'est ce qui justifie l'identification de x E IR avec cp(x) E IR 2. ~ Posons i == (0,1), on a i 2 == (-1,0) == -1. On a alors, pour tout réel y : (0, y) == (y, 0) (0,1) == i y et donc, pour tout (x, y) E IR 2 : (x,y) == (x,o) + (O,y) == x + iy. D Définition 1. Si z est un complexe, il existe un unique couple de réels (x, y) tel que z == x + i y. Les réels x et y sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du complexe z et sont notés: x == Re(z) et y == Irn(z) ou: x == Rez et y == Irnz.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28 Fiche Synthèse: COMPLEXES/TRIGONOMETRIE Nombres Complexes Complexes: relations de base z = a + ib z = a ib z 1 = a ib a 2 + b 2 Re(z) = z+z 2 Im(z) = i z z 2 z + z = z + z z z = z z z 1 = ( z ) 1 zz = z z z z z + z z + z Exponentielle complexe: ( e iθ ) n = e inθ = (cos θ + i sin θ) n Formule de Moivre e a+ib = e ( a)(cos a + i sin b) z = ρe iθ z n = ρ n e inθ z n = 1 ρ n e inθ z = ρ = a 2 + b 2 tan arg z = b a si a 0 Complexes et trigonométrie cos x = 1 2 (eix + e ix ) sin x = 1 2i (eix e ix ) Formules d'euler 1

29 Trigonométrie trigo: relations de base cos 2 θ + sin 2 θ = 1 cos(π θ) = cos θ cos(π + θ) = cos θ sin(π θ) = sin θ sin(π + θ) = sin θ cos( π 2 θ) = sin θ sin( π 2 θ) = cos θ cos( π 2 + θ) = sin θ sin( π 2 + θ) = cos θ trigo: relations en t = tan θ 2 cos θ = 1 t2 1 + t 2 sin θ = 2t 1 + t 2 tan θ = 2t 1 t 2 trigo: Addition cos(a b) sin(a b) cos(a + b) sin(a + b) tan(a + b) tan(a b) cos(2a) cos a cos b + sin a sin b sin a cos b cos a sin b cos a cos b sin a sin b sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b 1 tan a tan b tan a tan b 1 + tan a tan b cos 2 a sin 2 a cos(2a) 2 cos 2 a 1 sin(2a) tan(2a) trigo: Produit Somme cos a cos b sin a sin b sin a cos b cos a sin b 2 sin a cos a 2 tan a 1 tan 2 a 1 (cos(a b) + cos(a + b)) 2 1 (cos(a b) cos(a + b)) 2 1 (sin(a + b) + sin(a b)) 2 1 (sin(a + b) sin(a b)) 2 2

30 Nombres complexes - Formulaire Terminale S2 2007/2008 Forme algébrique Dans le repère orthonormal ( O ; #» u, #» v ) le point M(x; y), où (x; y) R 2, a pour affixe z : v y O u ρ θ x M(z) z a pour forme algébrique x + iy. Partie réelle de z : Re(z) = x Partie imaginaire de z : Im(z) = y Conjugué d un nombre complexe Conjugué de z : z = x iy z + z = 2Re (z) et z z = 2i Im (z) Pour tous z C et z C, z + z = z + z Pour tous z C et z C, zz = zz Pour tous z C et n N, z n = z n ( z ) Pour tous z C et z C, z = z z Module de z : z = OM = zz = x 2 + y 2 Ecriture trigonométrique de z Si z 0, z a pour forme trigonométrique : z = ρ(cosθ + isinθ) z a pour forme exponentielle : z = ρ e iθ Module de z : z = ρ Argument de z : arg z = θ [2π] Conjugué de z : z = ρ e iθ Propriétés des modules Pour tout z C, z = z Pour tous z C et z C, zz = z z Pour tous z C et n N, z n = z n Pour tout z C, 1 z = 1 z Pour tous z C et z C, z z = z z Equations du second degré z = b + i et z = b i 2a 2a sont les deux solutions de l équation az 2 + bz + c = 0, (a 0), lorsque < 0. Propriétés des arguments Pour tous z C et z C, arg(zz ( =arg(z)+arg(z ) [2π] z ) arg z =arg(z) arg(z ) [2π] Pour tous z C et n N, arg z n = n arg z Pour tous θ R et n N, (cosθ + isinθ) n = cos(nθ) + isin(nθ). Vecteurs Si A et B ont pour affixes respectives z A et z B alors AB a pour affixe zb z A et AB = z B z A. Si G est le barycentre de (A, a) (B,b) et (C,c) (a,b et c réels tels que a + b + c 0) 1 alors z G = a + b + c (az A + bz B + cz C ). Interpretation géométrique de z D z C z B z A Pour tous les points A, B, C et D (A B et C D) : z D z C z B z = CD ( ) zd z ( C ), et arg = AB ; CD [2π] A AB z B z A Nature de z z R Im z = 0 z z = 0 z imaginaire pur Re z = 0 z + z = 0 z R + arg z = 0 [2π] z R arg z = π [2π] z R arg z = 0 [π] z ir + arg z = π 2 z ir arg z = π 2 [2π] [2π] z imaginaire pur non nul arg z = π 2 [π] Ecriture complexe de transformations Translation de vecteur w d affixe ω, ω C : z = z + ω Homothétie de centre Ω d affixe ω, ω C, et de rapport k R : z ω = k(z ω) Symétrie de centre Ω d affixe ω : z ω = (z ω) Rotation de centre Ω d affixe ω, ω C, et d angle de mesure α R : z ω = e iα (z ω) Réflexion par rapport à l axe des réels : z = z Représentation paramétrique d un cercle Le cercle de centre Ω d affixe ω et de rayon r admet pour représentation paramétrique : z = ω + r e iθ θ [0;2π[