PolyMaths Livret de cours Catalogue of courses Année académique / Academic year 2015/2016 1er décembre 2015
Table des matières I Partie générale 2 1 Informations générales 3 2 Agenda de PolyMaths pour le semestre de printemps 2016 4 3 Bases légales 5 3.1 Règlement de PolyMaths........................................... 5 3.2 Ordonnance concernant l admission à L EPFL................................ 5 II La formation au Cours de mathématiques spéciales 6 4 Le personnel du Cours PolyMaths 7 5 Plan d étude du Cours PolyMaths 8 5.1 La dotation horaire............................................... 8 5.2 La description des cours............................................ 8 5.2.1 Analyse I................................................ 9 5.2.2 Analyse II................................................ 10 5.2.3 Analyse III............................................... 11 5.2.4 Analyse IV............................................... 12 5.2.5 Géométrie analytique......................................... 13 5.2.6 Algèbre linéaire............................................. 14 5.2.7 Physique................................................ 15 1
Première partie Partie générale 2
Chapitre 1 Informations générales PolyMaths est un cours qui s adresse aux détenteurs d une maturité gymnasiale voulant remettre à niveau leurs connaissances de mathématiques et de physique avant d entrer en première année de l EPFL. Il s adresse particulièrement aux étudiants qui accomplissent un service militaire (ER ou autre) incompatible avec le calendrier académique ne veulent pas entreprendre directement des études après l obtention de leur certificat de maturité (voyages, stages linguistiques, etc.) envisagent une formation scientifique sans avoir suivi les options correspondantes au gymnase ont un doute concernant le choix de la filière d études viennent de suisse alémanique ou de suisse italienne dans l intention de faire des études à l EPFL. Si vous devez accomplir l ER il est impératif de prévoir l ordre suivant : service militaire jusqu à la mi-février 2016 puis PolyMaths jusqu à la mi-juin 2016. Dès l obtention de votre maturité, vous avez la possibilité de vous inscrire à PolyMaths à l aide du formulaire en ligne sur notre site web (http:/polymaths.epfl.ch). Echéance de l envoi de candidature : le 1er décembre 2015 à 12 heures. Cet envoi de candidature tient lieu d un engagement ferme de votre part. Remarque : si vous êtes déjà en première année de l EPFL et que vous voulez rejoindre PolyMaths, une inscription doit également être envoyée au moyen du formulaire mentionné ci-dessus avant le 1er décembre. Remarquons qu une interruption de l année en cours sans comptabilisation d un échec est possible. Important : L accès à PolyMaths se fait sur dossier à cause du nombre de places limité (80 étudiants). Si le nombre de candidatures dépasse la capacité maximale, le CMS devra opérer à un choix parmi les candidats ; outre le parcours scolaire, on accordera une importance primordiale à la motivation du candidat. La décision finale incombe au CMS. Elle vous sera communiquée avant le 15 janvier 2016. Après l acceptation de votre candidature à PolyMaths, vous serez inscrit automatiquement auprès du service académique de l EPFL et vous serez dès lors étudiant à l EPFL. 3
Chapitre 2 Agenda de PolyMaths pour le semestre de printemps 2016 Lundi 22 février Vendr. 25 mars au 3 avril Dimanche 27 mars Vendredi 27 mai Lundi 6 au vendr. 10 juin Rentrée Suspension des cours Pâques Fin des cours Test d auto-évaluation 4
Chapitre 3 Bases légales 3.1 Règlement du Cours PolyMaths de l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne Le texte légal actuellement en vigueur se trouve à l adresse suivante : http://polylex.epfl.ch/page70106.html 3.2 Ordonnance concernant l admission à l Ecole polytechnique fédérale de Lausanne Le texte légal se trouve à l adresse suivante : http://polylex.epfl.ch/page64112.html 5
Deuxième partie La formation au Cours de mathématiques spéciales 6
Chapitre 4 Le personnel du Cours PolyMaths Directeur du CMS Secrétaire Informaticiens Enseignants Hans-Jörg Ruppen Marinette Auer Camil Petrescu Roger Sauser Guido Burmeister Simon Bossoney Camil Petrescu Myriam Prongué Costa Roger Röthlisberger Roger Sauser Olivier Woringer 7
Chapitre 5 Plan d étude du Cours PolyMaths 5.1 La dotation horaire Cours printemps Branches Enseignants c e Analyse I (cf. page 9) Prongué Costa 2 2 Analyse II (cf. page 10) Woringer 2 2 Analyse III (cf. page 11) Petrescu 2 2 Analyse IV (cf. page 12) Sauser 2 2 Géométrie analytique (cf. page 13) Bossoney 2 2 Algèbre linéaire (cf. page 14) Röthlisberger 2 2 Physique (cf. page 15) Burmeister Röthlisberger 4 2 Méthodes de travail Gaxer 5.2 La description des cours Ci-dessous on trouve la description de chaque cours selon un canevas identique. 8
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 9 5.2.1 Analyse I Titre: Analyse I Enseignant: Myriam Prongué Costa Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 56 Par semaine: Cours : 2 Exercices : 2 Objectifs Approche graphique, formalisation de notions élémentaires de l analyse à une variable et mise en oeuvre de celles-ci au moyen d exercices variés. Contenu Limites et continuité Approche illustrative de la notion de limite d une fonction à une variable à l aide de sa représentation graphique ; définition et propriétés ; théorème des deux gendarmes. Calcul de limites de fonctions élémentaires ; formes indéterminées de type 0 et. Continuité : définition et propriétés ; continuité de fonctions élémentaires ; continuité uniforme ; théorèmes de la valeur intermédiaire et extrémale. Calcul différentiel Dérivabilité, interprétation géométrique ; fonction dérivée. Différentielle et approximation linéaire, interprétation géométrique ; applications. Dérivées implicite et paramétrique ; tangente à une courbe ; problèmes divers. Théorèmes de Rolle et de la moyenne ; variations, extréma relatifs d une fonction, concavité de son graphe. Théorème de Bernouilli-l Hospital ; calcul de limites et formes indéterminées de type 0 0, 0, 1 Calcul intégral Primitives d une fonction ; l intégrale indéfinie et ses propriétés ; techniques d intégration. Aire sous la courbe représentative d une fonction continue comme limite obtenue par différentes approximations de cette aire sous forme de sommes. L intégrale définie d une fonction continue comme limite de sommes de Riemann ; fonctions intégrables et leurs propriétés au sens de Riemann ; intégrabilité et continuité. Théorèmes de la moyenne et fondamental du calcul intégral. Suites et séries Limite d une suite ; convergence de suites monotones. Notion de série infinie ; convergence d une série ; propriétés algébriques des séries convergentes. Quelques tests de convergence ou divergence concernant les séries. Forme de l enseignement: Ex cathedra Forme du contrôle: exercices Bibliographie: Calculus, Howard Anton, Wiley. Liaison avec d autres cours: Préalables requis: Introduction à l analyse, Charles Cassidy, Marie-Louis Lavertu, Presses Université Laval. Préparation pour: Cours de 1ère année à l EPFL
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 10 5.2.2 Analyse II Titre: Analyse II Enseignant: Olivier Woringer Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 56 Par semaine: Cours : 2 Exercices : 2 Objectifs Mettre en place ces outils de base indispensables au suivi d un cours d analyse et de physique de 1ère année. Contenu Trigonométrie circulaire Notions d angles Fonctions trigonométriques Equations et inéquations trigonométriques élémentaires Transformations Résolution d équations trigonométriques Equations et inéquations linéaires Equations générales (tests de Bioche) Résolution des triangles Fonctions trigonométriques inverses Fonctions logarithmes, exponentielles et hyperboliques Fonction logarithme Fonction exponentielle Fonctions exponentielles et logarithmes de base quelconque Fonctions puissances Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques inverses Les nombres complexes Introduction et définitions Représentation géométrique des nombres complexes Formule de Moivre Racines n-ième d un nombre complexe Etude de certaines applications du plan complexe dans lui-même Fonction exponentielle complexe et formule d Euler Fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques complexes Forme de l enseignement: Ex cathedra exercices Bibliographie: Liaison avec d autres cours: Préalables requis: Néant Préparation pour: Cours de 1ère année à l EPFL Forme du contrôle: continu
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 11 5.2.3 Analyse III Titre: Analyse III Enseignant: Camil Petrescu Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 56 Par semaine: Cours : 2 Exercices : 2 Objectifs Comprendre les principales méthodes utilisées pour la résolution numérique des équations non linéaires et des équations différentielles ordinaires. Connaître et implémenter les algorithmes associés à ces méthodes et se familiariser avec les notions de convergence, stabilité et consistance. Choisir des méthodes appropriées et résoudre des modèles mathématiques obtenus à partir des problèmes physiques et techniques simples. Contenu Résolution des équations non linéaires Méthodes numériques itératives Méthodes de dichotomie (méthode de la bissection, méthode des parties proportionnelles) Méthodes de point fixe (rappel, considérations générales, condition d arrêt, méthode de Newton-Raphson, méthode de Newtoncorde) Calcul intégral Rappel, considérations générales, interpolation de Lagrange Formules de quadrature non composites Formules de Newton-Cotes - quadratures numériques à pas fixe (formules non composites du point milieu, du trapèze et de Simpson, formules non composites pour m > 2) Formules de quadrature composites Estimation d erreur Pas fixe versus pas variable Résolution des équations différentielles ordinaires Introduction, problème de Cauchy, approche numérique Méthodes numériques à un pas (méthodes d Euler progressive, d Euler rétrograde, de Crank-Nicolson, de Heun, d Euler modifiée, de Runge-Kutta classique) Estimation d erreur Consistance, stabilité, convergence (erreur de troncature locale et consistance, erreur de troncature transportée et stabilité, erreur de calcul, précisions supplémentaires) Méthodes multipas (méthodes de Nyström, d Adams-Bashforth, d Adams-Moulton, d Adams-Bashforth-Moulton) Dopage d une méthode et choix du pas en fonction d une tolérance requise Annexe Java Forme de l enseignement: Ex cathedra Forme du contrôle: continu exercices Bibliographie: J. Rappaz, M. Picasso. Introduction à l analyse numérique. PPUR, Lausanne. A. Quarteroni, F. Saleri. Calcul scientifique. Cours, exercices corrigés et illustrations en Matlab et Octave, Springer. J. Douchet, B. Zwahlen. Calcul différentiel et intégral. PPUR, Lausanne. M.-Y. Bachmann, H. Cattin, P. Epiney, F. Haeberli, G. Jenny. Méthodes numériques. Editions du Tricorne, Genève. Liaison avec d autres cours: Préalables requis: calcul différentiel et intégral, algèbre linéaire. Préparation pour: Cours de 1ère année à l EPFL
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 12 5.2.4 Analyse IV Titre: Analyse IV Enseignant: Roger Sauser Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 56 Par semaine: Cours : 2 Exercices : 2 Objectifs Contenu Les nombres et les lois qui les régissent Les nombres naturels, entiers relatifs et rationnels, l induction complète Les emboîtements d intervalles et les nombres réels Le binôme de Newton Equations simples Généralités sur les équations Equations linéaires Equations avec des valeurs absolues Equations avec paramètres Inéquations simples Généralités sur les inéquations Résolution par étude de signe Equations avec des puissances La fonction puissance, les racines Equations avec des puissances et des racines Polynômes Le pgdc de deux polynômes La factorisation de polynômes Séries de nombres Notion de convergence et de divergence Critères de convergence Séries de fonctions Convergence uniforme Critères de convergence uniforme Propriétés des séries à convergence uniforme (continuité, intégrabilité, dérivabilité) Séries de Taylor Théorème de Rolle Développement en séries de Taylor, exemples importants Equations différentielles ordinaires (EDO) du 1er ordre Champ de direction, notion de solution Problème initial : existence et unicité de la solution EDO séparables et linéaires EDO linéaires d ordre n à coefficients constants Principe de superposition EDO linéaires homogènes et intromogènes Forme de l enseignement: Bibliographie: Liaison avec d autres cours: Préalables requis: Préparation pour: Ex cathedra exercices Cours de 1ère année à l EPFL Forme du contrôle: continu
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 13 5.2.5 Géométrie analytique Titre: Géométrie analytique Enseignant: Simon Bossoney Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 56 Par semaine: Cours : 2 Exercices : 2 Objectifs Maîtriser des notions et techniques de géométrie analytique nécessaires pour suivre des cours d analyse, de modélisation et de physique lors d études supérieures scientifiques Contenu Partie I : Géométrie plane Calcul vectoriel : Notions de vecteurs : direction, colinéarité, équipollence, norme... Opérations et propriétés : addition (relation de Chasles), multiplication par un réel. Combinaisons linéaires, dépendance et indépendance linéaire,base. Repère et produit scalaire : Repère (droite et plan), rayon vecteur, composantes d un vecteur, mesure algébrique. Produit scalaire, expression analytique dans un repère orthonormé, norme, distance, vecteur unitaire. Etude de la droite dans le plan : Equation vectorielle, équations paramétriques et équation cartésienne de la droite. Droites particulières, positions relatives de deux droites. Applications : distance d un point à une droite, angle entre deux droites.... Cercle et côniques : Cercle : équation cartésienne, équations paramétriques, polaires, tangentes, puissance d un point par rapport à un cercle. Ellipse, hyperbole, parabole, axes, foyers, excentricité, équations cartésienne et paramétriques, tangentes et polaires,... Réduction des équations générales des côniques aux équations standards (méthode analytique). Partie II : Géométrie dans l espace Repère dans l espace, produits des vecteurs : Vecteurs dans l espace, repère, rayon vecteur, coordonnées d un point. Produit scalaire, expression analytique dans un repère orthonormé, propriétés, applications. Produit vectoriel, expression dans un repère orthonormé, propriétés, applications. Produit mixte, interprétation géométrique, propriétés. Etude du plan : Equation vectorielle, équations paramétriques et équation cartésienne d un plan. Positions relatives de deux plans. Etude de la droite dans l espace : Equations vectorielles, paramétriques et cartésiennes d une droite. Positions relatives de deux droites. Positions relatives de droites et de plans. Problèmes métriques dans l espace : distance d un point à une droite, à un plan, distance entre deux droites gauches. Sphères : Equations, positions relatives d un plan et d une sphère, droites et plans tangents. Cylindres, cônes de révolution : Equations et plans tangents. Quadriques : Forme quadratique dans R n, réduction d une forme quadratique à une somme de carrées. Equations générales d une quadrique. Réduction de l équation d une conique (méthode algébrique). Réduction de l équation d une quadrique (méthode algébrique). Classification des quadriques (à l aide de la signature et du rang). Forme de l enseignement: Ex cathedra exercices Bibliographie: Swokowski : Analyse Liaison avec d autres cours: Préalables requis: Algèbre linéaire, Géométrie élémentaire Préparation pour: Cours de 1ère année à l EPFL Forme du contrôle: continu
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 14 5.2.6 Algèbre linéaire Titre: Algèbre linéaire Enseignant: Roger Röthlisberger Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 56 Par semaine: Cours : 2 Exercices : 2 Objectifs Familiariser l étudiant avec les notions fondamentales de l algèbre linéaire, en mettant celles-ci en relation avec la géométrie élémentaire. Explorer les résultats obtenus pour l étude de problèmes linéaires issus de l algèbre et de l analyse (ex. : équa.diff.linéaires). Contenu Espace vectoriel Définition des lois et leurs propriétés ; Exemples ; Combinaisons et indépendance linéaires ; Notion de sous-espaces vectoriels ; Générateurs d espace vectoriel et dimension ; Bases. Systèmes d équations linéaires Définition ; systèmes homogènes et inhomogènes ; Algorithme de Gauss : pas, pivot, réduction ; Critères de solvabilité des systèmes ; Exemples. Calcul matriciel Addition, multiplication, multiplication par un scalaire ; Matrices carrées, inversion, transposition. Déterminants et leurs propriétés, calculs de déterminants : méthode de Cramer et développement (jusqu à l ordre n) ; Applications diverses, calcul de l inverse d une matrice. Applications linéaires Définition, propriétés et exemples dans R 2 ; Image et noyau d une application linéaire, image directe et réciproque d un sev. Changement de base Transformation des composantes d un vecteur et de la matrice d une application linéaire (matrices de passage) ; Exemples ; Notion de déterminant d une application linéaire d un espace dans lui-même (endomorphisme). Valeurs propres et diagonalisation Définition des vecteurs et valeurs propres ; sous-espaces propres ; Calcul des valeurs propres ; polynôme caractéristique ; Diagonalisation d une matrice carrée et les critères de faisabilité. Nature géométrique d un endomorphisme diagonalisable, exemples (en particulier tirés de la physique). Forme de l enseignement: Ex cathedra exercices Bibliographie: Polycopié du cours à la librairie La Fontaine Liaison avec d autres cours: Préalables requis: Préparation pour: Cours de 1ère année à l EPFL Forme du contrôle: autocontrôles anonymes par deux tests
CHAPITRE 5. PLAN D ÉTUDE DU COURS POLYMATHS 15 5.2.7 Physique Titre: Physique Enseignant: Guido Burmeister, Roger Röthlisberger Semestre Obligatoire Option Facultatif automne printemps X Heures totales: 98 Par semaine: Cours : 4 Exercices : 2 Objectifs Comprendre et maîtriser la description de la nature par les lois de la physique Contenu Introduction A propos de ce cours But de la Physique, expérience, mesure et théorie Langage de la physique : les Mathématiques Matière, espace et temps Atomes et masse Référentiel, position, déplacement et vitesse Accélération Lois de Newton de la dynamique Première loi : principe d inertie Deuxième loi : relation fondamentale de la dynamique Forces Troisième loi : action et réaction, quantité de mouvement et centre de masse Gravitation Oscillateur harmonique Pression et hydrostatique Cisaillement et force de pression, gaz parfait, loi de l hydrostatique Energie Loi de la conservation de l énergie, formes d énergie Théorème de l énergie cinétique, travail d une force Forces conservatives et énergie potentielle Rotation à deux dimensions Moment d une force, couple Moment cinétique et loi pour la rotation Rotations des solides, moment d inertie Energie cinétique de rotation Electrostatique Charge électrique, loi de Coulomb, champ électrique Conducteurs Champ, potentiel et tension électrique Circuits en courant continu Condensateurs, courant et puissance Résistances, générateurs et moteurs Lois de Kirchhoff Magnétostatique Champ magnétique, force de Lorentz, force de Laplace Théorème d Ampère Electromagnétisme Lois de l induction Forme de l enseignement: Ex cathedra exercices Forme du contrôle: continu Bibliographie: Notes de cours E. Hecht, Physique, De Boeck Université SA, Paris, Bruxelles (1999) Liaison avec d autres cours: Préalables requis: notions de géométrie élémentaire, Pythagore, fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, calcul algébrique élémentaire. Préparation pour: Cours de 1ère année à l EPFL
Index Bossoney Simon, 7, 8, 13 Burmeister Guido, 7, 8, 15 Gaxer Walter, 8 Petrescu Camil, 7, 8, 11 Prongué Costa Myriam, 7 9 Röthlisberger Roger, 7, 8, 14, 15 Ruppen Hans-Jörg, 7 Sauser Roger, 7, 8, 12 Woringer Olivier, 7, 8, 10 16