Exercice 1 1. Développer, réduire et ordonner (y ) 5.. Factoriser (y ) 5. 3. Résoudre algébriquement chacune des deux équations (y ) 5 = 0 et (y ) 5 = 1. Dans le plan muni d un repère orthonormal (O, I, J) d unité 1 cm, on donne A( 3; ), B (3; ), C (8; ) et D (5; ). On réalisera une figure soignée que l on complètera au fur et à mesure de l exercice. 1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point F, quatrième sommet du parallélogramme ABF C.. Prouver que le triangle ABC est isocèle en C. Est-il équilatéral? 3. Calculer les coordonnées respectives des vecteurs BC et BD. Que peut-on en déduire concernant B, C et D?. Soit E le point de coordonnées (5; 79). Les droites (BC) et (ED) sont-elles parallèles? 5. Calculer les coordonnées de I, le milieu de [AB].. a) Justifier que le triangle ABM est rectangle en M si, et seulement si, M appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. b) M désignant un point de coordonnées (x; y), établir que IM = x + (y ). c) Prouver qu il existe exactement deux points M de l axe des ordonnées tels que le triangle ABM soit rectangle en M. On déterminera les coordonnées respectives de ces deux points. Exercice Dans cette partie, aucune figure n est exigée mais, si vous le jugez utile, vous pouvez utiliser le repère donné cidessous (fig.1, p.) pour en réaliser une, que vous pourrez compléter au fur et à mesure. Dans le plan muni d un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A( 3; ), B (3; 3) et C (1; 5). 1. Calculer la longueur BC.. On admet que AB = 85 et AC = 17. Montrer que le triangle ABC est rectangle. 3. Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AB].. Soit le cercle C de centre M passant par le point A. Que remarque-t-on? 5. On nomme D le point symétrique du point C par rapport au point M. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD?. On considère le point E de coordonnées (1; 10). Les points A, C et E sont-ils alignés? 7. Dans cette question, aucune justification n est demandée. Quelle est la nature du quadrilatère AEBD? Dans cette partie, D 1, D, D 3 désignent trois nombres vérifiant 0 < D 1 D < D 3. On considère l algorithme ci-contre : 1. Éxécuter l algorithme avec D 1 = 3, D = et D 3 = 5 et indiquer le résultat obtenu.. À quoi sert cet algorithme? 3. À quelle question de la partie A aurait-on pu répondre en utilisant cet algorithme? Préciser les valeurs qu il aurait fallu affecter aux variables D 1, D et D 3 ainsi que le résultat que l algorithme aurait affiché. Variables D 1, D, D 3, n, m Entrées Saisir D 1, D, D 3 Traitement n prend la valeur D 3 D 3 m prend la valeur D D + D 1 D 1 Si n = m Alors afficher «oui» Sinon afficher «non» Fin si
J 8 O I 8 Figure 1 1. Je développe et réduis (y ) 5. (y ) 5 = y y + 5 = y y + 5 = y y 1. Je factorise (y ) 5. (y ) 5 = (y ) 5 = (y 5)(y + 5) = (y 7)(y + 3) Exercice 1 3. Je résous algébriquement l équation (y ) 5 = 0. (y ) 5 = 0 (y 7)(y + 3) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. (y ) 5 = 0 y 7 = 0 ou y + 3 = 0 y = 7 ou y = 3 Conclusion : S = 3; 7}.. Je résous algébriquement l équation (y ) 5 = 1. (y ) 5 = 1 y y 1 = 1 y y = 0 y(y ) = 0 y = 0 ou y = 0 y = 0 ou y = Conclusion : S = 0; }. 1. Je détermine par le calcul les coordonnées du point F, quatrième sommet du parallélogramme ABFC. Le quadrilatère ABFC est un parallélogramme si, et seulement si, les vecteurs CF et AB sont égaux. Or, deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont identiques. Ainsi :
xf x CF C = xb x AB A xf 8 = 3 + 3 y F y C y B y A y F + = + xf = + 8 y F = 8 xf = 1 y F = Conclusion : Le point F a pour coordonnées (1; ).. Le repère (O, I, J) est orthonormal donc : AC = (x C x A ) + (y C y A ) = (8 + 3) + ( + ) = (11) + ( ) = 11 + = 15 Or, AC 0 donc, AC = 15 = 5 5. En procédant de même, on prouve que AB = 10cm et que BC = AC = 5 5cm. Le triangle ABC est donc isocèle en C mais n est pas équilatéral. 3. Je calcule les coordonnées respectives de BC et BD. BC BD xc x B y C y B xd x B y D y B = BC = BD 8 3 5 = 10 5 3 = 5 10 5 () = 0 ( 10) = 0 Le tableau des coordonnées des vecteurs BC et BD est un tableau de proportionnalité donc ces vecteurs sont colinéaires d où les points B, C et D sont alignés.. Je calcule les coordonnées de ED. xd x ED E = 5 5 0 ED = y D y E + 79 81 5 0 5 81 = 05 ( 10) (0) = 00 10 81 Le tableau des coordonnées des vecteurs BC et ED n est pas un tableau de proportionnalité donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires d où les droites (BC) et (ED) ne sont pas parallèles. 5. Je calcule les coordonnées (x I ; y I ) du milieu I de [AB]. x I = x B+x A = 3 3 = 0 et y I = y B+y A = =. Conclusion : Le point I a pour coordonnées (0; ).. a) Un triangle est rectangle si, et seulement si, il est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés. Par conséquent, le triangle ABM est rectangle en M si, et seulement si, M appartient au cercle de diamètre [AB] donc si, et seulement si, M appartient au cercle de centre I et de rayon 5cm (car IA = AB = 5). b) M désignant un point de coordonnées (x; y) : IM = (x x I ) + (y y I ) = x + (y ) c) M (x; y) appartient à (OJ) si, et seulement si,. Par ailleurs, d après les questions précédentes, le triangle ABM est rectangle en M si, et seulement si, IM = 5 donc si, et seulement si, x + (y ) = 5.
x + (y ) = 5 (y ) = 5 (y ) 5 = 0 y = 3 ou y = 7 Il existe donc exactement deux points M de l axe (OJ) tels que le triangle ABM soit rectangle en M. Ces deux points ont respectivement pour coordonnées (0; 3) et (0; 7). M 7 1 B 5 F 3 1 #» j I D 5 3 1 O #» ı 1 3 5 7 8 9 10 11 1 13 1 1 A 3 M Figure C Exercice C A J M O I D B
1. BC = (x C x B ) + (y C y B ) = (1 3) + (5 ( 3)) = ( ) + 8 = + = 8 Or, BC 0 donc BC = 8 soit encore BC = 17.. Si le triangle ABC est rectangle alors il l est en C car [AB] est le plus grand de ses trois côtés. Or : AC + BC = ( 17) + ( 8) = 17 + 8 = 85 = ( 85) = AB donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 3. Calcul des coordonnées du point M, milieu de [AB] : x M = x A + x B = 3 + 3 = 0 Le point M a pour coordonnées (0; 0,5). y M = y A + y B = + ( 3) = 0,5. Le cercle C, de centre M et qui passe par A, est le cercle circonscrit au triangle ABC car, si un triangle est rectangle alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit. 5. Dire que D est le symétrique de C par rapport à M signifie que M est le milieu de [CD]. Ainsi, M est le milieu des deux diagonales, [AB] et [CD], du quadrilatère ACBD. Or, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme donc ACBD est un parallélogramme. De plus, ACB est un angle droit. Or, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle donc ACBD est un rectangle.. Calcul des coordonnées des vecteurs AC et AE : xc x AC A = AC 1 ( 3) = AC AE y C y A xe x A = AE 5 Ç 1 ( 3) 10 å = AE 1 Ç y E y A On remarque que x AE = x AC et que y AE = y AC. On en déduit l égalité AE = AC d où les vecteurs alignés. å AC et AE sont colinéaires et les points A, C et E sont 7. (AC) est parallèle à (AE) (d après la question précédente) et à (BD) (car ACBD est un rectangle). Or, si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Par conséquent, (AE) est parallèle à (BD) et le quadrilatère AEBD est un trapèze. 1. En éxécutant l algorithme avec D 1 = 3, D = et D 3 = 5, n prend la valeur 5 = 5 et m prend la valeur + 3 = 1 + 9 = 5 donc la condition n = m est vérifiée et le résultat obtenu est «oui».. Cet algorithme permet de savoir si un triangle dont les longueurs des trois côtés sont notées, dans l ordre croissant, D 1, D, D 3 est rectangle ou non. 3. En utilisant cet algorithme, on aurait pu répondre à la question de la première partie. Pour cela, il aurait fallu affecter la valeur 17 à la variable D 1, 8 à D et 85 à D 3 ; on aurait alors obtenu le résultat «oui».