Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Complexes 4 ième Math Exercice n 1 ( QCM ) Dans le tableau suivant, une seule des réponses proposées à chaque question est correcte. Ecrire le numéro de chaque question et donner, en justifiant, la réponse qui lui correspond. Réponses Nº Questions a b c d 1 = 3 i. Un argument de est : 7 5 1 i e 4 = 1 1 4 3 3 4 Si i i = e + e alors Si est un nombre complexe tel que =, alors + i = arg() = + arg() = arg() = arg( ) = 1 5 Si et ' sont deux nombres complexes tels que = et ' = 1, alors ' = 1 1 3 5 Si les affixes des points A, et C vérifient la relation A = ; alors A C C est le milieu de [A] est le milieu de [AC] A, et C forment un triangle rectangle A, et C sont sur un même cercle Exercice n Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct ( O ; u, v ). iα Soit le nombre complexe non nul défini par sa forme exponentielle = r e dont le conjugué est noté. http://selmisse.e-monsite.com/ Page 1 Tous droits réservés selmi.ali 008
On considère les points A, et C d affixes respectives A =, 1 = et C =. 1- Déterminer la forme exponentielle de chacun des nombres et en fonction de r et α. - Déterminer, en fonction de α, une mesure de l angle ( O ; OC ). En déduire les valeurs de α pour que O, et C soient alignés et que O appartienne à [C]. 3- On suppose dans cette partie que α = 4. C a) Vérifier que = 1. C b) Soit D le point d affixe D telle que 1 D =. Calculer chacun des nombres D et A C en fonction de (D ) et (AC ) sont parallèles. c) Démontrer que ADC est un trapèe isocèle. r et montrer que les droites Exercice n 3 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct( O ; u, v ) on donne les points A et d'affixes respectives 1 et 1.Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. iθ La forme exponentielle de l'affixe d un point M de (C), distinct de O, est donnée par = re. Soit M le point d affixe telle que = 1 r i( e + θ). 1) Montrer que = 1. ) Montrer que les points O, M et M sont alignés. 3) a- Justifier l'égalité 1 = 1. b- Démontrer que + 1 = et en déduire que M décrit une droite (d) que l'on déterminera. 4) Déterminer les points M de (C) pour lesquels =. Exercice n 4 On donne le nombre complexe = + + i a. Exprimer ² sous forme algébrique b. Exprimer ² sous forme exponentielle. c. En déduire sous forme exponentielle. Exercice n 5 4 3 On considère le polynôme P défini par : P( ) = + 4 18+ 3. 1. Calculer P( i 3 ) et P( i 3 ) puis montrer qu il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l on déterminera, tel que, pour tout, on ait P( ) ( 3 ) Q( ). Résoudre dans l équation P() = 0. = +. O A M (C) http://selmisse.e-monsite.com/ Page Tous droits réservés selmi.ali 008
r r 3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O ; u, v), les points A,, C, D d affixes respectives A = i 3, = i 3, C = 3+ i 3 et D = C, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle. C 4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que = e 3 puis déterminer la nature du triangle EC. Exercice n E 1. On considère le polynôme P de la variable complexe, défini par : ( ) ( ) i 3 = + +. P ( ) 1 i 74 i 74i a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l équation P() = 0. b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe, on ait ( ) ( ) P ( ) = i + a+ b. c. Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équation P() = 0. r r. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u, v). On prendra 1 cm pour unité graphique. a. Placer les points A, et I d affixes respectives A = 7 + 5i ; = 7 5i et I = i. b. Déterminer l affixe de l image du point I par la rotation de centre O et d angle. 4 c. Placer le point C d affixe C = 1 + i. Déterminer l affixe du point N tel que ACN soit un parallélogramme. d. Placer le point D d affixe D = 1 + 11i. A C Calculer Z = sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et D (D) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ACD. Exercice n 7 pour tout, on considère P () = 3 + ( 1 ) ² + 4 ( 1 ) 8. 1 ) Montrer que l équation P() = 0 admet une solution réelle α que l on remarquera. ) Résoudre dans l équation P () = 0 ; on appelle 1 et les solutions de l équation P () = 0 autre que α et 1 ayant une partie imaginaire positive. 3 ) Déterminer une module et un argument de 1 et. 4 ) a) Placer dans un plan muni d un R-O-N (o, i, j ) les points A, et C d affixes respectives α, 1 et et I : milieu de [ A, ]. b) Montrer que le triangle OA est isocèle, en déduire une mesure de ( i, OI ). a) Calculer l affixes I de I, puis le module de I. b) En déduire les valeurs en actes de cos 3 8 et sin 3 8 Exercice n 8 Soit m : un réel non nul. 1 ) Résoudre dans l équation ² - i ( 1 + m²) = 0. ) Pour tout, on pose P () = 3 3i (3 + m²) + i ( 1 + m² ). a) Vérifier que f (i) = 0 ; En déduire une factorisation de f (). b) Résoudre dans l équation f () = 0. 3 ) Le plan est rapporté à un R-O-N directe (o,u,v ). On considère les points A,M et M d affixes respectives i, i + m et i m. http://selmisse.e-monsite.com/ Page 3 Tous droits réservés selmi.ali 008
a) Vérifier que A est le milieu du segment [ M M ]. b) Montrer que le triangle OM M est isocèle. c) Déterminer les valeurs de m pour que le triangle OM M soit équilatérale. Exercice n 9 Soit α,. On considère l équation (E) : (1 + i )3 ( 1- i tg²) = ( 1 + i ) 3 (1 + i tg α). 1 ) Soit : une solution de (E). a) Montrer que 1 + i = 1 i. b) En déduire que est un réel. ) a) Exprimé 1 + i tg α 1 i tg α en fonction eiα. b) Soit un réel, on pose = tg α ou -/ < ϕ < / ; Ecrire l équation portant sur ϕ traduisant (E). c) Déterminer alors les solution de (E). Exercice n 10 α :étant un réel de [ 0, ] et : un nombre complexe. On pose P () = 3 ( 1 sin α) ² + (1 sin α) 1. 1 ) a) Calculer P(1). b) Résoudre dans l équation ; P () = 0 et écrire les solutions sous forme exponentielle. ) Résoudre dans l équation : u 3 = e i (α+ ) 3 ) Vérifier que θ on a : 1 + e iθ = cos θ eiθ. 4 ) Résoudre dans, l équation : ( 1) + sin α ( 1) 3 + 1 = 0. Exercice n 11. 1) Soit ; calculer S () = 1 + ² + 4 n - +. + ) Résoudre dans l équation : n 1 = 0 ou n En déduire les solution de l équation S () = 0. 3) Montrer que les solutions de l équation S () = 0 sont conjuguées deux à deux. En déduire que : S () = ² - cos n + 1 ² cos n + 1. ² cos (n 1) n + 1 4) En déduire S (1) et montrer que : sin n. sin ( /n ). sin 3. n sin (n 1) n = n n 1. 5) En considérant S (i) calculer le produit : cos n. cos. n. Cos 3 n. cos (n 1) n. http://selmisse.e-monsite.com/ Page 4 Tous droits réservés selmi.ali 008
Exercice n 1 A tout complexe \ { 1 } on associe ϕ () = 1 + 1. 1) Montrer que ϕ réalise une bijection de \ { 1 } sur \ { } 1 et déterminer ϕ -1 (). ) On considère dans \ { 1 } l équation (E) : 5 = 1. a) Montrer que si est une solution de (E) alors ϕ () est imaginaire pur. b) Résoudre l équation (E). On présentera les solutions sous forme exponentielle. 3) Οn considère dans l équation ( E ) : (1 + ) 5 = (1 ) 5. a) Montrer que est une solution de (E ) si et seulement si ϕ () est une solution de (E). b) Soit θ,.déterminer la forme trigonométrique de ϕ -1 (e iθ ). c) En utilisant les questions précédentes déterminer les solutions de ( E ). Exercice n 13 Soit f l application de E = \ { i } dans F = \ {} i définie par f () = i + 1. 1) a) Déterminer l ensemble des points M d affixe tel que f () i =. b) Déterminer l ensemble des points M d affixe tel que soit un argument 4 de f () i. ) a) Montrer que f est une bijection et vérifier que f -1 () = - f (-). b) Soit un nombre complexe de module 1 et d argument θ tel que θ + k, k. Montrer que f (U) = 1 tg 4 θ + i. c) Soit l équation (E) : ( i) 3 = (1 + i) ( + i )3. Résoudre l équation (E) en utilisant les questions précédentes. Exercice n 14 Soit n, θ 0, et P n () = n n cos θ + 1. 1) Montrer que si 0 est solution de l équation P n () = 0 alors est aussi 0 solution de la même équation. ) a) Résoudre dans l équation P 1 () = 0. b) Déduire la forme trigonométrique des solutions de P n () = 0. 3) a) Montrer qu il existe (a, b, c) 3 tel que l on a : x, x x 3 cos θ + 1 = ( x² + a x + 1) ( x² + b x + 1) (x² + c x + 1). b) Calculer P 3 (1). c) En déduire que : sin² θ sin² θ + 3 sin² θ + 3 = 1 1 sin² θ. http://selmisse.e-monsite.com/ Page 5 Tous droits réservés selmi.ali 008
Exercice n 15 Soit (o,u,v) un repère orthonormé direct du plan complexe P. Soit A le point d affixe 1. On considère l application f de P dans P qui à tout point M d affixe on associe le point M d affixe tel que = ². 1) On désigne par M 1 et M les points d affixes ² et. a) Trouver l ensemble des points M tel que O,M 1 et M soient alignés. b) On suppose que M n appartient pas à l axe des abscisses. Montrer que OM 1 M M est un parallélogramme. c) On suppose que = e iθ avec θ,, construire les points M, M 1, M et M. ) Dans cette question M est un point du cercle de centre O et de rayon 1. a) Montrer que AM = MM. b) Montrer que le rapport 1 est réel. c) En déduire que les points A et M sont symétrique par rapport à la tangente en M au cercle. 3) Soit r +. On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon r et Γ le cercle de centre A et de rayon r². a) Montrer que f (Γ) est inclus dans Γ. b) Soit Z = 1 + r² e it avec t,. Résoudre dans l équation ² = Z (E ). c) En déduire que f (Γ) = Γ. d) Trouver la forme trigonométrique des solutions de (E) dans le cas ou r = 1. Exercice n 1 Soit θ 0, et (E) l équation dans définie par : (1 i) ² - (cos θ + sin θ) +1 + i = 0. On note 1 et les solutions de (E) avec Im ( 1 ) et positive pour tous les réels θ. 1) Sans calculer 1 et montrer que = i 1. Trouver alors une relation entre les modules et les arguments de 1 et. ) a) Vérifier que 1 sin θ = (cos θ - sin θ)² puis calculer 1 et. b) Ecrire alors sous forme exponentielle 1 et. c) Préciser la valeur de θ pour laquelle 1 =. Calculer dans ce cas ( 1 ) 004. 3) Soit M 1 et M les points d affixes respectives 1 et les solutions de (E ) dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct (O,OA,O). a) Trouver l ensemble 1 décrit par M 1 l ensemble décrit par M lorsque θ varie dans 0, et vérifier que 1 et sont symétrique par rapport à Δ : y = x. b) Déterminer la valeur de θ pour laquelle M est l image de M 1 par la rotation de centre O et d angle 3 puis construire M 1 et M. http://selmisse.e-monsite.com/ Page Tous droits réservés selmi.ali 008