EXERCICE 4 7 points ) Commun à tous ls candidats) L objctif d l xrcic st l étud d un fonction t d un suit lié à ctt fonction. Parti A On not f la fonction défini sur l intrvall ]0 ; + par : fx) = x 2 x. On not C la courb rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthonormal graphiqu st cm. O, i, ) j. L unité. Etud ds its a) Détrminr la it d la fonction f quand x tnd vrs 0. b) Détrminr la it d la fonction f quand x tnd vrs +. c) Qulls conséquncs put-on déduir d cs dux résultats, pour la courb C? 2. Etud ds variations d la fonction f a) Démontrr qu la fonction dérivé d la fonction f s xprim, pour tout rél x strictmnt positif, par : f x) = x 4 x 2x +). b) Détrminr l sign d f t n déduir l tablau d variation d f sur l intrvall ]0 ; +. c) Démontrr qu l équation fx) =2a un uniqu solution noté α appartnant à l intrvall ]0 ; + t donnr la valur approché d α arrondi au cntièm. 3. Tracr la courb C dans l rpèr orthonormal O, i, ) j. Parti B Etud d un suit d intégrals Pour tout ntir naturl n 2, on considèr l intégral I n défini par :. Calculr I 2. I n = x n x dx. 2. Un rlation d récurrnc a) Démontrr à l aid d un intégration par partis qu, pour tout ntir naturl n 2 : b) Calculr I 3. I n+ = 2 n + n)i n. Pag 5 / 6
3. Etud d la it d la suit d trm général I n a) Etablir qu pour tout nombr rél x appartnant à l intrvall ; 2], ona: 0 x n x x n. b) En déduir un ncadrmnt d I n puis étudir la it évntull d la suit I n ). Pag 6 / 6
EXERCICE 4 Parti A. Etud ds its a) x =+ t donc b) = 0 t donc x x x = X + X =+. D autr part, fx) =+. = X 0 X =. D autr part, fx) =0. =+ t finalmnt x2 = 0 t finalmnt x2 c) On n déduit qu ls droits d équations x = 0 t y = 0, c st-à-dir ls dux axs d coordonnés, sont asymptots à la courb rprésntativ d f. 2. Etud ds variations d la fonction f a) f st dérivabl sur ]0, + n tant qu produit d fonctions dérivabls sur ]0, + t pour tout rél, f x) = 2 x 3 x + x 2 ) x 2 x = 2x 3 x ) 4 x = x 4 x 2x + ). Pour tout rél, f x) = x 4 x 2x + ). b) Pour tout rél,ona x 4 >0t x >0t 2x + >0. Donc, pour tout rél,onaf x) <0. On n déduit l tablau d variation d la fonction f. x 0 + f x) f + c) ] La fonction f st continu t strictmnt décroissant sur ]0, +. On n déduit qu pour tout rél k d l intrvall fx), fx) =]0, +, l équation fx) =k a un solution t un sul dans ]0, +. En particulir, l équation fx) =2 a un uniqu solution noté α dans ]0, +. La machin donn f, 05) =2, 02... > 2 t f, ) =, 99... Donc f, 05) >fα) >f, ). Comm f st strictmnt décroissant sur ]0, +, on n déduit qu, 05 < α <,t donc qu α =, arrondi au cntièm. 0 3. 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 http ://www.maths-franc.fr 6 c Jan-Louis Rougt, 200. Tous droits résrvés.
Parti B. La fonction f : x x 2 x st continu sur, 2] t donc I 2 xist. D plus, I 2 = ) x dx = x x = 2 + =. I 2 =. 2. Un rlation d récurrnc a) Soit n un ntir naturl supériur ou égal à 2. èr solution. Pour x dans, 2], posonsux) = x t vx) =.Lsfonctionsu t v sont dérivabls sur n )xn, 2] t pour x dans 0, 2] on a ux) = x vx) = n )x n u x) = x 2 x v x) = x n D plus, ls fonctions u t v sont continus sur, 2]. Onputdoncffcturunintégrationparpartistonobtint I n = n )x n x = n 2 n + I n+ On n déduit qu n)i n = n )x n ). ) ) x 2 x dx = n 2 2n 2 n + I n+ puis qu I n+ = 2 n +n)i n. Pour tout ntir naturl n 2, I n+ = 2èm solution un intégration par partis un pu plus astucius). I n+ = donc ux) = x n, u x) = n x n, v x) = x 2 x t vx) = x.onobtint b) En particulir, I 3 = I n+ = ux)v x) dx = x n x = 2 n + n)i n = 2 +2)I 2 = 2 )= I 3 = 2. 2 n + n)i n. n x n x dx 2 n + n)i n. 2. ) + n x n+ x ) x n ) x 2 x dx dx. Onpos 3. Etud d la it d la suit d trm général I n a) Soit n un ntir naturl supériur ou égal à 2 t soit x un rél d, 2]. Ona x 0 t D autr part, x t, par croissanc d la fonction xponntill sur R, onndéduitqu x ls dux mmbrs d l inégalité précédnt par l rél positif x n,onobtint x n x 0 t donc xn x n x 0. x n.onamontréqu =. Enmultipliant http ://www.maths-franc.fr 9 c Jan-Louis Rougt, 200. Tous droits résrvés.
b) Soit n un ntir naturl supériur ou égal à 2. Pour tout rél x d, 2], I n 0. D autr part, pour tout rél x d, 2], On a montré qu Puisqu n + I n x n x x n dx = x n x t donc par croissanc d l intégral, xn n )x n = ) n 2 n + pour tout ntir naturl n 2, 0 I n = 0, l théorèm ds gndarms prmt d affirmr qu n I n = 0. n + n. 0 t donc par positivité d l intégral, n. http ://www.maths-franc.fr 8 c Jan-Louis Rougt, 200. Tous droits résrvés.