DROITES ET PLANS DANS L ESPACE

DROITES ET PLANS DANS L ESPACE Ph DEPRESLE 30 juin 015 Table des matières 1 Parallélisme dans l espace Géométrie vectorielle.1 Vecteurs de l espace......................................... Vecteurs colinéaires-caractérisation d une droite........................3 Vecteurs coplanaires-caractérisation vectorielle d un plan................. 3 3 Géométrie analytique : repère dans l espace 4 3.1 Repère- Coordonnées....................................... 4 3. Représentation paramétrique d une droite........................... 4 3.3 Représentation paramétrique d un plan............................. 5 4 Produit scalaire dans l espace 5 5 Équations cartésiennes d un plan dans un repère orthonormal 6 5.1 Caractérisation d un plan à l aide d un vecteur normal et d un point............ 6 5. Équation cartésienne d un plan.................................. 6 6 Droites orthogonales 6 6.1 Droites orthogonales. Droites perpendiculaires........................ 6 6. Droites perpendiculaires à un plan................................ 7 7 QCM 8 8 EXERCICES : Les exercices de base 10 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 13 1

1 Parallélisme dans l espace Théorème 1. Si une droite d est parallèle à une droite d incluse dans un plan P, alors d est parallèle au plan P. Théorème. Une droite d est parallèle à un plan P si elle est parallèle à une droite d de P. Théorème 3. Soit P 1 et P deux plans parallèles. Alors tout plan Q qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. Théorème 4. (Théorème du toit) Si d 1 et d sont deux droites parallèles contenues respectivement dans deux plans P 1 et P. Si les deux plans P 1 et P sont sécants, alors leur droite d intersection est parallèle aux droites d 1 et d. Géométrie vectorielle.1 Vecteurs de l espace Les vecteurs de l espace sont définis comme les vecteurs du plan. Propriétés 1. Soit A, B,C, D quatre points de l espace. Les vecteurs AB et C # D» sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). H G E D F C Par exemple : AB = EF = HG = DC. A B Propriétés. Soit #» u un vecteur. Pour tout point M de l espace, il existe un point unique M tel que 0M = #» u. Les règles de calcul sont les mêmes qu avec les vecteurs du plan. Relation de Chasles : AB+ BG = AG. Vecteurs colinéaires-caractérisation d une droite Définition 1. Soient #» u et #» v deux vecteurs de l espace. On dit que les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires si l un des deux vecteurs est nul, ou s il existe un réel k tel que #» v = k #» u. Propriétés 3. Les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires si et seulement si il existe deux réels α et β non simultanément nuls tels que α #» u + β #» v = #» 0. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page sur 16

Propriétés 4. Soient quatre points du plan A,B,C,D tels que A B et C D. Les droites (AB) et (C D) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et C # D» sont colinéaires. Les points A,B,C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Définition. Soit une droite (d). On dit que le vecteur non nul #» u est un vecteur directeur de la droite (d) si il existe deux points A et B de la droite (d) tels que #» u = AB. Propriétés 5. Caractérisation vectorielle d une droite Soit A un point de l espace et #» u un vecteur non nul. Alors la droite passant par A et de vecteur directeur #» u est l ensemble des points M de l espace tels que AM et #» u sont colinéaires..3 Vecteurs coplanaires-caractérisation vectorielle d un plan Définition 3. Soient #» u ; #» v ; w #» trois vecteurs de l espace, A un point de l espace et B,C,D les points tels que #» u = AB ; #» v = AC ; w #» = AD. On dit que les vecteurs #» u ; #» v ; w #» sont coplanaires si il existe un plan qui contient les points A,B,C,D. On dit que les quatre points A, B,C, D sont coplanaires. Propriétés 6. Soient #» u ; #» v ; #» w trois vecteurs de l espace : Si #» u ; #» v colinéaires alors #» u ; #» v ; #» w coplanaires. Si #» u ; #» v non colinéaires alors : les vecteurs #» u ; #» v ; #» w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels α et β tels que #» w = α #» u+β #» v. Propriétés 7. u ; v ; w sont coplanaires si et seulement si il existe (α,β,γ) (0,0,0) tel que : α u + β v + γ w = 0. u ; v ; w sont non coplanaires si et seulement si dès que α u + β v + γ w = 0 on a α=β=γ=0. Exemple : ABC DEFG H est un cube. Les points M et N sont définis par 3 E M = E H et 3 AN = AB. Démontrer que les vecteurs E A, M N, HB sont coplanaires. Solution : 1 1 M N = ME+ E A+ AN = HE+ E A+ AB 3 3 HB = HE+ E A+ AB = 3M N E A Les vecteurs E A, M N, H B sont coplanaires. E A M H D N F B G C Propriétés 8. Caractérisation vectorielle d un plan Soit trois points non alignés A, B,C de l espace. Un point M appartient au plan (ABC ) si et seulement si il existe un couple de réels (x, y) tel que AM = x AB+ y AC. Soit A un point de l espace et deux vecteurs non colinéaires u et v. L ensemble des points M de l espace tels que AM = x u + y u est un plan. On l appelle plan passant par A et dirigé par u et v. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 3 sur 16

3 Géométrie analytique : repère dans l espace 3.1 Repère- Coordonnées Théorème 5. Soit i, j, k trois vecteurs non coplanaires. Alors pour tout point vecteur #» u de l espace, il existe un unique triplet (x, y, z) tel que : u = x i + y j + z k Définition 4. Un repère de l espace est constitué d un point O et de trois vecteurs non coplanaires i, j, k. On le note (O; #» i, #» j, #» k ). Soit v un vecteur de l espace. Il existe un unique triplet (x, y, z) de réels tel que v = x i + y j + z k. On l appelle triplet de coordonnées de #» v dans le repère (O; #» i, #» j, #» k ). Soit M un point de l espace. Il existe un unique triplet (x, y, z) de réels tel que OM = x i + y j + z k. On l appelle triplet de coordonnées de M dans le repère (O; #» i, #» j, #» k ). ( x abscisse, y ordonnée, z côte ) Propriétés 9. Tous les résultats de la géométrie plane s étendent à l espace en ajoutant une troisième coordonnée Si x u y et x v y et si α R alors : z z u + v x+ x y+ y z+ z et α u αx αy αz Si A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) alors : x B x A AB y B y A z B z A ( x A + x B Le milieu I de [AB] a pour coordonnées I 3. Représentation paramétrique d une droite L espace est muni d un repère (O; #» i, #» j, #» k ). Soit la droite d passant par A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) et dirigé par u M d si et seulement si il existe t R tel que AM = t #» u. x= x 0 + tα Cette condition équivaut à : y = y 0 + tβ t R. z = z 0 + tγ. ; y A+y B ; z A+ z ) B. α β γ. Définition5. On dit que x= x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ t R. est une représentation paramétrique de d. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 4 sur 16

3.3 Représentation paramétrique d un plan L espace est muni d un repère (O; #» i, #» j, #» k ). Soit le plan P passant par le point A(x A, y A, z A ) et dirigé par les vecteurs #» u colinéaires. M(x, y, z) P si et seulement si il existe deux réels t et t tels que AM = t #» u + t #» v. x x A = tα+ t α Cette condition équivaut à : y y A = tβ+ t β t, t R z z A = tγ+ t γ Définition 6. On dit que : P. Exemple : Soit P le plan d équation α β γ et #» v α β γ non x= x A + tα+ t α y = y A + tβ+ t β z= z A + tγ+ t γ t, t Rest une représentation paramétrique du plan x= t+ t y = 1+t z= + t t t, t R. Donner un point de deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Le point M( 3,4,0) est-il un point de P? Par exemple le point A(0, 1,) est un point dep. Deux vecteurs non colinéaires de P sont par exemple : #» u 1 1 et #» v Dire que M appartient au plan P équivaut à dire qu il existe t R et t Rtel que : t = 5 C est à dire t = 1 ce qui est faux 0=+ 5 + 1 Le point M n appartient donc pas au plan P. 1 0 3= t+ t 4= 1+t 0=+ t t 4 Produit scalaire dans l espace Définition 7. Soient #» u et #» v deux vecteurs de l espace et trois points A,B,C tels que #» u = AB et #» v = AC. Il existe un plan P qui contient A,B et C (ce plan est unique si les points ne sont pas alignés). Le produit scalaire des vecteurs #» u et #» v, noté #» u. #» v est AB. AC calculé dans P. On retrouve les expressions du produit scalaire dans le plan. En particulier si dans un repère orthonormal, #» x u y et #» v z alors #» u. #» v = xx + y y + zz et #» u = x + y + z x y z Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 5 sur 16

Exemple : Dans un cube d arête a on a : F G E B H C AE. DG = AE. AF = AE =a AD. CG = AD. DH = 0 A D Vecteurs orthogonaux Définition 8. On dit que les vecteurs #» u et #» v sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul : #» u. #» v = 0. On note #» u #» v. 5 Équations cartésiennes d un plan dans un repère orthonormal 5.1 Caractérisation d un plan à l aide d un vecteur normal et d un point Soit P un plan, les droites perpendiculaires à P sont toutes parallèles entre elles. Soit #» n un vecteur directeur d une droite perpendiculaire à P. #» n est un vecteur normal à P. Tous les vecteurs normaux à P sont colinéaires deux à deux. Soit A un point de P. P est le plan passant par A et orthogonal à #» n. C est l ensemble des points M de l espace tel que AM. #» n = 0. M P AM. #» n = 0 P A n 5. Équation cartésienne d un plan Théorème 6. Un plan de vecteur normal #» n a b c a une équation de la forme ax+ by+ cz+ d = 0, où d est un réel. Réciproquement si (a,b,c) (0,0,0) et d un réel quelconque, alors l ensemble des points M dont les coordonnées vérifient ax+ by+ cz+ d = 0 est un plan de vecteur normal #» a u b c 6 Droites orthogonales 6.1 Droites orthogonales. Droites perpendiculaires Définition 9. Deux droites (AB) et (C D) sont orthogonales si AB. C # D» = 0. deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires (donc sécantes ). Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 6 sur 16

6. Droites perpendiculaires à un plan Définition 10. La droite d est perpendiculaire au plan P si d est orthogonale à toutes les droites de P. Donc la droite (AB) est perpendiculaire à P si et seulement si AB. MQ = 0 M,Q P. On dit alors que AB est un vecteur normal au plan P Théorème 7. La droite d est perpendiculaire au plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. Démonstration ROC Soit la droite d est perpendiculaire au plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites de P, donc en particulier à deux droites sécantes de P. Soit la droite d elle orthogonale à deux droites sécantes d 1 et d du plan P de vecteurs directeurs respectifs u #» 1 et u #» d est orthogonale à d 1 et d, donc, si #» u est un vecteur directeur de d on a : #» u. u1 #» = 0 et #» u. u #» = 0 et puisque d 1 et d sont sécantes, u #» 1 et u #» ne sont pas colinéaires. Soit alors une droite quelconque du plan P, de vecteur directeur w #». Les vecteurs w #», u #» 1, u #» sont coplanaires donc il existe α et β tels que : w #» = α u #» 1 + β u #» Alors #» u. w #» = #» u.(α u #» 1 + β u #» )=α #» u. u #» 1 + β #» u. u #» = 0. Donc d est orthogonale à, pour toute droite de P. d est perpendiculaire à P. Remarque : Pour que d soit perpendiculaire à P, il suffit que d soit orthogonale à deux droites sécantes de P. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 7 sur 16

7 QCM Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n est pas pénalisée. 1. Le plan P a pour équation x+ 3y 6z+ 1=0 et le plan S a pour équation 6x+ 4y 4z+ =0 Proposition 1 : Les plans P et S sont parallèles.. Soit ABCDEFGH un cube. H G Proposition : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales. E D F C 3. L espace est muni d un repère orthonormé (O, #» ı ; #» j ; #» k ). On note S le point de coordonnées (1,, ). Soient : le plan P d équation cartésienne x+y+ 3z+ 4= 0 la droite D qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P Proposition 3 : D a pour représentation paramétrique x = + t y = 1+ t z = 1+3t A, t R. Proposition 4 : ( ) 14 19 13 Les coordonnées du point d intersection H de la droite D avec le plan P sont,,. 11 11 11 B Solution : 1. Un vecteur normal du plan P est #» n (;3; 6) et un vecteur normal du plan S est #» m(6;4; 4) On a #» n. #» m= 6+3 4 6 4= 1+1 4= 0 Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans aussi. La proposition 1 est vraie. (. Dans le repère orthonormal A; AB, AD, AE ) : E(0;0;1) C (1;1;0) EC(1;1; 1) B(1;0;0) G(1;1;1) BG(0;1;1) EC. BG = 0 + 1 1 = 0, les droites (EC ) et (BG) sont orthogonales. La proposition est vraie. 3. La droite D a pour vecteur directeur #» u (1;1;3) qui est un vecteur normal au plan P donc D est perpendiculaire à P. Si t = 1 on voit que le point S appartient à D. La proposition 3 est vraie. 14 11 19 13 3 + 4=0, H appartient à P. 11 11 Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 8 sur 16

En posant t = 8, on voit que H appartient aussi à D. 11 La proposition 4 est donc aussi vraie. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 9 sur 16

8 EXERCICES : Les exercices de base vspace.5cm Exercice 1 Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points A(0; 1; 1) et B(4; 3; 0). x = t On appelle la droite de représentation paramétrique y = 3t 1, t R. z = t+ 8 1. Les droites et (AB) sont-elles orthogonales? coplanaires?. La droite est-elle strictement parallèle au plan P d équation 5x+ 3y+ z+ 5= 0? Exercice On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C( ; 1 ; ) et D (7 ; 1 ; 4). 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.. Soit la droite passant par le point D et de vecteur directeur #» u ( ; 1 ; 3). (a) Démontrer que la droite est orthogonale au plan (ABC). (b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). (c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite. (d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC). 3. Soit P 1 le plan d équation x+y+ z= 0 et P le plan d équation x+ 4y+ =0. (a) Démontrer que les plans P 1 et P sont sécants. (b) Vérifier que la droite d, intersection des plans P 1 et P, a pour représentation paramétrique y = t, t R. x = 4t z = 3t+ (c) La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles? Exercice 3 Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points A (1 ; 0 ; 0), B (0 ; 15 ; 0), C (0 ; 0 ; 0), D ( ; 7 ; 6), E (7 ; 3 ; 3) ; le plan P d équation cartésienne : x+y z 5=0 Pour chacune des affirmations indiquer en justifiant si elle est vraie ou fausse : 1. Une équation cartésienne du plan parallèle à P et passant par le point A est : x+y+ z 4=0. Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : 3. La droite (DE) et le plan P ont au moins un point commun. 4. La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC). x = 9 3t y = 0 z = 5+5t, t R. Exercice 4 Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 10 sur 16

Description de la figure ( dans l espace muni du repère orthonormé A ; AB ; AD ; AE ) : ABC DE FG H désigne un cube de côté 1. On appelle P le plan (AF H). Le point I est le milieu du segment [AE], le point J est le milieu du segment [BC ], le point K est le milieu du segment [HF ], le point L est le point d intersection de la droite (EC ) et du plan P. E I A H G L D K F B J C Pour chaque question une seule des affirmations est exacte. Indiquer laquelle. 1. (a) Le triangle AF H est rectangle. (b) Le triangle AF H est équilatéral. (c) Le triangle AF H n est ni rectangle ni équilatéral.. (a) Les droites (I J) et (EC ) sont strictement parallèles. (b) Les droites (I J) et (EC ) sont non coplanaires. (c) Les droites (I J) et (EC ) sont sécantes. 3. (a) Le produit scalaire AF BG est égal à 0. (b) Le produit scalaire AF BG est égal à 1. (c) Le produit scalaire AF BG est égal à. ( 4. Dans le repère orthonormé A ; AB ; AD ; AE (a) Le plan P a pour équation cartésienne : x+y+ z 1=0. (b) Le plan P a pour équation cartésienne : x y+ z= 0. (c) Le plan P a pour équation cartésienne : x+y+ z= 0. (d) Le plan P a pour équation cartésienne : x+y z= 0. 5. (a) EG est un vecteur normal au plan P. (b) EL est un vecteur normal au plan P. (c) I #» J est un vecteur normal au plan P. (d) DI est un vecteur normal au plan P. 6. (a) AL= 1 AH+ 1 AF. (b) AL= 1 3 AK. (c) I # D» = 1 #» I J. (d) AL= 1 3 AB+ 1 3 AD+ 3 AE. 7. (a) AL= 3 AK. (b) L est le milieu du segment [AK ]. (c) Les points A,L,K ne sont pas alignés. ) : Exercice 5 Pour chaque question une seule affirmation est exacte. Indiquer laquelle. L espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t désignent des paramètres réels. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 11 sur 16

Le plan (P) a pour équation x y+ 3z+ 5= 0. x = + t + t Le plan (S) a pour représentation paramétrique y = t t z = 1 t + 3t x= + t La droite (D) a pour représentation paramétrique y = t z= 1 t On donne les points de l espace M( 1 ; ; 3) et N(1 ; ; 9). 1. Une représentation paramétrique du plan (P) est : x= t x = t+ t x= t+ t x = 1+t+ t a. y = 1 t b. y = 1 t+ t c. y = 1 t t d. y = 1 t + t z= 1+3t z = 1 t z= 1 t 3t z = 1 t. (a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A( 8 ; 3 ; ). (b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. (c) La droite (D) est une droite du plan (P). (d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles. 3. (a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. (b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. (c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. (d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues. 4. (a) Les plans (P) et (S) sont parallèles. x= t (b) La droite ( ) de représentation paramétrique y = t z= 3 t des plans (P) et (S). (c) Le point M appartient à l intersection des plans (P) et (S). (d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires. est la droite d intersection Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 1 sur 16

9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) Exercice 1 1. La droite est dirigée par le vecteur #» u (1;3; ). La droite (AB) est dirigée par le vecteur AB(4; ; 1). AB. #» u = 4 6+=0, ces deux droites sont orthogonales. x= 4t Une représentation paramétrique de la droite (AB) est : y = t 1. z= t + 1 Un point M(x; y; z) appartient à l intersection de ces deux droites si il existe deux réels t et t x= t = 4t tels que y = 3t 1 = t 1 z= t+ 8 = t + 1 Ce système n a pas de solution, les droites (AB) et ne sont pas sécantes. Comme elles sont orthogonales, elles ne sont pas parallèles. Elles ne sont donc pas coplanaires.. Un vecteur normal au plan est #» n ( 5;3;). #» u. #» n = 5+3 3 = 0, les vecteurs #» u et #» n sont orthogonaux. Donc est parallèle au plan P d équation 5x + 3y + z + 5 = 0. Les coordonnées du point C (0; 1;8) ne vérifient pas l équation du plan P, le point C n appartient pas au plan P. Mais le point C appartient à, donc est strictement parallèle au plan P. Exercice 1. AB(1; 1; 1) et AC (; 5; 3). Les coordonnées des vecteurs AB et AC ne sont pas proportionnelles, donc les points A, B,C ne sont pas alignés.. (a) AB. #» u = 1 +( 1) ( 1)+( 1) 3 = 0 AC. #» u = +( 5) ( 1)+( 3) 3 = 0. La droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC ), elle est donc orthogonale au plan (ABC ). (b) #» u est un vecteur normal au plan (ABC ). M(x, y, z) appartient au plan (ABC ) si et seulement si AM. #» u = 0 Une équation cartésienne de (ABC ) est : (x 0) (y 4)+3(z 1)= x y+ 3z+ 1=0. (c) La droite passe par D(7; 1;4) et est dirigée par #» u (; 1;3) donc une représentation paramétrique de est : y = t 1, t R. x = t+ 7 z = 3t+ 4 x= t+ 7 (d) H appartient à, ces coordonnées vérifient : y = t 1 z= 3t+ 4 Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 13 sur 16

H appartient aussi au plan (ABC ), donc : x y+ 3z+ 1=(t+ 7) ( t 1)+3(3t + 4)+1=0 On en déduit que t = et en remplaçant on trouve que le point H a pour coordonnées H(3;1; ). 3. (a) Le plan P 1 d équation x+y+ z= 0 a pour vecteur normal n #» 1 (1;1;1). Le plan P d équation x+ 4y+ =0 a pour vecteur normal n #» (1;4;0). Les vecteurs n #» 1 et n #» n étant pas colinéaires, les plans P 1 et P ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants. x = 4t (b) Soit M(x, y, z) un point appartenant à la droite de représentation paramétrique : y = t z = 3t+ R. x+y+ z = 4t + t + 3t+ =0, donc M appartient au plan P 1. x+ 4y+ = 4t +4t + =0, donc M appartient au plan P. Donc la droite est incluse dans l intersection des deux plans. Ces deux plans ne sont pas égaux, donc cette droite est l intersection des deux plans. (c) La droite d est dirigée par le vecteur u #» ( 4;1;3). Le plan (ABC ) a pour vecteur normal #» n (; 1;3). #» u. #» u = 8 1+9= 0, donc les vecteurs #» u et #» n sont orthogonaux. La droite d et le plan (ABC ) sont donc parallèles., t Exercice 3 1. Un vecteur normal au plan P est #» n (;1; ). Un vecteur normal au plan d équation x+y+ z 4=0 est #» n (;1;). Ces deux vecteurs n étant pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles. L affirmation fausse.. Soit D la droite de la représentation paramétrique donnée. En choisissant t = 1 on montre que A appartient à la droite D. En choisissant t = 3 on montre que C appartient à la droite D. La droite D est bien (AC ), l affirmation est vraie. 3. La droite (DE) est dirigée par DE(5; 4; 3). Un vecteur normal au plan P est #» n (;1; ). #» n. DE = 10 4 6= 0, donc la droite (DE) est parallèle au plan P. Les cordonnées de D ne vérifient pas l équation de P. Donc (DE) est strictement parallèle au plan (P) et leur intersection est vide. L affirmation est fausse. 4. B A(1;15;0) C A(1;0; 0) B A. DE = 1 5 15 4= 0 DE (5; 4;3). et C A. DE = 1 5 0 3= 0 (DE) est orthogonale aux sécantes (B A) et (C A) du plan (ABC ), elle est donc orthogonale à ce plan et l affirmation est vraie. Exercice 4 Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 14 sur 16

1. Les segments [AF ],[AH],[HF ] sont des diagonales des carrés ABF E, ADHE,EFG H. Le triangle AF H est donc équilatéral de côté. La bonne réponse est b.. Si les points I, J,E,C étaient dans un même plan, alors les points A et B appartiendraient à ce plan, car I est le milieu du segment [AE] et J le milieu de [BC ]. Or les points A,B,C,E ne sont pas coplanaires, la proposition «I, J, E,C appartiennent à un même plan» est fausse. Les droites (I J) et (EC ) sont non coplanaires, la bonne réponse est b. ( 3. Dans le repère orthonormé A; AB; AD; AE ) on a A(0,0,1) F (1,0,1) B(1,0,0) G(1,1,1) et AF (1,0,1) et BG(0,1,1), donc AF BG = 1 0+0 1+1 1= 1. La bonne réponse est b. 4. A(0;0;0), F (1;0;1) et H(0;1;1). Les coordonnées de ces trois points vérifient x+y z = 0, la bonne réponse est d. 5. EL est colinéaire à EC. on a E(0,0,1) et C (1,1,0). Les composantes de EC sont (1;1; 1) Un vecteur normal de P est #» n (1,1, 1), qui est colinéaire à EL. La bonne réponse est b. 6. E(0;0;1) et EC (1;1; 1). x= t Une représentation paramétrique de la droite (EC ) est : y = t z= 1 t Le point L(x; y; z) appartient à cette droite et au plan P. x+y z = t+ t (1 t )=3t 1= 0, donc t = 1 3. ( 1 Les coordonnées de L sont 3 ; 1 3 ; 3 ( 1 ; 1 ) ;1 7. K La bonne réponse est a. ), la bonne réponse est d. AK (1;1;) et 3 AL(1;1;), donc AK = 3 AL. Exercice 5 1. Si (x, y, z) vérifie b, alors : x y+ 3z+ 5=(t+ t ) (1 t + t )+3( 1 t )+5= 0 b. est une représentation paramétrique du plan (P). Remarque : a. est une représentation paramétrique d une droite.. Si (x, y, z) vérifie l équation de (D), alors : x y+ 3z+ 5=( + t ) ( t )+3( 1 t )+5= 0. La droite (D) est incluse dans le plan (P). La bonne réponse est c. 3. M N(; 4;6) et (D) est dirigée par #» u (1; 1; 1). M N. #» u = +4 6=0 donc la droite (M N ) et la droite (D) sont orthogonales. La bonne réponse est a. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 15 sur 16

4. Si (x, y, z) vérifie l équation de ( ), alors : x y+ 3z+ 5=t ( t )+3( 3 t )+5= 0. La droite ( ) est incluse dans le plan (P). est la droite passant par le point B(0; ;3) et de vecteur directeur #» v. 0= + t+ t = t t 3= 1 t+ 3t { t+ t = t 3t = { t = 0 t = B appartient à (S). Comme #» v est l un des vecteurs dirigeant (S), la droite est aussi incluse dans le plan (S). La droite ( ) est incluse dans les deux plans distincts (P) et (S), c est la droite d intersection de ces plans. La bonne réponse est b. Ph DEPRESLE: Notes de cours Page 16 sur 16