I.P.S.A. 5 / 9 rue Maurice grandcoing 94200 Ivry Sur Seine Tél. : 01.56.20.60.71 Date de l'epreuve : 15 janvier 2013 Classe : AERO.1-A,B,C,D,E,F Corrigé PARTIEL PHYSIQUE I Professeur:BOUGUECHAL/LARBI/LEKIC Durée : 1h30 2 h 00 3 h 00 Sans (1) Notes de Cours Avec Sans(1) Calculatrice non programmable (1) Rayer la mention inutile NOM : Prénom : N de Table : PARTIEL DE PHYSIQUE I Si au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l examen en proposant une solution. Le barème est donné à titre indicatif Rédigez directement sur la copie Inscrivez vos nom, prénom et classe Justifiez vos affirmations si nécessaire. Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. NOM PRENOM CLASSE NUMERO T.S.V.P. Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 1 / 17
Exercice 1 : Travaux de forces ( 6 points ) Un cube de masse m, assimilable à un point matériel, est relié à un ressort de raideur k et peut glisser sur un plan horizontal sans frottements. On l écarte de OA = a de sa position d équilibre O. On suppose a positif. a O A x a) On lâche la masse m sans vitesse initiale à partir de la position A, faire le bilan des forces appliquées à la masse m, en un point P quelconque entre A et O dont l abscisse est x. Précisez la direction, le sens, le point d application et la norme de chaque force. Faites un schéma. b) Déterminez l expression du travail de toutes les forces appliquées à la masse, lorsque la masse m passe du point A au point P. c) Que deviennent ces expressions lorsque le point P est confondu avec le point O? d) Donnez l expression de la vitesse de la masse m au point P d abscisse x. e) Que devient cette expression lorsque le point P est confondu avec le point O? Le cube est maintenant soumis à une force de frottement constante de norme f = µmg, opposée au mouvement, avec µ positif. f) On lâche la masse m sans vitesse initiale à partir de la position A, faire le bilan des forces appliquées à la masse m, en un point P quelconque entre A et O dont l abscisse est x. Précisez la direction, le sens, le point d application et la norme de chaque force. Faites un schéma. g) Déterminez l expression du travail de toutes les forces appliquées à la masse, lorsque la masse m passe du point A au point P. h) Que deviennent ces expressions lorsque le point P est confondu avec le point O? i) Donnez l expression de la vitesse de la masse m au point P d abscisse x. j) Que devient cette expression lorsque le point P est confondu avec le point O? Réponse : a) Bilan des forces au point P, quelconque entre A et O dont l abscisse est x : Par commodité on prendra le point d application des forces égal au centre de gravité de la masse m. Ceci n est pas vrai en réalité mais étant dans un référentiel galiléen, le théorème du centre d inertie est applicable et notre hypothèse est alors vérifiée. Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 2 / 17
1) La force de rappel de direction l axe Ox, de sens opposé au sens des x positifs et de module. 2) La réaction du support, de direction perpendiculaire à l axe Ox, de sens vers le haut et de module identique au module du poids ci-dessous 3) Le poids de la masse m de direction verticale, de sens vers le bas et de module. Le schéma ci-dessous résume ce bilan des forces : Force de rappel a O P A x Sens du mouvement b) Le déplacement élémentaire est perpendiculaire au poids et à la réaction du support. Ainsi, les travaux de ces deux forces, lorsque la masse m passe du point A au point P, sont nuls. En revanche le travail de la force de rappel est non nul entre A et P et est égal à : c) Lorsque P est confondu avec O on a alors : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 3 / 17
d) On note, la vitesse en P et la vitesse en A de la masse m (qui est nulle). On applique le théorème de l énergie cinétique pour obtenir la vitesse en P : e) Lorsque P est confondu avec O, on a : f) Bilan des forces au point P, quelconque entre A et O dont l abscisse est x : Par commodité on prendra le point d application des forces égal au centre de gravité de la masse m. Ceci n est pas vrai en réalité mais étant dans un référentiel galiléen, le théorème du centre d inertie est applicable et notre hypothèse est alors vérifiée. 1) La force de rappel de direction l axe Ox, de sens opposé au sens des x positifs et de module. 2) La force de frottement de direction l axe Ox, de sens opposé au mouvement et de module mouvement.. Cette force s oppose au 3) La réaction du support, de direction perpendiculaire à l axe Ox, de sens vers le haut et de module identique au module du poids ci-dessous.le poids de la masse Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 4 / 17
m quant à lui est de direction perpendiculaire à l axe Ox, de sens vers le bas et de module. Le schéma ci-dessous résume ce bilan des forces : Force de rappel a O P frottements A x Sens du mouvement g) La masse est lâchée sans vitesse à partir de A donc. Les travaux du point et de la réaction du support entre A et P sont nuls comme précédemment. On calcule alors les deux travaux non nuls, celui de la force de rappel et celui de la force de frottement : h) Lorsque P est confondu avec O, alors les travaux sont égaux à : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 5 / 17
i) On applique comme précédemment le théorème de l énergie cinétique : Donc : j) Si P est confondu avec O, on obtient la nouvelle vitesse : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 6 / 17
Exercice 2 : Choc élastique ( 5.5 points ) Une particule P 1 de masse m 1 et de vitesse rentre en collision avec une particule P 2 au repos de masse m 2. La collision est élastique. Après le choc, la direction de, vitesse de la particule P 2 fait un angle θ avec la trajectoire initiale de P 1. La vitesse de P 1 : après le choc fait un angle φ avec la trajectoire initiale de P 1. 1) Faire une représentation du choc. 2) Exprimez la conservation du vecteur quantité de mouvement totale et de l énergie cinétique totale 3) En déduire alors qu on obtient 3 équations scalaires en fonction des données du problème. 4) Montrez en utilisant les deux équations scalaires de la conservation de la quantité de mouvement que l on obtient : 5) Exprimez alors la vitesse de P 2 après le choc en fonction des masses m 1, m 2, de la vitesse et de l angle θ, en utilisant l équation trouvée en 4) et la conservation de l énergie cinétique totale. 6) Pour quelle valeur de l angle θ la vitesse de P 2 est-elle maximale? 7) Application : Deux chocs sont expérimentés : le premier tel que P 1 est un neutron (masse m) et P 2 est un atome d hydrogène (proton de masse m P ), le second tel que P 1 est un neutron et P 2 un atome d azote (masse m N ). Déterminez les vitesses maximales après choc du proton et de l atome d azote 8) Sachant que et, en déduire alors le rapport.conclure (Expérience de J. Chadwick en 1932). Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 7 / 17
Réponse : 1) On représente le choc des deux particules comme suit : N I P 1 P 2 P 2 P2 P 1 AVANT APRES 2) On écrit la conservation de la quantité de mouvement totale et de l énergie cinétique totale puisque le choc est élastique : Or, la vitesse de la particule au repos est nulle donc les équations deviennent : 3) On projette sur les deux axes I et N, orientés positivement, respectivement vers la droite et vers le haut, la relation vectorielle de la conservation de la quantité de mouvement totale et l on obtient le système suivant : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 8 / 17
3*=1.5 4) On élève au carré les deux premières équations du système et on les ajoute membre à membre (méthode des combinaisons) : CQFD! On obtient donc le nouveau système suivant : 5) On utilise cette fois-ci la méthode de la substitution. Dans la seconde équation du système obtenu à la question 4), on isole : Et on le remplace par son expression dans la première équation : En simplifiant, on obtient l expression de la vitesse après choc de la particule 2 : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 9 / 17
6) Tous les paramètres étant positifs dans l expression précédente, pour que soit maximale, il faut que soit maximal donc. La valeur de l angle qui correspond à cette condition est θ = 0. C est le cas d un choc «direct». 7) La vitesse maximale : du proton après le choc est la suivante, avec m la masse du neutron, m P la masse du proton, v 1 la vitesse avant choc du neutron : de l atome d azote après le choc est la suivante, avec m la masse du neutron, m N la masse de l atome d azote, v 1 la vitesse avant choc du neutron : 8) Sachant que et, on peut en déduire alors le rapport. D où : Conclusion : Cette expérience, menée à bien en 1932 par James Chadwick a mis en évidence le fait que le neutron avait une masse mesurable qui est quasi-égale à celle du proton. Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 10 / 17
Exercice 3: Incertitude sur constantes de raideur ( 4.5 points ) On considère 3 ressorts R 1, R 2 et R 3 caractérisés par leur constante de raideur k 1, k 2 et k 3 montés dans un système mécanique. Les ressorts R 1 et R 2 sont montés en parallèle et le ressort R 3 est en série avec les deux autres. R 1 R 3 R 2 k 1 = 10 N/m( à 1%) ; k 2 = 30 N/m ( à 2 % ) et k 3 = 50 N/m ( à5 % ). a) Quelle est la valeur de la constante de raideur équivalente k éq du système mécanique? Etablir d abord la formule et faire l application numérique ensuite. b) Avec quelle incertitude relative est-elle connue? Etablir d abord la formule et faire l application numérique ensuite. On rappelle les formules de la constante de raideur équivalente pour des ressorts en série et en dérivation : Réponse : a) On peut se ramener à deux ressorts en série : R 12 R 3 Alors la constante de raideur équivalente k 12 est obtenue en utilisant la loi des ressorts en dérivation : k 12 = k 1 + k 2 = 40 N/m. Quant à la constante de raideur équivalente totale k éq, elle est obtenue en appliquant la loi sur les ressorts en série : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 11 / 17
L application numérique donne : b) On souhaite maintenant connaitre l incertitude relative sur cette constante de raideur équivalente. Le mieux est de procéder par étape : 1ère étape : calculer l incertitude relative de la constante de raideur sur la partie du circuit en dérivation et que l on notera. 2 ème étape : calculer l incertitude relative sur la constante de raideur du circuit équivalent, que l on notera. Calculons : k 1 k 2 On passe aux logarithmes népériens : On écrit la différentielle de ces logarithmes népériens : On différencie : On distribue la différentielle sur les deux termes du membre de droite : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 12 / 17
On passe aux incertitudes en prenant les valeurs absolues des coefficients et des incertitudes relatives : 1 L application numérique donne : 1 Calculons maintenant : La constante de raideur équivalente du système est : On en prend le logarithme népérien : On écrit la différentielle logarithmique de la constante de raideur équivalente puis on différencie en utilisant ensuite les propriétés de distributivité de la différentielle : Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 13 / 17
Et l on obtient finalement l incertitude relative sur la constante de raideur équivalente : 1.5 D où l application numérique : 1 Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 14 / 17
Exercice 4: Détermination d un barycentre ( 4 points ) Déterminer le barycentre d un quart de disque plein homogène de rayon a et de masse surfacique σ. Le choix des axes est donné par la figure. y Θ = 45 Θ = 45 x Réponse : 1.5 2 Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 15 / 17
Exercice 5 : Cinématique, Coordonnées polaires et cylindriquesbonus ( 2.5 points ) On étudie le mouvement d un mobile en coordonnées polaires. Répondez dans les cases de droite. Donnez les vecteurs de la base polaire. Donnez l expression du vecteur élément de longueur Donner les coordonnées du point M 5 Donnez l expression du vecteur position Donnez l expression du vecteur vitesse Donnez l expression du vecteur accélération Toutes les réponses sont à écrire dans la colonne de droite Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 16 / 17
On étudie le mouvement d un mobile en coordonnées cylindriques. Répondez dans les cases de droite. Donnez les vecteurs de la base cylindrique. Donnez l expression du vecteur élément de longueur Donner les coordonnées du point M Donnez l expression du vecteur position Donnez l expression du vecteur vitesse Donnez l expression du vecteur accélération Toutes les réponses sont à écrire dans la colonne de droite 5 Partiel de Physique I 15/01/2013 IPSA 17 / 17