Les bifurcations de l application logistique

Les bifurcations de l application logistique Seigneur Agathe sous la direction de Rechtman Ana Septembre 01 1

Table des matières Introduction 3 1 Historique de l application logistique 4 Conjugaison topologique 6.1 Définition............................... 6. Points fixes et orbites périodiques.................. 6.3 Conjugaison topologique de g a et f c................ 7 3 Bifurcations 10 3.1 Définition et propriétés........................ 10 3. Bifurcations et points fixes de f c.................. 1 3.3 Bifurcations et points fixes de g a.................. 1 4 Classification des bifurcations 4 4.1 Bifurcation selle-nœud........................ 4 4. Bifurcation par doublement de la période............. 5 4.3 Diagramme de bifurcation...................... 7 5 Le point et la constante de Feigenbaum 9 5.1 Points fixes super attractifs et point de Feigenbaum....... 9 5. La constante de Feigenbaum..................... 33 5.3 Calcul de la constante de Feigenbaum............... 34 6 Au-delà du point de Feigenbaum 37 6.1 Adresses du diagramme de bifurcation et comportement de g s. 37 6. Le diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum...... 44 6.3 L auto-similarité du diagramme de bifurcation........... 45 Bibliographie 49

Introduction L application logistique est l application g a qui à x associe ax(1 x) avec a [0, 4]. Elle est définie sur l intervalle [0, 1] et prend ses valeurs dans [0, 1]. L ensemble de départ et l ensemble d arrivée sont identiques, l application logistique peut donc être itérée, c est-à-dire être appliquée plusieurs fois de suite. Cela permet de définir par récurrence la suite (u n ) N définie par u 0 [0, 1] et u n+1 = g a (u n ). Cette suite permet entre autres de prévoir l évolution des populations. Nous développerons, dans une première partie, l utilisation de l application logistique ainsi que son historique. Cette application est un système dynamique dont la particularité est de dépendre d un paramètre a. C est donc tout naturellement que nous étudions g a en fonction de a. Afin de simplifier cette étude, il nous semble utile d introduire une fonction équivalente à g a, ce qui nous amènera à aborder, dans une deuxième partie, la notion de conjugaison topologique. Nous remarquons ensuite que pour des valeurs de a particulières, l application logistique change de dynamique. La recherche de ces valeurs appelées bifurcations constituera la troisième partie de notre travail. Leur classification et la définition du diagramme de bifurcations seront l objet de la réflexion suivante. L étude de ce diagramme dans la cinquième section, nous fera découvrir alors deux nouveaux objets mathématiques : le point et la constante de Feigenbaum. Enfin, nous terminerons sur l étude du diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum ainsi que sur l auto-similarité de ce diagramme. Avant toutes choses, afin d éviter toute ambiguïté dans la notation, il est nécessaire de préciser que f n représente la n-ième itérée d une application f. 3

1 Historique de l application logistique L application logistique g a = ax(1 x) a pour principal intérêt la modélisation de l évolution des populations. Elle a été proposée en 1838 par Pierre François Verhulst, mathématicien belge (1804-1849), afin de modéliser de manière non exponentielle l évolution des populations. Ce nouveau modèle vient en réaction au modèle de Thomas Malthus (économiste britannique 1766-1834) qui prévoit une croissance exponentielle de la population. En effet, pour Malthus, chaque année, la population augmente dans un rapport fixe : u n+1 = ru n où u n représente la population de l année n et r le taux de croissance de la population. La fonction associée à cette suite est : f(x) = rx. Ce modèle exponentiel prévoit donc une évolution infinie de la population et par conséquent, correspond mal à la réalité. Effectivement, aucun frein à l évolution (pénurie de nourriture, maladie) n est pris en compte. La correction du modèle de Malthus s impose alors en prenant en compte ces freins. C est ainsi que le modèle de Verhulst se base sur la nourriture disponible. Cela introduit une population maximum P qui est atteinte lorsque toute la nourriture est épuisée. Si une année, la population est égale à P, l année suivante la population est nulle. Cette situation se modélise par : u n+1 = ru n (P u n ) où la fonction associée est g(x) = rx(p x). Le facteur rx représente l augmentation de la population tandis que (P x) correspond à sa diminution due à des facteurs extérieurs. Cette dernière expression peut être simplifiée. Elle s écrit alors g(x) = rxp (1 x P ). En posant y = x P, on obtient : g(y) = ryp (1 y) = ay(1 y), avec a = rp. La population doit être ainsi assimilée à un nombre compris entre 0 et 1, où 0 correspond à son extinction et 1 à son maximum. De plus, la population maximale est égale à g( 1 ) = a 4. Ainis, 0 a 4 1, soit 0 a 4. L application g définie par g(y) = ay(1 y) a [0, 4] est l application logistique qui prend ses valeurs dans l intervalle [0, 1] et qui est à valeur dans [0, 1]. Après sa découverte par Pierre François Verhulst, l application logistique a été oubliée jusqu au début du XX-ième siècle. Des mathématiciens biologistes, dans les années 190, travaillent sur l évolution de différentes populations animales et constatent que les populations évoluent différemment d une espèce à l autre : certaines se stabilisent tandis que d autres suivent des cycles réguliers et enfin d autres fluctuent de manière aléatoire. De quoi dépend cette évolution? L application logistique réapparait alors pour tenter de répondre à cette question. Toujours dans le même but, dans les années 1970, James Yorke (mathématicien américain) et Robert May (physicien australien), tous deux écologistes, vont trouver la réponse. Pour eux, l évolution de chaque population animale se calcule à l aide de l application logistique g(y) = ay(1 y) et dépend de la valeur de a. En effet, pour certaines valeurs de a, le comportement de l application change de 4

manière significative. Plus tard, ces paramètres sont appelés bifurcations. Pour plus de clarté, May compile ses résultats dans un graphique, c est le début du diagramme de bifurcation. Il remarque que jusqu à un certain point, la population converge vers une valeur, puis deux, puis quatre, etc. Au delà de ce point, ce comportement prévisible s arrête, c est le chaos. Par ailleurs, à la même période, Mitchell Feigenbaum, physicien, s intéresse à son tour à l application logistique dans le cadre de recherche sur la turbulence. Dans un premier temps, il fait les mêmes constatations que Robert May : il existe des valeurs de a pour lesquelles le comportement de l application logistique change. Puis durant l été 1975, il assiste à une conférence sur la transition entre la périodicité et le chaos qui le pousse à étudier l application logistique sous un angle différent. Il admet les bifurcations et il se concentre sur la distance entre deux bifurcations successives. Il remarque alors que le rapport de deux distances successives converge. Il reprend son étude sur d autres applications dépendant d un paramètre et constate que le rapport entre deux périodes converge toujours vers le même nombre. C est la découverte de la constante de Feigenbaum. Finalement, dans les années 1980, la théorie du chaos et la constante de Feigenbaum se retrouvent dans des systèmes physiques notamment en hydrodynamique, en électronique, en acoustique. 5

Conjugaison topologique Afin d analyser l application logistique g a, il nous semble utile d introduire une fonction dont l étude est plus simple. Dans ce but, avant toute chose, il est nécessaire de définir la notion de conjugaison topologique..1 Définition Définition.1 Soient X et Y deux espaces topologiques et soient f : X X et g : Y Y deux applications continues. Les applications f et g sont topologiquement conjuguées s il existe un homéomorphisme Φ : Y X tel que f Φ = Φ g L homéomorphisme Φ peut être assimilé à un changement de variables. Les applications f et g jouent les rôles de deux matrices semblables A et B. Tout comme dans le cas des matrices, les applications f et g ont les mêmes propriétés dynamiques, énoncées par la suite. Deux applications topologiquement conjuguées ont donc le même comportement. Elles ont, entres autres, le même nombre de points fixes et d orbites périodiques.. Points fixes et orbites périodiques Définition. Un point fixe d une application f est un point invariant par f, c est-à-dire un point p tel que f(p) = p. L ensemble des points fixes est composé, entre autres, de points fixes attractifs et de points fixes répulsifs. Définition.3 Un point fixe attractif (ou stable) de f est un point fixe p de f tel qu il existe un voisinage de p tel que pour tout u 0 dans ce voisinage la suite (u n ) N, définie par u 0 et u n+1 = f(u n ), converge vers p. Proposition.4 Soient I un intervalle et f : I I une application de classe C 1 admettant un point fixe p. Si f (p) < 1, alors p est attractif. Démonstration. Par hypothèse, nous avons : f (p) = lim u 0 p f(p) f(u 0) p u 0 < 1. Pour u 0 suffisamment proche de p, on a f(p) f(u 0 ) < p u 0. Comme p est fixe, nous obtenons p f(u 0 ) < p u 0. Pour un u 0 proche de p, f(u 0 ) est encore plus proche de p. En répétant cet argument, f (u 0 ) sera encore plus proche de p, etc. Ainsi, la suite (u n ) N, définie par u 0 et u n+1 = f(u n ), converge vers p. Le point p est donc attractif. Au contraire, un point fixe peut être répulsif. 6

Définition.5 Un point fixe p de f est répulsif (ou instable) si : x 0 ɛ tel que si p x 0 < ɛ alors p f(x 0 ) >> 0. Proposition.6 Soit f : I I une application C 1 admettant un point fixe p. Si f (p) > 1, alors p est répulsif. La démonstration de cette propriété est une adaptation évidente de celle de la proposition.4. Remarque.7 Si f = 1, nous ne pouvons pas conclure quant à la nature du point fixe. De plus, un point fixe ni attractif, ni répulsif est dit neutre. Pour résumer, un point fixe p est attractif si la suite (f n (x)) N, x dans un voisinage de p, converge vers p tandis qu il est répulsif si cette suite s en éloigne. Cependant, on remarque que la suite (f n (x)) N ne converge pas nécessairement vers un seul point mais peut osciller entre deux ou plusieurs valeurs. On parle alors d orbites périodiques. Définition.8 Lorsque la suite (f n (x)) N oscille entre n valeurs, on dit que f a une orbite périodique de période n. Cela signifie que la suite de points u 0, u 1,..., u n 1, définie par tous les u i sont différents et f(u i ) = u i+1 pour i 0,..., n 1 avec les indices pris modulo n, vérifie f n (u i ) = u i, i. Ainsi, les n éléments d une orbite de période n correspondent aux points fixes propres de f n, c est-à-dire les points fixes qui ne sont fixes que pour f n. Comme les points fixes peuvent être attractifs ou répulsifs, une orbite périodique est soit attractive soit répulsive. Si u i, i = 0, 1,..., n sont les n points fixes de f n et si (f n ) (u i ) < 1, i, alors f a une orbite périodique attractive de période n. En revanche, si (f n ) (u i ) > 1, i, l orbite périodique est répulsive. Nous ne pouvons pas conclure si (f n ) (u i ) = 1, i..3 Conjugaison topologique de g a et f c Nous introduisons désormais l application f c définie par [ f c : a, a ] [ a, a ] x x + c, avec c R qui est topologiquement conjuguée à l application g a définie par g a : [0, 1] [0, 1] x ax(1 x), avec a [0, 4]. Cette nouvelle application va ainsi nous permettre une étude plus simple par la suite. 7

Proposition.9 Considérons pour un c R donné, l application f c définie par : [ f c : a, a ] [ a, a ] x x + c Les applications g a et f c sont topologiquement conjuguées par l homéomorphisme Φ défini par : [ Φ : [0, 1] a, a ] x a (1 x). Les paramètres a et c sont liés par : c = a (1 a ). Démonstration. Soit Φ : [0, 1] I où I est un intervalle. D après la définition de conjugaison topologique, et comme g a et f c sont continues, nous cherchons Φ : [0, 1] I tel que f c Φ = Φ g a. Posons Φ(x) = a (1 x). f c Φ(x) = f c ( a (1 x) ) = ( a (1 x) ) + c = a 4 ( 1 4x + 4x ) + c = a 4 a x + a x + c; Φ g a (x) = Φ (ax(1 x)) = a (1 ax(1 x)) = a a x + a x ; D où a 4 a x + a x + c = a a x + a x c = a a 4 c = a ( 1 a ). Ainsi, pour c = a (1 a ), l homéomorphisme Φ défini de [0, 1] dans I par 8

x a (1 x) conjugue les applications f c et g a. De plus, I = Φ([0, 1]). Comme Φ(0) = a et Φ(1) = a, nous obtenons I = [ a, a ]. Remarque.10 L application Φ est non seulement un homéomorphisme mais c est aussi un difféomorphisme. Les comportements de g a et f c sont ainsi identiques ce que nous décrivons dans les propositions suivantes. Proposition.11 Si x est un point fixe de g a, alors Φ(x) est un point fixe de f c. Démonstration. Comme f c et g a sont topologiquement conjuguées nous avons f c Φ(x) = Φ g a (x). Comme x est fixe pour g a, nous obtenons : f c Φ(x) = Φ(x). Ainsi, Φ(x) est fixe pour f c. Proposition.1 Les points fixes de g a et f c sont de même nature. Démonstration. Soit x un point fixe de g a. D après la proposition précédente, Φ(x) est un point fixe de f c. Nous avons f c Φ(x) = Φ g a (x). Comme nous l avons remarqué précédemment, Φ est un difféomorphisme ce qui nous permet d obtenir : Φ (x).f c(φ(x)) = g a(x).φ (g a (x)). Comme x est fixe pour g a nous obtenons : Φ (x).f c(φ(x)) = g a(x).φ (x) f c(φ(x)) = g a(x). Les propositions.4 et.6 permettent de conclure que Φ(x) et x sont de même nature. Ces deux propositions se généralisent évidemment et facilement. Deux applications topologiquement conjuguées ont le même nombre de points fixes et ces points fixes sont de même nature. 9

3 Bifurcations Désormais, nous ne considérons plus g a et f c comme de simples applications mais comme des familles d applications dépendant d un paramètre. Les variations de ce dernier vont entraîner une modification significative de la dynamique des applications, ce qui donne naissance à des bifurcations. Ici, nous nous intéressons aux paramètres a [0, 4] et c [, 1 4 ]. 3.1 Définition et propriétés Définition 3.1 Une famille d applications F c : X X dépendant d un paramètre c admet une bifurcation en c 0 si pour tout ɛ > 0, il existe c appartenant à (c 0 ɛ, c 0 + ɛ) tel que F c et F c0 ne sont pas topologiquement conjuguées. En d autres termes, une bifurcation apparait lorsqu une légère modification de la valeur du paramètre entraîne un changement du comportement de l application. Proposition 3. Soient X un espace topologique et F c : X X une famille d application dépendant d un paramètre. L ensemble B des valeurs des bifurcations de F c est un fermé. Démonstration. Afin de montrer que B est un fermé, montrons que son complémentaire est un ouvert. B C = { ensemble des valeurs c pour lesquelles F c n a pas de bifurcations } Soit c B C, d après la définition d une bifurcation, il existe un voisinage ouvert V de c où F c n a pas de bifurcations. Pour tout c de B C, V est donc contenu dans B C. Ainsi, B C est un ouvert. Deux applications topologiquement conjuguées ont, comme déjà évoqué dans la partie précédente, le même nombre de points fixes et d orbites périodiques. De plus, la nature de ces points et de ces orbites est identique. Ainsi, la naissance et le changement de nature d un point fixe ou d une orbite périodique engendrent une bifurcation. Etudions maintenant le critère d apparition d une bifurcation pour l application f c définie précédemment. Ce critère se généralise à d autres familles d applications dépendant d un paramètre, mais nous nous contentons de le démontrer pour f c. Proposition 3.3 L application f c a une bifurcation en c 0 si et seulement si il existe un point fixe p de f c0 tel que f c 0 (p) = ±1. Afin de démontrer cette proposition, nous avons besoin d introduire la norme C 1 sur l espace des fonctions continues et différentiables. Soient I un intervalle fermé et f : I I une fonction continue. Comme f est bornée, la norme infinie est une norme naturelle : f L (I) := sup{ f(x), x I}. 10

Supposons désormais que f est également différentiable. La norme infinie n est plus adaptée. En effet, une série de fonctions continues et différentiables peut, avec cette norme, converger vers une fonction non différentiable. Nous introduisons ainsi la norme C 1 : f C1 (I) := f L (I) + f L (I). Nous pouvons maintenant démontrer la proposition 3.3. Démonstration. Si f c a une bifurcation en c 0, alors il existe un point fixe p de f c0 tel que f c 0 (p) = ±1. Nous allons montrer cette implication par contraposée : Si tout point fixe p de f c0 est tel que f c 0 (p) ±1 ; alors c 0 n est pas une bifurcation. Soit p tel que f c0 (p) = p et f c 0 (p) ±1. Soit c proche de c 0, c [c 0 ɛ, c 0 + ɛ] pour ɛ > 0. Nous calculons dans un premier temps, la norme C 1 de l application f c0 f c. f c0 (x) f c (x) = x + c 0 x c = c 0 c On a donc : f c 0 (x) f c(x) = x x = 0 f c0 f c C 1 (I) = f c0 f c L (I) + f c 0 f c L (I) = c 0 c. Or, c est proche de c 0. Donc f c0 f c C 1 < ɛ. Les applications f c0 et f c sont C 1 proches. Cela signifie que non seulement f c0 et f c sont proches, mais que leurs dérivées le sont également. Comme f c0 et f c sont C 1 proches et que f c 0 ±1 est une condition ouverte, il existe q proche de p tel que f c(q) et f c 0 (p) soient proches. Les applications f c et f c 0 ont donc le même comportement pour les points fixes : f c(q) ±1. Il reste à montrer que f c et f c0 ont le même comportement, c est-à-dire que f c (q) = q. Comme q est proche de p, montrer qu il existe q tel que f c (q) = q revient à montrer qu il existe x suffisamment petit tel que f c (p x) = p x. Or, nous avons : f c0 (p) f c (p x) = p + c 0 (p x) c = p + c 0 p + px x c = c 0 + px x c. Nous cherchons x tel que f c0 (p) f c (p x) = p (p x) = x. Nous obtenons alors l équation suivante : c 0 + px x c = x x + (p 1)x + c 0 c = 0. = (p 1) + 4(c 0 c) 11

Comme c 0 est proche de c, est positif. Ainsi, les solutions sont x = (1 p) ± (p 1) + 4(c 0 c) = p 1 ± 4p 4p + 1 + 4c 0 4c. Or, c est proche de c 0, donc 4c est proche de 4c 0 et 4c 0 4c est proche de 0. Nous obtenons x p 1± (p 1), x = 0 ou x = p 1. En considérant x = 0, nous avons trouvé un x suffisamment petit tel que f c0 (p) f c (p x) = x ; soit f c (p x) = p x. Nous avons ainsi démontré que pour tout point fixe p de f c0 tel que f c 0 (p) ±1, et pour tout c dans (c 0 ɛ, c 0 + ɛ), f c a le même comportement vis à vis des points fixes que f c0. Les applications f c et f c0 sont topologiquement conjuguées, c 0 n est donc pas une bifurcation. Il nous reste à démontrer l implication inverse de la proposition 3.3 : s il existe un point fixe p de f c0 tel que f c 0 (p) = ±1, alors c 0 est une bifurcation. Soit p tel que f c0 (p) = p et f c 0 (p) = ±1. Soit c [c 0 ɛ, c 0 + ɛ]. Comme déjà montré précédemment, f c et f c0 sont C 1 proches. Il existe donc q tel que f c (q) = q. De même, f c et f c 0 sont proches. Mais, comme f c 0 = ±1 est une condition fermée, f c 0 (q) sera proche de 1 ou de 1 mais ne sera pas égale à ces deux valeurs (En effet, f c(p) = p = ±1 et f c(q) = q, q n étant pas égal à p (q = p x, x 0), f c(q) ±1). Ces deux applications ont donc des comportements différents, elles ne sont pas topologiquement conjuguées. L application f c admet donc une bifurcation en c 0. Nous pouvons désormais nous intéresser aux différentes bifurcations de f c. 3. Bifurcations et points fixes de f c Proposition 3.4 L application f c admet une première bifurcation en 1 4 deuxième en 3 4. et une Démonstration. Nous allons tout d abord chercher les points fixes de f c. f c (x) = x + c = x x x + c = 0 = 1 4c Si c > 1 4, il n y a pas de solutions, donc pas de points fixes. Si c = 1 4, il y a une solution, donc un point fixe : p = 1. Si c < 1 4, il y a deux solutions, donc deux points fixes : p 1 = 1 1 4c 1

et p = 1 + 1 4c. Ainsi, pour c ( 1 4 ɛ, 1 4 + ɛ), f 1 et f c n ont pas le même nombre de points fixes. 4 Elles ne sont pas topologiquement conjuguées. Il y a donc une bifurcation en 1 4. Regardons la stabilité des points fixes pour c < 1 4. f c(x) = x f c(p ) = 1 + 1 4c > 1 Le point fixe p est répulsif pour toutes les valeurs de c < 1 4. Par ailleurs, p 1 est un point fixe attractif si : f c(p 1 ) = 1 1 4c < 1 1 < 1 1 4c < 1 < 1 4c < 0 4 > 1 4c > 0 3 > 4c > 1 3 4 < c < 1 4 Le point fixe p 1 est alors attractif pour 3 4 < c < 1 4, il est répulsif pour c < 3 4. Le point fixe p 1 change de nature en 3 4, il y a donc une bifurcation en c = 3 4. Ceci est d autant plus vérifié par le critère précédent. En effet, f 3 4 (p 1 ) = 1. Décrivons maintenant le comportement pour 3 4 < c < 1 4 de la suite (u n) N définie par u n+1 = f c (u n ) et u 0 R. Proposition 3.5 [Dynamique de f c pour 3 4 < c < 1 4 ] 1. Les points p 1 et p sont fixes.. Le point p est envoyé sur p. Considérons maintenant la suite (u n ) N définie par u n+1 = f c (u n ) et u 0 R, et l intervalle I = [ p, p ]. 3. Si u 0 n appartient pas à I, la suite (u n ) N diverge. 4. Si u 0 est à l intérieur de I, la suite (u n ) N converge vers p 1. 13

Illustrons cette propriété par un exemple. Nous considérons l application f c pour c = 1 4. Ainsi, p 1 = 1 0, et p = 1+ 1,. Figure 1 Points fixes de l application f 1 4 14

Figure Divergence de la suite (u n ) N, u n+1 = f 1 4 (u n) et u 0 = 1, 3 Figure 3 Convergence de la suite (u n ) N, u n+1 = f 1 4 (u n) et u 0 = 0, 4 15

Sur ces trois figures, est représentée l application f c pour c = 1 4. Les points fixes de cette application correspondent aux points d intersection de la bissectrice y = x avec le graphe de f c. La suite (u n ) N, précédemment définie, est construite par récurrence à l aide de la bissectrice y = x. La figure 1 illustre bien les points 1 et de la proposition, la figure le point 3 et la figure 3 le point 4. Démonstration. avons : 1. D après la démonstration de la proposition, 3.4, nous f c (p ) = p, f c (p 1 ) = p 1.. f c ( p ) = ( p ) + c = p + c = f c (p ) = p 3. Nous voulons montrer que si x > p, f n c (x). Si x < p Sur ], 0], f c est décroissante, d où Il suffit donc de regarder le cas x > p. f c (x) > f c ( p ) f c (x) > p. f n c (x) f c (x) p > x p f c(x) p x p > 1 x p x p > 1 x + p > 1 Or, on a : x > p > 1. Donc x + p > 1. Dés que x > p, f n c (x). 4. Nous voulons montrer que si x ( p, p ), alors f n c (x) p 1. Ceci est prouvé dès lors que f c (x) p 1 < x p 1 et que f c (x) ( p, p ). Or, nous avons : f c (x) p 1 < x p 1 f c(x) p 1 < 1 x p 1 x p 1 < 1 x p 1 x + p 1 < 1 16

L inégalité de gauche donne : 1 < x + p 1 < 1. et celle de droite donne : p 3 = 3 + 1 4c x < 1 p 1 = p. = 1 p 1 < x, Remarquons tout d abord, que p 3 est négatif pour 3 4 < c < 1 4. En effet, 3 4 < c 3 > 4c 4 > 1 4c > 1 4c 1 > 3 + 1 4c 0 > 1 > 3 + 1 4c = p 3. Il faut ensuite distinguer deux cas. Le premier est pour c 0. Ainsi, p p 3. Soit x ( p, p 3 ] : p < x p 3 Comme l application f c est décroissante sur ], 0], nous obtenons : p + c > x + c p 3 + c. De plus, p est un point fixe de f c et p 3 + c p 3. D où, p 3 f c (x) < p, f c (x) [p 3, p ). En réitérant cet argument, pour les itérations de f suivantes, nous obtenons que fc n (x) = fc n 1 (f c (x)) converge vers p 1 pour x ( p, p ). Considérons le deuxième cas : c > 0, donc p 3 < p. Si x (p 3, p ], alors p 3 + c x + c > p, donc, f c (x) > p. Comme démontré dans le point 3, f n c (x) diverge. Le cas x [p 3, p ) pour c > 0 est donc à exclure. En revanche, si x ( p, p ), alors f n c (x) converge vers p 1 Proposition 3.6 L application f c a une troisième bifurcation en 5 4. 17

Démonstration. Le point fixe p 1 change de stabilité en 3 4. Or, le changement de stabilité d un point fixe donne naissance à une orbite périodique. Nous nous intéressons donc aux points fixes de fc pour c < 3 4. f c (x) = (x + c) + c (x + c) + c = x x 4 + cx x + c + c = 0 (1) Or, p 1 et p sont solutions car ils sont fixes pour f c et donc aussi pour f c. De plus, nous avons : (x p 1 )(x p ) = x x + c. Nous pouvons ainsi factoriser l expression 1 : x 4 + cx x + c + c = (x x + c)(x + x + c + 1). Chercher les points fixes de f c revient à résoudre x + x + c + 1 = 0. Le discriminant de cette équation est : = 3 4c. Pour c < 3 4, il y a donc deux solutions : et q 1 = 1 3 4c q = 1 + 3 4c. Les points q 1 et q sont fixes pour f c. L application f c a une orbite périodique de période pour c < 3 4. Afin de chercher la troisième bifurcation de f c, nous allons utiliser le critère de la proposition 3.3. (f c ) (q 1 ) = f c(q 1 )f c(f c (q 1 )) (f c )(q 1 ) = ( ) 1 3 4c + c = 1 + 3 4c 3 4c 4 = + 3 4c 4 = 1 + 3 4c = q. + c 18

D où, (f c ) (q 1 ) = f c(q 1 )f c(q ) = ( 1 3 4c)( 1 + 3 4c) = 4 + 4c. De même, (f c ) (q ) = 4 + 4c. Ainsi, nous avons : (f c ) (q 1 ) = (f c ) (q ) = 4 + 4c. Or, d après la proposition 3.3, c est un bifurcation si et seulement si 4 + 4c = 1, soit c = 5 4. Il y a donc une bifurcation en 5 4. Comme pour les bifurcations précédentes, nous décrivons dans la proposition suivante, que nous ne démontrons pas, la dynamique de f c pour 5 4 < c < 3 4. Proposition 3.7 [Dynamique de f c pour 5 4 < c < 3 4 ] 1. Les points p 1 et p sont fixes.. Le point p est envoyé sur p, q 1 sur q et q sur q 1. L application f c a une orbite périodique de période. Considérons maintenant la suite (u n ) N définie par u n+1 = f c (u n ) et u 0 R, et l intervalle I = [ p, p ]. 3. Si u 0 est à l intérieur de I, (u n ) N tend vers l orbite périodique de période. 4. Si u 0 n appartient pas à I, (u n ) N diverge. Les figures ci-après illustrent les points 3 et 4 de cette proposition et représentent l application f c pour c = 1. Ainsi, p 1 = 1 5 0, 6, p = 1+ 5 1, 6, q 1 = 1 et q = 0. 19

Figure 4 Convergence vers une orbite de période de la suite (u n ) N, u n+1 = f 5 (u n) et u 0 = 0, 6 Figure 5 Divergence de la suite (u n ) N, u n+1 = f 5 (u n) et u 0 = 1, 7 La figure 4 montre que la suite (u n ) N oscille entre q 1 et q pour u 0 = 0, 6 dans I tandis que la figure 5 montre que (u n ) N diverge pour u 0 = 1, 7 à l extérieur de I. Nous connaissons désormais les premières bifurcations de f c. Comme f c et g a sont topologiquement conjuguées, nous pouvons facilement en déduire les bifurcations de l application logistique. 0

3.3 Bifurcations et points fixes de g a Les applications g a et f c étant conjuguées par le difféomorphisme Φ défini dans la partie précédente, nous retrouvons les bifurcations de g a grâce à celles de f c et à la relation c = a (1 a ). L application f c a une première bifurcation en 1 4, cherchons alors la première bifurcation de g a. c = 1 4 a ( 1 a ) = 1 4 1 a + a = 0 (a 1) = 0 a = 1 La première bifurcation de g a est donc 1. De même, on obtient : Bifurcations f c g a Première 1 4 1 Deuxième 3 4 3 Troisième 5 4 3,44 De plus, les comportements de g a et f c sont identiques. Pour 3 4 < c < 1 4, les itérées de l application f c commençant dans l intervalle [ p, p ] convergent vers p 1. Or, [ p, p ] = [ a, a ] et f c et g a sont topologiquement conjuguées sur [ a, a ]. Donc, pour 1 < a < 3, les itérées de g a convergent vers un point fixe. De même, pour 5 4 < c < 3 4 et donc pour 3 < a < 3, 44, les itérées de g a sont proches d une orbite de période. Notons que 0 et p a = a 1 a sont les points fixes de g a. A la différence de f c, g a a toujours un point fixe, c est 0. Regardons graphiquement le comportement de g a. Tout d abord, pour a = 1, 5 ; c est-à-dire 1 < a < 3, la suite (g n a (x)), x dans le voisinage de 0,1, converge vers le point fixe. 1

Figure 6 Convergence de la suite (u n ) N, u n+1 = g 1,5 (u n ) et u 0 = 0, 1 Puis, pour a = 3,, c est-à-dire 3 < a < 3, 44, la suite (g n a (x)), x dans le voisinage de 0,1, oscille entre deux valeurs, g a a une orbite périodique de période. Figure 7 Convergence vers une orbite de période de la suite (u n ) N, u n+1 = g 3, (u n ) et u 0 = 0, 1

Il existe cependant une légère différence pour g a. En effet, il y a deux manières de converger vers le point fixe. Plaçons nous dans le cas 1 < a < 3. Tout d abord, les points fixes sont 0 (répulsif) et p a = a 1 a (attractif). On distingue alors deux comportements. Si la bissectrice y = x coupe la parabole g a avant son sommet, les itérations convergent en escalier vers p a (voir figure 8). En revanche, si elle coupe la parabole après son sommet, les itérations convergent en spirale vers p a (voir figure 9). Figure 8 Convergence en escalier Figure 9 Convergence en spirale 3

4 Classification des bifurcations Les applications g a et f c possèdent plusieurs bifurcations, mais elles ne sont pas toutes de même nature. On en distingue deux types, les bifurcations sellenœud qui donnent naissance à des points fixes et les bifurcations par doublement de la période qui font apparaitre des orbites périodiques. 4.1 Bifurcation selle-nœud Définition 4.1 Une application F c dépendant d un paramètre c admet une bifurcation selle-nœud (ou bifurcation tangente) en c 0 s il existe un intervalle ouvert I R tel que pour tout ɛ > 0 : 1. l application F c0 ɛ n a pas de points fixes dans I.. l application F c0 a un seul point fixe dans I. 3. l application F c0+ɛ a deux points fixes dans I, l un est attractif tandis que l autre est répulsif. Remarque 4. Intervertir c 0 ɛ et c 0 + ɛ ne modifie pas la définition. Une bifurcation selle-nœud est une bifurcation locale puisqu elle est définie uniquement sur un petit intervalle I. Pour c = c 0 le graphe de F c0 est tangent à la bissectrice y = x, d où son appellation bifurcation tangente. Une bifurcation selle-nœud est représentée par la figure suivante qui montre bien la création des points fixes. Figure 10 Bifurcation selle-nœud de F c Proposition 4.3 L application F c admet une bifurcation selle-nœud en c 0 si et seulement si il existe un point fixe p de F c0 tel que F c 0 (p) = 1. Démonstration. L application F c admet une bifurcation selle-nœud en c 0 si et seulement si F c0 ɛ n a pas de point fixe, F c0 a un unique point fixe et F c0+ɛ a deux points fixes. Ceci est illustré par la figure 10 qui justifie bien qu en c 0, l application F c a un unique point fixe p tel que F c 0 (p) = 1. Une question évidente se pose alors : quelles sont les bifurcations selle-noeud de f c et g a? 4

Proposition 4.4 L application f c (respectivement g a ) a une bifurcation sellenoeud en 1 4 (respectivement en 1). C est l unique bifurcation de ce type. Démonstration. On a : Donc f c(x) = x. f 1 (x) = x. 4 De plus, pour c = 1 4, le point fixe est 1. D où, f 1 ( 1 ) = 1. 4 D après la proposition 4.3, 1 4 est une bifurcation selle-nœud. En fait, nous avons déjà démontré cette propriété dans la démonstration de la propriété 3.4. En effet, f 1 4 ɛ n a pas de points fixes, f 1 a un point fixe et 4 f 1 4 +ɛ a deux points fixes. Montrons que cette bifurcation est l unique bifurcation selle-nœud. Soit x un point fixe de f c. L application f c a une bifurcation selle-nœud en c 0 si f c 0 (x) = 1. D où x = 1. Le point 1 est donc fixe pour f c 0, c est-à-dire : ( 1 ) + c0 = 1. Cette équation admet une unique solution c 0 = 1 4. Il y a donc une unique bifurcation selle-nœud en 1 4. 4. Bifurcation par doublement de la période Définition 4.5 Une application F c dépendant d un paramètre c admet une bifurcation par doublement de la période en c 1 s il existe un intervalle ouvert I R contenant exactement un point fixe p c de F c (c (c 1 ɛ, c 1 + ɛ)) et tel que : 1. le point fixe p c1 ɛ est attractif et F c1 ɛ n a pas d autres points fixes dans I.. le point fixe p c1 est neutre et F c1 n a pas d autres points fixes dans I. 3. le point fixe p c1+ɛ est répulsif et F c1+ɛ a une orbite périodique attractive de période dans I. Remarque 4.6 Intervertir c 1 ɛ et c 1 + ɛ ne modifie pas la définition. La définition reste valable pour un point fixe répulsif qui devient attractif en créant une orbite périodique répulsive de période. Lorsque l application F c a une bifurcation par doublement de la période en c 1, on dit que Fc a une bifurcation fourche en c 1. Plus généralement, on dit que F c a une bifurcation par doublement de la période en c 1, si sa n-ième itérée F n c vérifie les critères de la définition 4.5. En d autres termes, si une orbite de longueur n change de stabilité en c 1 et crée une orbite de longueur n de stabilité initiale, alors c 1 est une bifurcation par doublement de la période. 5

Proposition 4.7 L application F c admet une bifurcation par doublement de la période en c 1 si et seulement si il existe un point fixe p de F c1 tel que F c 1 (p) = 1. Figure 11 Bifurcation par doublement de la période de F c Figure 1 Bifurcation fourche de F c La figure 11 représente une bifurcation par doublement de la période. Nous constatons que le point fixe devient instable lorsque la dérivée de F c en ce point passe la valeur 1. Les changements de la dynamique de Fc lors de la bifurcation sont présentés dans la figure 1. Le point fixe de Fc devient répulsif en créant deux nouveaux points fixes attractifs. Qu en est-il des bifurcations de l application logistique et de f c? Proposition 4.8 L application f c (respectivement g a ) a une bifurcation par doublement de la période en 3 4 (respectivement en 3). Démonstration. Nous avons : f 3 4 (x) = x. L intervalle que nous considérons ici est I = ( p, p ). Pour c = 3 4, I = ( 3, 3 ) et le seul point fixe dans I est p 1 = 1 1 4( 3 4 ) = 1. De plus, f ( 1 3 ) = 1. 4 D après la proposition 4.7, 3 4 est une bifurcation par doublement de la période. 6

En fait, nous avons déjà démontré cette propriété dans la démonstration de la propriété 3.6. En effet, f 3 4 ɛ a un point fixe attractif dans I = ( p, p ), qui devient répulsif en engendrant une orbite attractive de période. Proposition 4.9 L application fc (respectivement ga) a une bifurcation par doublement de la période en 5 4 (respectivement en 3, 44). Par généralisation, c est une bifurcation par doublement de la période de f c (respectivement de g a ). Démonstration. Les points q 1 et q sont fixes pour f c. Pour c = 5 4, nous avons q 1 = 1 et q = 1+. De plus : f 5 4 (q 1 ) = f 5 4 (q 1 )f 5 4 (f 5 4 (q 1)) = f (q 5 1 )f 4 (q 5 ) 4 ( = 1 ) ( 1 + ) = 1. De même, f 5 4 (q ) = 1. Donc, 5 4 est une bifurcation par doublement de la période de f c. Cette démonstration montre de plus, que les points q 1 et q subissent la même bifurcation. Ainsi, lorsque q 1 change de stabilité, il donne naissance à deux points fixes de f 4 c. Le point q se comporte exactement de la même façon, créant lui aussi deux points fixes de f 4 c. Il y a création de 4 points fixes pour f 4 c et par conséquent d une orbite périodique de période 4 pour f c. Afin de visualiser rapidement les différentes bifurcations de l application logistique et d étudier leur dynamique, il est nécessaire d introduire la notion de diagramme de bifurcation. 4.3 Diagramme de bifurcation Le diagramme de bifurcation rend compte du comportement de l application logistique (ou de f c ou de toutes autres applications dépendant d un paramètre) en fonction du paramètre a. Sur ce diagramme, en abscisses, sont représentées les différentes valeurs du paramètre a et en ordonnées celles de g a. Nous construisons le diagramme en repérant pour chaque valeur de a le ou les points de convergence de la suite (u n ) N définie par u 0 [0, 1] et u n+1 = g a (u n ). Nous obtenons : 7

Figure 13 Diagramme de bifurcation de l application logistique Nous retrouvons, bien évidemment, le comportement de l application logistique décrite dans les parties précédentes. Pour 1 < a < 3, il n y a qu une seule branche. La suite (u n ) N précédemment définie converge vers le point fixe. Pour 3 < a < 3, 44, il y a deux branches. Ceci correspond au comportement périodique, l application g a a une orbite périodique de période. Quand il y a 4 branches, il y a une orbite périodique de période 4. Puis, pour 8 branches, c est une orbite périodique de période 8, etc. Cette partie du diagramme est appelée cascade ou arbre de doublement de la période. Dès lors, intéressons nous à la dynamique du diagramme de bifurcation. Dans une première partie, nous découvrons deux objets remarquables : le point et la constante de Feigenbaum. Puis, dans une seconde partie, nous étudions le diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum avant d aborder son autosimilarité. 8

5 Le point et la constante de Feigenbaum Les bifurcations jouent un rôle important dans le diagramme de bifurcation puisqu elles indiquent un changement de comportement. Nous définissons alors la suite (a n ) N, suite des bifurcations par doublement de la période de l application logistique. Les premiers termes de cette suite sont a 1 = 3 et a = 3, 44. Une deuxième suite de paramètre est également fondamentale dans l étude du diagramme. Pour la définir, nous avons besoin d introduire les points fixes super attractifs. 5.1 Points fixes super attractifs et point de Feigenbaum Définition 5.1 Un point fixe p d une application f est attractif si f (p) < 1. De plus, si f (p) = 0, le point p est super attractif. Proposition 5. Dans le cas de l application logistique, lorsque la bissectrice y = x coupe la parabole exactement en son sommet, le point fixe est super attractif. Démonstration. Comme la bissectrice y = x coupe la parabole en son sommet, il y a un unique point fixe p qui est le sommet de la parabole. Donc g a(p) = 0. Le point p est un point fixe super attractif. Proposition 5.3 Pour a =, l application g a a un point fixe super attractif. Démonstration. Commençons par chercher le sommet de la parabole g a = ax(1 x). Nous avons : g a(x) = a(1 x). Cette dérivée est positive pour x < 1. Nous obtenons donc le tableau de variation suivant. x g a(x) g a (x) 0 0 1 1 + 0 1 4 a 0 Le sommet de la parabole est donc g a ( 1 ) = 1 4 a. De plus, comme nous cherchons un point fixe super attractif, la bissectrice y = x coupe la parabole en son sommet. Le sommet est donc un point fixe. D où g a ( 1 ) = 1 4 a = 1. Finalement, nous obtenons a =. 9

Figure 14 Point fixe super attractif de l application logistique Justifions maintenant le terme super attractif pour un point fixe de l application g a. Pour rappel, nous avons : g a = ax(1 x) et p a = a 1 a son point fixe. Nous commençons l itération de g a par un point proche de p a : x 0 = a 1 a + ɛ avec ɛ > 0. Notons x i = ga(x i 0 ). Nous obtenons : x 1 = g a (x 0 ) = ax 0 (1 x 0 ) ( ) ( a 1 + aɛ = a 1 a 1 + aɛ ) a a = a 1 aɛ + ɛ aɛ a = p a aɛ + ɛ aɛ = x 0 + ɛ aɛ aɛ. De plus, ɛ aɛ aɛ < ɛ ce qui montre bien que p a est attractif. En effet, x 1 est proche de x 0 (donc de p a ), et en réitérant cet argument, x est proche de x 1, donc de x 0 et de p a. 30

Regardons ce qui se passe pour le cas super attractif, c est-à-dire pour a =. Ici, p a = 1 et x 0 = 1 + ɛ. Nous avons donc : x 1 = g a (x 0 ) = 1 ɛ + ɛ ɛ = 1 ɛ. Contrairement au cas précédent, il ne reste qu un terme quadratique en ɛ. Ainsi, x 1 se rapproche plus rapidement de 1. En effet, les termes en ɛ et les constantes qui atténuent l effet du terme en ɛ ne sont plus présents. Comme nous nous intéressons aux itérées de g a, il semble évident de s intéresser aux points fixes super attractifs de ga, puis à ceux de ga, 4 etc. Nous construisons ainsi une nouvelle suite de paramètres : la suite (s n ) N définie de telle sorte que pour a = s n, l application ga n 1 a un point fixe super attractif. Les termes de cette suite sont appelés paramètres super attractifs et ses premiers termes sont s 1 = et s = 1 + 5. Proposition 5.4 Il y a toujours un paramètre super attractif entre deux bifurcations successives. Démonstration. Regardons ce qui se passe pour les premières bifurcations. La première bifurcation a 0 = 1 est une bifurcation selle-nœud. Si p 0 est le point fixe de g a0 (p 0 = 0), alors g a 0 (p 0 ) = 1. Puis, il y a création de deux points fixes p 1 (a) et p (a) (p 1 (a) = a 1 a et p (a) = 0) tel que et De plus, g a 0+ɛ(p 1 (a 0 + ɛ)) > 0. g a 0+ɛ(p (a 0 + ɛ)) = a 0 + ɛ > 1 g a 0+ɛ(p 1 (a 0 + ɛ)) = 1 a 0 + ɛ < 1. La deuxième bifurcation a 1 apparait lorsque g a 1 (p 1 (a 1 )) = 1. Comme g a 0 (p 1 (a 0 )) > 0 et g a 1 (p 1 (a 1 )) = 1, il existe s 1 tel que a 0 < s 1 < a 1 et g s 1 (p 1 (s 1 )) = 0. Le point s 1 est donc un paramètre super attractif. Cette nouvelle bifurcation donne naissance à deux points fixes q 1 (a) et q (a) de g a avec 0 < (g a 1+ɛ) (q i (a 1 + ɛ)) < 1, (i = 1, ). La troisième bifurcation apparait lorsque 0 < (g a 1+ɛ) (q i (a 1 + ɛ)) = 1, i = 1,. Il existe donc un paramètre super attractif s tel que a 1 < s < a. Ce raisonnement se généralise à toutes les bifurcations. Juste après une bifurcation, les points fixes ou les points de l orbite périodique qui ont été créés, ont une dérivée inférieure à 1 et positive. La bifurcation suivante apparait lorsque 31

ces points ont une dérivée égale à 1. Le changement de signe prouve que ces dérivées passent par 0 avant la nouvelle bifurcation, il y a donc un paramètre super attractif. Ceci est illustré par les figures 10 et 1 de la partie précédente. Proposition 5.5 Si la suite (s n ) N converge vers une certaine valeur, la suite (a n ) N converge vers cette même valeur. Démonstration. Nous connaissons les premiers termes des deux suites : a 1 = 3 et s 1 =. Ainsi, s 1 < a 1. De plus, d après la proposition 5.4 nous avons : Nous avons donc : s 1 < a 1 < s < a < s 3 < a 3 <... n N s n < a n < s n+1. Si la suite (s n ) N converge vers l, d après le théorème des gendarmes, la suite (a n ) N converge aussi vers l. Nous avons désormais à notre disposition les suites (a n ) N et (s n ) N. Elles convergent toutes les deux vers le même point appelé point de Feigenbaum et noté s. Ce point marque un changement radical dans la dynamique de l application logistique g a. Pour des valeurs de a supérieures à s, nous ne pouvons plus prévoir le comportement de l application logistique g a. Ce dernier ne répond plus au principe de doublement de la période comme c est le cas pour les valeurs de a inférieures à s. Figure 15 Diagramme de bifurcation et point de Feigenbaum Dorénavant, nous nous intéressons au diagramme de bifurcations pour des valeurs de a inférieures à s et plus particulièrement, au comportement des 3

distances entre deux bifurcations successives. De cette étude va émerger une constante remarquable, la constante de Feigenbaum. 5. La constante de Feigenbaum Notons d k = a k+1 a k, k = 1,, 3..., la distance entre deux bifurcations successives (voir figure 16). Figure 16 Distance entre deux bifurcations successives Nous constatons, graphiquement, que cette distance diminue de plus en plus rapidement. Supposons, tout d abord, que cette décroissance est géométrique et posons : d k d k+1 = δ. Proposition 5.6 Dans ce cas, la suite (a k ) N est une suite convergente. Démonstration. Montrons par récurrence que ( a k = a 1 + d 1 1 + 1 δ +... + 1 ) δ k Pour k =, nous avons bien a = a 1 + d 1. Supposons que la propriété est vrai au rang k. Montrons alors qu elle est encore vérifiée au rang k + 1. Nous avons a k+1 = d k + a k. Par hypothèse de récurrence, nous obtenons : ( a k+1 = a 1 + d 1 1 + 1 δ +... + 1 ) δ k + d k Or, d k+1 = d k δ. La suite (d k ) N est géométrique de raison 1 δ. D où d k = d 1 ( 1 δ )k 1. Finalement, nous obtenons : ( a k = a 1 + d 1 1 + 1 δ +... + 1 ) ( ) k 1 1 δ k + d 1 ; δ 33 ()

( a k = a 1 + d 1 1 + 1 δ +... + 1 ) δ k 1. Par récurrence, nous avons montré la propriété. De plus, comme 1 δ < 1, nous obtenons : ( 1 lim a k = a 1 + d 1 k ) 1 1 δ ) = a 1 + d 1 ( δ δ 1 La suite (a k ) N est bien convergente. Cependant, les valeurs expérimentales montrent que la suite (d k ) n est pas exactement géométrique. Effectivement, les premiers termes vérifient : d 1 d = 4, 7514 ; d d 3 = 4, 656 ; d 3 d 4 = 4, 668 ; d 4 d 5 = 4, 6687. La suite (d k ) est dite approximativement géométrique. Le ratio de k, on note δ k sa valeur. Cette dernière converge. lim δ k = 4, 66901609109 k C est la constante de Feigenbaum, notée δ. d k d k+1 va dépendre La constante de Feigenbaum est dite universelle car elle est valable pour de nombreuses applications dépendant d un paramètre, par exemple g a (x) = ax sin πx. 5.3 Calcul de la constante de Feigenbaum Nous présentons ici, une méthode basée sur la suite (s n ) N, précédemment définie. Pour rappel, nous avons : δ = lim n δ n = lim n d n d n+1 = lim n a n+1 a n a n+ a n+1. 34

La constante de Feigenbaum s exprime également en fonction des termes de la suite (s n ) N. En effet, nous avons : s n s n 1 δ = lim. (3) n s n 1 s n Grâce à cette formule et à la méthode de Newton, nous sommes en mesure de calculer la constante de Feigenbaum. Une rapide présentation de la méthode de Newton s impose. Méthode de Newton Le but de la méthode de Newton est de trouver le zéro d une fonction. Dans un premier temps, nous choisissons une valeur proche du zéro de la fonction. Puis, nous approximons la courbe en ce point par sa droite tangente. Nous cherchons le zéro de la tangente, et nous appliquons à nouveau le procédé. Notons x 0 le point proche du zéro de la fonction f. L équation de la droite tangente en ce point est : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Soit x 1, le zéro de la droite tangente. Ce point vérifie : f (x 0 )(x 1 x 0 ) + f(x 0 ) = 0. D où, x 1 = x 0 f(x0) f (x. 0) Par récurrence, nous construisons la suite x k+1 = x k f(x k) f (x k ). La limite de cette suite est le zéro de la fonction f. Explicitons ensuite le calcul de δ. Calcul de δ Nous connaissons les premiers termes de la suite (s n ) N. Afin de pouvoir utiliser la formule 3, nous avons besoin des termes suivants. Or, ceux ci vérifient gs n 1 n ( 1 ) = 1 (caractérisation de l existence d un point fixe super attractif). Chaque s n est donc solution de l équation suivante en a : ( ) 1 ga n 1 = 1. Il faut cependant faire attention. En effet, les termes s 1, s,.., s n 1 vérifient cette équation. Or, nous ne voulons que la solution propre à cette équation. C est pourquoi, nous utilisons la méthode de Newton avec la fonction f(a) = ga n 1 ( 1 ) 1. Nous construisons ainsi la suite (b k ) N telle que b k+1 = b k f(b k) f (b k ) et nous cherchons sa limite. Nous avons ainsi calculé s n. Nous calculons les termes suivants 35

par cette même méthode, et nous appliquons la formule 3 afin d obtenir δ. Deux points restent à éclaircir dans ce procédé : le calcul de f (b k ) et le choix de la valeur initiale pour initialiser la méthode de Newton. Calcul de f (b k ) Nous savons que f(a) = ga n 1 ( 1 ) 1. Définissons la suite (x n) N tel que x 0 = 1 et g a(x k ) = x k+1. Posons N = n 1. Alors f(a) = x N 1. De plus, comme x N dépend de a, nous obtenons f (a) = x N. Or, nous avons : x 0 = 0 et Ainsi, x k+1 = ax k (1 x k ). x k+1 = x k (1 x k ) + ax k(1 x k ) ax k x k, x k+1 = x k (1 x k ) + ax k(1 x k ). f(a) et f (a) se calculent donc grâce aux itérations suivantes : pour k = 0, 1,..., N 1, x k+1 = ax k (1 x k ) ; x 0 = 1 x k+1 = x k (1 x k ) + ax k(1 x k ) ; x 0 = 0 Initialisation de la méthode de Newton Nous connaissons les termes de la suite (s n ) N jusqu au rang n, ce qui nous permet de calculer : δ n = s n 1 s n. s n s n 1 D où, et s n = s n 1 + s n 1 s n δ n, s n+1 = s n + s n s n 1 δ n+1. Nous cherchons seulement une approximation de s n+1, nous considérons donc s n+1 b 0 = s n + s n s n 1 δ n. Cette valeur permet d initialiser la méthode de Newton. 36

6 Au-delà du point de Feigenbaum Dans un premier temps, nous étudions le diagramme de bifurcation au point s de Feigenbam, c est-à-dire que nous nous intéressons aux points du diagramme ayant pour abscisse s. Ces points sont représentés en rouge sur la figure 17. Figure 17 Diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum Puis, dans un deuxième temps, nous nous intéressons à l auto-similarité du diagramme de bifurcation. Avant toute chose, la notion d adresses du diagramme de bifurcation est indispensable pour la suite de l étude. 6.1 Adresses du diagramme de bifurcation et comportement de g s Chaque branche du diagramme de bifurcation est repérée par une suite de lettres (appelée adresse) selon la règle suivante. Nous attribuons la lettre L (pour low) à la branche la plus basse, et la lettre H (pour high) à la plus haute. A chaque division, nous ajoutons à l adresse de la branche divisée la nouvelle lettre. 37

Figure 18 Adresses du diagramme de bifurcation Les premières branches du diagramme de bifurcation sont repérées par les adresses H et L puis par HH, HL, LH, et LL comme indiqué sur la figure 18. Chaque adresse correspond en réalité à un élément d une orbite de g a. Nous allons ainsi décrire la dynamique de l application logistique en terme d adresses. Proposition 6.1 Pour 3 < a < 3, 44, il y a oscillation entre les lettres H et L. On note : H L H. Démonstration. Ceci est évident. Pour 3 < a < 3, 44, l application g a a une orbite de période dont les éléments sont représentés par H et L. Figure 19 Orbite périodique de période et adresses 38

Nous représentons cette oscillation par le diagramme suivant : Figure 0 Diagramme d une orbite de période Proposition 6. Pour a compris entre 3,44 et 3,54 la bifurcation suivante, nous avons l oscillation : HH LL HL LH HH. Démonstration. L orbite de période 4 naît de l orbite de période. Ainsi, une adresse commençant par H doit être envoyée sur une adresse commençant par L. HH peut donc être envoyé sur LL ou LH. Si l on montre que HH est nécessairement envoyé sur LL, nous avons démontré la proposition. Fixons a tel que 3, 44 < a < 3, 54, considérons les points du diagramme ayant pour abscisse a et appelons p 1, le point de l orbite périodique correspondant à la branche d adresse HH, p celui correspondant à la branche d adresse LL, p 3 celui correspondant à la branche d adresse HL, et enfin p 4 celui correspondant à la branche d adresse LH. Pour plus de clarté, ces points sont représentés sur la figure suivante. 39

Figure 1 Points p 1, p, p 3, p 4 Figure Orbite périodique de période 4 et adresses L application g a est symétrique par rapport à la droite x = 1. De plus, p 1 est la plus grande valeur de l orbite, ga 1 (p 1 ) est donc la plus proche valeur de 1. D où : 1 g 1 a (p i ) > 1 g 1 a (p 1 ) ; i 1 40

De même, p est la plus petite valeur de l orbite, ga 1 (p ) est donc la valeur la plus éloignée de 1. D où : 1 g 1 a (p i ) < 1 g 1 a (p ) ; i (4) Supposons que g a (p 1 ) p, soit ga 1 (p ) p 1. Ainsi, g a (p 1 ) = p 4, ga 1 (p 4 ) = p 1 et ga 1 (p ) = p 3 Appliquons l inégalité 4 à i = 4 : 1 g 1 a (p 4 ) < 1 g 1 a (p ) 1 p 1 < 1 p 3 Or, p 3 > 1 et p 1 > 1. p 1 1 < p 3 1 p 1 < p 3 Ceci est une contradiction puisque p 1 > p 3. Ainsi, g a (p 1 ) = p, ce qui signifie que HH est envoyé sur LL. La démonstration est ainsi terminée. Cette orbite périodique de période 4 est représentée par : Figure 3 Diagramme d une orbite de période 4 41

Pour 8 lettres, donc une orbite périodique de période 8, nous avons : Figure 4 Diagramme d une orbite de période 8 Ces orbites périodiques semblent suivre une même règle. Nous allons généraliser cette dernière à un nombre infini de lettres. Ainsi, pour une adresse donnée nous pouvons déterminer l orbite à laquelle elle appartient. Soit A k = {l ensemble des adresses composées de k lettres}. Soit A = {l ensemble des adresses composées d une infinité de lettres}. La dynamique des orbites périodiques est décrite par une transformation f : A k A k. Par exemple, pour l orbite de période 4, nous avons : f (HH) = LL, f (LL) = HL, f (HL) = LH, f (LH) = HH. Par généralisation, nous construisons f qui permet de décrire le comportement au point s de Feigenbaum. Regardons la représentation de l orbite de période, celle de période 4 et celle de période 8. 4

Figure 5 Diagramme d une orbite de période Figure 6 Diagramme d une orbite de période 4 Figure 7 Diagramme d une orbite de période 8 Dans la suite, les lettres X i, i N, représentent indifféremment les lettres H et L. 43

Dans le carré des adresses commençant par H, une diagonale apparait. Ainsi, les adresses commençant par H vérifient : f (HX X 3...) = LX t X t 3... avec X t le complémentaire de X, c est-à-dire H t = L et L t = H. Puis, nous observons la formation d une diagonale dans le carré des adresses commençant par LL. Les adresses commençant par LL vérifient donc : f (LLX 3 X 4...) = HLX 3 X 4... Finalement, nous remarquons que le carré des adresses commençant par LH est une réduction du grand carré. Les adresses commençant par LH vérifient : f (LHX 3 X 4...) = HHf (X 3 X 4...) Nous allons maintenant montrer qu au point de Feigenbaum, le diagramme de bifurcation est un ensemble de Cantor. 6. Le diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum Commençons par une rapide construction de l ensemble de Cantor. Premièrement, nous ôtons l intervalle ] 1 3, 3[ à l intervalle [0, 1]. Nous conservons les intervalles [0, 1 3 ] et [ 3, 1]. Puis, nous divisons ces nouveaux intervalles en 3, et nous supprimons le tiers du milieu. Ce procédé répété plusieurs fois fournit une suite d intervalles fermés. Après la n ieme étape, il y a n intervalles de longueur 1 3. L ensemble de Cantor est l ensemble des points obtenus lorsque n le procédé ci dessus est répété une infinité de fois. De plus, nous pouvons voir, l ensemble de Cantor comme l ensemble des points de l intervalle [0, 1] dont l écriture triadique (en base 3) ne contient pas le chiffre 1. L ensemble de Cantor correspond donc à l ensemble C = {0, } N. L ensemble des points du diagramme de bifurcation dont l abscisse est s est un ensemble de Cantor. En effet, considérons que chaque doublement de branches correspond en fait à un triplement auquel nous avons supprimé la branche médiane. Au point s, le diagramme de bifurcation est constitué des points obtenus si le procédé précédent est appliqué une infinité de fois. Cette construction est semblable à celle de l ensemble de Cantor. Une autre manière de montrer cela est de considérer l ensemble de Cantor comme l ensemble C = {0, } N. Notons K l ensemble des points du diagramme de bifurcation au point s. Nous avons une bijection de K vers C qui à L associe 0 et à H associe. Donc K est un ensemble de Cantor. 44

6.3 L auto-similarité du diagramme de bifurcation Dans cette partie, nous étudions rapidement le diagramme de bifurcation pour toutes les valeurs de a. Plus particulièrement, nous nous intéressons à son auto-similarité à l infini, qui en fait une fractale. Une fractale est un objet auto-similaire, c est-à-dire semblable à lui même. De plus, cette auto-similarité est présente à l infini. Une fractale peut être également définie comme un objet dont les parties ont la même structure que le tout mais à des échelles différentes. Ainsi, si nous agrandissons une partie d une fractale, nous obtenons une copie quasi identique de l original. Afin de bien saisir la notion d auto-similarité, prenons des exemples. Les plus significatifs sont présents dans notre vie quotidienne, et plus précisément dans la nature, comme l arbre. C est un objet complexe qui semble assez compliqué de décrire avec des objets géométriques. Mais, si nous analysons sa structure de plus près, nous constatons que c est la même à toutes les échelles. Effectivement, le tronc se divise en plusieurs branches. Ces dernières deviennent à leur tour des troncs qui se séparent en plusieurs branches qui vont elles aussi se diviser..a la différence d une fractale, l auto-similarité de l arbre s arrête lorsque les feuilles apparaissent, il n est donc pas auto-similaire à l infini. Le diagramme de bifurcation présente une auto-similarité semblable à celle de l arbre. La première branche se divise en deux, puis chaque nouvelle branche se sépare aussi en deux. L auto-similarité du diagramme de bifurcation se retrouve évidemment dans la suite des itérées de g a. En effet, le graphe de g a est semblable à des portions de graphes de g a,g 4 a,...cela se comprend assez facilement dès les premières bifurcations de l application logistique. Pour 1 < a < 3, il y a un unique point fixe p a attractif. Il devient répulsif pour a = 3 et une orbite de période est créée. L application g a a désormais deux points fixes. Ces derniers vont devenir instables et donner naissance à une nouvelle orbite. Ces points fixes subissent donc le même changement que p a, ce qui témoigne bien de l auto-similarité. Graphiquement, ce phénomène se retrouve parfaitement. Si nous choisissons une portion du graphe de g a semblable à celui de g a, nous l agrandissons jusqu à obtenir la taille du graphe initial, et nous retournons l image obtenue, alors nous retrouvons le graphe de g a. Si nous faisons de même avec le graphe de g 4 a, nous obtenons également le graphe de g a. Expliquons cette auto-similarité sur un exemple. Considérons les applications g a, ga et ga 4 respectivement pour a = s 1, a = s et a = s 3 (les s i,i = 1,, 3, étant les premiers termes de la suite (s n ) N précédemment définie). La figure suivante représente les graphes de ces trois applications. 45

Figure 8 Graphes des applications g s1, g s et g 4 s 3 Nous choisissons une portion du graphe de g a (notée Q 1 (a) sur la figure 8) et une de g 4 a (notée Q (a) sur la figure 8). Puis, nous agrandissons ces deux portions, nous les retournons si nécessaire et nous obtenons le résultat suivant. Figure 9 Agrandissements de Q 1 (a) et Q (a) Nous retrouvons dans les deux cas le graphe de l application logistique g a. Choisir une portion de graphe centrée sur un point fixe revient à choisir une portion du diagramme de bifurcation. Nous choisissons une portion du diagramme de bifurcation. 46

Figure 30 Choix d une portion du diagramme de bifurcation Nous agrandissons et retournons cette portion et nous obtenons une copie quasi-identique du diagramme de bifurcation (voir figure 31). Ce premier agrandissement correspond à l agrandissement de Q 1 (a) précédemment défini. Figure 31 Premier agrandissement Nous répétons cette manipulation sur la copie obtenue. Ceci correspond à l agrandissement de Q (a) précédemment défini, et nous obtenons encore une fois une copie du diagramme de bifurcation, comme le montre la figure suivante. 47

Figure 3 Deuxième agrandissement Nous pouvons répéter ces agrandissement une infinité de fois, nous obtiendrons toujours une copie du diagramme de bifurcation. 48

Bibliographie 1. Lectures on Fractal Geometry and Dynamical Systems de Yakov Pesin et Vaughn Climenhaga. American Mathematical Society Mathematics Advanced Study Semesters. textbflecture 1, Lecture, Lecture 5.. Fractals for the classroom Part two Complex systems and Mandelbrot set de Peitgen, Jürgens, Saupe. Springler-Verlag. Chapters 11.1, 11., 11.3. 3. La theorie du chaos de James Gleick. Champs Sciences. Les hauts et les bas de la vie p.91. 49