Devoir Surveillé 1 - Mercredi 10 Octobre Exercice 1 Démonstration du théorème de Thalès par les aires On considère un triangle ABC, N un point de [AC] et M un point de [AB] tels que (MN) soit parallèle à (BC). Le but de cet exercice est de démontrer l égalité AM = AN. AB AC 1. Construire la figure à la règle et au compas. Expliquer la construction.. Soit I le point d intersection de (AB) et de la perpendiculaire à (AB) passant par C. Après avoir calculé les aires A AMC et des triangles AMC et ABC, montrer que A AMC = AM. AB 3. Soit J le point d intersection de (AC) et de la perpendiculaire à (AC) passant par B. De la même façon que précédement, montrer que A ANB = AN. AC 4. (a) Expliquer pourquoi les triangles BMC et BNC ont des aires égales. (b) Expliquer pourquoi les aires des triangles AMC et ANB sont elles aussi égales. (c) Que dire alors des quotients A AMC (d) Conclure. et A ANB? Exercice On considère ABC un triangle isocèle en A et E le symétrique de B par rapport à A. 1. Construire la figure à la règle et au compas. Expliquer la construction.. Quelle est la nature du triangle BCE? Justifier. 3. Montrer que ÊAC = ÂBC. 4. Soient C le cercle de centre C et tangent à la droite (EB) et C le cercle de centre E et tangent à la droite (BC). Les cercles C et C se coupent en F et G. (a) Construire F et G. (b) Quelle est la nature des triangles EF G et CGF? Justifier. (c) Montrer que les droites (F G) et (BC) sont parallèles. Exercice 3 On considère deux droites D et D sécantes en O. 1. (a) Rappeler la définition des bissectrices d un couple de droites sécantes. (b) Construire à la règle et au compas les bissectrices, notées 1 et, de D et D. Expliquer la construction.. Le cercle C de centre O et de rayon R coupe D en deux points A et B et D en C et D. (a) Que dire du quadrilatère ACBD? Justifier. (b) On note E, F, G, H les milieux des [AC], [CB], [BD] et [DA]. Démontrer que le quadrilatère EF GH est un losange.
Devoir Maison - A rendre le Mardi 13 Novembre Exercice 1 On considère un parallélogramme ABCD de centre S. 1. Construire le point F, symétrique de D par rapport à B, et le point E, symétrique de A par rapport à C. On expliquera (sans justifier) comment on obtient ces points.. En considérant le triangle SEF, montrer que les droites (CB) et (EF ) sont parallèles. 3. La droite (CB) coupe la droite (AF ) en K. Justifier que K est le milieu de [AF ]. 4. Quel point particulier représente B dans le triangle AF C? Justifier votre réponse. 5. Prouver que la droite (AB) coupe le segment [CF ] en son milieu L. Exercice On considère un cercle C, de centre O, et [AB] un diamètre de ce cercle. 1. Construire la médiatrice du segment [OB]. Expliquer et justifier. On note D et E les deux points d intersection de la médiatrice avec le cercle C.. Etablir que (OB) est la médiatrice de [DE]. 3. En déduire que le triangle ADE est isocèle en A. 4. Est-il équilatéral? Justifier. Exercice 3 Soit ABCD un carré et E un point de [BC], distinct de B et C. 1. Construire le cercle circonscrit C au triangle ACE. On note O le centre de C et F le point d intersection de C et de (CD) qui est différent de C.. Montrer que les points E, O et F sont alignés. 3. On note r la rotation de centre A et d angle π. (a) Montrer que r(b) = D. (b) Montrer que r((bc)) = (CD). (c) Montrer que le triangle AEF est rectangle en A. (d) En déduire que r((ae)) = (AF ). Justifier. 4. Déduire des questions 3.(b) et 3.(d) que r(e) = F. 5. Montrer que BE = DF. Exercice 4 Un triangle ABC orthomédian selon A et B est un triangle dont les médianes issues de A et B sont perpendiculaires. 1. Proposer une construction et construire un triangle ABC orthomédian selon A et B.. Exprimer la somme des carrés des deux cotés CA + CB en fonction du carré du troisième AB. Justifier.
Devoir Surveillé - Mercredi 5 Décembre Exercice 1 On considère un cercle C de centre O et de rayon 1. Pour chaque question, on fera une figure différente. On pourra aussi prendre un cercle de rayon plus grand que 1 pour le tracé des figures. 1. (a) Construire un triangle équilatéral ABC inscrit dans le cercle C. Expliquer la construction. (b) Montrer que AB AC = 3. Justifier.. (a) Construire un carré DEF G inscrit dans le cercle C. Expliquer la construction. (b) Montrer que DE DF DG = 4. Justifier. 3. (a) Construire un hexagone HIJKLM inscrit dans le cercle C. Expliquer la construction. (b) Montrer que HI HJ HK HL HM = 6. 4. (a) Construire un pentagone N P QRS inscrit dans le cercle C. Expliquer la construction. (b) Quelle conjecture peut-on émettre sur la valeur du produit NP NQ NR NS? On ne demande pas de démontrer la conjecture. Exercice Soit 0 < x < 8 un réel. Soit ABC un triangle tel que AB = AC = 8 cm et BC = 4 cm. Considérons M un point de [AB] et N un point de [AC] tels que AM = AN = x cm. 1. Construire la figure pour une valeur quelconque de x.. Quelle est la nature du triangle AMN? Justifier. 3. Rappeler la définition d un trapèze isocèle. 4. Montrer que le quadrilatère BMNC est un trapèze isocèle. Justifier. 5. Soit I le milieu de [BC] et J le milieu de [MN]. Montrer que les points A, J et I sont alignés. Justifier. 6. Calculer la longueur AI puis l aire. 7. Calculer en justifiant la longueur MN et la longueur AJ. En déduire l aire A AMN. 8. Exprimer l aire A BMNC en fonction de et de A AMN. 9. Déterminer la valeur de x pour laquelle A BMNC = A AMN.
Examen terminal : Géométrie plane et dans l espace La durée du devoir est de 1h30. Les documents et les téléphones portables sont interdits. La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation et des explications dans la notation. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. Exercice 1 On considère deux cercles C et C de centres respectifs O et O sécants en deux points distincts A et B. On note A le symétrique de A par rapport à O et B le symétrique de B par rapport à O. Enfin, on note I le milieu du segment [AB]. 1. Construire la figure.. Quelle est la nature du quadrilatère AB BA? Justifier. 3. Démontrer que (OO ), (AB ) et (A B) sont trois droites parallèles. 4. Montrer la relation : OO = AB + A B. Exercice On considère dans l espace un cube ABCDEF GH tel que AE soit une arrête et AE = 1. 1. Soit I le milieu du segment [HG]. Quelle est la nature du triangle ABI? Justifier.. Soit K le milieu du segment [AB]. Montrer que (IK) et (AB) sont perpendiculaires. Justifier. 3. Calculer l aire A ABI. 4. Notons J le centre du carré ADHE. Calculer la longueur IJ. 5. Notons L le centre du carré BCGF. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL? Justifier. 6. En déduire que les droites (JL) et (AB) sont parallèles. Justifier. 7. La pyramide ADHEL est-elle régulière? Justifier. 8. Calculer le volume de la pyramide ADHEL. Exercice 3 Calcul d une valeur approchée de π On considère un cercle C de rayon 0.5. 1. Construire le carré ABCD inscrit dans le cercle C. On prendra pour le tracé de la figure un cercle de rayon plus grand que 0.5.. Calculer la longueur AB. En déduire le périmètre de ABCD (valeur exacte et approchée). 3. La médiatrice du segment [AB] coupe le segment [AB] au point K et le cercle C au point I (appartenant au plus petit arc de cercle entre A et B). (a) Justifier que les points O, K et I sont alignés. (b) Calculer les longueurs OK et KI. (c) Montrer que IA = 1 1 1. (d) En déduire, en justifiant, le périmètre d un octogone (n = 8) inscrit dans le cercle C (valeur exacte et approchée).
4. La médiatrice du segment [IA] coupe le cercle C au point J (appartenant au plus petit arc de cercle entre A et I). En faisant le même raisonnement qu à la question 3., on peut montrer que (ceci n est pas à démontrer) : AJ = 1 1 1 IA 0.1951. (a) En déduire une valeur approchée du périmètre d un hexadécagone (n = 16) inscrit dans le cercle C. (b) De quel nombre connu semble se rapprocher le périmètre du polygone? Expliquer pourquoi.