Nom : Groupe : ate : hapitre 6 : Test 1 1. Un triangle possède les caractéristiques suivantes : m = 19 mm m = 17 mm m = 49 Pour chaque triangle décrit ci-dessous, indique s il est nécessairement semblable au triangle. Justifie ta réponse. onditions minimales de similitude de triangles a) Un triangle F possédant les caractéristiques suivantes : m F = 89 m F = 49 Non, car ces deux triangles n ont qu un angle isométrique. b) Un triangle GHI possédant les caractéristiques suivantes : m HGI = 49 m GH = 34 cm m HI = 38 cm Non, car dans l un des deux triangles, l angle isométrique n est pas compris entre les côtés dont les mesures sont proportionnelles. c) Un triangle JKL possédant les caractéristiques suivantes : m JK = 190 cm m JL = 170 cm m K JL = 49 Oui, car les deux triangles ont un angle isométrique compris entre deux côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles. d) Un triangle MNO possédant les caractéristiques suivantes : m MN = 5,1 cm m MO = 5,7 cm m ON = 7 cm Non, il manque au moins une information. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 1 Intersection SN Guide TSTS
Nom : Groupe : ate : JP-SN-6-test1-... 2. ans la figure ci-contre, les segments et sont parallèles. 40 cm Quelle est la mesure du segment? Recherche de mesures manquantes 1 13,5 cm 3 4,5 cm 30 cm 30 cm 40 2 24 cm 4 6 cm 4 18 cm 40 cm 18 cm 30 cm 01 01 18 cm 3. Soit le triangle rectangle ci-contre. étermine, parmi les relations suivantes, laquelle est vraie. Relations métriques dans le triangle rectangle 1 c 2 = n(n + m) 3 h 2 = m(b - m) c 01 h a 2 h 2 = n b 4 n 2 = a b m n 3 b c 4. Un segment mesurant 17 unités est tracé dans le premier quadrant d un plan cartésien. Les coordonnées du point sont (2, 3) et les coordonnées du point sont (10, r). Quelle est la valeur de mr? istance entre deux points b n utilisant la formule d(, ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 T, on obtient : 17 = (10 2) 2 + (r 3) 2 02 02 h n 289 = 64 + (r 3) 2 Y 225 = (r 3) 2 V T 78 cm 24 cm On a donc : W r 3 = - 15 ou r 3 = 15 U S RY 90 cm 60 cm r = - 12 ou r = 18 V 78 cm Ici, r = - 24 cm 12 est à rejeter puisqu on est dans le premier quadrant d un plan cartésien. W La valeur de r est donc 18. U S R 90 cm 60 cm 03 04 03 2 TSTS Intersection SN Guide Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc.
Nom : Groupe : ate : 5. Voici quatre paires de triangles. onditions minimales de similitude de triangles 1 Les triangles et 3 Les triangles F et HGF, dont les segments et HG sont parallèles F G H 2 Les triangles rectangles IJK et LMI, dont les segments KI et IL sont perpendiculaires K J 20 cm 5 cm I L M a) Indique la paire ou les paires qui sont constituées de triangles semblables. Les triangles IJK et LMI ( 2 ) ainsi que les triangles F et HGF ( 3 ) 4 Les triangles rectangles NOP et QPN 8 cm O 6 cm P N 24 cm Q b) Pour chaque paire constituée de triangles semblables, indique la condition minimale de similitude de triangles qui est respectée. pour les triangles IJK et LMI ( 2 ) ainsi que pour les triangles F et HGF ( 3 ) c) alcule le rapport de similitude lorsque c est possible. Pour les triangles IJK et LMI ( 2 ), le rapport de similitude est 4 ou 0,25. Pour les triangles F et HGF ( 3 ), il est impossible de déterminer le rapport de similitude. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 3 Intersection SN Guide TSTS
Nom : Groupe : ate : 02 6. ans la figure ci-contre, TS // VU. Quelle est la mesure du segment YT? Recherche de mesures manquantes T Y S V 78 cm W U 90 cm 60 cm 24 cm R ffirmation 1. WRU YRS 2. m RU m RS = 60 150 = 2 5 m RW m RW + 78 = 2 5 m RW = 52 cm 3. WRV YRT 4. m RW m RY = 52 130 = 2 5 24 m YT = 2 5 m YT = 60 cm Justification 03 Une droite parallèle à celle qui supporte le côté d un triangle détermine des triangles semblables (théorème de Thalès). ans des triangles semblables, les côtés homologues ont des mesures proportionnelles. Une droite parallèle à celle qui supporte le côté d un triangle détermine des triangles semblables (théorème de Thalès). ans des triangles semblables, les côtés homologues ont des mesures proportionnelles. La mesure du segment YT est de 60 cm. 7. La figure ci-contre représente une «spirale de Pythagore» construite à partir d un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés isométriques mesurent 2 dm. ette spirale est composée de trois triangles rectangles dont au moins l une des cathètes mesure 2 dm. 2 dm 2 dm F ans le triangle, quelle est la mesure de la projection de la cathète sur l hypoténuse? xplique ta réponse. 2 dm Relations métriques dans le triangle rectangle 2 dm alculer l hypoténuse du triangle rectangle à l aide de la relation de Pythagore : on trouve que la mesure du segment est d environ 2,83 dm ( 8). alculer l hypoténuse du triangle rectangle à l aide de la relation de Pythagore : on trouve que la mesure du segment est d environ 3,46 dm ( 12). 4 TSTS Intersection SN Guide Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc.
Nom : Groupe : ate : (suite) alculer l hypoténuse du triangle rectangle à l aide de la relation de Pythagore : on trouve que la mesure du segment est de 4 dm. alculer la mesure de F : (m ) 2 = m F m 2 2 = m F 4 1 = m F ans le triangle, la projection de la cathète sur l hypoténuse mesure 1 dm. 8. L hypoténuse du triangle rectangle mesure 30 cm. La hauteur issue du sommet arrive sur l hypoténuse au point de telle sorte que le segment est neuf fois plus grand que le segment. Quelle est la différence entre le périmètre du triangle et celui du triangle? Justifie ta réponse. 30 cm Hauteur relative à l hypoténuse et relations métriques dans le triangle rectangle Soit x, la mesure du segment et 9x, la mesure du segment. alculer la mesure des segments et : 9x + x = 30 10x = 30 x = 3 Si x = 3, le segment mesure 3 cm et le segment mesure 27 cm. alculer la mesure du segment : (m ) 2 = 3 27 m = 81 m = 9 Le segment mesure 9 cm. alculer la mesure du segment : (m ) 2 = 3 30 m = 90 m 9,49 Le segment mesure environ 9,49 cm. alculer la mesure du segment : (m ) 2 = 27 30 m = 810 m 28,46 Le segment mesure environ 28,46 cm. alculer le périmètre du triangle rectangle : P 27 + 9 + 28,46 64,46 Le périmètre du triangle est d environ 64,46 cm. alculer le périmètre du triangle rectangle : P 3 + 9 + 9,49 21,49 Le périmètre du triangle est d environ 21,49 cm. alculer la différence entre le périmètre des deux triangles : P P 64,46 21,49 42,97 La différence entre le périmètre du triangle et celui du triangle est d environ 42,97 cm. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 5 Intersection SN Guide TSTS
Nom : Groupe : ate : 9. Les dimensions d un terrain de soccer rectangulaire FG sont 64 m sur 120 m. Jonathan se déplace du point à la diagonale F à une vitesse moyenne de 5 m/s. Son trajet est perpendiculaire à la diagonale F. n combien de secondes effectue-t-il ce déplacement? Relations métriques dans le triangle rectangle F 120 m G 64 m alculer la mesure du segment F en appliquant la relation de Pythagore dans le triangle F : (m F) 2 = (m ) 2 + (m F) 2 (m F) 2 = 120 2 + 64 2 m F = 136 Le segment F mesure 136 m. alculer la mesure du segment H : m F m H = m m F 136 m H = 120 64 m H 56,47 Le segment H mesure environ 56,47 m. alculer le temps nécessaire pour effectuer le déplacement : t 56,47 5 11,29 Jonathan effectue ce déplacement en environ 11 s. 10. ans la figure ci-contre, le segment mesure 5 unités. Le segment est parallèle au segment. Quelle est la mesure du segment? y 15 (14, 17) Recherche de mesures manquantes et distance entre deux points 10 5 (2, 1) (19, 5) 0 5 10 15 20 x On calcule la mesure du segment et du segment en utilisant la formule de la distance entre deux points. On trouve que les segments et mesurent respectivement 20 et 13 unités. Le segment mesure donc 15 unités (20 5 = 15). Si les segments et sont parallèles, les triangles et sont alors semblables, car une droite parallèle à celle qui supporte le côté d un triangle détermine des triangles semblables. alculer la mesure du segment : m m = 15 20 = 3 4 ffirmation m 13 = 3 4 m = 9,75 unités Justification ans des triangles semblables, les côtés homologues ont des mesures proportionnelles. La mesure du segment est de 9,75 unités. 6 TSTS Intersection SN Guide Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc.
Nom : Groupe : ate : 11. es acrobaties ommuniquer à l aide du langage mathématique (3) Interprétation Production Validation Échelle : Très satisfaisant Satisfaisant Partiellement satisfaisant Insatisfaisant Nettement insatisfaisant ou incomplet Un metteur en scène qui prépare un spectacle de cirque achète un énorme cerceau en métal dont le diamètre est de 8 m. Il désire ajouter des tiges métalliques à son cerceau pour effectuer un numéro d acrobaties. Pour ce faire, il demande une soumission à quelques soudeurs. Le patron de l entreprise de soudure pour laquelle tu travailles à temps partiel a reçu le plan suivant du metteur en scène ainsi que ses exigences. O Le point O est le centre du cerceau. es tiges métalliques doivent former un triangle rectangle dont l un des côtés doit être le diamètre du cerceau. Les sommets du triangle doivent être soudés au cerceau. Pour bien supporter les personnes qui effectueront le numéro, il faut ajouter deux tiges de métal perpendiculaires au diamètre du cercle ( et O). L espace disponible entre les points et doit être de 2,5 m exactement. Ton patron te demande de préparer la soumission. Tu sais que le prix de chaque mètre de tige métallique est de 12 $. Pour couvrir les frais de main-d œuvre et de matériaux, tu factures également 50 $ par soudure. Puisque le travail doit être réalisé chez le client, tu dois ajouter 150 $ pour les frais de déplacement de l équipe de soudeurs. La soumission que tu prépares pour le metteur en scène servira aussi de plan de travail pour les soudeurs qui effectueront le travail si ton entreprise est retenue. Prends donc soin d indiquer la longueur de tous les segments et arrondis ces mesures au dixième de mètre près. Rappelle-toi que tu ne seras pas sur les lieux lorsque tes collègues iront effectuer le travail. Je trouve la mesure du segment : 8 2,5 = 5,5 Le segment mesure 5,5 m. Je trouve la mesure du segment O : Puisque le diamètre mesure 8 m, le rayon mesure 4 m. Le segment O mesure 4 m. Je trouve ensuite la mesure du segment (hauteur relative à l hypoténuse dans le triangle ) : m 2 = 2,5 5,5 m 3,7 Le segment mesure environ 3,7 m. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 7 Intersection SN Guide TSTS
Nom : Groupe : ate : (suite) J applique la relation de Pythagore dans le triangle afin de calculer la mesure du segment. e segment mesure environ 4,47 m. J applique la relation de Pythagore dans le triangle afin de calculer la mesure du segment. e segment mesure environ 6,63 m. Les triangles et O sont semblables, car la condition minimale de similitude est respectée. n effet, ils ont chacun un angle droit et un angle isométrique (les angles et O sont tous les deux complémentaires à l angle ). J établis une proportion entre les côtés homologues de ces deux triangles semblables : m m O = m m O 2,5 m O 3,7 4 Le segment O mesure environ 2,7 m. J applique la relation de Pythagore dans le triangle O afin de calculer la mesure du segment. e segment mesure environ 4,8 m. Je calcule la longueur totale de tige métallique à ajouter : 8 + 4,5 + 6,6 + 3,7 + 2,7 = 25,5 Il faut ajouter 25,5 m de tige métallique. Je calcule le prix de la tige métallique : 25,5 12 = 306 Le coût de la tige métallique est de 306 $. Je calcule le prix des 6 soudures nécessaires (aux points,,,, et O) : 6 50 = 300 Le prix des soudures est de 300 $. Je calcule le total de la soumission : oût du déplacement + coût de la tige + coût des soudures = 150 + 306 + 300 = 756 Le coût total de la soumission est de 756 $. Voici la mesure de chacun des segments : m = 8 m m = 2,5 m, m O = 1,5 m et m O = 4 m m = 4,47 m m = 6,63 m m = 1,8 m et m = 4,83 m m = 3,7 m m O = 2,7 m 8 TSTS Intersection SN Guide Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc.
Nom : Groupe : ate : 12. La colonie de vacances éployer un raisonnement mathématique (2) nalyse et conjecture oncepts et processus émonstration et preuve ommunication Échelle : Très satisfaisant Satisfaisant Partiellement satisfaisant Insatisfaisant Nettement insatisfaisant ou incomplet epuis quelques années, aroline organise une activité de financement pour la colonie de vacances qui l emploie durant l été. lle conçoit sept épreuves différentes alliant sport, culture et logique. haque équipe doit se déplacer à la course à pied pour se rendre d une épreuve à l autre. aroline a un plan du terrain sur lequel se déroulera son activité. lle connaît la mesure de quelques sentiers reliant les sites où ont lieu les épreuves. Les sentiers et HG, et F ainsi que les sentiers et F sont parallèles. Huit sites sont disponibles sur le terrain pour organiser les épreuves. Les années précédentes, les épreuves avaient lieu sur les sites,,,,, F et H. ette année, aroline veut organiser une nouvelle épreuve sur le site G. lle aimerait aussi éliminer le site et obliger les équipes à traverser à la nage le lac qui sépare les épreuves et. insi, le parcours serait,,,, F, G et H. 250 m 600 m H 125 m Lorsqu elle présente son projet aux membres du comité organisateur, ces derniers lui disent qu ils sont prêts à effectuer les modifications à condition que le nouveau parcours mesure au moins 350 m de moins (course et nage) que celui des années précédentes. Le parcours sera-t-il modifié? Justifie ta réponse. F 542 m G 390 m 1 000 m 720 m Oui, le parcours sera modifié. n voici la justification. Trouver la mesure des segments FG, HF et F : ffirmation 1. HGF 2. m m HG = 1 000 125 = 8 720 m FG = 8 m FG = 90 m Justification Une droite parallèle à celle qui supporte le côté d un triangle détermine des triangles semblables (théorème de Thalès). ans les triangles semblables, les côtés homologues ont des mesures proportionnelles. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 9 Intersection SN Guide TSTS
Nom : Groupe : ate : (suite) 3. ffirmation m m HG = 1000 125 = 8 600 m HF = 8 m HF = 75 m 4. m F = m m H m HF m F = 600 250 75 m F = 275 m Justification ans les triangles semblables, les côtés homologues ont des mesures proportionnelles. Par soustraction des mesures des segments alculer la mesure du segment : Le quadrilatère F est un parallélogramme, car il est formé de deux paires de côtés parallèles. Le segment mesure 275 m. alculer la distance que devra parcourir chaque équipe : istance = m + m + m + m F + m FG + m GH = 542 + 275 + 390 + 275 + 90 + 125 = 1 697 haque équipe devra parcourir 1 697 m cette année. alculer la distance que devait parcourir chaque équipe les années précédentes : istance = m + m + m F + m FH = 1 000 + 720 + 275 + 75 = 2 070 haque équipe devait parcourir 2 070 m les années précédentes. ifférence entre la longueur du nouveau parcours et celle du parcours des années précédentes : 2 070 1 697 = 373 La différence est de 373 m. Le parcours proposé par aroline mesure 373 m de moins que celui des années précédentes. Les membres du comité organisateur accepteront donc d apporter les modifications proposées par aroline. 10 TSTS Intersection SN Guide Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc.
Nom : Groupe : ate : 13. On double? 01 02 éployer un raisonnement mathématique (2) nalyse et conjecture oncepts et processus émonstration et preuve ommunication T Échelle : Très satisfaisant Satisfaisant Partiellement satisfaisant Insatisfaisant Nettement insatisfaisant ou incomplet ans la figure ci-contre, le triangle est isocèle ( ), le segment Y est la hauteur relative à l hypoténuse du triangle, et les segments V et sont isométriques. Montre 78 cm que la mesure du 24 cm segment est le double de celle Wdu segment. S U 90 cm 60 cm R Soit x, la mesure du segment, et 2x, la mesure du segment et du segment. Par la relation de Pythagore dans le triangle, on détermine que la mesure du segment est 5x. On trouve la mesure du segment : x 2x = 5x m 2x 2 = 5x m 2x 5 = m Le segment mesure 2x 5. On trouve la mesure du segment : x 2 = 5x m x 5 = m Le segment mesure x 5. 03 04 La mesure du segment est le double de celle du segment. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 11 Intersection SN Guide TSTS
Nom : Groupe : ate : 14. Il faut partir à point Résoudre une situation-problème (1) ompréhension Solution Validation ommunication Échelle : Très satisfaisant Satisfaisant Partiellement satisfaisant Insatisfaisant Nettement insatisfaisant ou incomplet Les maisons de Laurent (L), de Martin (M) et de Paul (P) sont situées sur la rue principale LM d un village. ette rue est rectiligne. Nao (N) habite dans le même village et il peut emprunter une rue différente pour se rendre chez Laurent, chez Paul ou chez Martin. Les maisons des quatre amis sont représentées dans le plan cartésien gradué en mètres ci-contre. La rue permettant de se rendre de chez Nao jusque chez Paul est perpendiculaire à la rue principale. À 19 h, Laurent part de chez lui à bicyclette pour se rendre chez Martin en empruntant la rue principale. n temps normal, il fait ce trajet à une vitesse moyenne de 106 m/min, mais aujourd hui, il le fait en 3 minutes de moins que son temps habituel. u même moment, Nao part de chez lui à la course pour se rendre chez Martin en empruntant la rue NM. Il se déplace à une vitesse de 125 m/min de moins que celle de Laurent aujourd hui. Laurent et Nao arrivent en même temps chez Martin. Si Laurent et Nao avaient plutôt décidé de se rendre chez Paul en partant de leur domicile respectif, en empruntant le chemin le plus court et en se déplaçant à la même vitesse que dans la situation précédente, qui serait arrivé chez Paul le premier et combien de temps avant l autre? y 100 M(138, 264) N( 30, 40) 100 P L(330, 230) x À l aide de la formule d(, ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, on détermine que les segments MN, LN et LM mesurent respectivement 280 m, 450 m et 530 m. On vérifie si le triangle LMN est rectangle. est en effet le cas, car, en appliquant la relation de Pythagore, on trouve que 280 2 + 450 2 = 530 2. Le segment NP est donc la hauteur relative à l hypoténuse du triangle LMN. On trouve la mesure de NP : 530 m NP = 280 450 m NP 237,74 Le segment NP mesure environ 237,74 m. On trouve la mesure de LP : 450 2 = m LP 530 m LP 382,08 Le segment LP mesure environ 382,08 m. 12 TSTS Intersection SN Guide Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc.
Nom : Groupe : ate : (suite) Sachant que le temps est égal à la distance divisée par la vitesse, on peut calculer le temps que met habituellement Laurent pour se rendre chez Martin : t = 530 106 = 5 Laurent met habituellement 5 minutes pour se rendre chez Martin. ujourd hui, il fait le trajet en 2 minutes. On peut donc calculer la vitesse à laquelle il se déplace aujourd hui, sachant que la vitesse est égale à la distance divisée par le temps : v = 530 2 = 265 Laurent se déplace aujourd hui à une vitesse de 265 m/min. Nao se déplace donc à une vitesse de 140 m/min. On calcule le temps qui leur est nécessaire pour se rendre chez Paul : Laurent : t 382,08 265 1,44 Laurent mettra environ 1,44 minute pour se rendre chez Paul. Nao : t 237,74 140 1,7 Nao mettra environ 1,7 minute pour se rendre chez Paul. est Laurent qui arrivera le premier chez Paul, et il y sera environ 0,26 minute avant Nao. Reproduction autorisée Les Éditions de la henelière inc. 13 Intersection SN Guide TSTS