Chapitre III Fonctions hyperboliques et applications réciproques A Fonctions hyperboliques directes A. Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On va définir de nouvelles fonctions inspirées notamment par les formules d Euler concernant les fonctions sinus et cosinus. A.. Définition On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R R, x sh x ex e x. On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R R, x ch x ex + e x. A.. Remarques La fonction sh est impaire. En effet, elle est définie sur R et, pour tout x R, on a sh( x) e x e ( x) e x + e x sh x. Le graphe de la fonction sh admet donc l origine pour centre de symétrie ; en particulier, on a sh. La fonction ch est paire. En effet, elle est définie sur R et, pour tout x R, on a ch( x) e x + e ( x) e x + e x ch x.
38 Chapitre III - Fonctions hyperboliques et applications réciproques Le graphe de la fonction ch admet donc l axe des ordonnées pour axe de symétrie. Pour tout x R, on a ch x sh x. En effet, pour tout x R, on a ( e ch x sh x + e x ) ( e x e x ) ( e x ) + e x e x + ( e x) ( e x ) e x e x + ( e x) x 4 4 d où ch x sh x 4ex e x Pour tout x R, on a ch x. En effet, soit x R, on a e x > et e x > donc ch x >. D autre part, la relation ch x + sh x donne ch x donc ch x ou ch x. Comme ch x >, c est donc que ch x. 4. A..3 La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch. La fonction ch est dérivable sur R et sa dérivée est sh. La fonction exponentielle est dérivable sur R, de même que la fonction x e x, donc les fonction ch et sh sont dérivables sur R (ce sont des sommes de fonctions dérivables). Pour tout x R, on a [ e sh x e x ] e x ( e x) x i.e. sh ch. De même, pour tout x R, on a i.e. ch sh. [ e ch x + e x ] e x + ( e x) x ex + e x ex e x ch x sh x Passons à l étude des variations de ces deux fonctions. Pour la fonction sh, il suffit de l étudier sur [, + [ puisqu il s agit d une fonction impaire. La dérivée de sh est ch et on a vu que ch x > pour tout x R donc sh est strictement croissante sur R. On a ch donc le graphe de sh admet la droite d équation y x pour tangente en. Étudions la position du graphe par rapport à cette tangente. Il convient donc d étudier le signe de la fonction f(x) sh x x, cette fonction est dérivable, de dérivée f (x) ch x. La fonction f est donc croissante sur R or f() donc f(x) pour tout x i.e. le graphe de sh est situé au-dessus de la droite pour x et en-dessous de pour x. En ce qui concerne les limites, on a e x + et e x donc sh x maintenant si le graphe admet une asymptote en + ; pour tout x >, on a +. Cherchons sh x x ex e x x e x }{{} x + e x }{{} x +. On dit que le graphe de sh admet en + une branche parabolique de direction l axe des ordonnées.
A - Fonctions hyperboliques directes 39 On peut préciser ce résultat puisque sh x ex e x i.e. le graphe de sh et celui de la courbe C d équation y ex étant, le graphe de sh est situé en-dessous de C. sont asymptotes en + ; de plus, la limite On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe. x + sh x chx + + shx + C Pour la fonction ch, il suffit là aussi de l étudier sur [, + [ puisqu il s agit d une fonction paire. La dérivée de ch est sh et on a vu que sh x > pour x > donc ch est strictement croissante sur ], + [. On a sh donc le graphe de sh admet la droite d équation y pour tangente en. Comme ch x pour tout x, le graphe de ch est situé au-desus de. En ce qui concerne les limites, on a e x + et e x donc ch x +. De même que pour la fonction sh, le graphe de ch admet en + une branche parabolique de direction l axe des ordonnées ; plus précisément, on a ch x ex e x +
4 Chapitre III - Fonctions hyperboliques et applications réciproques i.e. le graphe de ch et celui de la courbe C d équation y ex graphe de ch est situé au-dessus C. sont asymptotes en + ; de plus, le On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe. x + ch x shx + + + chx C A. Tangente hyperbolique Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s annule pas permet d introduire la fonction suivante : A.. Définition On appelle fonction tangente hyperbolique la fonction th : R R, x th x sh x ch x ex e x e x + e x. A.. Remarques La fonction th est impaire. En effet, elle est définie sur R et, pour tout x R, on a th( x) sh( x) ch( x) sh x th x. ch x Le graphe de la fonction th admet donc l origine pour centre de symétrie ; en particulier, on a th. Pour tout x R, on a th x ch x. En effet, pour tout x R, on a th x sh x ch x ch x sh x ch x ch x.
A - Fonctions hyperboliques directes 4 On rencontre parfois la fonction cotangente hyperbolique qui est la fonction x pas définie en ). th x (mais qui n est A..3 La fonction th est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par : th (x) th x ch x. Les fonctions sh et ch sont dérivables sur R et la fonction ch est définie sur tout R donc le quotient th sh ch définit bien une fonction dérivable sur R. Pour tout x R, on a th x [ sh x ] sh x ch x sh x ch x ch x ch ch x sh x x ch x ch x. Passons à l étude des variations. Il suffit d étudier th sur [, + [ puisqu il s agit d une fonction impaire. La dérivée de th est ( ch) donc th est strictement croissante sur R. On a ch donc le graphe de th admet la droite d équation y x pour tangente en. Étudions la position du graphe par rapport à cette tangente. Il convient donc d étudier le signe de la fonction g(x) th x x, cette fonction est dérivable, de dérivée g (x) ( th x). La fonction g est donc décroissante sur R or g() donc g(x) pour tout x i.e. le graphe de th est situé en-dessous de la droite pour x et au-dessus de pour x. En ce qui concerne les limites, on a : mais e x vers. Donc lim th x ex e x ex e x e x e x + e x e x + e x + e x donc le numérateur et le dénominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux th x. Il s ensuit que le graphe de th admet la droite d équation y pour asymptote en + (donc, par imparité, il admet la droite d équation y pour asymptote en ). On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe. x + th x ch x + + thx
4 Chapitre III - Fonctions hyperboliques et applications réciproques B Fonctions hyperboliques réciproques B. Réciproque de la fonction sinus hyperbolique La fonction sh est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque. B.. Définition On appelle fonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh : R R, x Argsh x, l application réciproque de la fonction sinus hyperbolique. B.. Remarque Pour tout x R, on a sh ( Argsh x ) x et Argsh ( sh x ) x. Les variations de la fonction Argsh sur R sont les mêmes que celles de la fonction sh sur R. x + + Argsh x B..3 La fonction Argsh est dérivable sur R et pour tout x R, Argsh (x) + x. En effet, pour tout x R, on a Argsh (x) Mais la fonction ch est positive donc on peut écrire sh (Argsh x) ch(argsh x). Argsh (x) ch (Argsh x) + sh (Argsh x) et la conclusion vient du fait que sh(argsh x) x.
B - Fonctions hyperboliques réciproques 43 B. Réciproque de la fonction cosinus hyperbolique La fonction ch est continue et strictement croissante sur [, + [, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image [, + [ et on peut définir son application réciproque. B.. Définition On appelle fonction argument cosinus hyperbolique, et on note Argch : [, + [ [, + [, x Argch x, l application réciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique à l intervalle [, + [. B.. Remarques Pour tout x, on a ch ( Argch x ) x. Pour tout x, on a Argch ( ch x ) x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l expression Argch ( ch x ) est définie pour tout x R mais ne vaut exactement x que lorsque x. Les variations de la fonction Argch sur [, + [ sont les mêmes que celles de la fonction ch sur [, + [. x + Argch x + B..3 La fonction Argch est dérivable sur ], + [ et pour tout x R, Argch (x) x. En effet, pour tout x R, on a Argch (x) ch (Argch x) sh(argch x). Mais Argch x et la fonction sh est positive sur [, + [ donc sh(argch x) et on peut écrire Argch (x) sh (Argch x) ch (Argch x) et la conclusion vient du fait que ch(argch x) x.
44 Chapitre III - Fonctions hyperboliques et applications réciproques B.3 Réciproque de la fonction tangente hyperbolique La fonction th est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image ], [ et on peut définir son application réciproque. B.3. Définition On appelle fonction argument tangente hyperbolique, et on note Argth :], [ R, x Argth x, l application réciproque de la fonction tangente hyperbolique. B.3. Remarques Pour tout x ], [, on a th ( Argth x ) x. Pour tout x R, on a Argth ( th x ) x. Les variations de la fonction Argth sur ], [ sont les mêmes que celles de la fonction th sur R. x Argth x + B.3.3 La fonction Argth est dérivable sur ], [ et pour tout x ], [, Argth (x) x. En effet, pour tout x ], [, on a Argth (x) et la conclusion vient du fait que th(argth x) x. th (Argth x) th (Argth x).
C - Identités et relations 45 C Identités et relations C. Quelques formules de trigonométrie hyperbolique Les formules de trigonométrie classiques ont des analogues en «trigonométrie hyperbolique». Outre la formule ch a sh a, on a par exemple d où l on déduit ch(a + b) ch a ch b + sh a sh b ch(a b) ch a ch b sh a sh b sh(a + b) sh a ch b + ch a sh b sh(a b) sh a ch b ch a sh b th(a + b) th(a + b) th a + th b + th a th b th a th b th a th b ch(a) ch a + sh a ch a + sh a sh(a) sh a ch a th(a) th a + th a. Notons en outre le lien suivant entre les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques : ch a cos(ia) et sh a i sin(ia). C. Expression des fonctions hyperboliques réciproques avec le logarithme népérien C.. (a) Pour tout x R, on a : Argsh x ln ( x + x + ). (b) Pour tout x, on a : Argch x ln ( x + x ). (c) Pour tout x ], [, on a : Argth x ( + x ) ln. x (a) La relation y sh x signifie y e x e x i.e. ( e x) ye x, d où y sh x { X e x X yx { X e x X y± 4y +4 y ± y +
46 Chapitre III - Fonctions hyperboliques et applications réciproques mais X e x > alors que y y + < donc donc Argsh y ln ( y + + y ). y sh x e x y + y + x ln ( y + y + ) (b) La relation y ch x signifie y e x + e x i.e. ( e x) ye x +, d où y ch x { X e x X yx + { X e x mais on a ln ( y y ) (( y y )( y + y ) ) ln y + y X y± 4y 4 y ± y ( ln y + y alors que la limite devrait être + donc cette solution est exclue. Ainsi, on a y ch x x ln ( y + y ) ce qui signifie que Argch y ln ( y + y ). (c) On pose f(x) ( + x ) ln pour tout x ], [ alors x f (x) ( x) +x x ( x)( + x) x ) y + donc f (x) Argth (x) pour tout x ], [. On en déduit que les deux fonctions f et Argth diffèrent d une constante sur l intervalle ], [ or on a f() ( + ) ln Argth() donc les fonctions f et Argth sont égales sur ], [.