Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 1 TRAVAUX DIRIGES DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL -80 II ème siècle p J-C 153 1609 1666 1916 199 ARISTARQUE de Smos donne une mesure de l terre à l lune et de l terre u soleil Il est le seul à proposer un modèle où le soleil est u centre du monde Dns le modèle de PTOLEMEE, l terre est u centre de l'univers, l lune et le soleil décrivent des cercles utour de l terre, selon un mouvement uniforme Le système de COPERNIC plce le soleil u centre de l'univers Le mouvement pprent des étoiles est dû à l rottion de l terre sur elle même Les lois de KEPLER décrivent le mouvement des plnètes : non uniforme, sur des ellipses NEWTON, pr l loi de l grvittion universelle, donne une "expliction" générle du mouvement des plnètes EINSTEIN, dns l théorie de l reltivité générle, révèle l courbure de l'univers HUBBLE remrque que plus les objets sont éloignés, plus les ries de leur spectre lumineux sont déclées vers le rouge I DISTANCE DE LA TERRE A LA LUNE : Au troisième siècle vnt notre ère, Aristrque de Smos, donn une bonne pprécition de l distnce Terre-Lune Il utilis l distnce prcourue pr l lune durnt une éclipse totle Lune de lune : Ombre terrestre Orbite lunire Terre Ryons du soleil Schnt que les phses de l lune se reproduisent tous les 9,5 jours, celleci prcourt son orbite supposée circulire pendnt le même temps On note t l durée de l'éclipse, durnt lquelle l lune prcourt une distnce égle u dimètre de l terre 1) En supposnt le mouvement de l lune uniforme, l distnce prcourue est proportionnelle u temps Exprimer insi l distnce TL (terre/lune) en fonction du temps t de l'éclipse et du ryon r de l terre
Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge Plus trd on mesur l distnce Terre-Lune pr tringultion : deux des sommets étnt Berlin et Le Cp (Afrique du Sud), le troisième le centre de l Lune Cette méthode mélior l précision Elle fut effectuée pr Lcille et Llnde en 175 A Centre de l lune C 1 b b B Terre O ) ) L ltitude de Berlin est 5 30'N, celle du Cp est 33 55'S Clculer l'ngle b et l distnce BC (ryon terrestre moyen r 6367 km) b) Donner l'expression de l distnce Terre-Lune AB, en fonction des ngles 1 et, huteurs de l Lune à Berlin et u Cp, mesurées sur le terrin, u même instnt, qund l lune psse u méridien commun de ces deux villes II DISTANCE DE LA TERRE AU SOLEIL : C'est encore Aristrque de Smos qui le premier donn une évlution (très erronée) de l distnce Terre-Soleil Le principe est bsé sur l'observtion des phses de l Lune Q P T (terre) N S (soleil) Orbite de l lune 1) ) Quel est l'spect de l Lune, vue de l Terre, lorsqu'elle est en N, puis en Q, puis en P? b) Aristrque estim l différence entre le temps t 1 mis pr l Lune pour ller de N à Q, et le temps t, pour ller de Q à P, à 1 heures En dmettnt l'orbite circulire et les ngles et les temps proportionnels (ce qui est nturel chez les Grecs), déterminer l mesure de l'ngle c) En déduire le rpport TS/TQ des distnces Terre-Soleil et Terre-Lune
Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 3 L'erreur d'aristrque vient du fit qu'il vit surestimé l vleur t - t 1 qui vut en fit 35 minutes Il fut ttendre 17 siècles pour voir une vleur correcte de l distnce Terre-Soleil, qui fit ppel à l troisième loi de Kepler (l tringultion étit trop peu précise cr le tringle trop plti) ) Selon l troisième loi de Kepler, pour chque plnète du système solire, le rpport T 3 d, où T est l période de l plnète et d s distnce moyenne u Soleil, est constnt Aynt observé que l période de l Terre est de 365,56 jours et celle de Vénus 4,701 jours (terrestres), déterminer le rpport VT/VS entre les distnces Vénus-Terre et Vénus-Soleil On ttendit un "pssge" de Vénus On nomme insi le pssge de Vénus devnt le disque solire, vu depuis l terre Une mesure fut rélisée le 3 juin 1769 Un observteur étit à Vrd (Suède), noté A, l'utre, plus chnceux, à Thiti, noté B D 1 D C 1 D C O Pssge de Vénus vu depuis B C Soleil, vu de fce, depuis l Terre Pssge de Vénus vu depuis A Vénus d distnce Terre-Soleil b B A x Terre vue en coupe 3) ) L durée du pssge de Vénus observée depuis A est de 5h56mn1s L durée du pssge observé depuis B est de 5h44mn1s Le dimètre solire, vu depuis l terre, est de 3' de degrés Aynt précédemment observé que Vénus met 8 h pour prcourir ce dimètre, compléter le tbleu de proportionnlité suivnt : Temps 8h 5h56mn1s 5h44mn1s ngle prcouru (vu de l terre) 3' distnce prcourue dimètre C 1 C D 1 D solire A l'ide du théorème de Pythgore, exprimer DC en fonction de DD 1, CC 1 et du ryon du Soleil En déduire l'ngle dont on voit DC depuis l Terre
Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 4 b) Les ngles, b, c étnt petits, on peut les confondre vec leur tngente, s'ils sont exprimés en rdin D'où les reltions : b x/vt CD/VS ; CD/d x Montrer que d, où est exprimé en rdins VT VS c) Schnt que l distnce entre les deux points d'observtion est x AB 6500 km, en déduire une estimtion de l distnce Terre-Soleil, à comprer à l "vrie" vleur : 149500000km L troisième loi de Kepler permet insi de connître les dimensions du système solire On peut, pr tringultion, mesurer les distnces ux étoiles jusqu'à 4 nnées lumières Au delà, c'est l méthode physique du "déclge vers le rouge" qui permet d'évluer les distnces
Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 5 I Distnce Terre Lune : 1) Si l on considère que l distnce est proportionnelle u temps, on π TL r d où TL 9, 5r 9, 5 t πt ) ) Dns le tringle isocèle OBC, l ngle en O correspond à l différence de ltitude, soit 86 5 180 86 5' On lors b 90-43 1 30 D près l formule des sinus dns OBC, on BC 6367 : sin 86 5' sin 46 47' 30'' D où BC 8718 km b) D près l loi des sinus, BC AB sin( 180 ( + + b)) sin( + b) 1 II Distnce Terre-Soleil : 1) ) En N, l lune est (prtiquement) invisible En Q, on voit le premier qurtier dns l'hémisphère Nord En P, c'est l pleine lune b) On le tbleu de proportionnlité suivnt : temps 1 h 9,5 4 h ngles 360 D'où 360 6 3,051 708 c) Dns le tringle TQS, rectngle en Q, on : sin 3,051 TQ TQ d'où TS TS 18,8 ) On ST 3 365, 56 3 d'où l'on déduit SV 4, 701 ST 365, 56 3 puis, compte tenu de SV 4, 701 l'ordre Soleil, Vénus, Terre, ST SV + VT VT 1 + VS SV VS Donc VT VS 3 365, 56 4, 701 1 0,38 CORRIGE 3) ) Pr proportionnlité on : Temps 8h 5h56'1'' 5h44'1'' Angle 3' 3,9344' 5, 9336 8 3,7344' Distnce dimètre solire C 1 C D 1 D D'près le théorème de Pythgore, OD OD 1 D 1 D et OC OC 1 C 1 C D'où DC OD OC et DC OD1 D1D OC1 C1C En considérnt l proportionnlité des ngles et des distnces, on en déduit que : 16 0,46', 9344 3 7344 16, b) On d CD On exprime ensuite CD : x VS VT CD d'où CD VS x VT On en déduit que : VS x d VT x VT VS c) En remplçnt dns l formule précédente les vleurs clculées, on obtient : 6500 d 138 036 533 km 0, 46 π 0, 38 60 180 Il est possible d'méliorer l précision des clculs précédents
Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 6 REFERENCES HISTOIRES DE PROBLEMES / HISTOIRE DES MATHEMATIQUES IREM Ellipses 1993 Article de Monique et André BELET (IREM de Toulouse) : "Que nul n'observe le ciel s'il n'est géomètre!" Au niveu des clsses préprtoires : TERRE ET ESPACE Hors série n 5 de Tngente Ellipse 1998 Article de G WALUSINSKI : "Les rpenteurs de l'univers"