PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS

PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU Résumé. O étude ue sute aléatore à valeurs das les permutatos d esembles fs, appelée processus des restaurats chos. Ce processus est relé à la lo d Ewes be coue e combatore élémetare. Ce processus et cette lo costtuet e quelque sorte u aalogue pour les permutatos du processus de Posso et de la lo de Posso, plus classques e théore des probabltés. O s téresse à la dsposto de clets umérotés, 2, etc veat successvemet s asseor das u restaurat chos magare autour de tables crculares umérotées, 2, etc et toutes de capacté fe. O ote S l esemble des permutatos de {,..., } et Π l esemble des parttos de {,..., }. Avat de décrre précsémet commet s obtet la dsposto D des premers clets autour des tables, o assoce à D ue permutato σ S as qu ue partto p Π, de la faço suvate : la décomposto e cycles de σ est obteue par lecture das le ses horare des uméros des clets de D à chaque table ; les blocs de p sot les supports des cycles de σ.e. les clets de chaque table de D. Par exemple, s D 6 est comme das la fgure alors 2 3 4 5 6 σ 6 =, 6, 32, 45 = et p 6 4 2 5 3 6 = {{, 6, 3}, {2, 4}, {5}}. D 6 = 6 3 2 4 5 Fgure. Exemple de cofgurato D 6 du restaurat avec 6 clets réparts e 3 tables. La permutato σ ecode toute l formato coteue das D. E revache, la partto p s obtet à partr de la permutato σ e cosdérat le support des cycles, et cotet doc mos d formato car la dsposto précse des clets sur chaque table est perdue. Décrvos mateat l évoluto récursve de la sute D. Le premer clet s assot à la premère table. Supposos asss les premers clets aux tables,..., K, où K désge le ombre de tables occupées par les premers clets. Le clet + a le chox etre s asseor etre deux clets quelcoques déja attablés ou be s asseor à la ouvelle table de uméro K +. Il pourrat effectuer ce chox avec équprobablté. Par souc de gééralté, o attache u pods à chaque place etre deux clets, u pods à la ouvelle table et le clet + chost ue place avec ue probablté proportoelle à so pods. Comme l y a places dspobles etre tous les clets déjà asss, la probablté que le clet + s asseot à l ue de ces places est + tads que la probablté de s asseor à ue ouvelle table est +. Le chox équprobable correspod doc au cas partculer =. As, ous avos déf ue sute D à laquelle correspodet des sutes σ et p toutes aléatores. Das ue premère parte, ous exameros avec précso le mécasme d évoluto des sutes σ, p et d autres sutes assocées. Das ue deuxème parte, ous e explcteros les los à fxé, mettat e évdece la famle des los Date: verso tale: 0 ma 202, révso: 3 septembre 202. Mauscrt soums à RMS La Revue de la Flère Mathématque.

2 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU d Ewes paramétrées par 0 et dot l équprobablté sur S correspod au cas =. Ef, ous regarderos certaes proprétés asymptotques de la décomposto e cycles : ue lo des grads ombres et u théorème cetral-lmte serot doés pour le ombre de cycles as qu u remarquable résultat de covergece e lo de la talle des cycles. Notos que ce mécasme d évoluto provoque l apparto de pettes tables, et celles-c peuvet subsster au cours du temps tout cela déped du paramètre.. Évoluto markovee Ue sute X 0 aléatore à valeurs das u espace au plus déombrable est dte markovee lorsqu elle vérfe, à partr d ue doée tale X 0, ue relato de récurrece d ordre du type X + = fx, ɛ + pour tout 0, où ɛ + est dépedate de ɛ,..., ɛ et de X 0. E terprétat comme u temps dscret, cec sgfe que pour décder de so état futur X + la sute a beso que de coaître so préset X et d effectuer u chox aléatore ɛ + dépedat de so passé. As, l évoluto de X est détermée par so état tal X 0 et les probabltés de trasto P x, y = PX + = y X = x.e. les probabltés de sauter de l état x à l état y à l stat. Les sutes markovees costtuet des processus d évoluto stochastques «sas mémore». Il s agt d u aalogue probablste des sutes récurretes ou des équatos dfféretelles... Les permutatos σ. La sute D est markovee, et ɛ + correspod au chox de la place par le clet +. L applcato φ : D σ état bjectve, l évoluto de σ est auss markovee predre f σ, ɛ = φfφ σ, ɛ. Elle se caractérse doc etèremet par la doée de so état tal σ = et de ses probabltés de trasto : + s σ s obtet e sérat + das l u des cycles de σ, Pσ + = σ σ = σ = + s σ s obtet e ajoutat le cycle + à ceux de σ, 0 so. Remarque. Remoter le temps. Voc u exemple de début de trajectore de la sute aléatore σ, qu mèe au σ 6 de l troducto : σ =, σ 2 = 2, σ 3 =, 32, σ 4 =, 32, 4, σ 5 =, 32, 45, σ 6 =, 6, 32, 45. O remarque mmédatemet qu l est possble de remoter le temps : σ se dédut de σ + e elevat + du cycle où l se trouve qutte à supprmer ce cycle s l est d ordre. Plus gééralemet, pour tout et tout σ S +, l exste u uque σ S tel que Pσ + = σ σ = σ > 0. Il s agt là d ue proprété commue à tous les processus dot le préset trasporte tégralemet le passé ce est évdemmet pas le cas de toutes les sute markovees. Il est amusat d observer que le mécasme d évoluto markove sas mémore empêche pas la coservato tégrale du passé. Remarque.2 Numérotato des tables. Les cycles sot umérotés par ordre crossat du plus pett élémet o ecore utlsé das les cycles précédets..2. Les parttos p. S ψ est l applcato qu à ue permutato assoce la partto doée par sa décomposto e cycles alors p = ψσ. Mas ψ état pas bjectve, le caractère markove de σ e se trasmet pas a pror à p : pour détermer p +, la coassace de σ est suffsate mas celle de p pourrat e pas l être car p cotet mos d formato que σ. E l espèce, l se trouve malgré tout que p + = ψσ + = ψfσ, ɛ + = gp, ɛ + pour ue focto g be chose. As, la sute

PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 3 p est be markovee, et ses probabltés de trasto sot doées par b + s p s obtet e ajoutat + au bloc b de p, Pp + = p p = p = + s p s obtet e ajoutat le sgleto { + } à p, 0 so. Remarque.3 Mootoe e. Plus est grad, plus les clets ot tedace à s asseor à ue table vde plutôt que de rejodre ue table occupée. À l extrême, s = 0, o a p = {{,..., }} tads que s = alors p = {{},..., {}}. Be sûr, cette mootoe e est seulemet probablste : u p obteu avec peut avor plus de blocs qu u p obteu avec même s > de la même maère que je peux obter face et mo vos ple même s os pèces offret respectvemet des probabltés 0,9 et 0, de ple! O parle das ce cas d ordre stochastque, cf. [SS]..3. Les effectfs A. Défssos le vecteur A = A,,...,..., A, des effectfs de p par A, = ombre de tables ou de cycles, de blocs de cardal de D resp. de σ, de p de telle sorte que A, =. Comme pour p, o a A = ψp où cette fos ψ : p «vecteur des effectfs de p». Be que ψ e sot pas bjectve, A est à ouveau markovee. De plus, s a N, a N + et e est la base caoque de R +, les trastos de A sot doées par : a + s a = a, 0 + e + e avec, PA + = a A = a = + s a = a, 0 + e, 0 so..4. Le ombre de tables K. Notos K le ombre de tables occupées de D s be que K = ombre de cycles de σ = ombre de blocs de p = A,. La sute K est aléatore et K + K pred ses valeurs das {0, }. Comme au paragraphe précédet, K = ψp où ψ : p p est pas bjectve mas c ecore, la sute K est tout de même markovee de trastos doées par PK + = K + = +, PK + = K = +. Ue autre faço de décrre cette évoluto est d trodure { s le clet + s asseot à ue ouvelle table, ξ = 0 so. Alors o a K = ξ + + ξ et les ξ sot dépedates et de los doées par Pξ = = +, Pξ = 0 = +... Il s agt là d ue applcato du crtère de Dyk, qu assure que certaes mages de sutes markovees sot ecore markovees, cf. [BMP, p. 2].

4 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU.5. Les soltares. La varable aléatore S = A, est le ombre de clets soltares de D,.e. le ombre de pots fxes de σ. La sute A, est markovee de trasto + s s = s + s attabler seul à ue table vde, s PS + = s + S = s = s + 0 so. s s = s rejodre la table d u soltare, s s = s rejodre ue table comptat 2 clets ou plus.6. Table uque. La varable aléatore A, vaut ou 0 selo qu l y a ue seule ou pluseurs tables. La sute A, est décrossate et markovee de trastos PA +,+ = 0 A, = 0 =, PA +,+ = 0 A, = = +. Das toute la sute, ous utlseros la otato 2. Los à fxé x = xx + x + 2 x + = Γx +, x 0 =. Γx 2.. Les permutatos σ. O dspose du théorème suvat cocerat les permutatos σ. Théorème 2. Lo d Ewes sur S. Pour tout σ S, o a Pσ = σ = Kσ où Kσ est le ombre de cycles de σ. Démostrato. La formule est vrae pour =. Supposos-la vrae pour. Sot σ S +. Il exste u uque σ S tel que Pσ + = σ σ = σ > 0. S Kσ = Kσ + alors Pσ + = σ σ = σ = / + et s Kσ = Kσ alors Pσ + = σ σ = σ = / +. Das les deux cas, o a be ce qu coclut la récurrece. Pσ + = σ = Pσ = σ Pσ + = σ σ = σ = Kσ, Remarque 2.2 Smulato de la lo uforme par algorthme de Fsher-Yates-Kuth [Kh]. Le cas partculer = correspod à la lo uforme sur S, c est-à-dre la lo accordat ue probablté /! à chaque permutato. Ce processus fourt doc u algorthme pour smuler la lo uforme sur S. Cet algorthme revet e fat à multpler à drote par des traspostos. E effet, rappelos que s σ S, s τ =, j désge la trasposto, j avec, j, et s c et c j sot les cycles de σ coteat et j respectvemet, alors la décomposto e cycles de la permutato στ s obtet à partr de celle de σ e fusoat c et c j e et j s c c j ou be e scdat e deux c s c = c j. L algorthme de smulato de la lo uforme sur S cosste à préset à calculer le produt de traspostos U U où U,..., U sot dépedates, avec U k de lo uforme sur {,..., k} pour tout k otos que U peut être oms car PU = =. Voc l mplémetato de l algorthme e pseudo-code : for k from to ; do v[k] := k; edfor for k from dowto 2; do := rad,k; swapv[],v[k]; edfor Cet algorthme remarquablemet smple est cou sous le om de Fsher-Yates shuffle ou Kuth shuffle. Sa complexté est léare e. L algorthme alteratf cosstat à trer ombres réels dépedats et équdstrbués a ue complexté de l ordre de l, cf. [MR]. D autre part, l algorthme alteratf cosstat à effectuer trages sas remse das {,..., } est mos commode à mplémeter effcacemet car l faut ter compte des élémets déjà trés.

PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 5 2.2. Les parttos p. Cette secto est cosacrée à l étude des parttos p. Théorème 2.3 Lo d Ewes sur Π. Sot p Π. E otat p le ombre de blocs de p et b p le fat que b sot u bloc de p, o a Pp = p = p b!. Démostrato. Sot E l esemble des élémets σ S dot la décomposto e cycles correspod à p. Il y a k! cycles d ordre k d u esemble à k élémets doc E = b p b!. Esute pour tout σ E doc ce qu est la répose. Pp = p = σ E b p Pσ = σ = p Pσ = σ = p E, Remarque 2.4 Lo d Ewes et lo uforme sur Π. Quelle que sot la valeur de, la lo d Ewes sur Π est jamas la lo uforme pour 3. E effet, otos Alors p = {{}, {2},..., {}}, q = {{, 2}, {3},..., {}}, et r = {{, 2,..., }}. Pp = p =, Pp = q =!, et Pp = r =. As, Pp = p e vaut Pp = q que pour = et das ce cas Pp = p Pp = r. Remarque 2.5 Cojugaso. Le théorème 2. motre que la lo de σ e déped que du ombre de cycles de σ doc qu elle est varate par cojugaso. Cec assure que, codtoellemet à p = p, la lo de σ est uforme sur l esemble des permutatos dot la décomposto e cycles correspod à p, ce qu correspod à l évdece tutve d varace par permutato des clets à chaque table. 2.3. Lo uforme sur les parttos. La remarque 2.4 ous cte à étuder la lo uforme sur Π, qu accorde à chaque partto ue probablté /B où B = Π est le -ème ombre de Bell. O a B 0 = par coveto, B = et B 2 = 2, et B + = B k, 2. k k=0 formule qu se démotre e examat les k élémets qu apparteet pas au même bloc que +. E trodusat la sére formelle GX := B =0! X, u produt de Cauchy motre que G X = expxgx, ce qu doe GX = expexpx. O recoaît la trasformée de Laplace de la lo de Posso de paramètre. As, les ombres de Bell sot les momets de cette lo de Posso, ce qu doe la formule de Dobsk : Notos par alleurs que B = e B = k=0 k= k k!. 2.2 { } k où la otato etre accolades désge le ombre de parttos à k blocs d u esemble à élémets otato de Kuth pour le ombre de Strlg de secode espèce. O dspose de la formule de récurrece { } { } { } { } { } = + k avec codtos au bord = et = k k k car pour chosr ue partto de {,..., +} ayat k blocs, l faut et l sufft sot de chosr ue partto de {,..., } ayat k blocs et de la compléter avec le bloc sgleto { + }, sot d ajouter l élémet + à l u des k blocs d ue partto de {,..., } ayat k blocs. S X est ue varable aléatore de lo de Posso de paramètre λ alors EX = k= { k } λ k e partculer EX = B s λ =.

6 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU S S,k désge le ombre de surjectos de {,..., } das {,..., k}, alors o dspose égalemet de la formule explcte suvate, qu peut s obter grâce au prcpe d cluso-excluso : { = k} S,k = k k k j j. k! k! j 2.4. Smulato de la lo uforme sur Π. Par aaloge avec les permutatos, l est aturel de chercher à costrure ue sute markovee q où q est uforme sur Π, obteue e sérat aléatoremet selo ue lo à détermer das q. Démotros par l absurde que cela est mpossble. Pour tout q Π, otos s q Π la partto obteue e supprmat de q. O aurat alors s q = q, et doc Pq = q = Pq = s qpq = q q = s q. Pour u q Π fxé, o somme sur tous les q Π tels que s q = q pour obter q Π :s q=q Pq = q = Pq = q. Comme q et q sot uformes sur Π et Π respectvemet, o obtedrat, pour tout q Π, q + B = B, ce qu est faux. As, l exste pas d algorthme récursf de smulato de la lo uforme sur Π cosstat e ue serto aléatore de à chaque étape. E revache, l est possble d obter, e utlsat les formules 2. et 2.2, deux algorthmes de smulato de la lo uforme sur Π. Algorthme tré de la formule 2.. O smule d abord le cardal du complémetare du bloc coteat, pus o chost les élémets de ce complémetare, pus o parttoe ce complémetare. Plus précsémet, sot K ue varable aléatore preat la valeur k {0,..., } avec probablté k Bk /B. Codtoellemet à K, o chost ue parte S de {,..., } à K élémets de faço équprobable. Codtoellemet à S, o chost récursvemet ue partto p de S de lo uforme sur l esemble des parttos de S. Alors p = {p, {,..., }\S} est ue partto de {,..., } suvat la lo uforme. Comme S <, cec fourt l algorthme aocé, qu peut s écrre de maère récursve ou tératve. Évdemmet, l covéet de cet algorthme est le calcul des B k par récurrece. Algorthme de Stam tré de la formule 2.2. Cet algorthme est décrt das [Kh2]. O chost u eter M aléatore pus o attrbue à chaque élémet de {,..., } ue couleur aléatore allat de à M et o cosdère la partto dot les blocs sot les élémets de même couleur. Plus précsémet, o décde que M est aléatore et pred la valeur m N avec probablté m /m!eb la somme de ces probabltés vaut grâce à 2.2. Codtoellemet à M, soet C,..., C les couleurs respectves de,...,, choses de maère..d. selo la lo uforme sur {,..., M}. O costrut à préset la partto aléatore p Π e décdat que et j sot das le même bloc s et seulemet s C = C j. Alors p sut la lo uforme sur Π car pour tout p 0 Π à k blocs, o a Pp = p 0 = Pp = p 0 M = mpm = m = m=k m=k mm m k + m 2.5. Les effectfs A. Cette secto est cosacrée à l étude des effectfs A. m =. m!eb B Théorème 2.6 Lo d Ewes sur les effectfs. Pour tout N et tout a,..., a N vérfat a + 2a 2 + + a =, o a PA, = a,..., A, = a =! aj. 2.3 a j! j Démostrato. Sot a,..., a N fxé vérfat a + 2a 2 + + a =. Notos F l esemble des p Π dot les effectfs assocés sot a,..., a. O a F =! j! aj a j!. Esute, pour tout p F, o a b! = b p j! aj et b = a + a 2 + + a.

PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 7 Le résultat découle alors du lemme 2.3 pusqu l doe PA, = a,..., A, = a = a+ +a Pp = p = F p F ce qu est le résultat après smplfcato des factorelles. j! aj, Remarque 2.7 Cotrate et dépedace. La forme produt de la formule 2.3 pourrat fare crore que les composates A,,..., A, sot dépedates mas l e est re à cause de la cotrate A, + +A, =. E revache, cette cotrate est e quelque sorte le seul obstacle à l dépedace des A, comme e témoge le théorème suvat. Théorème 2.8 Descrpto possoee de la lo d Ewes. Sot Z ue sute de varables aléatores dépedates telle que Z sut ue lo de Posso de paramètre /. Alors la lo de A,,..., A, est la lo codtoelle de Z,..., Z sachat que Z + 2Z 2 + + Z = : PA, = a,..., A, = a = PZ = a,..., Z = a Z + 2Z 2 + + Z =. Démostrato. Sot a,..., a N. S a + 2a 2 + + a alors les deux membres de l égalté à prouver sot uls. So, e otat W = PZ + 2Z 2 + + Z =, o a PZ = a,..., Z = a Z + 2Z 2 + + Z = = W PZ = a,..., Z = a, Z + 2Z 2 + + Z = = W PZ = a,..., Z = a = W PZ j = a j = Z e /j a j! j = V PA, = a,..., A, = a où V = W exp j aj!. Or deux los de probablté dfférat d ue costate multplcatve sot égales, d où le résultat. Remarque 2.9 Formule accessore. Au passage, la preuve précédete fourt V =.e. PZ + 2Z 2 + + Z = = exp j!, ce qu est pas facle à prouver drectemet. 2.6. Le ombre de tables K. La lo de K s obtet de faço élémetare. E effet, Pσ = σ = Kσ =. σ S σ S E otat c,k le ombre de σ S ayat exactemet k cycles, o a c,k k = = + +. 2.4 k=0 Cec est la focto géératrce be coue des c,k que ous avos retrouvée smplemet e arguat qu ue somme de probabltés vaut! Mateat, e utlsat et e remplaçat par t das 2.4, l vet Théorème 2.0 Focto géératrce de K. Et K = PK = k = c,k k k= PK = kt k = t. 2.5

8 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU Par detfcato das 2.4 et das 2.5, l vet c,k = coeffcet de t k das tt + t + = sym k, 2,..., où sym k est la k-ème focto symétrque élémetare, et PK = k = coeffcet de t k das le polyôme t = k sym k, 2,...,. La formule K = ξ + + ξ permet faclemet d accéder à l espérace et à la varace : EK = k=0 + k et VarK = k= k + k 2. 2.6 Remarque 2. Autre méthode. Le théorème 2.0 aurat auss pu être prouvé e utlsat la formule K = ξ + + ξ et l dépedace : Et K = E t ξ = Et ξ = t 0 Pξ = 0 + tpξ = t + = + = t. 2.7. Soltares. Posos G t = Et S. La règle d évoluto de S permet d écrre G + t = s N PS = set S+ S = s = PS = s + ts+ + s + ts + s + ts s N = t + + G t + t + G t = G t + t + G t G t Das le cas =, o vot par récurrece que t k G t =. k! k=0 Das ce cas, S est le ombre de pots fxes d ue permutato de S équprobable. Comme sa focto géératrce est la trocature d ordre de la focto géératrce d ue lo de Posso P, ses momets factorels jusqu à l ordre sot ceux de la lo de Posso P 0 k, ES S S k + =. Par chagemet de base das R [t], les momets usuels jusqu à l ordre sot auss ceux d ue lo de Posso P. Remarque 2.2 Formule classque. E développat la focto géératrce e pussace de t et e detfat, o retrouve la formule classque k PS = k =, k! =0 qu s obtet habtuellemet par la formule du crble de Pocaré prcpe d cluso-excluso. O peut amélorer l detté sur les momets de S = A, : s les varables aléatores Z sot dépedates et suvet des los de Posso P/, alors les momets factorels jots de A,,..., A, sot exactemet ceux de Z,..., Z jusqu à u certa ordre : E = E {m+ +m }, A [m], Z [m] où x [m] = xx x m +. La démostrato de ce résultat dû à Watterso se trouve par exemple das le lvre [ABT]. L étude de A, motre que cette formule possoee e subsste pas quad. 2.8. Table uque. Ic, peu de choses à dre tellemet la lo de A, est smple : A, = ξ 2 ξ et A, sut ue lo de Beroull de paramètre PA, = = Pξ 2 =... = ξ = 0 =. + =2

PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 9 3. Comportemet asymptotque 3.. Le ombre de tables K. Les formules 2.6 as qu ue comparaso sére-tégrale permettet de motrer le lemme suvat. Lemme 3. Espérace et varace asymptotques du ombre de tables. O a EK VarK l O peut précser cec par ue covergece e probabltés. quad +. Théorème 3.2 Comportemet asymptotque du ombre de tables e probablté. La sute K / l coverge e probabltés vers, ce qu sgfe que ε > 0, lm P K + l > ε = 0. Démostrato. Par l égalté de Markov et le lemme 3., pour tous ε > 0 et 2, K P l > ε VarK + EK l 2 ε l 2 = O = o. l Remarque 3.3 Covergece presque sûre. O peut raffer ce résultat e établssat ue covergece presque sûre, sot par ue méthode de martgale, sot e motrat que la sous-sute K 2 / l2 coverge presque sûremet, pus e procédat par ecadremet. Théorème 3.4 Comportemet asymptotque e lo du ombre de tables. O a K = K l l lo N 0, + où N 0, désge la lo ormale cetrée rédute de moyee 0 et de varace. Démostrato. Le crtère de covergece e lo basé sur les foctos géératrces est appropré. E effet, la focto géératrce G de K état doée par le théorème 2.0, celle de K se calcule faclemet : G t = Et K = t l G t u = t /u Γ + tu Γ Γ + Γt u où u = l. E utlsat u 0, t u, + a x x e a et la formule de Strlg Γx 2πx x /2 e x quad x +, l vet faclemet G t exp lt + t u u 2. u U développemet lmté d ordre 2 prouve que lt u + t u u 2 lt 2 /2, ce qu assure que lt G 2 t exp = Et N, 2 où N sut ue lo N 0,. Ef, la covergece des foctos géératrces assure celle des los. 3.2. Effectfs des pettes tables. O dspose du théorème suvat cocerat les pettes tables. Théorème 3.5 Covergece e lo de A,,..., A,k. Fxos k N. Lorsque +, le vecteur aléatore A,,..., A,k coverge e lo vers la lo du vecteur aléatore Z,..., Z k où Z,..., Z k sot dépedates et Z sut ue lo de Posso de paramètre /. C est-à-dre que pour tout a,..., a k N k, Démostrato. Pour 0 l m, posos lm PA, = a,..., A,k = a k = PZ = a,..., Z k = a k. + T l,m = l + Z l+ + + mz m avec T m,m = 0. Sot a,..., a k N k, a = a + + ka k et a. O a PA, = a,..., A,k = a k = PZ = a,..., Z k = a k T 0, = = PZ = a,..., Z k = a k, T 0, = PT 0, = = PZ = a,..., Z k = a k PT k, = a PT 0, =

0 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU La focto géératrce de T k, est φx = Ex T k, = Ex Z = où =k+ =k+ C k, = exp exp x =k+. = C k, exp =k+ E otat [x l ]gx le coeffcet de x l das le développemet e sére etère e 0 de gx, o a PT k, = a = [x a ]φx. As, e posat u a = C k, PT k, = a, o a : u a = [x a x ] exp =k+ = [x a ] exp = [x a ] exp O a alors recours au lemme suvat. Lemme 3.6. S ψ est ue focto etère =k+ x x exp k x = [x a ] x ψx où ψx = exp [x l ] x ψx = l! =0 Preuve du lemme. Posos x = h. Alors, pour x <, x ψx = h ψ h = = = =0 l=0 ψ x l + =0! =0 l=0 l! ψ h =! l x l = l ψ l,! l! =0 l=0 k ψ. x. x j ψ x! + x l ψ +l! l l terverso des sommes état justfée par la covergece absolue de la sére double précédete. =0 As, e mettat a e facteur, o a u a = a a! v a où v a = a ψ. a! Esute, à fxé et quad l +, l l O peut auss motrer cf. [W, Théorème 5.3.] que v a = ψ + o Comme ψ = exp k, l vet PT k, = a = =0 = l l l 0. a a! exp quad +. k + o.

PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS Cec vaut e partculer pour k = 0 et a = 0 e fat, le reste o est ul das ce cas comme le motre la remarque 2.9. O obtet doc PT k, = a PT 0, = par ue ouvelle applcato de la formule de Strlg. = a! + o a! E partculer, le ombre de pots fxes S = A, coverge e lo vers Z de lo de Posso de paramètre, le ombre de traspostos A,2 coverge e lo vers Z 2 de lo de Posso de paramètre /2, etc. Il est remarquable qu asymptotquemet les A, k deveet dépedats etre eux. Cec a été démotré qu à k fxé et resterat valable pour u k tedat vers l f avec tat que k = o, cf. le lvre [ABT]. Le ombre de cycles de grade talle e saurat être possoe comme le motre l exemple qu sut de A, {0, } qu ted presque-sûremet vers 0. 3.3. Table uque. La sute A, est décrossate et à valeurs das {0, }. Cosdéros le premer stat évetuellemet + où A, = 0, sot T = f{ : A, = 0}. O a alors, pour tout, PT > = PA, = =. + =2 Comme la sére + dverge, o a lm + PT > = 0.e. PT = + = 0. Doc A, est ulle à partr d u certa rag. Par comparaso avec ue tégrale, o peut faclemet motrer que, PT > costate quad +. 4. Restaurat de Feller Pour tout, le restaurat chos fourt le tableau tragulare aléatore A,k k. D après le théorème 2.6, pour tout, la e lge A,,..., A, de ce tableau sut la lo d Ewes de talle. Pour tout k, le théorème 3.5 assure la covergece e lo de A,,..., A,k quad. Feller a proposé ue méthode de costructo d u autre tableau tragulare aléatore, pour lequel la e lge sut égalemet la lo d Ewes, pour tout, et pour lequel, pour tout k, o a cette fos-c covergece presque sûre de A,,..., A,k quad. Remarque 4. Couplage. Soet µ et µ 2 deux los de probabltés. O appelle couplage de µ et µ 2 tout couple X, X 2 de varables aléatores défes sur u même espace de probablté tel que X est de lo µ et X 2 de lo µ 2. Plus gééralemet, et par abus de lagage, o parle de couplage d ue famlle fe ou déombrable de los de probabltés. Le restaurat chos as que la méthode de Feller costtuet deux couplages de la famlle des los d Ewes. Pour cette raso, la méthode de Feller est souvet appelée Feller couplg, qu o appelle c restaurat de Feller pour rester das la gastroome. Le restaurat de Feller est e quelque sorte dual du restaurat chos car les rôles des clets et des tables sot presque versés. Le restaurat de Feller fourt e fat des permutatos aléatores, tout comme le restaurat chos. Plus précsémet, sot ξ ue sute de varables aléatores dépedates de lo de Beroull avec Pξ = = Pξ = 0 = / + cet grédet est detque à celu des restaurats chos.. Pour tout fxé, o cosdère la sute ξ,..., ξ,. O commece par remplr la table avec le clet. S ξ =, o clôt cette table et o commece à asseor le clet 2 à la table 2. S ξ = 0, o chost u clet au hasard parm {2,..., } que l o ajoute à la table. Pus o exame ξ, ξ 2,... e ajoutat des clets choss au hasard parm ceux ecore e attete tat qu o vot des 0 et e fermat la table e cours dès qu o vot u, pour commecer la suvate avec le clet de plus pett uméro o ecore vu. Après lecture de ξ, la permutato costrute σ sut la lo d Ewes. L avatage de ce processus est que la talle de chaque cycle est costate à partr d u certa rag car dès qu ue table est close, elle accuelle plus jamas persoe. Das ce cas, la sute des effectfs complétée par des 0 A,,..., A,, 0, 0,... coverge presque-sûremet vers ue sute A,, A,2,... de varables de Posso dépedates et de paramètres, /2,... Ce couplage permet de précser la dstace e varace totale et la dstace de Wasserste etre les los de A,,..., A,k et de A,,..., A,k et d e doer de boes majorato et morato. Le fat

2 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU que A,, A,2,... soet des varables de Posso dépedates et de paramètres, /2,... provet alors du théorème précédet mas le prouver drectemet est pas évdet, et ous revoyos à [ABT]. Das la sute fe de varables aléatores de Beroull hétérogèes ξ, la varable aléatore A, est le ombre d espacemets de logueur etre deux cosécutfs et alors les A, sot dépedates de los de Posso de paramètres /. Pour comparaso, s ξ état ue sute de varables aléatores de Beroull homogèes, alors les espacemets seraet de même lo géométrque, et o aurat A, = + pour tout N. Das otre cas, à fxé, la probablté p d u espacemet de logueur etre et + est féreure à 2 / + + + à cause des de début et de f. Cec prouve que p <, et doc qu à partr d u certa rag, l y a plus d espacemet de talle.e. A, <. 5. Éplogue Warre Ewes est u professeur de bologe mathématque é e 937 e Australe. C est à la f des aées 960 qu l découvre la lo qu porte aujourd hu so om, e étudat u problème d échatlloage e géétque des populatos, lé à u célèbre modèle de Fsher et Wrght. Le paramètre apparaît comme u taux de mutato des allèles. Ue sythèse sur le sujet se trouve das so lvre [E], as que das celu de Kgma [K]. De ombreux aspects statstques sot abordés das le cours de Tavaré [T]. Le traval d Ewes a egedré u ombre cosdérable de travaux e bologe quattatve et e probabltés. La lo d Ewes apparaît das ue large gamme de structures aléatores dscrètes dtes logarthmques, allat de la combatore à la théore des ombres. O pourra cosulter à ce sujet le lvre de Arrata, Barbour, et Tavaré [ABT]. Il semble que le processus des restaurats chos dove so om à Ptma et Dub. Il apparaît sous ce om das u cours d Aldous [A]. O peut le reler aux ures de Pólya as qu aux processus de Drchlet. De os jours, le processus des restaurats chos et la lo d Ewes fot désormas parte du folklore d ue théore plus géérale de la fragmetato et de la coalescece. O pourra à ce sujet cosulter les lvres de Kgma [K2], de Berto [B], de Ptma [P], as que de Berestyck [B]. Référeces [A] D. J. Aldous. Exchageablty ad related topcs, volume 7 de Lecture Notes Math., pages 98, Sprger, 985. Notes de cours de la XIIIème École d été de Probabltés de Sat-Flour, été 983. [ABT] R. Arrata, A. D. Barbour, et S. Tavaré. Logarthmc combatoral structures : a probablstc approach. EMS Moographs Mathematcs. Europea Mathematcal Socety EMS, 2003. [BMP] P. Bald, L. Mazlak, et P. Prouret. Martgales et chaîes de Markov, Herma, 998. [B] N. Berestyck. Recet progress coalescet theory, volume 6 de Esaos Matemátcos. Socedade Braslera de Matemátca, 2009. [B] J. Berto. Radom fragmetato ad coagulato processes, volume 02 de Cambrdge Studes Advaced Mathematcs. Cambrdge Uversty Press, 2006. [E] W. J. Ewes. Mathematcal populato geetcs. I, volume 27 de secode édto, 2004. Theoretcal troducto. [Kh] D. E. Kuth. The Art of Computer Programmg, volume 2, Addso ad Wesley, 997. [Kh2] D. E. Kuth. The Art of Computer Programmg, volume 4, Addso ad Wesley, 200. Iterdscplary Appled Mathematcs. Sprger, [K] J. F. C. Kgma. Mathematcs of geetc dversty, volume 34 de CBMS-NSF Regoal Coferece Seres Appled Mathematcs. Socety for Idustral ad Appled Mathematcs SIAM, 980. [K2] J. F. C. Kgma. Posso processes, volume 3 de Oxford Studes Probablty. The Claredo Press Oxford Uversty Press, 993. Oxford Scece Publcatos. [MR] R. Motwa et P. Raghava. Radomzed algorthms. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, 995. [P] J. Ptma. Combatoral stochastc processes, volume 875 de Lecture Notes Mathematcs. Sprger, 2006. Notes de cours de la XXXIIème École d été de Probabltés de Sat-Flour, jullet 7 24, 2002. [SS] M. Shaked et J. G. Shathkumar. Stochastc orders, Sprger Seres Statstcs. Sprger, 2007. xv+473 pp. [T] S. Tavaré. Acestral ferece populato geetcs, volume 837 de Lecture Notes Math., pages 88. Sprger, 2004. Notes de cours de la XXXIème École d été de Probabltés de Sat-Flour, jullet 8 25 200. [W] H. S. Wlf. geeratgfuctoology, Academc Press, 994. D. Chafaï, auteur correspodat Uversté Pars-Est Mare-la-Vallée, UMR CNRS 8050, Frace. URL: http://djall.chafa.et/ E-mal address: djall@chafa.et Y. Doumerc Classes Préparatores aux Grades Écoles, Lycée Gasto Berger, Llle. E-mal address: y.doumerc@yahoo.fr F. Malreu Uversté Rees, UMR CNRS 6627, Frace. URL: http://perso.uv-rees.fr/floret.malreu/