y + ay + by = 0 (1.1)

Lycée Thiers RESUMÉ EDL-2 1. Equations homogènes On s intéresse aux équations dites linéaires et homogènes, du second ordre, à coefficients constants, c est-à-dire de la forme : y + ay + by = 0 (1.1) où (a, b) C 2. On note H C l ensemble des solutions de (1.1) à valeurs complexes, c est-à-dire des applications deux fois dérivables f : R C vérifiant x R, f (x) + a f (x) + b f (x) = 0 Dans le cas où (a, b) R 2, on notera H R l ensemble des solutions de (1.1) à valeurs réelles. Il est clair que H C (resp. H R ) est un C espace vectoriel (resp. un R espace vectoriel). En cherchant les λ C pour lesquels l application R C, x e λx est solution de (1.1), on voit facilement qu il s agit des solutions de l équation du second degré : r 2 + ar + b = 0 (1.2) appelée équation caractéristique (EC en abrégé) associée à (1.1). Son discriminant est = a 2 4b. 2. Structure de l espace des solutions de (1.1) 2.1. Théorème de structure pour H C. Ici, (a, b) C 2 et l on décrit l espace des solutions à valeurs complexes de (1.1) : 1) Si 0, l équation (1.2) possède deux racines distinctes 1 λ et µ. Alors : H C = {( R C, x α e λx + β e µx) ; (α, β) C 2} 2) Si = 0, alors en notant λ la racine double de (1.2) : H C = {( R C, x (αx + β) e λx) ; (α, β) C 2} Pour une preuve de ce résultat, voir la section 6. 1. qui n ont aucune raison d être conjuguées!

RESUMÉ EDL-2 2 2.2. Théorème de structure pour H R. Ici, (a, b) R 2 et l on décrit l espace des solutions à valeurs réelles de (1.1) : 1) Si > 0, l équation (1.2) possède deux racines distinctes λ et µ (réelles). Alors : H R = {( R R, x α e λx + β e µx) ; (α, β) R 2} 2) Si = 0, alors en notant λ la racine double de (1.2) : H R = {( R R, x (αx + β) e λx) ; (α, β) R 2} 3) Si < 0, alors en notant r + is et r is les racines (complexes conjuguées) de (1.2) : H R = { (R R, x e rx (α cos (sx) + β sin (sx))) ; (α, β) R 2} Dans chacun des cas énumérés aux sections 2.1 et 2.2, l ensemble des solutions de (1.1) apparaît comme un K ev de dimension 2 (avec K = R ou C, selon le cas), autrement dit un plan vectoriel. 3. Equations non homogènes Considérons maintenant une équation différentielle linéaire d ordre 2 à coefficients constants, c està-dire de la forme y + ay + by = f (x) (3.1) avec (a, b) K 2 et f : I K continue. Il est facile de voir que si ϕ 0 : I K est solution de (3.1) alors l ensemble des solutions (sur I) de (3.1) est : S K = ϕ 0 + H K ce qui signifie que les solutions de (3.1) sont obtenues en ajoutant à ϕ 0 une quelconque solution de l équation homogène. On dit que S K est le plan affine passant par ϕ 0 et dirigé par H K. L existence de solutions pour (3.1) n est pas évidente a priori, elle peut être établie en suivant la remarque en fin de section 6. Théorème. (de Cauchy pour les EDL2) - Pour tout ( x 0, y 0, y 0) I K K, il existe une solution de (3.1) et une seule vérifiant les conditions initiales : y (x 0 ) = y 0 et y (x 0 ) = y 0 Rappelons que la donnée d une équation différentielle (pas forcément linéaire) assortie d un jeu de conditions initiales est appelé un problème de Cauchy. 4. Résolution pratique de (3.1) dans trois cas simples On explique ici comment obtenir une solution particulière (à valeurs réelles) de l équation nonhomogène (3.1) lorsque le second membre est de la forme P (x), ou bien P (x) e σx ou encore P (x) cos (ωx) ou P (x) sin (ωx), P désignant une fonction polynôme (à coefficients réels). 1) Lorsque le second membre est P (x) (P fonction polynôme), on cherche une solution particulière polynomiale de même degré que P (sauf si b = 0, mais dans ce cas (E) est du premier ordre en y ).

RESUMÉ EDL-2 3 Exemple : y + 6y + 9y = x 2 (E 1 ) La recherche d une solution de la forme x ax 2 + bx + c donne la condition : x R, 2a + 6 (2ax + b) + 9 ( ax 2 + bx + c ) = x 2 qui conduit, par identification, au système : 9a = 1 12a + 9b = 0 2a + 6b + 9c = 0 et donc à (a, b, c) = ( 1 9, 4 27, 2 27). Ainsi, une solution particulière de (E1 ) est d où toutes ses solutions : x 3x2 4x + 2 27 x 3x2 4x + 2 27 + (λx + µ) e 3x (λ, µ) R 2 2) Lorsque le second membre est de la forme P (x) e σx (avec P une fonction polynôme), on cherche une solution particulière de la forme Q (x) e σx (avec Q une fonction polynôme) en distinguant trois cas : 2.a) si σ n est pas solution de l EC, deg (Q) = deg (P) 2.b) si σ est solution simple de l EC, deg (Q) = 1 + deg (P) avec Q (0) = 0 (càd : terme constant nul) 2.c) si σ est solution double de l EC, deg (Q) = 2 + deg (P) avec Q (0) = Q (0) = 0 (càd : terme constant et terme en x nuls) Exemple : y y = x 2 e x (E 2 ) Ici, σ = 1 est solution simple de l EC r 2 1 = 0. On cherche donc une solution particulière de la forme x ( ax 3 + bx 2 + cx ) e x. En reportant dans (E 2 ), on obtient pour tout x R : ( ax 3 + (b 6a) x 2 + (6a 4b + c) x + (2b 2c) ) e x ( ax 3 + bx 2 + cx ) e x = x 2 e x c est-à-dire : 6a = 1 6a 4b = 0 2b 2c = 0 d où (a, b, c) = ( 1 6, 1 4, 1 4). Ainsi, une solution particulière de (E2 ) est d où toutes ses solutions : x 2x3 + 3x 2 + 3x 12 x 2x3 + 3x 2 + 3x 12 e x e x + λe x + µe x (λ, µ) R 2 3) Lorsque le second membre est de la forme x P (x) cos (ωx) avec P fonction polynôme, on commence par chercher une solution particulière (à valeurs complexes) de l équation différentielle

RESUMÉ EDL-2 4 y + ay + by = P (x) e iωx (en appliquant le point précédent avec λ = iω) puis on prend la partie réelle de celle-ci. Et si le second membre est de la forme x P (x) sin (ωx), on fait de même mais en prenant la partie imaginaire à la fin. Exemple : y + 4y + 4y = x sin (2x) (E 3 ) On s intéresse à y + 4y + 4y = x e 2ix ( E 3). Comme 2i n est pas solution de l EC, on cherche une solution particulière de ( E 3) de la forme x (ax + b) e 2ix, ce qui donne (après simplification par e 2ix ) la condition : d où le système : x R, ( 4ax + 4ia 4b) + 4 (2iax + a + 2ib) + 4 (ax + b) = x 8ia = 1 (4i + 4) a + 8ib = 0 et donc (a, b) = ( i 8, ) ( 1+i. Une solution particulière de E 3) est donc : x 2ix + 1 + i et sa partie imaginaire : e 2ix = (1 + i (1 2x)) (cos (2x) + i sin (2x)) sin (2x) + (1 2x) cos (2x) x est donc solution de (E 3 ). Finalement, les solutions de (E 3 ) sont les : x sin (2x) + (1 2x) cos (2x) + (λx + µ) e 2x (λ, µ) R 2 5. Autre point de vue pour y + ay + by = P (x) e σx Au lieu d appliquer la méthode décrite à la section 2, on peut effectuer le changement d inconnue y = e σx z. On calcule alors : y = e σx (z + σz) y = e σx (z + σz + σ (z + σz)) = e σx ( z + 2σz + σ 2 z ) que l on reporte dans l équation, ce qui donne l équation transformée : soit, après simplification : e σx ( z + 2σz + σ 2 z ) + ae σx (z + σz) + be σx z = P (x) e σx z + (2σ + a) z + ( σ 2 + aσ + b ) z = P (x) (5.1) On peut maintenant utiliser la méthode de la section 1. Une discussion apparaît selon que : σ 2 + aσ + b 0 σ 2 + aσ + b = 0 mais 2σ + a 0 σ 2 + aσ + b = 0 et 2σ + a = 0

RESUMÉ EDL-2 5 Selon le cas, on trouvera une solution particulière de l équation transformée (5.1) qui sera polynomiale de degré deg (P), ou 1 + deg (P) ou encore 2 + deg (P) respectivement. En multipliant cette solution particulière par e σx, on retrouve le résultat énoncé à la section précédente. 6. Preuve du théorème de structure pour H C Rappelons que H C désigne le C espace vectoriel des solutions à valeurs complexes de l équation y + ay + by = 0 (avec (a, b) C 2 donné). Supposons 0 et notons λ, µ les solutions distinctes de l EC. Etant donnée y : R C est deux fois dérivable, posons pour tout x R : Y (x) = y (x) e λx On calcule : puis : y (x) = Y (x) e λx y (x) = (Y (x) + λy (x)) e λx y (x) = ( Y (x) + 2λY (x) + λ 2 Y (x) ) e λx y (x) + a y (x) + b y (x) = ( Y (x) + 2λY (x) + λ 2 Y (x) ) e λx La condition y H C équivaut donc à : +a (Y (x) + λy (x)) e λx + b Y (x) e λx = ( Y (x) + (2λ + a) Y (x) + ( λ 2 + aλ + b ) Y (x) ) e λx = (Y (x) + (2λ + a) Y (x)) e λx x R, Y (x) + (2λ + a) Y (x) = 0 ce qui signifie que Y est solution de l équation différentielle (linéaire, homogène, à coefficients constants) du premier ordre : u + (2λ + a) u = 0 Autrement dit, la condition y H C équivaut successivement à β C; x R, Y (x) = β e (2λ+a)x (α, β ) C 2 ; x R, Y (x) = α β 2λ + a e (2λ+a)x (α, β ) C 2 ; x R, y (x) = α e λx β 2λ + a e (λ+a)x et finalement, vu que λ + µ = a : y H C [ (α, β) C 2 ; x R, y (x) = α e λx + β e µx] Supposons maintenant = 0 et notons λ la solution (double) de l EC. En reprenant les calculs ci-dessus, et en tenant compte de : λ = a 2

RESUMÉ EDL-2 6 on constate que : y H C x R, Y (x) = 0 (α, β) C 2 ; x R, Y (x) = αx + β et donc : y H C (α, β) C 2 ; x R, y (x) = (αx + β) e λx Remarque. La méthode de changement d inconnue, consistant à poser Y (x) = y (x) e λx permet, via des calculs similaires, de ramener la résolution d une équation non homogène de la forme : y + ay + by = f (x) ( ) à celle d une équation différentielle en Y, qui est linéaire, du premier ordre et à coefficients constants. Ce qu on sait de ce genre d équations permet d affirmer l existence de solutions pour ( ). 7. Preuve du théorème de structure pour H R Rappelons que H R désigne le R espace vectoriel des solutions à valeurs réelles de l équation y + ay + by = 0 (avec (a, b) R 2 donné). La structure de H C étant connue on voit facilement que : Si > 0, alors l EC possède deux solutions réelles distinctes λ, µ. On sait que H C se compose des : x α e λx + β e µx avec (α, β) C 2 arbitraire. On vérifie (exercice!) qu une telle application est à valeurs réelles si, et seulement si, α et β sont réels. On en déduit que : y H R (α, β) R 2 ; x R, y (x) = α e λx + β e µx Si = 0, alors l EC possède une solution réelle (double) λ. On sait que H C se compose des : x (αx + β) e λx avec (α, β) C 2 arbitraire. On vérifie (exercice!) qu une telle application est à valeurs réelles si, et seulement si, α et β sont réels. On en déduit que : y H R (α, β) R 2 ; x R, y (x) = (αx + β) e λx Si < 0, alors l EC possède deux solutions complexes distinctes et conjuguées λ, λ. On sait que H C se compose des : x α e λx + β e λx avec (α, β) C 2 arbitraire. On vérifie (exercice!) qu une telle application est à valeurs réelles si, et seulement si, α et β sont conjugués. On en déduit que : y H R (A, B) R 2 ; x R, y (x) = e rx [A cos (sx) + B sin (sx)] où r, s désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de α.