Algèbre linéaire I (Révisions)

Mathématiques Chapitre I Algèbre linéaire I (Révisions) 1 Espaces vectoriels sur un corps K = R ou K = C 11 Dénition d'un espace vectoriel Dénition 11 On dit que (E, +, ) est un espace vectoriel sur K si 1 E est muni d'une loi de composition interne + appelée addition à savoir une application de E E E telle que : (a) Il existe un élément appelé élément neutre pour l'addition 0 E E tel que pour tout x E, 0 E + x = x + 0 E = x (b) Pour tous x, y E, on a x + y = y + x E (c) Pour tous x, y, z E, (x + y) + z = x + (y + z) (d) Pour tout x E, il existe un y E tel que x + y = y + x = 0 E Un tel y est unique et on le note y = x On dit que (E, +) est un groupe commutatif 2 E est muni d'une loi de composition externe appelée multiplication, à savoir une application de E K E (λ x E, λ K, x E) telle que pour tous x E, λ, µ K (a) Il existe un élément appelé élément neutre pour la multiplication 1 K K tel que 1 K x = x 1 K = x (b) λ (x + y) = λ x + λ y (c) (λ + µ) x = λ x + µ x (d) λ (µ x) = (λµ) x On dira plus brièvement que E est un K-espace vectoriel ou K-ev Exemples : R 2 est un R-ev, R n est un R-ev, C 2 est un C-ev, C n est un C-ev, L'ensemble des fonctions continues sur un segment à valeurs dans K C([a, b], K) est un K-ev, L'ensemble des polynômes (K[X], +) est un K-ev Soit X un ensemble quelconque et E un K-ev, l'ensemble des applications de X dans E est un K-ev, il est noté F(X, E) 12 Familles libres, liées, génératrices, bases Dénition 12 Soit n N et x 1,, x n des éléments de E, E K-ev On appelle combinaison linéaire de la famille n (x 1,, x n ) tout vecteur x = α i x i où les α i sont des éléments de K (cad des scalaires) i=1 PSI 1/30 F Bachmann

Dénition 13 Soit E un K-espace vectoriel 1 Soit (x 1,, x n ) une famille nie d'éléments de E On dit que la famille (x 1,, x n ) est libre, si pour toute famille (α 1,, α n ) K n telle que α 1 x 1 + + α n x n = n α k x k = 0 E = i [ 1, n ], α i = 0 k=1 2 Soit (x i ) i I une famille d'éléments de E de cardinal quelconque La famille (x i ) i I est libre si toutes ses sous-familles nies sont libres 3 On dit que la famille (x i ) i I est liée si elle n'est pas libre 4 On dit que la famille (x i ) i I est génératrice de E si pour tout x E il existe n N et (α 1,, α n ) K n n tels que x = α k x k k=1 Autrment dit, si tout vecteur de E s'écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs de la famille (x i ) i I 5 On dit que la famille (x i ) i I est une base de E si elle libre et génératrice Remarque : Une combinaison linéaire de vecteurs de E ne fait intervenir qu'un nombre ni de vecteurs! Exemples : Si x, y E, la famille (x, y) est liée si, et seulement si, x = 0 ou y = 0 ou il existe α K tel que y = αx (1, X,, X n ) est une base de K n [X] (X k ) k N est une base de K[X] Toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est une base de R 3 La famille (cos, sin) est libre dans C(R, R) Proposition 14 Soient E un K-ev et B = (e 1,, e n ) une base de E Pour tout x E, il existe un unique n uplet (α 1,, α n ) K n appelé les coordonnées de x dans la base B tel que x = α 1 e 1 + + α n e n = n α k e k k=1 Démonstration : PSI 2/30 F Bachmann

13 Sous-espaces vectoriels Dans ce paragraphe, E désigne un K-ev Dénition 15 On dit que F E est un sous espace vectoriel (sev) de E si : 1 0 E F (ou F ) 2 (x, y) F 2, x + y F 3 x F, λ K, λ x F Proposition 16 F E est un sev de E si et seulement si 0 E F et (x, y) F 2, λ K, x + λ y F Proposition 17 Si F est un sev de E, alors (F, +, ) est un K-ev Cette proposition est très importante car pour montrer en général qu'un espace est un K-ev, on montre que c'est un sev d'un K-ev connu (par exemple ceux rappelés en début de chapitre) Dénition 18 (Espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs) Soit (f i ) i I un famille d'éléments de E On appelle espace vectoriel engendré par la famille (f i ) i I le sous ensemble de E consititué des combinaisons linéaires des éléments f i : Vect ((f i ) i I ) def = { x E, k N et (α 1,, α k ) K k, x = } k α i f i i=1 Vect ((f i ) i I ) est un sev de E Démonstration : Faire en exercice la démonstration Remarque : La famille (f i ) i I est une famille génératrice de Vect ((f i ) i I ) par construction C'est une base si et seulement si la famille est libre PSI 3/30 F Bachmann

14 Sous espaces vectoriels remarquables Dans ce paragraphe, E désigne un K-ev Proposition 19 Soit F et G deux sev de E, alors H = F G est un sous espace vectoriel de E Démonstration : Dénition et Proposition 110 Soit F et G deux sev de E On note K = F + G = {x E tels que x = y + z avec y F, z G} L'espace K est un sous espace vectoriel de E appelé somme de F et G Démonstration : Proposition 111 Soit F et G deux sev de E Si (f 1,, f n ) est une famille génératrice de F et (g 1,, g p ) est une famille génératrice de G alors la famille (f 1,, f n, g 1,, g p ) est une famille génératrice de K = F + G Démonstration : Dénition 112 (Somme directe) Soit F et G deux sev de E On dit que F et G sont en somme directe si F G = {O E } PSI 4/30 F Bachmann

Dénition 113 (Sous espaces supplémentaires) Soit F et G deux sev de E On dit que F et G sont supplémentaires dans E si E = F + G et si F et G sont en somme directe On note E = F G Proposition 114 Soient F et G deux sous espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E Les espaces F et G sont supplémentaires si et seulement si tout vecteur x E s'ecrit de façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G Autrement dit : F G = E E = F + G et F G = {0 E } x E,!(x F, x G ) F G, x = x F + x G Démonstration : 2 Espace vectoriel de dimension nie Dénition 21 Soit E un K-ev, on dit que E est de dimension nie lorsque E = {0 E } ou bien lorsqu'il existe une famille génératrice nie dans le cas contraire, on dit que E est de dimension innie Théorème 22 (Dimension d'un espace vectoriel) Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie non réduit à {0 E } Alors E possède au moins une base et toutes les bases ont même cardinal appelé dimension de l'espace vectoriel E, notée dim(e) Proposition 23 Soit E est K-ev de dimension n 1, alors : le cardinal d'une famille libre est inférieur ou égal à n, le cardinal d'une famille génératrice est supérieur ou égal à n PSI 5/30 F Bachmann

Théorème 24 Soient E un K-ev de dimension n 1 et (e 1, e n ) une famille de n éléments de E Alors les propositions suivantes sont équivalentes : (e 1, e n ) est une base de E (e 1, e n ) est une famille génératrice de E (e 1, e n ) est une famille libre de E Théorème 25 (Théorème de la base incomplète) Soit E un K-ev de dimension n Soit p un entier positif, (f 1,, f p ) une famille libre d'éléments de E Soit (g 1,, g q ) une famille génératrice de E Alors il existe une base (e 1,, e n ) de E telle que e i = f i pour tout i p et e i {g 1,, g q } pour tout i > p Démonstration : On raisonne par récurrence sur p Si n = p il n'y a rien a faire Si p < n, on regarde la famille (f 1,, f p, g i ) qui est libre pour un certain i sinon la famille (f i ) serait génératrice la famille (g 1,, g q ) est toujours génératrice et on continue Proposition 26 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie et F un sous espace vectoriel de E Alors il existe au moins un sous espace vectoriel G de E tel que F et G soient supplémentaires dans E Démonstration : Exemple Soit F = {(x, y, z) R 3, x + y + z = 0} Montrer que F est un sev de R 3 et détermminer un supplémentaire de F dans R 3 Proposition 27 Soient F et G deux sous espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E On a dim(f + G) = dim(f ) + dim(g) dim(f G) PSI 6/30 F Bachmann

Théorème 28 (Caractérisation de supplémentaires en dimension nie) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E de dimension nie Les propositions suivantes sont équivalentes : 1 E = F G 2 E = F + G et dim(e) = dim(f ) + dim(g) 3 F G = {0 E } et dim(e) = dim(f ) + dim(g) Exemple PSI 7/30 F Bachmann

3 Applications linéaires sur un K-espace vectoriel 31 Dénitions et premières propriétés Dénition 31 Soit E et F deux K-espaces vectoriels On dit qu'une application u : E F est linéaire si 1 (x, y) E 2, u(x + y) = u(x) + u(y) 2 x E et λ K, u(λx) = λu(x) On note L(E, F ) ou L(E) si F = E l'ensemble des applications linéaires de E dans F Si E = F, on parle d' endomorphisme de E Proposition 32 Une application u : E F est linéaire si et seulement si (x, y) E 2, λ K, u(x + λy) = u(x) + λu(y) Remarques : Si u est une application linéaire u(0 E ) = 0 F E E L'application Id E : est une application linéaire appelée l'identité x x Proposition 33 Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels (L(E, F ), +, ) est un K-espace vectoriel La composée de deux applications linéaires est une application linéaire : si f (F, G), g L(E, F ) alors f g L(E, G) avec x E, f g(x) = f(g(x)) Remarque : Si E = F = G, et si f L(E), on peut dénir pour n N les applications linéaires f (n) dénies par On peut alors, pour tout polynôme P K[X], P (X) = On parle de polynôme d'endomorphisme Attention, en général, si f L(E) et g L(E), f (0) = Id E, f (n) = f f (n 1) = f (n 1) f = f f }{{} n fois P (f) = n a i X i, dénir l'endomorphisme i=0 n a i f (i) L(E) i=0 f g g f Prendre par exemple E = R 2 et f(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 2 ) et g(x 1, x 2 ) = (0, x 2 ) PSI 8/30 F Bachmann

Dénition 34 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit u une application linéaire de E sur F On appelle Noyau de u l'ensemble noté Ker u deni par Image de u l'ensemble noté Im u deni par Ker u = {x E tel que u(x) = 0 E } Im u = {y F tel qu'il existe x E tel que y = u(x)} Proposition 35 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit u une application linéaire de E sur F L'espace Ker u est un sous espace vectoriel de E et l'espace Im u est sous espace vectoriel de F Démonstration : Exemple Montre que H = {(x 1,, x n ) R n / x 1 + x 2 + + x n = 0} est un sev de R n Exemple Soit E un K espace vectoriel et f L(E) tel que f 2 + 2f + Id E = 0 Montrer que Ker (f + Id E ) Ker (f + 2Id E ) = E PSI 9/30 F Bachmann

Dénition 36 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit u une application linéaire de E sur F On appelle rang de u la dimension de l'espace vectoriel Im (u) et on le note rg(u) Exemple : Soit E un K espace vectoriel de dimension nie Soit f, g L(E), montrer que rg(f + g) rg(f) + rg(g) Proposition 37 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit u une application linéaire de E sur F L'application u est injective si et seulement si Ker u = {0 E } L'application u est surjective si et seulement si Im u = F L'application u est bijective si et seulement si Ker u = {0 E } et Im u = F On parle alors d' isomorphisme, et d' automorphisme si F = E Démonstration : Proposition 38 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit u L(E, F ) 1 L'image par u d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de Im u : Si E = Vect (e 1,, e p ) alors Im (u) = Vect (u(e 1 ),, u(e p )) 2 L'image par u d'une famille liée est une famille liée de F 3 Si u est injective, l'image par u d'une famille libre de E est une famille libre de F Démonstration : PSI 10/30 F Bachmann

32 Applications linéaires en dimension nie Proposition 39 Soit E et F deux K-espaces vectoriels et u une application linéaire de E dans F On suppose que E est un espace vectoriel de dimension n et on considère B = (e 1,, e n ) une base de E, alors pour tout x E u(x) = n x i u(e i ), avec x 1,, x n les coordonnées de xdans la base B i=1 Par conséquent, l'application linéaire u est entièrement déterminée par la donnée des u(e i ) Démonstration : On raisonne par récurrence sur la dimension n de E Proposition 310 Soit E et F deux K-ev avec E de dimension nie et (e 1,, e n ) une base de E Soit f, g L(E, F ) Si i [ 1, n ], f(e i ) = g(e i ) alors f = g : deux applications linéaires qui sont égales sur une base sont égales! Exemple Déterminer l'unique application linéaire f de R 3 dans R 3 telle que f(e 1 ) = 2e 1 + e 3 f(e 2 ) = e 1 + e 2 f(e 3 ) = e 3 Corollaire 311 Soit E et F deux K-espace vectoriel de dimension nie Alors L(E, F ) est un K espace vectoriel de dimension nie et dim L(E, F ) = dim E dim F Proposition 312 Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension nie Soit B une base de E Une application linéaire u L(E, F ) est bijective ssi l'image de cette base B de E est une base de F Démonstration : PSI 11/30 F Bachmann

Corollaire 313 Soient E et F un K-espace vectoriel de dimension nie Si u est un isomorphisme entre E et F alors dim E = dim F Réciproquement si dim E = dim F, alors il existe un isomorphisme entre E et F Proposition 314 Soit E, F deux K-ev de dimension nies Soit φ L(E) bijective, u L(E, F ) et ψ L(F ) bijective alors rg(φ u ψ) = rg(u) Le rang est invariant par isomorphisme 321 Théorème du rang Proposition 315 Soient E un K-ev de dimension nie et F un K-ev quelconque Soit u L(E, F ) Soit G un supplémentaire de Ker u dans E, alors la restriction de u à G réalise un isomorphisme de G dans Im u Démonstration : Théorème 316 (Théorème du rang) Soient E un K-ev de dimension nie et F un K-ev quelconque Soit u L(E, F ), on a dim(e) = dim(ker u) + dim(im u) Démonstration : Conséquence : Si dim(e) = dim(f ), u bijectif u injectif u surjectif PSI 12/30 F Bachmann

Exemples : 1 Soit E un K espace vectoriel de dimension nie n, f, g L(E) tels que f g = 0 et f + g GL(E) Montrer que rg(f + g) = rg(f + g) et en déduire que Im f = Ker g 2 Soit E un K-ev de dimension n et f, g L(E) Montrer que rg(f g) min(rg f, rg g) PSI 13/30 F Bachmann

33 Applications linéaires remarquables 331 Homothéties Dénition 317 Pour λ K, on appelle homothétie de rapport λ l'endomorphisme f λ f λ (x) = λx L(E) qui à tout x E associe 332 Projecteur Dénition 318 Soit E un K-espace vectoriel On dit que p L(E) est un projecteur si p p = p Proposition 319 Soit E un K-espace vectoriel Si p L(E) est un projecteur alors E = Im p Ker p : x E, x = p(x) + x p(x) avec p(x) Im p et x p(x) Ker p x Ker p ssi p(x) = 0 et y Im p ssi p(y) = y Autrement dit, un projecteur n'est rien d'autre qu'une projection sur Im p parallèlement à Ker p : x E, x = x Im + x Ker, avec x Im Im p, x Ker Ker p et p(x) = x Im Démonstration : Exemple : Déterminer la projection p de R 3 sur D = Vect (ε 1 ) avec ε 1 = (1, 1, 0), parallèlement au plan P = Vect (ε 2, ε 3 ) avec ε 2 = (0, 1, 1) ε 3 = (1, 0, 1) PSI 14/30 F Bachmann

333 Symétrie Dénition 320 Soit E un K-espace vectoriel On dit que s L(E) est une symétrie si s s = Id E Proposition 321 Soit E un K-espace vectoriel Si s L(E) est une symétrie alors E = Ker (s Id E ) Ker (s + Id E ) : x E, x = s(x) + x + x s(x) avec s(x) + x Ker (s Id E ) et s(x) + x Ker (s + Id E ) 2 2 2 2 On peut remarquer que s = 2p Id E avec p L(E) un projecteur On dit que p est le projecteur associé à la symétrie s et réciproquement On a Ker (p) = Ker (s + Id E ) et Im (p) = Ker (s Id E ) Exemple : Déterminer la symétrie s de R 3 par rapport à D = Vect (ε 1 ) avec ε 1 = (1, 1, 0) et parallèlement au plan P = Vect (ε 2, ε 3 ) avec ε 2 = (0, 1, 1) ε 3 = (1, 0, 1) PSI 15/30 F Bachmann

4 Matrices Dans tout ce qui suit, K désigne le corps R ou le corps C 41 Dénitions Dénition 41 Pour tous entiers positifs n et p, on appelle matrice de taille n p à coecients dans K un tableau à n lignes et p colonnes : a 11 a 1p a n1 a np Les a ij s'appellent les coecients de la matrice Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de la colonne On note M n,p (K) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et M n (K) = M n,n (K), on parle alors de matrice carrées Quelques matrices particulières : 1 0 0 0 0 la matrice nulle O n,p = M n,p (K), la matrice identité I n = 0 1 0 0 0 0 0 1 a 11 0 0 les matrices diagonales A = 0 a 22 0 M n(k) 0 0 a nn les matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) A = 0 M n(k) 0 0 0 0 (resp A = 0 M n(k)) les matrices lignes ou vecteurs lignes sont les matrices de M 1,n (K) les matrices colonnes ou vecteurs colonnes sont les matrices de M n,1 (K) M n(k) Dénition 42 On appelle ième ligne de la matrice A = (a ij ) M n,p (K) la matrice ligne ( ) a i1 a ip On appelle jème colonne de la matrice A = (a ij ) M n,p (K) la matrice colonne a 1j a nj PSI 16/30 F Bachmann

42 Opérations élémentaires sur les matrices Dénition 43 La somme de deux matrices de même taille A = (a ij ) M n,p (K) et B = (b ij ) M n,p (K), est la matrice C = A + B = B + A = (c ij ) M n,p (K) avec c ij = a ij + b ij Le produit d'une matrice A = (a ij ) M n,p (K) par un scalaire λ K est la matrice B = λa = Aλ = (b ij ) M n,p (K) avec b ij = λa ij Attention : On ne dénit pas la somme de deux matrices de tailles diérentes Dénition 44 Le produit de deux matrices A = (a ij ) M n,p (K) et B = (b ij ) M p,q (K) est la matrice C = (c ij ) M n,q (K) avec c ij = a i1 b 1j + + a ip b pj = p a ik b kj k=1 Attention : Si A M n,p (K) et B M q,l (K) on ne peut eectuer le produit AB que si p = q et le produit BA que si l = n En général, même si p = n = l = q, AB BA Corollaire 45 Si A = (a ij ) M n,p (K) et X = colonne Y = y 1 y n M n,1 (K) avec x 1 x p M p,1 (K) est un vecteur colonne, le produit AX est un vecteur y i = p a ik x k, i = 1,, n k=1 Si X = ( x 1 x n ) M1,n (K) est un vecteur ligne et Y = le produit XY M 1,1 (K) est un scalaire donné par x 1 y 1 + + x n y n = y 1 y n n x i y i Ce n'est rien d'autre que le produit scalaire usuel des deux vecteurs X et Y où X = appelle la transposé de X i=1 M n,1 (K) est un vecteur colonne alors x 1 x n est ce que l'on PSI 17/30 F Bachmann

Remarque Soit A = (a ij ) M n,p (K), on note E j M p,1 (K), F i M 1,n (K) les matrices 0 0 E j = 1 0 jème ligne, F i = ( 0 0 1 0 0 ) ième colonne 0 Alors la matrice AE j est la jème colonne de la matrice A et la matrice F i A est la ième ligne de la matrice A Règles de calcul On se donne A, B, C M n,p (K), D, E M p,q (K), F M q,r (K) et λ, µ K 1 A + (B + C) = (A + B) + C 2 A + B = B + A, A + 0 = A, A A = 0 3 λ(a + B) = λa + λb 4 (λµ)a = λ(µa) 5 I n A = A, AI p = A 6 λ(ac) = (λa)c = A(λC) 7 (A + B)E = AE + BE et A(D + E) = AD + AE 8 A(EF ) = (AE)F Corollaire 46 L'espace (M n,p (K), +, ) est K espace vectoriel de dimension nie, égale à n p L'espace (M n (K), +, ) est un anneau non commutatif, non intègre Exhiber une base de M np (K) ou de M n (K) Exemples : Le produit matriciel n'est pas toujours possible, mais lorsqu'il est possible dans les deux sens, il n'est pas toujours égal : ( ) ( ) 1 2 1 0 Soit A = et B = Comparer AB et BA 3 4 1 1 Soit A = ( 1 1 3 3 ) et B = ( 1 1 1 1 ) Calculer AB PSI 18/30 F Bachmann

Matrices nilpotentes : Dénition 47 On dit qu'une matrice A M n (K) est nilpotente d'ordre q si A q 1 0 et A q = 0 La matrice A M n (K) dénie par est nilpotente d'ordre n 0 1 0 0 0 A = 0 1 0 0 0 Dénition 48 Soit A une matrice de M n (K) et k N on dénit les puissances de la matrice A de la façon suivante : A 0 = I n, A k = A A k 1 pour tout entier k 1 p Soit P un polynôme à coecients dans K, P (X) = α k X k, on dénit la matrice P (A) = On parle de polynômes de matrices k=0 p α k A k k=0 43 Matrice inversible et matrice transposée Dénition 49 On dit qu'une matrice A M n (K) est inversible ssi il existe une matrice B M n (K) telle que AB = BA = I n Si B existe, elle est unique et on note B = A 1 et A 1 est appelé l'inverse de A Remarque : Une des deux relations AB = I n ou BA = I n sut pour montrer que A est inversible On notera GL n (K) l'ensemble des matrices inversibles de taille n n Attention : On ne parle de matrices inversibles que pour des matrices carrées!!! On étudiera au chapitre 4 la notion de déterminant qui nous donnera un critère ecace pour tester si une matrice est inversible ou non Dénition 410 Soit A M np (K) On dénit 1 le noyau Ker (A) de A comme l'ensemble des X M p,1 (K) tel que AX = 0 2 l'image Im (A) de A comme l'ensemble des Y M n,1 (K) tels que il existe X M p,1 (K) tel que AX = Y PSI 19/30 F Bachmann

Proposition 411 Soient A, B M n (K) deux matrices inversibles Alors la matrice AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 (GL n (K), ) est un groupe Démonstration : Dénition 412 On appelle transposée d'une matrice A M n,p (K), la matrice de M p,n (K) que l'on note t A = (α ij ) dénie par α ij = a ji Proposition 413 1 Soient A, B M n,p (K), alors t (A + B) M p,n (K) et t (A + B) = t A + t B 2 Soient A M n,p (K), B M p,n (K) Alors t (AB) M n (K) et t (AB) = t B t A 3 Si A M n (K) est inversible, alors t (A 1 ) = ( t A) 1 Démonstration : Remarque Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est triangulaire supérieure (resp inférieure) L'inverse d'une matrice inversible triangulaire supérieure (resp inférieure) est triangulaire supérieure (resp inférieure) Dénition 414 Soit A, B M np (K) On dit que A et B sont équivalentes si et seulement si il existe Q GL p (K) et P GL n (K) tel que B = QAP 1 Soit M, N M n (K) On dit que M et N sont semblables si et seulement si il existe P GL n (K) tel que M = P NP 1 Remarque : Nous étudierons des propriétés de ces relations plus tard dans ce chapitre etle chapitre 5 PSI 20/30 F Bachmann

44 Matrice d'une famille de vecteurs Dénition 415 Soient E un K-ev de dimension n 1 On se donne B = (e 1,, e n ) une base de E et F = (x 1,, x p ) une famille de p 1 vecteurs de E On appelle matrice de la famille F dans la base B la matrice notée Mat B (F) M np(k) dont les coecients de la jème colonne sont les coordonnées de x j dans la base B : Mat B (F) = (a ij), avec x j = a 1j e 1 + + a nj e n Exemples Proposition 416 Soit E un K-ev de dimension n 1 muni d'une base B = (e 1,, e n ) L'application ϕ : E p M np (K), (x 1,, x p ) Mat (x 1,, x p ) est un isomorphisme d'espaces vectoriels B 45 Matrice d'une application linéaire Dénition 417 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension p et n On se donne B = (e 1,, e p ) une base de E et B = (ε 1,, ε n ) une base de F Soit f L(E, F ) On appelle matrice de f dans les bases B, B la matrice notée Mat (f) M np(k) dont les coecients de la B,B jème colonne sont les coordonnées de f(e j ) dans la base B : Si E = F et B = B on notera Mat (f) B Mat (f) = (a ij), avec f(e j ) = a 1j ε 1 + + a nj ε n B,B Exemples : L'application espaces R 3 R 2 (x, y, z) (2x + 3y + 5z, x + y) est linéaire Déterminer sa matrice dans les bases canoniques des L'application R 2[X] R 2 P (P (0), P (0)) est linéaire Déterminer sa matrice dans les bases canoniques des espaces PSI 21/30 F Bachmann

Proposition 418 Soient E un K-ev de dimension p muni d'une base B et F un K-ev de dimension n muni d'une base B L'application Ψ : L(E, F ) M np (K), f Mat(f) est un isomorphisme d'espaces vectoriels B,B Proposition 419 Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels de dimension nie On se donne B = (e 1,, e p ) une base de E, B = (ε 1,, ε n ) une base de F et B = (η 1,, η q ) une base de G Soit f L(E, F ), g L(E, F ), h L(F, G) et λ K On a 1 Mat(f + g) = Mat(f) + Mat (g) B,B B,B B,B 2 Mat(λf) = λ Mat (f) B,B B,B 3 Mat B,B (h f) = Mat B,B (h) Mat (f) B,B Corollaire 420 Soit E un K-espace vectoriel, B une base de E et f L(E) inversible, alors ( ) 1 Mat (f 1 ) = Mat (f) B B Réciproquement, si Mat(f) est inversible alors f est inversible B f est inversible ssi Ker (f) = {0 E } ssi Im (f) = E ssi rg(f) = dim E ssi Mat(f) est inversible B Proposition 421 Soient E un K-ev de dimension p muni d'une base B et F un K-ev de dimension n muni d'une base B et f L(E, F ) Pour tout x de E, on note X = Mat(x) qui est un vecteur colonne formé des corrdonnées de x dans la abse B B, A = Mat(f) et Y = Mat(f(x), vecteur colonne formé des coordoonées de f(x) dans la base B B,B B Alors Y = AX PSI 22/30 F Bachmann

46 Changement de bases E désigne un K-ev de dimension n 1 Dénition 422 Soient B et B deux bases de E On appelle matrice de passage de la base B à la base B, la matrice notée P B,B dénie par Mat B,B (Id E) Les colonnes de P B,B sont formées des coordonnées des vecteurs de B dans la base B Proposition 423 Soient B et B deux bases de E, alors P B,B est inversible et on a P 1 B,B = P B,B Théorème 424 Soient B et B deux bases de E et x E, alors si X et X désignent les coordonnées de x dans respectivement la base B et la base B et si P B,B désigne la matrice de passage de la base B à la base B, alors X = P B,B X Théorème 425 Soient E, F deux K-espaces vectoriels, B et B deux bases de E et C et C deux bases de F Soit f L(E, F ), alors si P B,B désigne la matrice de passage de la base B à la base B et Q C,C désigne la matrice de passage de la base C à la base C on a Mat (f) = Q C,C B,C Mat 1 B,C (f)p B,B = Q Mat B,C (f)p 1 Remarque : Ainsi les matrices Mat(f) et Mat B,C B,C (f) sont équivalentes 47 Application canoniquement associée à une matrice Dénition 426 Soient n, p N,et M M np (K) On appelle application linéaire canoniquement associée à M, l'application linéaire f de R p dans R n telle que la matrice de f relativement aux bases canoniques de R p et R n soit M On appelle rang de M, le rang de f Le rang de M est égal au rang de ces vecteurs colonnes! Exemple Déterminer l'application linéaire canoniquement associée à M = ( 1 2 3 4 5 6 ) et son rang PSI 23/30 F Bachmann

Exemple Déterminer le rang de la matrice M = 1 1 2 1 1 2 1 1 2 Exemple Déterminer le rang de la matrice M = 1 1 1 1 1 0 1 1 3 Proposition 427 Soit M M np (K), alors rg(m) = rg( t M) Le rang d'une matrice est égal au rang des vecterus colonnes ou des vecteurs lignes Théorème 428 Soit A M n,p (K) de rang r Alors A est équivalente à la matrice suivante ( ) Ir 0 J r,n,p = M 0 0 n,p (K) Proposition 429 Soit M M np (K), P GL n (K) et Q GL p (K) alors rg(p MQ) = rg(m) Corollaire 430 Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang Deux matrices semblables ont même rang mais la réciproque est fausse! Théorème 431 Soit E un K-espace vectoriel, B et B deux bases de E Soit f L(E), alors si P B,B désigne la matrice de passage de la base B à la base B on a Mat (f) = P B,B B Mat (f)p 1 B B,B = P Mat B (f)p 1 PSI 24/30 F Bachmann

Remarque : Ainsi les matrices Mat(f) et Mat(f) sont semblables Autrment dit, deux matrices sont semblables si elles représentent B le même endomorphisme dans deux bases diérentes B Exemple : Dans R 3 rapporté à sa base canonique, on considère l'endomorphisme f de matrice A = 2 0 4 3 4 12 1 2 5 1 Montrer que Ker f, Ker (f Id E ) et Ker (f 2Id E ) sont des droites vectorielles et en déterminer une base 2 Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de f est diagonale Exemple : Exemple d'une matrice de rang 1 PSI 25/30 F Bachmann

48 Les matrices élémentaires de M n (K) Dénition 432 Soit i {1,, n}, on dénit pour a K, a 0 la matrice D i (a) M n (K) qui est diagonale et dont tous les coecients diagonaux sont égaux à 1 excepté le ième qui est égal à a : 1 0 0 0 1 D i (a) = a ième ligne 1 0 0 0 1 Soient i, j deux entiers distincts de {1,, n} (i j), on dénit la matrice E ij comme la matrice dont tous les coecients sont nuls sauf le coecient i, j qui est egal à 1 Soient i, j deux entiers distincts de {1,, n} (i j), pour tout λ K la matrice T ij (λ) = Id n + λe ij : 1 0 0 0 T ij (λ) = 0 λ 0 1 0 0 ième ligne 0 0 0 1 jème colonne Les matrices D i (a) pour a 0 et T ij (λ) sont appelées matrices élémentaires ou dilatation et transvection Proposition 433 On a 1 t (D i (a)) = D i (a), t (T ij (λ)) = T ji (λ) 2 Si a 0, D i (a) est inversible et (D i (a)) 1 = D i ( 1 a), λ K Tij (λ) est inversible et (T ij (λ)) 1 = T ij ( λ) Corollaire 434 Si P M n (K) est le produit de matrices élémentaires, alors P est inversible et son inverse est encore un produit de matrices élémentaires PSI 26/30 F Bachmann

Théorème 435 (Opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes d'une matrice) Soit A M n,p (K) 1 La matrice D i (a)a est la matrice obtenue à partir de A en multipliant la ième ligne de A par a 2 La matrice T ij (λ)a est la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ième ligne de A λ fois la jème ligne 3 La matrice AD i (a) est la matrice obtenue à partir de A en multipliant la ième colonne de A par a 4 La matrice AT ij (λ) est la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ième colonne de A λ fois la jème colonne Proposition 436 Si une matrice s'obtient à partir d'une autre par des opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes, les deux matrices sont équivalentes Le rang d'une matrice est invariant par des opérations élémentaires sur ses lignes ou sur ses colonnes Méthode du pivot de Gauss Déterminer le rang de la matrice suivante : 1 2 3 1 A = 3 2 4 5 2 0 1 1 PSI 27/30 F Bachmann

49 Résolution des systèmes linéaires Proposition 437 Soit A M np (K), P GL n (R) et b M n,1 (K) Alors X K p est solution du système linéaire AX = b si et seulement si X K p est solution du système linéaire P AX = P b Les systèmes linéaires que l'on sait résoudre à la main sont les systèmes associés à une matrice A triangulaire La proposition précédente et l'algorithme du pivot de Gauss assurent qu'on peut toujours se ramener à la résolution d'un systéme triangulaire Dénition 438 On appelle système de Cramer, tout système linéaire de la forme AX = B avec A GL n (K), B M n1 (K) sont données et X M n1 (K) est l'inconnue Proposition 439 Tout système de Cramer admet une unique solution, donnée par X = A 1 B Résoudre un système de Cramer, c'est déterminé l'inverse de la matrice A Déterminer l'inverse d'une matrice A GL n (K) 1 2 3 Déterminer l'inverse de A = 1 3 4 1 2 5 PSI 28/30 F Bachmann

Déterminer l'inverse de A = 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 PSI 29/30 F Bachmann

410 Matrices par blocs Dénition 440 Soit A 11, A 12,, A pp M n (K) On dénit la matrice M M n p (K) par blocs comme suit : M = A 11 A 1p A p1 A pp Remarques : L'addition de deux matrices par bloc peut se faire par bloc La multiplication de deux matrices par bloc peut se faire par bloc (compatible en taille) La transposée est obtenue en transposant les blocs : si on reprend les notations de la dénition précédente, on a t A 11 t A p1 t M = t A 1p t A pp On dit que M est diagonale par bloc si A ij = 0 pour tout (i, j) {1,, p} avec i j Une matrice diagoanle par bloc est inversible si et seulement si chacun des blocs diagonaux est inversible Exemple : Montrer que la matrice suivante est inversible et déterminer son inverse : I n A B M = 0 I n C 0 0 I n avec A, B, C M n (R) PSI 30/30 F Bachmann