COMPARAISON DE FONCTIONS

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot COMPARAISON DE FONCTIONS 1 Notion de voisinge Définition 1.1 Voisinge Soit R = R {± }. On ppelle voisinge de une prtie de R contennt un intervlle de l forme : ] ε; + ε[ vec ε > 0 si R, ]A; + [ si = +, ] ; A[ si =, Exemple 1.1 x 1 x 2 est définie u voisinge de 0 puisqu elle est définie sur ] 1, 1[. x x 2 + x 3 est positive u voisinge de 0 puisqu elle l est sur ] 1, 1[. x ln x est positive u voisinge de + puisqu elle l est sur ]1, + [. 2 Négligeilité 2.1 Définition Définition 2.1 Soient f et g deux fonctions définies dns un voisinge V de (éventuellement privé de si f ou g n est ps définie en ). On dit que f est négligele devnt g s il existe une fonction ε : V R telle que f(x) = g(x)ε(x) pour tout x V, lim x ε(x) = 0. On note lors f = o(g) ou encore f(x) = o(g(x)) x Négligeilité en prtique En prtique, l définition précédente est difficile à mnipuler. Qund g ne s nnule ps u voisinge de, f(x) f(x) = o(g(x)) équivut à lim x x g(x) = 0. Exemple 2.1 x 4 = o(x 2 ). x 2 = o(x 4 ). http://lurent.grcin.free.fr 1

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Attention! f = o(0) signifie que f est nulle u voisinge de, ce qui est très rrement le cs dns les exercices et les prolèmes. Dns 99% des cs, si vous outissez à une telle expression lors d un clcul, c est que vous vous êtes trompés. Nottion 2.1 L reltion de négligeilité f g = o(h) s écrit églement f = g + o(h). 2.2 Exemples fondmentux Proposition 2.1 Au voisinge de + Soit (α, β) R 2. Alors α < β x α = o(x β ). Soit (, ) ( 2. R+) Alors < x = o( x ). Soit (α, β) ( R+). Alors (ln x) α = o(x β ). Soit (α, β) ( R+). Alors x α = o(e βx ). Proposition 2.2 Au voisinge de 0 Soit α, β R. Alors α > β x α = o(x β ). Soit α, β R vec β > 0. Alors ln x α = o Å 1 x β ã. Proposition 2.3 Au voisinge de Å ã 1 Soit α, β R +. Alors e αx = o x x β. Soit, R +. Alors > x = x o( x ). 2.3 Opértions sur les petits o Proposition 2.4 Opértions sur les petits o Trnsitivité o(g) et g = Multipliction pr un réel non nul o(h), lors f = o(h). o(g) et λ 0, lors f = o(λg). Cominison linéire de fonctions négligeles devnt une même fonction Si f 1 = o(g) et f 2 = o(g), lors pour tout (λ 1, λ 2 ) R 2, λ 1 f 1 + λ 2 f 2 = Produit Si f 1 = o(g 1 ) et f 2 = o(g 2 ), lors f 1 f 2 = o(g 1 g 2 ). o(gh). Composition à droite o(g), lors fh = o(g) et lim ϕ = lors f ϕ = o(g ϕ). o(g). http://lurent.grcin.free.fr 2

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Remrque. On en déduit isément les résultts suivnts : g + o(h) et λ 0, lors f = g + o(λh). Si f 1 = g 1 + o(h) et f 2 = g 1 + o(h), lors pour tout (λ 1, λ 2 ) R 2, λ 1 f 1 + λ 2 f 2 = λ 1 g 1 + λ 2 g 2 + o(h). gk + o(hk). g + o(h), lors fk = Attention! Opértions interdites On n dditionne ps des reltions de négligeilité memre à memre : f 1 = o(g 1 ) et f 2 = o(g 2 ) f 1 + f 2 = o(g 1 + g 2 ) Pr exemple, x 1 = o(x 2 ) et 1 = o(1 x 2 ) mis x o(1). On ne compose ps à guche : f = o(g) ϕ f = o(ϕ g) Pr exemple, x = o(x 2 ) mis, si on compose à guche pr x 1 x, 1 x Å ã 1 o x 2. Chngement de vrile En prtique, l composition à droite s interprète comme un chngement de vriles. Si f(u) = o(g(u)) et u u = ϕ(x), lors f(ϕ(x)) = o(g(ϕ(x))). x x Exemple 2.2 Pour comprer x e 1 x et 1 x en 0+, on pose u = 1 x. On u + et u = o (e u ) donc 1 + u + x = o Ä ä e 1 x. + 3 Équivlence 3.1 Définition Définition 3.1 Soient f et g deux fonctions définies dns un voisinge V de (éventuellement privé de si f ou g n est ps définie en ). On dit que f est équivlente à g s il existe une fonction η : V R telle que f(x) = g(x)η(x) pour tout x V, lim x η(x) = 1. On note lors f g ou encore f(x) g(x) x Équivlence en prtique En prtique, l définition précédente est difficile à mnipuler. Qund g ne s nnule ps u voisinge de, f(x) f(x) g(x) équivut à lim x x g(x) = 1. http://lurent.grcin.free.fr 3

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exemple 3.1 x 2 + 5x + 4 1 x + 1 x 2 x 2. 1 x 2. Attention! f 0 signifie que f est nulle u voisinge de, ce qui est très rrement le cs dns les exercices et les prolèmes. Dns 99% des cs, si vous outissez à une telle expression lors d un clcul, c est que vous vous êtes trompés. Proposition 3.1 Équivlence et négligeilité f g f = g + o(g) f = o(g) g + f g Exemple 3.2 e x + x 2 + ln x e x cr x 2 = o(e x ) et ln x = o(e x ). f Attention! Les propositions lim f g = 0 ne sont ps du tout équivlentes. On ne peut même g = 1 et lim ps dire que l une implique l utre. En termes de petits o, l première proposition se trduit pr f g = o(g) et l seconde pr f g = o(1). Proposition 3.2 Signe et équivlence Si f g, lors f et g sont de même signe u voisinge de. 3.2 Exemples fondmentux Proposition 3.3 Logrithme, exponentielle, puissnce Un polynôme est équivlent en 0 à son monôme non nul de plus s degré. Un polynôme est équivlent en ± à son monôme non nul de plus hut degré. ln(1 + x) x i.e. ln(1 + x) = x + o(x) e x 1 x i.e. e x = 1 + x + o(x) (1 + x) α 1 αx i.e. (1 + x) α = 1 + αx + o(x) Proposition 3.4 Fonctions circulires sin x x i.e. sin x = x + o(x) x 2 1 cos x 2 tn x i.e. cos x = 1 x2 2 + o(x2 ) x i.e. tn x = x + o(x) http://lurent.grcin.free.fr 4

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Proposition 3.5 Fonctions circulires réciproques rcsin x x i.e. rcsin x = x + o(x) π π 2 rccos x rctn x x i.e. rccos x = x i.e. rctn x = 2 x + o(x) x + o(x) Proposition 3.6 Fonctions hyperoliques sh x x i.e. sh x = x + o(x) x 2 ch x 1 2 th x i.e. ch x = 1 + x2 2 + o(x2 ) x i.e. th x = x + o(x) Attention! Ne jmis mélnger petits o et équivlents. Pr exemple, on n écrir ps (1+x) α 1+αx+o(x). On peut pr contre écrire (1+x) α 1+αx mis cel revient en fit à écrire (1+x) α 1 puisque 1+αx 1. Remrque. Pour α = 1 et α = 1, on otient : 2 1 1 + x = 1 x + o(x) 1 + x = 1 + x 2 + o(x) 3.3 Opértions sur les équivlents Proposition 3.7 Opértions sur les équivlents Réflexivité f f. Symétrie Si f g, lors g f. Trnsitivité Si f g et g h, lors f h. Équivlence et petits o Si f 1 = o(g 1 ) et si f 1 f 2 et g 1 g 2, lors f 2 = o(g 2 ). Produit Si f 1 f 2 et g 1 g 2, lors f 1 g 1 f 2 g 2. Inverse Si f g et si f ne s nnule ps u voisinge de, lors 1 f Puissnce Si f g et si f > 0 u voisinge de 0, lors f α g α pour tout α R. Composition à droite Si f g et lim ϕ = lors f ϕ g ϕ. 1 g. http://lurent.grcin.free.fr 5

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Attention! Opértions interdites On n dditionne ps les équivlents : Pr exemple, x + 1 x et x + 3 On ne compose ps à guche : Pr exemple, x f 1 g 1 et f 2 g 2 f 1 + f 2 g 1 + g 2 x + 1 mis 4 1. f g ϕ f ϕ g x + ln x mis, si on compose à guche pr x e x, e x xe x. Déterminer un équivlent d une somme Même si l on n ps le droit d dditionner des équivlents, on peut tout de même déterminer un équivlent d une somme. L idée est de psser pr des reltions de négligeilité pour revenir ensuite à un équivlent. Exemple 3.3 On souhite déterminer un équivlent de x sin x + tn x en 0. On sit que sin x x et tn x x. Ces x + o(x). On peut lors dditionner deux reltions peuvent églement s écrire sin x = x + o(x) et tn x = ces deux reltions de négligeilité. On otient sin x + tn x = 2x + o(x) ce qui équivut à sin x + tn x 2x. Chngement de vrile En prtique, l composition à droite s interprète comme un chngement de vriles. Si f(u) u = ϕ(x), lors f(ϕ(x)) g(ϕ(x)). x x u g(u) et Exemple 3.4 Pour déterminer un équivlent de x sin x 2 en 0, on pose u = x 2. Alors u sin x 2 x 2. 0 et sin u u 0 u donc Remrque. L pluprt des équivlents usuels sont donnés en 0. On essier donc presque toujours de se rmener en 0 pr chngement de vrile. Exemple 3.5 Pour déterminer un équivlent de x tn ( donc tn x π ) 4 x π π 4. 4 x ( x π ) en π 4 4, on pose u = x π 4. Alors u π x 4 0 et tn u u u 0 http://lurent.grcin.free.fr 6

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exemple 3.6 Pour déterminer un équivlent de x e 1 x 1 e 1 x 1 x. 1 en +, on pose u = 1. Alors u 0 et e u 1 u donc x u 0 4 Lien vec les limites 4.1 Limites et petits o Proposition 4.1 Lien vec les limites Soit f une fonction définie u voisinge de (éventuellement non définie en ). Alors lim f = l f = l + o(1) Remrque. En prticulier, lim f = 0 f = o(1). Exemple 4.1 On souhite déterminer l limite éventuelle de x e2x e x x e x = 1 + x + o(x). Ainsi e 2x e x = x + o(x) donc e2x e x x en 0. On sit que e 2x = 1 + 2x + o(x) et que e 2x e x = 1 + o(1). On en déduit que lim = 1. x 4.2 Limites et équivlents Proposition 4.2 Limites et équivlents Soient f et g deux fonctions définies u voisinge de (éventuellement non définies en ). Si f g, lors soit f et g ont toutes deux une limite en et lim f = lim g, soit f et g n ont ps de limite en. Soit l un réel non nul. Alors lim f = l si et seulement si f l. Exemple 4.2 On souhite déterminer l limite éventuelle de x ln(1 + x3 )(e x2 1) sin 3 x(1 cos x) ln(1 + x 3 ) x 3 (vi le chngement de vrile u = x 3 ) ; e x2 1 x 2 (vi le chngement de vrile u = x 2 ) ; sin 3 x x 3 ; x 2 1 cos x 2. On en déduit que ln(1 + x3 )(e x2 1) sin 3 x(1 cos x) 2 et donc lim ln(1 + x 3 )(e x 2 sin 3 x(1 cos x) en 0. On sit que 1) = 2. http://lurent.grcin.free.fr 7

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Attention! On peut voir lim f = lim g sns voir f g. Pr exemple, lim ex = lim x = + mis ex x, lim x2 = lim x = 0 mis x 2 x. Remrque. L utilistion des équivlents permet de déterminer élégmment des limites de frctions rtionnelles en l infini ou en 0. Exemple 4.3 Or et lim lim x 2x 3 5x 2 + 1 3x 2 2x 4 2x 3 3x 2 = 2 3 x 2 2x 3 5x 2 + 1 x = + donc lim 3 3x 2 = +. De même 2x 4 2x 3 5x 2 + 1 3x 2 2x 4 2 2x 3 5x 2 + 1 x = donc lim 3 x 3x 2 2x 4 =. 2 x 3 x Exemple 4.4 donc lim 2x 5 + x 4 x 3 2x 6 x 5 + x 4 3x 3 = 1 3. 2x 5 + x 4 x 3 2x 6 x 5 + x 4 3x 3 x 3 3x 3 = 1 3 5 Domintion 5.1 Définition Définition 5.1 Soient f et g deux fonctions définies dns un voisinge V de (éventuellement privé de si f ou g n est ps définie en ). On dit que f est dominée pr g s il existe une constnte K telle que f(x) K g(x) pour tout x V. On note lors f = O (g) ou encore f(x) = O (g(x)) x Domintion en prtique En prtique, l définition précédente est difficile à mnipuler. Qund g ne s nnule ps u voisinge de, f(x) = o(g(x)) équivut à f x g ornée u voisinge de. http://lurent.grcin.free.fr 8

Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Attention! f = O (0) signifie que f est nulle u voisinge de, ce qui est très rrement le cs dns les exercices et les prolèmes. Dns 99% des cs, si vous outissez à une telle expression lors d un clcul, c est que vous vous êtes trompés. Remrque. En prticulier dire que f = O (1) signifie que f est ornée u voisinge de. 5.2 Opértions sur les grnds O Proposition 5.1 Opértions sur les grnds O Multipliction pr un réel non nul O (g) et λ 0, lors f = O (λg). Cominison linéire de fonctions négligeles devnt une même fonction Si f 1 = Trnsitivité O (g) et f 2 = O (g) et g = O (g), lors pour tous λ 1, λ 2 R, λ 1 f 1 + λ 2 f 2 = O (h), lors f = O (h). Produit Si f 1 = O (g 1 ) et f 2 = O (g 2 ), lors f 1 f 2 = O (g 1 g 2 ). O (gh). Composition à droite O (g), lors fh = O (g) et lim ϕ = lors f ϕ = Équivlence et grnds O Si f 1 = O (g 1 ) et si f 1 Petits o et grnds O O (g) et g = o(g) et g = O (g ϕ). f 2 et g 1 g 2, lors f 2 = O (g 2 ). o(h), lors f = o(h). o(h). O (h), lors f = O (g). Attention! Opértions interdites On n dditionne ps des reltions de domintion memre à memre : f 1 = O (g 1 ) et f 2 = O (g 2 ) f 1 + f 2 = O (g 1 + g 2 ) On ne compose ps à guche : f = O (g) ϕ f = O (ϕ g) 5.3 Reltion entre domintion, négligeilité et équivlence Proposition 5.2 L négligeilité et l équivlence impliquent l domintion. o(g) ou f g, lors f = O (g) Attention! L réciproque est fusse. http://lurent.grcin.free.fr 9