mai 06 9 exercices de mathématiques pour re S Stéphane PASQUET
Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 I Le second degré.................................. I. Calcul de discriminant et de racines............................ I. Équation avec une racine carrée.............................. I. Avec changement de variables............................... I.4 Changements de variables.................................. I. Résolution d inéquations.................................. I.6 Une inéquation....................................... I.7 Polynôme de degré.................................... I.8 Polynôme de degré 4.................................... I.9 Trouver un trinôme à partir d une parabole......................... I.0 Trouver la bonne courbe.................................. I. Conditions sur deux paramètres.............................. 4 I. Trinôme avec un paramètre................................ 4 I. Une équation avec paramètre............................... 4 I.4 La trajectoire de la balle de tennis............................. I. En Physique........................................ I.6 À Noël........................................... 6 I.7 Vers le nombre d or.................................... 6 I.8 Une autre écriture pour une racine carrée......................... 6 I.9 Aire d une couronne rectangulaire............................. 7 I.0 Trouver deux nombres................................... 7 I. Exercice de recherche................................... 7 II Généralité sur les fonctions........................... 8 II. Trouver le domaine de définition.............................. 8 II. Fonctions paires, fonctions impaires............................ 8 II. Lecture de tableaux de variation.............................. 8 II.4 Lectures graphiques.................................... 9 II. Décompositions en fonctions de référence......................... 0 II.6 Fonctions associées : domaine de définition et variations ()............... 0 II.7 Fonctions associées : domaine de définition et variations ()............... 0 II.8 Étude d une fonction avec valeurs absolues........................ II.9 Valeur absolue d un polynôme de degré......................... II.0 Calculs avec valeurs absolues............................... II. Équations avec valeurs absolues............................. II. Inéquations avec valeurs absolues............................. ii
II. Ensemble de points.................................... III Suites........................................ 0 III. Sens de variation..................................... 0 III. Sens de variation, majorant et minorant......................... 0 III. Sens de variation d une suite définie par récurrence.................... 0 III.4 Sens de variation d une suite avec racines carrées.................... 0 III. Reconnaître une suite arithmétique et géométrique.................... III.6 Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, le retour.............. III.7 Trouver un terme ou la raison dans une suite arithmétique................ III.8 Trouver un terme ou la raison d une suite géométrique.................. III.9 Établir une relation de récurrence............................. III.0 Somme des premiers termes d une suite arithmétique.................. III. Somme des premiers termes d une suite géométrique.................. III. Le super-héros...................................... III. Étude d une suite arithmético-géométrique avec algorithme............... 4 III.4 Le débit de l eau, le débit de lait............................. III. Somme des premiers termes d une suite arithmético-géométrique............ III.6 Suite homographique et suite géométrique, avec un algorithme............. 6 III.7 Suite homographique et suite arithmétique....................... 6 III.8 Compilation d exercices................................. 7 III.9 Suites imbriquées..................................... 8 III.0 Suites imbriquées..................................... 8 IV Dérivation...................................... 8 IV. Nombre dérivé & équation de tangentes......................... 8 IV. Lecture graphique de nombres dérivés.......................... 8 IV. Détermination d une fonction par lecture graphique................... 84 IV.4 Détermination d une fonction par lecture graphique................... 8 IV. Dérivées de référence................................... 8 IV.6 Dérivées de fonctions produits et quotient........................ 8 IV.7 Variations de fonctions produits.............................. 8 IV.8 Sens de variation de fonctions quotients......................... 86 IV.9 Étude complète de la fonction x x x....................... 86 x + IV.0 Optimisation d une aire dans un triangle rectangle................... 86 IV. Optimisation du volume d une boîte........................... 86 IV. Optimisation d une aire dans une parabole....................... 87 IV. Optimisation du volume d un cône............................ 88 V Trigonométrie................................... 06 V. Mesure principale...................................... 06 V. Calculs de mesures principales d angles.......................... 06 V. Lecture d angles sur le cercle trigonométrique....................... 06 V.4 Résolution d équations trigonométriques.......................... 07 V. Transformation d une équation.............................. 07 V.6 Équations avec changement de variable.......................... 07 V.7 À la découverte d un sinus et d un cosinus inconnu.................... 08 iii
VI Géométrie plane.................................. 9 VI. Vecteurs colinéaires dans un repère............................ 9 VI. Vecteurs avec paramètre................................. 9 VI. Alignement de points................................... 9 VI.4 Alignement de points................................... 9 VI. Dans un parallélogramme................................. 0 VI.6 Équations cartésiennes de droites............................. 0 VI.7 Équation de droites avec paramètre............................ 0 VI.8 Équation de droites & médiatrice............................. VI.9 Un algorithme....................................... VII Produit scalaire.................................. 9 VII. Produits scalaires et angles................................ 9 VII. Produits scalaires et angles dans un repère orthonormé................. 9 VII. Angle dans un carré................................... 0 VII.4 Détermination d un angle dans un cercle......................... 0 VII. Dans un rectangle.................................... 0 VII.6 Équation de droites perpendiculaires........................... 0 VII.7 Équations de cercles................................... VII.8 Trois cercles tangents................................... VII.9 La formule de Héron................................... VII.0 Aire d un triangle inscrit dans un cercle......................... VII. Avec les formules trigonométriques........................... VII. Dans un repère : cercle, angle et hauteur........................ VII. Dans un rectangle.................................... VIII Statistiques descriptives............................. VIII. Notes de deux classes.................................. VIII. Salaires dans deux entreprises.............................. VIII. Influence d un ajout dans une série statistique..................... VIII.4 Un algorithme...................................... VIII. De l algèbre dans les statistiques............................ IX Probabilités..................................... 6 IX. Différents ordinateurs................................... 6 IX. 49 boules dans un urne.................................. 6 IX. Deux urnes........................................ 64 IX.4 Avec deux dés....................................... 64 IX. Avec une pièce de monnaie................................ 6 IX.6 Lancer de pièces..................................... 6 IX.7 Nombre variable de boules................................ 6 IX.8 Recherche d une mise de départ.............................. 6 IX.9 Avec une urne....................................... 66 IX.0 Dans une usine de composants électroniques...................... 67 IX. Au lycée à vélo...................................... 67 IX. Au tennis......................................... 67 IX. Le jeu des petits chevaux................................ 68 iv
X Fluctuation et échantillonnage.......................... 79 X. Pièce défectueuse..................................... 79 X. Un dé peut-être truqué................................... 79 X. Le médecin de campagne................................. 79 X.4 Les OVNIS......................................... 80 X. Coup de fatigue au centre d appels............................ 80 v
Règles de navigation Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 Bonjour. J ai souhaité créé ici un document dans lequel il est facile de naviguer. C est la raison pour laquelle : À chaque énoncé d exercices, vous pouvez cliquer sur le numéro de la page où se trouve le corrigé pour vous y rendre directement ; À tout moment, vous pouvez retourner au sommaire en cliquant sur le petit carré qui se trouve devant chaque titre. D autre part, il se peut que quelques erreurs se soient glissées dans les énoncés ou corrections ; si vous avez un doute, n hésitez pas à me contacter via le formulaire qui se trouve sur mon site (http://www.mathweb.fr/contact.html) afin d aboutir à un document tendant vers la perfection... Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon travail! Stéphane Pasquet vi
Compilation LATEX ε de ce document Disponible sur http: // www. mathweb. fr mai 06 Ce document repose sur deux extensions personnelles : pas-exos.sty pas-echant.mod.tex tous les deux disponibles gratuitement sur la page : de mon site. http://www.mathweb.fr/latex-packages-personnels.html Il a été initialement rédigé sous Ubuntu, mais dernièrement compilé sous Windows 0. Vous aurez besoin de GIAC Xcas pour les calculs sur les échantillonnages. Utilisateurs de Windows : vérifiez que C:\xcas\ apparaît bien dans le PATH (tapez «invite de commandes» dans la barre de recherche, lancez le terminal, puis tapez «path» et validez. Si ce chemin ne figure pas dans le PATH, tapez «variables d environnement» dans la barre de recherche et sélectionnez «Modifier les variables d environnement système» cliquez ensuite sur le bouton «Variables d environnement» en bas de la fenêtre qui apparaît ; sous «variables système», il y a une fenêtre dans laquelle apparaît une ligne commençant par «Path» : sélectionnez-là puis cliquer sur le bouton «Modifier» ; ajoutez «C :\xcas\» en fin de ligne. Il vous faudra redémarrer le système pour que ce changement soit pris en compte. vii
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Le second degré Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Équations Exercice. Calcul de discriminant et de racines A (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 8 Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant et ses éventuelles racines. x x + x x + x + x 4 x + x + x x + 6 x x + 7 4 x 4x + 6 8 x 8x + 9 x + 4x + Exercice. Équation avec une racine carrée A (Source : 0-secdeg-08) Corrigé page 9 Résoudre les équations suivantes : x + = x x 8 = x x = x Exercice. Avec changement de variables A (Source : 0-secdeg-09) Corrigé page 0 Résoudre les équations suivantes : x x + 4 = 0 x 4 + x = 0 6 x + x = 0 4 Ä cos x ä + cos x = 0 (x x + ) (x x + ) + = 0
Exercice 4. Changements de variables R (Source : 0-secdeg-7) Corrigé page On souhaite résoudre sur ] π ; π] l équation (E) suivante : 4 Ä sin x ä Ä ä + sin x 6 = 0 On pose = 0 + 8 6 et on suppose que = Ä a + b 6 ä. a. Montrer que a + 6b = 0 et ab = 4. b. En déduire que a 4 0a + 96 = 0. c. Trouver alors a et b et en déduire. En déduire les solutions de (E). Inéquations Exercice. Résolution d inéquations A (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 4 Résoudre les inéquations suivantes : x + x + < 0 x x + 0 x + x < 0 4 x 9x + 0 x 7x + 0 0 6 4x 0x + > 0 7 4x x x + 0 8 (x )( x + x + ) < 0 Exercice 6. Une inéquation R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 6 Résoudre l inéquation : 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x +
Factorisation Exercice 7. Polynôme de degré R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 7 On considère le polynôme P (x) = x + 7x + 7x +. Vérifier que x = est une racine de P. Factoriser alors P (x) sous la forme P (x) = (x + )Q(x), où Q est un trinôme de degré. Résoudre alors l équation P (x) = 0. Exercice 8. Polynôme de degré 4 R (Source : 0-secdeg-8) Corrigé page 8 On considère le polynôme P (x) = 0x 4 9x 4x + 07x 4. Calculer P () et P ( ). En déduire que P (x) = A(x) B(x), où A et B sont deux polynômes de degré que l on déterminera. En déduire les racines de P. Lectures graphiques Exercice 9. Trouver un trinôme à partir d une parabole R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 8 Nous avons tracé dans le repère sur la page suivante des paraboles. P P 4 #» j O #» ı P P Retrouver les trinômes (sous la forme développée) correspondant à chacune d elles. Exercice 0. Trouver la bonne courbe R (Source : 0-secdeg-6) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : f(x) = x + x x.
Montrer que f() = 0. En déduire une factorisation de f(x) sous la forme f(x) = (x )(ax + bx + c). En déduire la courbe représentative de f parmi les trois ci-dessous : 0 4 a Trinôme avec paramètres 0 4 b 0 4 c Exercice. Conditions sur deux paramètres R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 0 On considère le trinôme x + mx + p, où m et p sont deux réels. À quelles conditions sur m et p ce trinôme admet au moins une racine? Exercice. Trinôme avec un paramètre R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 0 Montrer que, pour tout k dans R \ { }, le polynôme : P (x) = (k + )x + kx + (k ) admet toujours deux racines distinctes. Exercice. Une équation avec paramètre R (Source : 0-secdeg-4) Corrigé page 0 On considère l équation : (E m ) : (m + )x + (m )x + (m + 4)(m ) = 0. Pour m = 0, donner les solutions de (E 0 ). Pour quelles valeurs de m l équation (E m ) admet-elle une unique solution? Pour quelles valeurs de m l équation (E m ) admet-elle pour solution? 4
Exercices de recherche Exercice 4. La trajectoire de la balle de tennis R (Source : 0-secdeg-04) Corrigé page Un joueur de tennis se trouve à 9 m du filet et renvoie la balle à h = 0 cm du sol avec un angle de α = 0 avec l horizontale. En fonction de sa position délicate, on estime sa vitesse de frappe à v 0 = 0 km/h. Sachant que la hauteur du filet est 9,4 cm et que la trajectoire de la balle est donnée par la formule : y = g (v 0 cos α) x + x tan α + h, où : g 9, 8 m s, v 0 est la vitesse initiale (exprimée en m s ), α est l angle de la trajectoire avec l horizontale, h est la hauteur initiale (exprimée en mètre), La balle dépassera-t-elle le filet? Si tel n est pas le cas, quelle vitesse aurait-il fallu donner à la balle en la frappant? Exercice. En Physique R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page On dispose de deux conducteurs de résistances R et R. Si on les monte en série (figure I.), on obtient un dipôle ohmique de résistance r = R + R. Si on les monte en parallèle (figure I.), on obtient un dipôle ohmique de résistance R telle que R = R + R (on dit que R est la moyenne harmonique de R et R ). R R Figure I. En série R R Figure I. En parallèle On sait que r = 0 Ω et R = Ω. Trouvez R et R.
Reprenez la question précédente avec r = 4 Ω et R = Ω. On connaît r et R. Montrez que l on peut alors calculer R et R à la seule condition que r 4R. Exercice 6. À Noël R (Source : 0-secdeg-06) Corrigé page Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noël. Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes. Sachant qu au total 468 cadeaux ont été déposés près de l arbre de Noël, combien de personnes y avait-il? Exercice 7. Vers le nombre d or R (Source : 0-secdeg-07) Corrigé page 4 Résoudre l équation : On notera ϕ la solution positive. x = + x. Que vaut : N = +» + + +? Exercice 8. Une autre écriture pour une racine carrée R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 4 On pose : A =» + 0. On cherche à écrire A sous la forme a + b, où a et b sont deux entiers relatifs. Développer Ä a + b ä. Montrer alors que : a + b = ab = 0 Calculer alors a et b. 4 S inspirer de ce qui vient d être fait pour trouver une formule permettant de calculer a et b tels que :» p + q n = a + b n ; p Z, q Z, n N. 6
Exercice 9. Aire d une couronne rectangulaire R (Source : 0-secdeg-9) Corrigé page 6 x x x 6 Déterminer x de sorte que l aire de la partie blanche de la figure ci-contre soit égale à celle du rectangle plein. 0 x Exercice 0. Trouver deux nombres R (Source : 0-secdeg-0) Corrigé page 7 Deux entiers naturels ont pour différence 7, et la différence entre leur produit et leur somme est égale à 4. Trouver ces deux nombres. Exercice. Exercice de recherche R (Source : 0-secdeg-) Corrigé page 7 On considère un triangle de côtés de mesures respectives a, b et c telles que : a + b + c = ab + ac + bc. Montrer que ce triangle est équilatéral. Indication : on pourra partir de l égalité donnée, puis s en inspirer pour poser une fonction trinôme de degré d inconnue a par exemple. 7
Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. x x + = (x ) (c est une identité remarquable). Par conséquent, = 0 et sa racine double est α =. x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 = 9 8 =. α = ( ) = et β = ( ) + =. x + x. Les racines sont donc : = 4 ( ) ( ) = 9 8 =. 4 x + x +. α = ( ) < 0 donc le trinôme n a aucune racine. + = et β = ( ) =. = 4 =. x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 = =. α = ( ) = 6 et β = +. 6 6 x x +. Les racines sont donc : = ( ) 4 ( ) = + 4 = 49. α = ( ) 49 ( ) = 7 4 = et β = + 7 4 =. 8
7 4 x 4x + 6. Donc le trinôme a une racine double : 8 x 8x +. Les racines sont donc : 9 x + 4x +. α = ( 8) 40 = ( 4) 4 6 = 6 6 = 0. 4 α = 4 4 = 8. = ( 8) 4 = 64 4 = 40. = 8 0 6 Les racines sont donc : α = 4 76 ( ) = 4 9 0 Corrigé de l exercice. = 4 0 = 4 4 ( ) = 6 + 60 = 76. = + 9 Le domaine de validité de l équation : x + = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x + 0 x 0 soit : On a : x. etβ = 4 + 0. 6 et β = 9. x + = x x + = (x ) x + = 4x x + 9 4x x + 8 = 0. Le discriminant de 4x x + 8 est : = 69 8 = 4. Les solutions de l équation sont donc potentiellement : α = 4 8 0, 8 et β = + 4 8, 4. Comme α < et β, l ensemble solution de l équation est : { } + 4 S = 8 9
Le domaine de validité de l équation x 8 = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x 8 0 x 0 soit :x. On a : x 8 = x x 8 = (x ) x 8 = 4x 0x + x 0x + = 0 Le discriminant de x 0x + est : = 400 96 = 4, donc il y a deux solutions potentielles : α = 0 6 = et β =. α > et β > donc l ensemble solution de l équation est : S = ß ; Le domaine de validité de l équation : x = x est l ensemble des valeurs de x telles que : x 0 x 0 soit x =. Nul besoin donc d aller plus loin ; l ensemble solution de l équation x = x est : ß S = Corrigé de l exercice. x x + 4 = 0. On pose X = x ; ainsi, l équation est équivalente à : X X + 4 = 0, dont le discriminant est : = 6 = 9. 0
Donc les solutions de l équation X X + 4 = 0 sont : X = = et X = + = 4. Les solutions de l équation x x + 4 = 0 doivent donc vérifier : x = et x = 4, d où : D où : x = et x = 6. S = { ; 6} x 4 + x = 0. On pose X = x ; ainsi, l équation est équivalente à : X + X = 0, dont le discriminant est : = 9 8 =. Les solutions de l équation X + X = 0 sont donc : X = = et X = + =. Les solutions de l équation x 4 + x = 0 sont donc x et x tels que : x = et x =, soit : x = ou x = et x = ou x =. L ensemble solution de l équation x 4 + x = 0 est donc : S = ; ; ; Ä cos x ä + cos x = 0. On pose X = cos x ; ainsi, l équation est équivalente à : dont le discriminant est : Elle admet donc deux solutions distinctes : X + X = 0 = 9 4 ( ) = =. X = = et X = + 4 =. X = et X = cos x donc cos x =, ce qui est impossible car un cosinus est toujours compris entre et ; X = et X = cos x donc cos x =, soit x = π (à π près) ou x = π près). (à π
Ainsi, l ensemble solution de l équation Ä cos x ä + cos x = 0 est : S = ß π (à π près) ; π (à π près) 4 (x x + ) (x x + ) + = 0. On pose X = x x + ; ainsi, l équation est équivalente à : X X + = 0 dont les solutions évidentes sont X = et X =. X = x x + = x(x ) = 0 x = 0 ou x =. X = x x + = x x = 0. Le discriminant de cette dernière équation est = 9 + 4 = donc les solutions sont : x = et x = +. Ainsi, l ensemble solution de l équation (x x + ) (x x + ) + = 0 est : S = { ; 0 ; ; + } 6 x + x = 0. On pose X = X ; ainsi, l équation est équivalente à : 6X + X = 0 dont le discriminant est : = 4 6 ( ) = 49 = 7. Les solutions de l équation 6X + X = 0 sont donc : X = 7 6 = et X = + 7 =. X = et X = x donc x = X = ; X = et X = x donc x = X =. Ainsi, l ensemble solution de l équation 6 x + x = 0 est : S = ß ;
Corrigé de l exercice 4. a. = 0 + 8 6 Ä a + b 6 ä = 0 + 8 6 a + ab 6 + 6b = 0 + 8 6 a + 6b + ab 6 = 0 + 8 6 a + 6b = 0 ab = 8 a + 6b = 0 ab = 4 b. ab = 4 donc b = 4. La première équation donne alors : a Å 4 ã a + 6b = 0 a + = 0 a a + 6 6 a = 0 a 4 + 96 = 0a a 4 0a + 96 = 0 c. On pose A = a ; l équation a 4 0a + 96 = 0 est équivalente à : dont le discriminant est : A 0A + 96 = 0 = ( 0) 4 96 = 6 = 4. L équation A 0A + 96 = 0 admet donc deux solutions : A = 0 4 = 8 = a et A = 0 + 4 = = a. Ainsi, a = 8 = ou a = 8 =, et a = = ou a =. Faisons le choix de prendre a = ; alors b = 4 = =. Dans ce cas, a + b 6 = + 6 = Ä + ä. Or, î Ä + äó Ä ä = 4 + + 6 = 0 + 8 6 =. Ainsi, = Ä + ä. 4 Ä sin x ä Ä ä + sin x 6 = 0. On pose X = sin x. (E) est donc équivalente à : 4X + Ä ä X 6 = 0. Le discriminant de 4X + Ä ä X 6 est : î Ä äó Ä ä Ä ä 4 4 6 = 4 + 6 + 6 6 = 0 + 8 6 =.
Ainsi, l équation en X admet deux solutions distinctes : et Ainsi, soit, sur ] π ; π] : X = Ä ä 4 X = Ä ä + 4 sin x = = Ä + ä = + Ä + ä 8 8 et sin x = = =. x = π ou x = π et x = π 4 ou x = π 4. Par conséquent, sur ] π ; π], les solutions de (E) sont : π, π, π 4 et π 4. Corrigé de l exercice. x + x + < 0. Le discriminant de x + x + est = 4 = < 0 donc le trinôme est du signe du coefficient de x, soit ici, donc positif. L ensemble solution est donc : x x + 0 S = Le discriminant de x x + est = 4 =. Il y a donc deux racines : α = = et β = + = 4 4. Le trinôme ï ax + bx + c est du signe de a entre ses racines, donc x x + 0 pour x ; ò. ï S = ; ò x + x < 0 Le discriminant de x + x est = 9 4 ( ) ( ) = donc il admet deux racines distinctes : α = et β = + =. Le trinôme ax + bx + c est du signe de a entre les racines donc l ensemble solution de l inéquation est : S = ] ; [ 4 x 9x + 0 Le discriminant de x 9x + est = 8 4 ( ) = donc il admet deux racines : α = 9 = 9 + et β = 9. 0 0 0 Le trinôme ax + bx + c est du signe de a (donc positif) à l extérieur des racines donc l ensemble solution de l inéquation est : S = ] ; 9 + 0 ] [ [ 9 + ; + 0 4
x 7x + 0 0 Le discriminant de x 7x + 0 est = 49 4 0 = 7 < 0 donc il est toujours du signe de, donc positif. L ensemble solution est donc : 6 4x 0x + > 0 S = R Le discriminant de 4x 0x + est = 400 4 4 = 0. Par conséquent, il est du signe de «4» (donc positif) tout le temps sauf en sa racine α = 0 4 = (où il est nul). Par conséquent, l ensemble solution de l inéquation est : ß S = R \ 7 4x x x + 0 Le discriminant de x x + est = 9 8 =. Par conséquent, il admet deux racines distinctes α = = et β = + =. On en déduit le tableau de signes suivant : x 4x x x + 4x x x + 4 + + 0 + + 0 0 + + 0 + L ensemble solution de l inéquation est alors : S = ò ; ò ] ; [ 4 8 (x )( x + x + ) < 0 Le discriminant de x + x + est = + 4 = 49 donc il admet deux racines : α = 7 = et β = + 7 =. On en déduit le tableau de signes suivant : 4 4 x x x + x + (x )( x + x + ) + 0 + + 0 + + 0 + 0 0 + 0 L ensemble solution de l inéquation est alors : S = ò ; ï ] ; + [
Corrigé de l exercice 6. Avant toute chose, on cherche le domaine de validité de l inéquation. Cette inéquation existe lorsque : x 7 0 0x 49x + 0 Le discriminant du polynôme 0x 49x + est : donc il admet deux racines distinctes : x = ( 49) 9 0 = ( 49) 4 0 = 6 Il peut donc se factoriser sous la forme : = 9 > 0 = et x = 49 + 9 0 Å 0x 49x + = 0 x ã Å x 7 ã Å = x ã Å x 7 ã Å = x ã Å x 7 ã = (x )(x 7). = 7. Cette factorisation va être importante pour la résolution de l inéquation. ß Le domaine de validité de l inéquation est donc R \ ; 7. 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x + 7x 0 x 7 (x + ) 0x 49x + 0 7x 0 x 7 (x + ) (x )(x 7) 0 (7x 0)(x ) (x 7)(x ) (x + ) (x )(x 7) 0 4x x 0x + 0 x 0 0x 49x + 4x 66x 0 0x 49x + 0 (7x x 0) 0x 49x + 0 0 Le discriminant du polynôme 7x x 0 est : = ( ) 4 7 ( 0) = 69 = 7 > 0. 6
Donc il admet deux racines distinctes : α = ( ) 7 7 = 7 et β = + 7 4 En utilisant la propriété du signe d un trinôme du second degré, on obtient le tableau de signes suivant : Ainsi, S = x 7x x 0 0x 49x + (7x x 0) 0x 49x + ò ; ò 7 Corrigé de l exercice 7. ò ; 7 ï [ ; + [ P ( ) = ( ) + 7 ( ) + 7 ( ) + = 6 + 8 4 + = 0 + 0 = 0. P ( ) = 0 donc x = est une racine de P. P (x) = (x + )(ax + bx + c) = ax + bx + cx + ax + bx + c = ax + (b + a)x + (c + b)x + c Ainsi, on souhaite que, pour tout réel x : =. 7 7 + + 0 0 + + + 0 0 + + + 0 + 0 + x + 7x + 7x + = ax + (b + a)x + (c + b)x + c. Par identification des coefficients, on a : = a 7 = b + a 7 = c + b = c On en déduit que a = et c =. Par suite, à l aide de la troisième équation (par exemple), on trouve b =. Finalement, on obtient : P (x) = (x + )(x + x + ) P (x) = 0 x + = 0 ou x + x + = 0. Le discriminant de x + x + = 0 est = 9 8 = donc il admet deux racines : α = = et β = + = 4 4. Par conséquent, l ensemble solution de l équation P (x) = 0 est : S = ß ; ; 7
Corrigé de l exercice 8. P () = 0 et P ( ) = 0. On en déduit que P (x) = (x )(x+)(ax +bx+c), soit P (x) = (x x 6)(ax +bx+c). (x x 6)(ax + bx + c) = ax 4 + bx + cx ax bx cx 6ax 6bx 6c = ax 4 + (b a)x + (c b 6a)x + ( c 6b)x 6c = 0x 4 9x 4x + 07x 4 Donc : a = 0 b a = 9 c b 6a = 4 c 6b = 07 6c = 4 On en déduit que a = 0 et c = 7, puis que b = 9 + a = 9. Finalement, P (x) = (x x 6)(0x 9x + 7). Le discriminant du polynôme 0x 9x + 7 est : = ( 9) 4 0 7 = 8 = 9. Ses deux racines sont alors : x = 9 9 0 = et x = 9 + 9 0 = 7. Les racines de P sont donc :,, 7 et. Corrigé de l exercice 9. Pour P. On voit que ses deux racines sont α = et β =. Par conséquent, le trinôme est de la forme f (x) = a(x + )(x ). Le sommet de la parabole est le point de coordonnées ( ; 4) donc f () = 4. Ainsi, a( + )( ) = 4 4a = 4 a =. On a donc : f (x) = (x + )(x 4) soit f (x) = x + x + 4 Pour P. On voit que le trinôme n a pas de racines car la parabole ne coupe pas l axe des abscisses. Posons f (x) = ax + bx + c. La parabole passe par le point de coordonnées (0 ; ) donc f (0) =, soit c =. 8
La parabole passe par le point de coordonnées ( ; ) donc f () =, soit a + b + =, soit 4a + b = 0 ou encore b = a. On peut alors écrire : f (x) = ax ax +. La parabole passe par le point de coordonnées (4 ; ) donc f (4) =, soit 6a 8a + =, ou encore 8a = 4. Donc a = On en déduit alors que a =, b = = et c =. Donc : f (x) = x x + Pour P. Posons f (x) = ax + bx + c. A (0 ; ) P = c =. B ( 4 ; ) P = 6a 4b =, soit 4a = b. Donc f (x) = ax + 4ax. C ( ; ) P = 4a 8a =, soit 4a = d où a =. On en déduit : f (x) = x x Pour P 4. L axe des abscisses est tangent à la parabole donc f 4 (x) = a(x α). L unique racine étant, on a f 4 (x) = a(x + ). De plus, f 4 (0) = et f 4 (0) = 4a donc a =. Finalement, on a : 4 f 4 (x) = 4 x + x + Corrigé de l exercice 0. f() = + = + = 0. (x )(ax + bx + c) = ax + bx + cx ax bx c = ax + (b a)x + (c b)x c Ainsi, pour tout réel x : f(x) = (x )(ax + bx + c) x + x x = ax + (b a)x + (c b)x c a = a = b a = b = c b = c = c = On a alors : f(x) = (x )(x + x + ). 9
f() = 0 donc C f coupe l axe des abscisses en x =. On peut donc éliminer la courbe b. De plus, le discriminant de x + x + est : = 4 = > 0, donc ce polynôme admet racines distinctes, ce qui signifie que C f coupe l axe des abscisses en points distincts. Ainsi, la courbe a est celle qui représente la fonction f. Corrigé de l exercice. On sait qu un trinôme admet au moins une racine lorsque son discriminant est positif ou nul. Ici, = m 4p. Il faut donc que : pour que le trinôme ait au moins une racine. m 4p Corrigé de l exercice. Le discriminant de : est : P (x) = (k + )x + kx + (k ) = (k) 4 (k + ) (k ) = 4k 4(k ) = 4 > 0. Donc P admet toujours deux racines, quelle que soit la valeur de k. Corrigé de l exercice. Pour m = 0, on a : (E 0 ) : x x 4 = 0 Le discriminant du polynôme x x 4 est : = b 4ac = ( ) 4 ( 4) = + 6 = 7. Ainsi, > 0 donc il y a deux solutions à l équation (E 0 ) qui sont : α = b a = 7 et β = b + a = + 7. L ensemble solution de (E 0 ) est donc : S = { 7 ; + } 7 0
L équation (E m ) admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gauche est égal à 0. Ce discriminant est : = b 4ac = (m ) 4(m + )(m + 4)(m ) = (m ) î (m ) 4(m + )(m + 4) ó = (m ) î m 4(m + 8m + m + 4) ó = (m )(m 8m 6m 6) = (m )( 8m m 7). = 0 m = 0 ou 8m m 7 = 0 m = ou 8m + m + 7 = 0 Le discriminant du polynôme 8m + m + 7 est : donc ce polynôme admet deux racines : m = 68 6 δ = 4 8 7 = 68, et m = + 68. 6 Ainsi, l équation (E m ) admet une unique solution pour trois valeurs de m : m = ; m = 68 6 ; m = + 68. 6 (E m ) admet pour solution si, en remplaçant x par dans l équation, l égalité est vérifiée : est solution de (E m ) (m + ) + (m ) + (m + 4)(m ) = 0 m + + m + m m + 4m 4 = 0 m + 6m 4 = 0. Le discriminant du polynôme m + 6m 4 est : = b 4ac = 6 4 ( 4) = 6 + 6 =. Il existe donc deux solutions à l équation m + 6m 4 = 0 : m = 6 = et m = +. Ainsi, est solution de l équation (E m ) pour m = + et pour m =.
Corrigé de l exercice 4. Filet #» j 0 O #» ı 9 m 0 000 m On convertit : 0 km/h =, 6 m s. 600 s En remplaçant les lettres dans la formule donnée, on a : soit : Le sommet de la parabole a pour abscisse : y = 9, 8 (, 6 cos 0 ) x + x tan 0 + 0,, y = 0,79 687 47x + 0,6 970 4x + 0,. b a = 0,6 970 4 ( 0,79 687 47). Donc, au sommet de sa trajectoire, la balle n aura pas encore atteint le filet. En prenant x = 9, on obtient : y 0, 8 ce qui signifie que la balle aura touché le sol avant 9 mètres. Le joueur a donc perdu. Cherchons la vitesse minimale v (en m s ) à donner à la balle lors de la frappe pour quelle franchisse le filet. La fonction définie par :,4 786 96 f(x) = x + 0,6 970 4x + 0, v représente la hauteur (en mètre) de la balle en fonction de sa position x. On veut que f(9) > 0, 94, soit : c est-à-dire :,4 786 96 9 + 0,6 970 4 9 + 0, > 0, 94 v 449, 9 v +, 86 > 0 = 449, 9 v >, 86 =, 86 < v 449, 9 = v 449, 9 >, 86 = v > 7, 7 = v > 7, 7 = v >, 4 La vitesse à donner doit donc être supérieure à,4 m s (soit à peu près 4 km/h).
Corrigé de l exercice. R = + donc R = R R, ce qui donne : R R r = R R 0 soit : R R = 0. D après le cours, on sait que P = R R = 0 et S = R + R = 0 et donc que R et R sont racines du trinôme : dont le discriminant est : Les deux racines sont donc : x Sx + P soit : x 0x + 0, = ( 0) 4 0 = 00 80 = 0. R = 0 0 = et R = +. On a d une part : R = R R r et d autre part S = R + R = 4. = R R 4 P = R R = 4 Le trinôme x Sx + P = x 4x + 4 a pour discriminant : = ( 4) 4 4 = 0. On peut donc dire que R = R = b a = 4 4 =. Nous l avons vu, on ne peut calculer R et R que lorsque le discriminant de x Sx + P est supérieur ou égal à 0, soit lorsque : donc : ou encore : S 4P 0 r 4rR 0 r(r 4R) 0. Or, r 0 donc cette dernière inéquation donne, en simplifiant par r : r 4R. Corrigé de l exercice 6. Notons x le nombre total de personnes. Une personne offre cadeaux à (x ) personnes donc : x(x ) = 468
soit : ou encore : x(x ) = 6 x x 6 = 0. Le discriminant de x x 6 est : Il y a donc deux racines : = ( ) + 4 6 = 6 =. α = ( ) = < 0 et β = + = > 0. Il n y a donc qu une solution à notre problème : il y a personnes. Corrigé de l exercice 7. L équation est équivalente à Le discriminant du trinôme est : x x = 0. = donc les solutions de l équation sont : α = et ϕ = +. On a : N = + +» + + + = + N. Donc N est solution de l équation de la question. Comme N > 0, on en déduit que :» + + + + = ϕ = +. Corrigé de l exercice 8. Ä a + b ä = a + b + ab. Si A = a + b =» + 0, alors A = a + b + ab = + 0. Par identification du coefficient de et du nombre entier, on a : a + b = ab = 0 soit : a + b = ab = 0 4
De la seconde équation du système précédent, on peut déduire : b = 0 a et en remplaçant b par cette valeur dans la première équation, on obtient : soit : En posant X = a, on arrive à : dont le discriminant est : a + 00 a = a 4 a + 00 = 0. X X + 00 = 0 = ( ) 800 = 89 = 7. Les deux solutions de X X + 00 = 0 sont alors : X = + 7 = et X = 7 Donc les solutions de a 4 a + 00 = 0 sont a et a tels que : soit : Or, a Z donc a = ou a =. a = et a = 8 = 8. a = ou a = et x = ou a =. Si a =, alors b = 0 = et A = + ; Si a =, alors b = et A = < 0, ce qui n est pas possible car A > 0. Ainsi,» + 0 = + 4 Posons A =» p + q n. Alors, A = p + q n d où : a + nb = p b = q a La première équation devient alors : ou encore : ou encore : a + nq 4a = p a 4 4pa + nq = 0. X 4pX + nq en posant X = a.
Le discriminant est : = 6p 4nq = 4(4p nq ). Première condition d existence : il faut que 4p nq 0 pour pouvoir transformer l écriture de A. Dans ce cas, les deux solutions X et X sont : X = 4p 4p nq = p» 4p nq et X = p +» 4p nq. Deuxième condition : il faut que p 4p nq 0 et p + 4p nq 0. Dans ce cas, a = ± p» 4p nq et a = ± p +» 4p nq. Or, a Z donc : e condition : il faut que» p 4p nq N ou que» p + 4p nq N. On a alors : a = ± p ±» 4p nq et b = q ±» p ± 4p nq. Corrigé de l exercice 9. Notons A l aire du «grand rectangle» à l intérieur duquel se trouve le rectangle plein, dont l aire sera notée A. A A désignera donc l aire de la partie blanche. A A = 0 6 (0 x)(6 x) = 480 (480 60x x + 4x ) = 9x 4x. Ainsi, l aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur si : 9x 4x = 480 9x + 4x 8x 84x + 480 = 0 Le discriminant de x x + 60 est : x x + 60 = 0 (en divisant les deux = ( ) 4 60 = 89 = 7 donc les solutions de l équation x + x + 60 = 0 sont : x = 7 = et x = + 7 = 0. Or, 0 x 8 car la largeur du rectangle extérieur est égale à 6 et que x ne peut excéder sa moitié. Ainsi, pour x =, l aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur. 6
Corrigé de l exercice 0. Notons x et y les deux nombres. On sait alors d après l énoncé que : La première équation nous donne : x y = 7 xy (x + y) = 4 x = 7 + y donc en remplaçant x par cette dernière expression dans la seconde équation, on a : Le discriminant de y + y 0 est : (7 + y)y (7 + y + y) = 4 7y + y 7 y = 4 donc deux valeurs sont possibles pour y : y + y 0 = 0. = 4 ( 0) = + 00 = = y = = 0 et y = Or, y N donc y 0 ; seule y = est une valeur possible. On en déduit alors que x = 7 + y = 7 + =. Les deux nombres sont donc et. + =. Corrigé de l exercice. a + b + c = ab + ac + bc a (b + c)a + b + c bc = 0. Posons alors f(a) = a (b + c)a + b + c bc. L équation f(a) = 0 admet au moins une solution car le triangle existe donc le discriminant de f(a) est supérieur ou égal à 0. = î (b + c) ó 4 (b + c bc) = b + bc + c 4b 4c + 4bc = 6bc (b + c ) = Ä b bc + c ä = (b c) Ainsi, 0. Or, on sait que 0 donc = 0, ce qui signifie que b = c. (b + c) Il n y a qu une solution à l équation f(a) = 0 donnée par : = b Finalement, on a a = b = c. Le triangle est donc équilatéral. = b (car b = c). 7
Généralité sur les fonctions Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion mai 06 Exercice. Trouver le domaine de définition A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page Pour chacune des fonctions suivantes, trouver le domaine de définition D. f(x) = x x + f(x) = x x f(x) = x 4 f(x) = 9x 7 x f(x) = x + 6 f(x) = x x + 7 f(x) = x x + 8 f(x) = x x x + 9 f(x) = x 4x + x x + 4 Exercice. Fonctions paires, fonctions impaires A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page Pour chacune des fonctions suivantes, dites si elles sont paires, impaires ou ni l une ni l autre. f (x) = x f (x) = x x + f (x) = x x + 4 f 4 (x) = x x + f (x) = x x Exercice. Lecture de tableaux de variation R (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 6 La fonction f a pour tableau de variation : x f(x) 0 0 a. Combien l équation f(x) = 0 admet-elle de solution(s)? 8
b. Quel est le minimum de f? Le maximum? c. Combien l équation f(x) = admet-elle de solution(s)? La fonction g a pour tableau de variation : x g(x) 7 4 a. Quel est le minimum de g? Le maximum? b. Combien l équation g(x) = 0 admet-elle de solution(s)? c. Résoudre l inéquation g(x) 0 sur [ ; 7]. d. Combien l équation g(x) = admet-elle de solution(s)? Exercice 4. Lectures graphiques R (Source : 0-genfonc-04) Corrigé page 6 À partir des courbes suivantes, dresser un tableau de variations des fonctions f et g. g #» j f O #» ı Résoudre graphiquement : a. f(x) 0 b. g(x) c. f(x) = g(x) On donne : f(x) = x + x et g(x) = x 4 x. Résoudre algébriquement l inéquation g(x), puis comparer avec les résultats trouvés à la question b. 9
Exercice. Décompositions en fonctions de référence A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 7 À l aide des fonctions de références (x ax + b, x x, x x et x x ), décomposez les fonctions suivantes afin de trouver leur sens de variation sur le ou les intervalles précisé(s). f : x ï ï x sur ; + f : x x + + x f : x sur ] ; + [ x + 4 f 4 : x ( x + 8) sur ] ; 4] f : x sur ] ; + [ (x + ) sur ] ; [ et sur ] ; + [ Exercice 6. Fonctions associées : domaine de définition et variations () A (Source : 0-genfonc-0) Corrigé page 8 Pour chacune des fonctions suivantes, donner l ensemble de définition puis les variations sur cet ensemble. f(x) = g(x) =» (x ) 4 ( x) Exercice 7. Fonctions associées : domaine de définition et variations () A (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 9 On considère la fonction f définie par : Dresser le tableau de variation de f. On pose g(x) =» f(x). f(x) = x 4x. a. Déterminer l ensemble de définition de g. b. En justifiant soigneusement toutes les étapes, dresser le tableau de variation de g. On pose h(x) = f(x). a. Déterminer l ensemble de définition de h. b. Dresser le tableau de variation de h en justifiant. 4 On pose i(x) = f(x). a. Déterminer l ensemble de définition de i. b. Dresser le tableau de variation de i en justifiant. 0
Valeurs absolues Exercice 8. Étude d une fonction avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-06) Corrigé page 40 On considère la fonction f définie par : f(x) = x x +. Trouver les expressions de f(x) sans valeurs absolues suivant les valeurs de x. En déduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonction f. Trouver les variations de la fonction g : x f(x). Exercice 9. Valeur absolue d un polynôme de degré A (Source : 0-genfonc-07) Corrigé page 40 On considère la fonction f définie par : f(x) = x x +. Trouver les expressions de f(x) sans valeurs absolues suivant les valeurs de x. En déduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonction f. Résoudre l inéquation f(x) x +. Exercice 0. Calculs avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-08) Corrigé page 4 Effectuer les calculs suivants. On mettra les résultats sous sa forme la plus simplifiée. 8 7 + 4 Exercice. Équations avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-09) Corrigé page 4 Résoudre dans R les équations suivantes : x = 6 x + = x + = 4 x = 4x + x = x + 6 x =
Exercice. Inéquations avec valeurs absolues A (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 4 Résoudre dans R les équations suivantes : x > 8x + 4 x 9 4 x + 0 < Exercice. Ensemble de points R (Source : 0-genfonc-) Corrigé page 4 Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x y =. Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y =. Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y + x y =. 4 Trouver l ensemble des points M(x ; y) tels que x + y + x + y =.
Corrigés mai 06 Corrigé de l exercice. f(x) = x x +. f(x) est un trinôme du second degré donc défini pour tout réel x. Ainsi, f(x) = x x. D = R f(x) est un quotient dont le numérateur est défini pour tout réel x (car c est une fonction affine). Son dénominateur ne doit pas être égal à 0. Donc x 0, soit x 0 (). Le dénominateur est une racine carrée donc son radicande (x) doit être supérieur ou égal à 0, donc x 0 (). Les conditions () et () nous donne : D = ]0 ; + [ f(x) = x. f(x) est une racine carrée donc son radicande (x ) doit être supérieur ou égal à 0. x 0 x. Par conséquent, D = î ; + î 4 f(x) = 9x 7. f(x) est un quotient dont le numérateur est toujours défini et dont le dénominateur doit être non nul (différent de 0). D où : 9x 7 0 x 7 9. On en déduit alors : ß 7 D = R \ 9
f(x) = x x +. Les deux conditions à remplir ici sont : x 0 x + > 0 (dénominateur non nul) x x > x. D où : 6 f(x) = x x +. Les conditions à remplir ici sont : Pour résoudre l inéquation x x + suivant : D = [ ; + [ x x + 0 x + 0 0, nous devons nous aider du tableau de signes x x x + x x + + 0 + 0 + + + 0 + Ainsi, D = ] ; [ [ ; + [ 7 f(x) = x x +. f(x) existe lorsque x x + 0. Le discriminant de x x + est = 9 8 = donc ce trinôme a pour racines α = = et β = + =. On sait qu un trinôme est du signe du coefficient de x à l extérieur de ses racines d où : D = ] ; ] [ ; + [ 8 f(x) = x x x +. f(x) existe quand x 0 et x x + 0. x 0 lorsque x ] ; ] [ ; + [ car les racines (évidentes) de x sont et. De plus, x x + = (x + ) 0 pour tout réel x. On en déduit alors que : D = ] ; ] [ ; + [ 4
x 4x + 9 f(x) = x x + 4. Les conditions à remplir ici sont : x 4x + 0 x x + 4 0 Le discriminant de x 4x + est = 6 = 4 donc x 4x + admet deux racines : α = 4 4 = et β = 4 + =. Ainsi, x 4x + 0 pour x ] ; ] [ ; + [. Le discriminant de x x + 4 est = 6 = 9 donc x x + 4 admet deux raines : α = = et β = + = 4. On en déduit alors : D = ] ; [ [ ; 4[ ]4 ; + [ Corrigé de l exercice. f (x) = x. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0. De plus, f ( x) = ( x) = x = f (x). Par conséquent, f est paire. f (x) = x x +. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0. De plus, f ( x) = ( x) ( x) + = x + x +. Donc f ( x) f (x) et f ( x) f (x). Par conséquent, f n est ni paire ni impaire. f (x) = x x +. Le domaine de définition de f est R, donc centré en 0 (car x + 0 pour tout réel x). De plus, f ( x) = ( x)» ( x) + = x x + = f (x). Par conséquent, f est impaire. 4 f 4 (x) = x x +. Le domaine de définition de f 4 est R, donc centré en 0 (car x + 0 pour tout réel x). x De plus, f 4 ( x) = ( x) + = x x + = f 4(x).
Par conséquent, f 4 est impaire. f (x) = x x. Le domaine de définition de f est D = R \ {} (car x 0 x ). D n est pas centré en 0 donc f ne peut pas être paire ou impaire. Corrigé de l exercice. a. L équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle ] ; 0[. b. Le minimum de f est, atteint pour x = et son maximum est, atteint pour x = 0. c. L équation f(x) = a solutions ; l une dans ] ; 0[ et l autre dans ]0 ; [. a. Le minimum de g est, atteint pour x = et le maximum est, atteint pour x =. b. L équation g(x) = 0 admet aucune solution car son maximum est strictement inférieur à 0. c. Le minimum de g sur [ ; 7] étant strictement inférieur à 0, l inéquation g(x) 0 a pour solution : S = [ ; 7]. d. L équation g(x) = admet solutions : une sur ] ; [, une autre sur ] ; [ et une autre sur ] ; 7[. Corrigé de l exercice 4. Nous avons : x f(x) x g(x) a. f(x) 0 x [ ; ] ] ; ]. b. La droite d équation y = coupe la courbe représentative de g en points d abscisses respectives : x 0, 9, x = 0 et x = 0, 9. L inéquation g(x) a alors pour ensemble solution : S = [ ; 0, 9] [0 ; 0, 9]. 6
N.B. L échelle du graphique ainsi que ses graduations ne nous permettent pas de donner avec précision les abscisses x et x, donc si l élève donne d autres valeurs que celles données ici, le résultat sera correct (dans la mesure où les valeurs sont proches de 0, 9 et 0, 9). c. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On peut alors dire que l ensemble solution est approximativement : S = {0, 4 ;, }. g(x) x 4 x x 4 x 0 Å x x 4ã 0 Les racines de x 4 sont et, d où le tableau de signes suivant : x x x 4 x Ä x 4 ä 0 0 + + + 0 0 + 0 + 0 0 + [ ] [ ] L ensemble solution de l inéquation est donc : S = ; 0 ;, ce qui correspond bien aux résultats trouvés à la question b. car 0, 86. Corrigé de l exercice. f : x x sur ï ; + ï. f : x u u x x. La fonction u : x x est une fonction affine de coefficient directeur négatif donc elle est décroissante ; en prenant la racine carrée de u, on ne change pas les variations donc u est décroissante. ï ï f est donc décroissante sur ; + f : x x + + sur ] ; [ et sur ] ; + [. x Posons : f : x g + h où : g : x u x v= u x w= v w et h : x x +. x x Pour g, u est une fonction affine croissante, donc v = u est aussi croissante et donc w = v est décroissante, ce qui fait que w est aussi décroissante. 7
De plus, h est une fonction affine décroissante. Ainsi, f est décroissante comme somme de fonctions décroissantes sur ] ; [ et sur ] ; + [. f : x sur ] ; + [. x + f : x u x + v= u x + w= v x + z=+w x + z x + z x + u est une fonction affine croissante, donc v = u est croissante, donc w = v est décroissante, d où z = + w aussi et z est croissante. Ainsi, z Ainsi, f est décroissante sur ] ; + [. est décroissante. 4 f 4 : x ( x + 8) sur [4 ; + [. f 4 : x u x + 8 v=u ( x + 8). u est une fonction affine décroissante et positive sur ] ; 4] (car x + 8 0 x 8 x 4). La fonction carré étant croissante lorsque sa variable est positive, v = u est croissante lorsque u 0, c est-à-dire sur ] ; 4]. f 4 est donc croissante sur ] ; 4]. f : x sur ] ; + [. (x + ) f : x u x + v=u (x + ) w= v (x + ) w (x + ) u est croissante et u 0 sur ] ; + [, donc v = u est croissante, donc w = v est décroissante, donc w est croissante. f est donc croissante sur ] ; + [. Corrigé de l exercice 6. ò On a : D f = ; ï ò ï ; + et : x x ( x) ( x) ( x) + 8
On a : (x ) 4 0 x 4x + 4 4 0 x(x 4) 0 Donc D g = ] ; 0] [4 ; + [ et : x 0 4 + x 4x x 4x Corrigé de l exercice 7. b = donc le sommet de la parabole (qui représente f) a pour abscisse. a On a donc : x + f(x) a. Le discriminant de f est : donc f(x) a deux racines : = ( 4) 4 ( ) = 6 + 0 = 6 x = 4 6 Donc D g = ] ; ] [ ; + [. = et x = 4 + 6 b. étant entre les racines de f, f est décroissante sur ] ; ], puis croissante sur [ ; + [. Or, prendre la racine carrée d une fonction ne change pas ses variations donc : =. x + g a. D h = R car nous pouvons calculer la valeur absolue de n importe quel nombre réel f(x). b. On sait que f(x) < 0 sur ] ; [ ; or, prendre la valeur absolue d une fonction négative inverse les variations alors que prendre la valeur absolue d une fonction positive ne les change pas. On a donc : x + h 9
4 a. D i = ] ; [ ] ; [ ] ; + [. b. Prendre l inverse d une fonction inverse ses variations donc : x f(x) i(x) + Corrigé de l exercice 8. On sait que x > 0 pour x > ; donc pour x <, x = (x ) = x ; On sait que x + > 0 pour x > ; donc pour x <, x + = (x + ) = x. On a donc : x + x = x x 0 x x + = x 0 x + x + f(x) = x ( x ) = x (x + ) = x x (x+) = Ainsi, De la question précédente, on déduit : pour x ] ; ] f(x) = x pour x [ ; ] pour x [ ; + [ x f(x) + x > 0 x < d où : x f(x) + 0 Corrigé de l exercice 9. f(x) = x x +. Le polynôme x x + admet une racine évidente : α =. Donc la seconde racine est β = c aα =. On a alors le tableau suivant : x x x + f(x) + + 0 0 + x x + 0 x + x 0 x x + 40
On déduit de la question précédente le tableau suivant : x + f(x) 0 0 L inéquation f(x) x + équivaut à : x x x + + + 0 0 + x x + x + 0 x + x x + 0 x x + x + Sur [ ; ], on a : x + x 0. Le discriminant de x + x est : = 4 4 ( ) ( ) = 6 < 0 donc x + x est toujours du signe de, donc toujours négatif. Ainsi, [ ; ] est inclus dans l ensemble solution. Sur ] ; ] et sur [ ; + [, on a : x 4x 0. Le discriminant de x 4x est : = 6 + 4 = 0. Il y a donc deux racines : α = 4 0 = < et β = + >. Donc α et β sont dans les intervalles ] ; ] et sur [ ; + [. Ainsi, x 4x 0 sur [α ; ] et sur [ ; β]. Par conséquent, l ensemble solution de l inéquation f(x) x + est : S = î ; + ó. Corrigé de l exercice 0. 40 = 8 8 7 = = 7 8 8 8. 7 = 7 7 = 7 6 = 6 7 7. +. > donc >, soit > 0 ; ainsi, =. < donc <, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä = =. Ainsi, + = + = 4. 4. < 9 donc < 9, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä =. 4
< donc <, soit < 0 ; ainsi, = Ä ä = =. Ainsi, = Ä ä = + = + 4. Corrigé de l exercice. x = 6 x = 6 ou x = 6 x = 7 ou x = L ensemble solution est donc S = { ; 7}. x + =. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle donc l ensemble solution est : S =. x + = x + = ou x + = x = ou x = 8 x = ou x = 4 L ensemble solution est donc S = { 4 ; }. 4 x = 4x + x = 4x + ou x = (4x + ) = 4x x ou 7x = x = ou x = 7 ß L ensemble solution est donc S = ;. 7 x = x + x = x + ou x = x x = 4 ou 7x = x = 4 ou x = 7 ß L ensemble solution est donc S = 7 ; 4. 6 x = x = ou x = x = 4 ou x = x = ou x = ou x = ou x = L ensemble solution est donc S = ; ; ;. Corrigé de l exercice. x > x > ou x < x > 7 ou x < x > 7 ou x < L ensemble solution de l inéquation x > est donc S = ò ; ï ò 7 ï ; + 4
8x + 4 8x + 4 6 8x 4 x 4 L ensemble solution de l inéquation 8x + 4 est donc S = ï ò 4 ; 4 x 9 x 9 ou x 9 x 4 ou x 4 x 4 ou x 4 L ensemble solution de l inéquation x 9 est donc S = 4 x + 0 < < x + 0 < < x < < x < L ensemble solution de l inéquation x + 0 < est donc S = ] ; [ ò ; 4 ò ï 4 ï ; + Corrigé de l exercice. Nous allons faire une disjonction de cas sur x y afin d enlever les valeurs absolues. Si x y > 0 (c est-à-dire si y < x), alors x y = x y = y = x. La condition de départ sur y (qui est y < x) est bien remplie car x < x pour tout x. Donc l ensemble des points cherché est la droite D d équation y = x. Si x y < 0 (c est-à-dire si y > x), x y = (x y) = y = x +. La condition de départ sur y (qui est y > x) est bien remplie car x + < x pour tout x. Donc l ensemble des points cherché est la droite D d équation y = x +. Au final, l ensemble des points est donc la réunion de ces deux ensembles : S = D D. Il est ici nécessaire de faite une disjonction de cas sur x et y. Si x > 0 : Si y > 0, alors x + y = x + y = y = x +. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x > 0 et y > 0 (représentée en bleu ci-dessous). Si y < 0, alors x + y = x y = y = x. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x > 0 et y < 0 (représentée en rouge ci-dessous). Si x < 0 : Si y > 0, alors x + y = x + y = y = x +. L ensemble des points vérifiant x + y = est donc la partie de la droite (d ) où x < 0 et y > 0 (représentée en violet ci-dessous). 4