Université Lille I 00-0 Feuille Dans la suite D est un domaine de C, muni d une pseudo-métrique infinitésimale définie par un poids ρ. On note d la pseudo-distance induite. Exercice. On suppose ici que ρ est continue et s annule seulement en un nombre fini de points de D. Montrer que d est non-dégénérée (i.e. que c est une distance sur D). Pour z D et ε > 0, on note B(z, ε) := {w D d(z, w) < ε}. (i) Montrer que tout w B(z, ε) peut être relié à z par un chemin γ dans B(z, ε), de longueur strictement plus petite que ε. (ii) Montrer que B(z, ε) est connexe. (iii) Montrer que pour tout z D, w d(z, w) est continue sur D (pour la topologie euclidienne). En déduire que où (z, δ) := {w C / w z < δ}. z D, ε > 0, δ > 0 (z, δ) B(z, ε) Soit γ : [a; b] D une géodésique de z à w. Montrer que pour tous t t dans [a; b], γ [t ;t ] est une géodésique de γ(t ) à γ(t ). Montrer que dans la définition de d, l infimum peut être pris sur les chemins de classe C. Pour j =,, D j est un domaine de C muni d une pseudo-métrique infinitésimale définie par un poids ρ j continu. Soit f : D D une application de classe C. Montrer que f est une isométrie infinitésimale si et seulement si elle préserve la longueur des chemins.
Université Lille I 00-0 Feuille Exercice. Munir r := {z C z < r} (où r > 0) d une distance invariante par biholomorphisme. Même question pour H := {z C Im(z) < 0}. Soit δ la métrique pseudo-hyperbolique sur : δ(z, w) = z w wz = φ z(w). Montrer directement (c est-à-dire sans utiliser les propriétés de la métrique de Poincaré) que les automorphismes de sont des isométries de (, δ) (indication : déterminer l automorphisme φ a φ b ). Soit a, b deux points distincts de. Montrer qu il existe f Aut( ) qui échange les deux points (i.e. f(a) = b et f(b) = a). Soit a, b deux points distincts de, et f Hol(, ).. Montrer que si f fixe a et b, alors f est l identité (indication : on pourra d abord supposer que l un des deux points fixés est 0).. Montrer que si f échange les deux points, alors f est un automorphisme involutif, c est-àdire que f f = id. Soit f Hol(, C), et f B := Sup ( z )f (z). Montrer que f : (, d P ) (C, ) est lipschitzienne si et seulement si f B <, et que dans ce cas la constante de Lipschitz de f est exactement f B (indication : pour, utiliser dp (z,w) z w f (z) f B z et intégrer cette inégalité le long des chemins). w z z ; pour, montrer que Exercice 6. On considère muni de la métrique de Poincaré. Montrer que toute isométrie de classe C de est une isométrie infinitésimale. En déduire que les isométries C de sont exactement les automorphismes de et leurs conjugués.
Université Lille I 00-0 Feuille 3 Exercice. Montrer que H := {z C Im(z) < 0} est de type borné. Expliciter un élément non-trivial de A (H). Montrer que tout domaine de C dont le complémentaire contient une demi-droite est de type borné. Soit D un domaine de C de type borné. Montrer que z, w D, k D (z, w) /π dist(z, D) dist(w, D). Montrer que pour tout z, π dµ(ζ) ζz 4 = ( z ). Soit D un domaine de C, simplement connexe, distinct de C, et w 0 D. On sait (théorème de représentation conforme de Riemann) qu il existe un unique biholomorphisme ϕ : D tel que ϕ(w 0 ) = 0 et ϕ (w 0 ) R +. Montrer que z D, ϕ π (z) = k D (w 0, w 0 ) k D(z, w 0 ).
Université Lille I 00-0 Feuille 4 Exercice. Soit D un domaine de C et z, z D. On note Hol z (D, ) les fonctions holomorphes de D dans qui s annulent en z. Montrer que ρ C D(z ) ρ C D(z ) Sup Hol z (D, ) ( f (z ) f (z ) f(z ) ) Sup f (z ) f (z ). Hol z (D, ) En déduire que ρ C D est localement lipschitzienne sur D. Montrer que si D est le plan complexe privé d un ensemble discret, alors d C D nulle. est identiquement Montrer que si D C\[0; ] (plus généralement, si le complémentaire de D contient un segment), alors d C D est non-dégénérée (indication : considérer l application D z z z C \ R ). Soit D un domaine de C. Pour z, w D, on pose d C D(z, w) = Sup d P (f(z), f(w)). f Hol(D, ). Vérifier que d C D est une pseudo-distance sur D.. Montrer que dans la définition de d C D, le supremum est atteint. 3. Montrer que d C est la plus petite pseudo-distance décroissante par applications holomorphes, qui coïncide avec la métrique de Poincaré sur. Soit D un domaine borné de C. Le but est de montrer que ρ C D ρ B D. On note k D le noyau de Bergman de D, et (ϕ n ) n une base hilbertienne de A (D). Soit z 0 D.. Montrer que si f Hol(D, ) telle que f(z 0 ) = 0, alors pour tout g A (D) de norme g D =, la fonction h := f.g est dans A (D) et s annule en z 0. Que peut-on dire de h D?
. En déduire que ρ c D (z 0) kd (z 0,z 0 ) Sup{ h (z 0 ) h A (D), h D = }. 3. Soit h = n a nϕ n un élément de A (D). Traduire à l aide de a := (a n ) n les conditions h D = et h(z 0 ) = 0. Que vaut h (z 0 )? 4. Rappelons que b := (ϕ n (z 0 )) n et b := (ϕ n (z 0)) n sont dans l (C). Montrer que 5. Conclure. Sup a, b = b a =, a b b b b, b b. Exercice 6. Montrer que F K C est identiquement nulle (indication : utiliser la fonction exponentielle). Exercice 7. Soit D un domaine de C : montrer que ρ K D est bornée sur tout compact de D. Exercice 8. Montrer que dans l expression de ρ K D, l extremum peut être pris sur C0 (, D) Hol(, D) (indication : pour f Hol(, D) et 0 < α <, considérer z f(( α)z)).
Université Lille I 00-0 Feuille 5 Exercice. Soit D = \ {0}. Montrer que d C D est non-dégénérée mais que (D, dc D ) n est pas complet. Soit D,..., D k des domaines de C tels que D := k j= D j soit un domaine de C. Montrer que si tous les D j sont hyperboliques complets, alors D est hyperbolique complet. On suppose que D est hyperbolique complet, et que f Hol(D, D) avec f(d) relativement compact dans D. On note k < la constante de Lipschitz de f et w l unique point fixe de f dans D.. Montrer que pour tous r > 0 et n N, f n (B f (w, r)) B f (w, rk n ).. En déduire que pour tout compact K de D, la suite des itérées (f n ) n converge uniformément sur K vers la fonction constante égale à w. On suppose que D est hyperbolique complet. Soit z D et (z k ) k une suite de points de D convergeant vers z. On note l := liminf [ ρ K D (z k) ].. Montrer qu il existe une suite (f φ(k) ) k dans Hol(, D) telle que f φ(k) (0) = z φ(k) pour tout k, et f φ(k) l. k +. Montrer que la suite (f φ(k) ) k admet une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact. 3. En déduire que ρ K D (z) liminf [ ρ K D (z k) ]. En déduire que ρ K D : D R+ est continue. Pour 0 < r < R <, on note A r,r = {z C/ r < z < R}. La fonction Φ : z ( z R )(r z ) est-elle une fonction définissante de la couronne A r,r?
Université Lille I 00-0 Feuille 6 Exercice. Déterminer la courbure dans les cas suivants :. ρ(z) = ( + z ) sur C ;. ρ(z) = z sur C ; 3. ρ(z) = e Re(z) sur C. Montrer qu il n existe pas sur C de métrique infinitésimale de classe C, à courbure inférieure à -4 (indication : appliquer le lemme d Ahlfors-Schwarz à l inclusion r C). Soit D un domaine de C dont le complémentaire contient au moins deux points distincts a et b.. Comparer ρ K D à la métrique ρ à courbure majorée par une constante B < 0 construite sur C \ {a, b} (indication : appliquer le lemme d Ahlfors-Schwarz à f Hol(, D)).. En déduire que D est hyperbolique. Pour D = C \ {p,..., p n } (où n et les p j sont deux-à-deux distincts), comparer d C D et dk D. Soit n N, n 3, et f, g deux fonctions méromorphes sur C telles que f n + g n = (où f n = f... f).. Vérifier que f et g ont les mêmes pôles : on note P l ensemble de ces pôles.. Montrer que = n k= (f ζ kg) où ζ,..., ζ n sont les racines du polynôme X n +. 3. On suppose que P est vide. Montrer que f et g sont constantes (indication : utiliser la fonction f/g et le petit théorème de Picard). Le résultat est-il encore vrai pour n =?
Université Lille I 00-0 Feuille 7 Exercice. Théorème de Liouville Montrer que toute fonction holomorphe et bornée sur C est constante. Soit D un domaine de C, a = α + iβ D et f Hol(D). Montrer que si f s annule sur un voisinage réel {x + iβ x α < r} de a dans D, alors f est identiquement nulle. Théorème de prolongement d Hartogs (version simple) Soit B (resp. B / ) la boule euclidienne de rayon (resp. /) dans C. On suppose que f est une fonction holomorphe sur l ouvert B \ B /.. Pour z = (z, z ) C, on note z := z + z et z = max( z, z ). Vérifier que si < z <, alors z B \ B /.. On fixe r tel que < r <, et z = (z, z ) avec < z < r et z < r. Montrer que puis que f(z, z ) = f(z, ζ ) dζ, πi ζ =r ζ z f(z, z ) = f(ζ, ζ ) (πi) ζ =r, ζ =r (ζ z )(ζ z ) dζ dζ. 3. En déduire que f se prolonge en une fonction holomorphe sur B. En particulier, cela montre que, contrairement à ce qui se passe dans le cas d une variable, une fonction holomorphe de deux variables (ou plus) n a pas de singularité isolée. Ce résultat, antérieur au théorème d Hartogs, est dû à Riemann. Hartogs a également prouvé un résultat plus général : si D est un domaine de C n (n ), pour tout compact K inclus dans D tel que D\K soit connexe, on a Hol(D\K) = Hol(D). ( Soit Ω := {(z, z ) C Imz + z z < 0}, et f : (z, z ), i z ). + z + z. Quel est le domaine de définition de f? Ecrire f comme application d une partie de R 4 dans R 4 via l identification (x + iy, x + y ) (x, x, y, y ).. Montrer que f induit un biholomorphisme de la boule unité B sur Ω. Ecrire la matrice jacobienne complexe de f.
On reprend les notations de l exercice précédent, et on pose Φ(z, z ) = z + z, Ψ(z, z ) = Imz + z.. Soit p = (0, ) et q = (0, 0) dans C. Vérifier que p B, q Ω et f(p) = q.. Soit v = (X, X, Y, Y ) R 4. Déterminer dφ p (v) et dψ q (v). 3. Soit v = (Z, Z ) C. Déterminer Φ p (v) et Ψ q (v). On note T p ( B) = Ker(dΦ p ) l espace tangent à B au point p, et T C p ( B) = Ker( Φ p ) l espace tangent complexe à B au point p. On peut montrer que ces notions ne dépendent pas du choix de la fonction définissante Φ. 4. Donner les équations des espaces vectoriels T p ( B), Tp C ( B), T q ( Ω) et Tq C ( Ω). Vérifier que Tp C ( B) est un sous-espace vectoriel complexe (i.e. stable par multiplication par i) de T p ( B) et que Tq C ( Ω) est un sous-espace vectoriel complexe de T q ( Ω). 5. Vérifier que f p (T C p ( B)) = T C q ( Ω).