Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Uiversité Paris Dauphie Départemet MIDO Cours de Mathématiques Itégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Table des matières 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1 1.1 Présetatio.............................. 1 1.1.1 Défiitio 1.......................... 1 1.1.2 Exemples associés à la défiitio 1............. 2 1.1.3 Defiitio 2.......................... 3 1.1.4 Exemples associés à la défiitio 2............. 3 1.1.5 Propositio 1......................... 4 1.2 Probabilités coditioelles, idépedace............. 6 1.2.1 Exemple............................ 6 1.2.2 Défiitio 3.......................... 6 1.2.3 Propositio 2 (Formule de Bayes).............. 6 1.2.4 Défiitio 4.......................... 7 1.2.5 Propositio 3......................... 7 1.2.6 Défiitio 4 bis........................ 7 1.2.7 Propositio 4 (Lemme de Borel-Catelli)......... 7 1.3 Variables aléatoires.......................... 8 1.3.1 Défiitio 5.......................... 8 1.3.2 Propositio 5......................... 8 1.3.3 Propositio 6......................... 9 1.3.4 Propositio 7......................... 10 1.3.5 Défiitio 6.......................... 10 1.3.6 Propositio 8......................... 10 1.4 Espérace des variables aléatoires réelles et itégratio...... 11 1.4.1 Défiitio 7.......................... 11 1.4.2 Propositio 9......................... 12 1.4.3 Défiitio 8.......................... 12 1.5 Itégratio des variables aléatoires étagées positives....... 13 1.5.1 Défiitio 9.......................... 13 1.5.2 Propositio 10........................ 13 1.6 Itégratio des variables aléatoires réelles positives........ 14 1.6.1 Défiitio 10......................... 14 1.6.2 Lemme 1........................... 14 1.6.3 Propositio 11........................ 15 1.6.4 Propositio 12........................ 16 1.6.5 Défiitio 12......................... 16 1.7 Itégratio des variables aléatoires réelles............. 16 1.7.1 Défiitio 13......................... 16 1.7.2 Propositio 13........................ 16 I

1.7.3 Défiitio 14......................... 17 1.7.4 Propositio 14........................ 18 1.7.5 Défiitio 15 (espérace des variables aléatoires réelles). 19 1.7.6 Propositio 16 (loi d ue variable aléatoire)........ 20 1.8 Théorèmes de covergece...................... 22 1.8.1 Théorème 1 (Beppo-Levi).................. 22 1.8.2 Théorème 2 (Lemme de Fatou)............... 23 1.8.3 Théorème 3 (Théorème de Lesbesgue ou de «covergece domiée»).......................... 23 1.8.4 Propositio 17 (lie avec l itégrale de Riema)..... 25 1.8.5 Propositio 18........................ 26 2 Espaces produits, idépedace 27 2.1 Espaces produits........................... 27 2.1.1 Théorème 1.......................... 27 2.1.2 Théorème 2 (de Fubii)................... 28 2.1.3 Défiitio 1.......................... 29 2.1.4 Théorème 3.......................... 29 2.1.5 Démostratio du théorème 1............... 30 2.1.6 Démostratio du théorème 2................ 31 2.1.7 Propositio 1......................... 32 2.1.8 Théorème 4.......................... 33 2.2 Idépedace............................. 33 2.2.1 Défiitio 1.......................... 33 2.2.2 Propositio 1......................... 34 2.2.3 Propositio 2......................... 34 2.2.4 Propositio 3......................... 34 2.2.5 Propositio 4......................... 35 2.2.6 Défiitio 2.......................... 36 2.2.7 Propositio 5......................... 37 2.2.8 Défiitio 3.......................... 37 2.2.9 Propositio 6......................... 38 2.2.10 Défiitio 4.......................... 39 2.2.11 Propositio 6......................... 39 3 Calculs de lois, foctios caractéristiques et variables aléatoires gaussiees 41 3.1 Gééralités.............................. 41 3.1.1 Propositio 1......................... 42 3.1.2 Propositio 2......................... 43 3.1.3 Propositio 3......................... 44 3.1.4 Variables aléatoires vectorielles............... 45 3.1.5 Propriétés de la matrice de dispersio........... 47 3.2 Calculs de lois............................. 48 3.2.1 Rappel de quelques lois usuelles............... 48 3.2.2 Calculs de loi......................... 50 3.3 Foctios caractéristiques...................... 55 3.3.1 Défiitio 1.......................... 55 3.3.2 Propositio 1......................... 55 3.3.3 Théorème 1 fodametal.................. 56 II

3.3.4 Propositio 2......................... 57 3.3.5 Propositio 3......................... 57 3.3.6 Propositio 3......................... 58 3.3.7 Trasformée de Laplace................... 61 3.3.8 Défiitio 2.......................... 61 3.3.9 Propositio 4......................... 62 3.3.10 Propositio 6......................... 63 3.3.11 Foctios géératrices.................... 63 3.3.12 Défiitio 3.......................... 63 3.3.13 Propositio 7......................... 64 3.4 Vecteurs aléatoires gaussies..................... 65 3.4.1 Défiitio 1.......................... 65 3.4.2 Propositio 1......................... 67 3.4.3 Lemme 1........................... 68 3.4.4 Propositio 2......................... 68 3.4.5 Propositio 3......................... 69 3.4.6 Propositio 4......................... 69 3.4.7 Propositio 5......................... 70 3.4.8 Appedice........................... 70 4 Lois des grads ombres et théorème cetral limite 73 4.1 Différets modes de covergece des variables aléatoires..... 73 4.1.1 Propositio 1......................... 73 4.1.2 Propositio 2......................... 75 4.2 Lois des grads ombres....................... 76 4.2.1 Théorème 1.......................... 76 4.2.2 Théorème 2 (Loi forte des grads ombres)........ 77 4.2.3 Théorème 3 (Loi du logarithme itéré)........... 78 4.3 Covergece e loi.......................... 78 4.3.1 Théorème de Paul Lévy................... 78 4.3.2 Théorème 4.......................... 79 4.3.3 Propositio 3......................... 79 4.3.4 Théorème 5 (Théorème Cetral Limite).......... 80 5 Espérace coditioelle 81 5.1 Théorème 1 (fodametal)...................... 81 5.2 Propositio 1............................. 82 5.3 Propositio 2............................. 82 5.4 Propriétés de l espérace coditioelle.............. 83 5.5 Théorème 2.............................. 86 5.6 Propositio 3............................. 87 5.7 Théorème 3.............................. 88 5.8 Défiitio 1.............................. 88 5.9 Défiitio 2.............................. 91 5.10 Espaces L P.............................. 93 5.11 Théorème 4.............................. 94 5.12 Espérace coditioelle das L 2.................. 95 5.13 Cas des vecteurs gaussies...................... 96 5.13.1 Théorème 1.......................... 96 III

IV

Chapitre 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1.1 Présetatio La théorie des probabilités propose u modèle mathématique qui red compte de la otio ituitive d expériece aléatoire (i.e. dot le résultat est soumis au «hasard»). La première démarche cosiste à itroduire l esemble Ω dot les élemets costituet tous les résultats possibles de l expériece puis à distiguer ue classe a de sous-esembles de Ω qu o appelle «évéemets», vérifiat certaies propriétés aturelles et efi à affecter u poids P(A) [0, 1] à tout évéemet A a qui sera la probabilité de A. Plus précisémet, la classe a doit être ue tribu sur Ω et la correspodace A P(A) ue mesure positive de masse totale égale à 1. 1.1.1 Défiitio 1 1. Soit Ω u esemble. O appelle tribu sur Ω u sous esemble a de l esemble P(Ω) des parties de Ω tel que : φ et Ω appartieet à a. si A a alors A c a. si (A ) est ue suite d élémets de a alors A a et A a Le couple (Ω,a) s appelle u espace mesurable 2. U espace mesurable (Ω,a) état doé, ue mesure positive de masse totale égale à 1 ou probabilité sur a est ue applicatio P de a das [0, 1] vérifiat : si (A ) est ue suite d élémets de a deux à deux disjoits, alors ( ) P A = P(A ) 1

P(Ω) = 1 Le triplet (Ω,a, P) s appelle u espace de probabilité. L espace etier Ω représete l évéemet certai, φ l évéemet impossible (P(φ) = 0 car φ φ = φ et φ φ = φ doc P(φ) = P(φ φ) = P(φ) + P(φ) ), le complémetaire A c représete l évéemet cotraire de A, l itersectio A B des évéemets A et B représete l évéemet «A et B ot lieu», la réuio A B représete l évéemet «A ou B a lieu» (attetio : ou est pas exclusif!), les itersectios ou réuios déombrables d évéemets sot itroduits pour l étude des phéomèes asymptotiques, efi l iclusio correspod à l implicatio. 1.1.2 Exemples associés à la défiitio 1 1. U joueur effectue quatre parties de pile ou face : Ω = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ), x i {0, 1} } 2. U joueur lace u dé trois fois de suite : Ω = { (x 1, x 2, x 3 ), x i {1, 2, 3, 4, 5, 6} } 3. Observatio de la durée de vie d u idividu : Ω = R + 4. Observatio du ombre d appels passat par u cetral téléphoique tous les jours d ue semaie : Ω = N 7 5. Observatio, pedat u itervalle de temps [t 1, t 2 ], du mouvemet de diffusio d ue particule das l espace : Ω = C ( [t 1, t 2 ], R 3) 6. U jeu de pile ou face de durée fiie ou ifiie : Ω = {0, 1} avec ( N) ou Ω = {0, 1} N Das les cas où l esemble Ω est fii ou déombrable, la tribu que l o cosidère est, e gééral, la tribu P(Ω) des parties de Ω et la doée d ue probabilité sur l espace discret (Ω, P(Ω)) équivaut à la doée d ue famille (p(ω)) ω Ω de ombres positifs vérifiat : p(ω) = 1 ω Ω La probabilité d u évéemet A P(Ω) est alors défiie par la formule : P(A) = ω A p(ω) Lorsque Ω est fii, des cosidératios de symétrie coduiset souvet à supposer que p(ω) e déped pas de ω Ω. O a alors : p(ω) = 1 Card(Ω) 2

et P(A) = Card(A) ombres de cas favorables à A = Card(Ω) ombre de cas possibles (loi uiforme) Lorsque l espace Ω est pas déombrable, par exemple Ω = R ou Ω = R d ou même u espace métrique, o utilise souvet la otio suivate : 1.1.3 Defiitio 2 Soit C P(Ω), ue famille quelcoque de parties de Ω ; o appelle tribu egedrée par C, la plus petite tribu sur Ω (au ses de l iclusio) coteat C ; o la ote σ(c). L itersectio d ue famille quelcoque de tribus état ue tribu, et P(Ω) état ue tribu sur Ω coteat C, o voit que : σ(c) = T tribu C T 1.1.4 Exemples associés à la défiitio 2 1. Si C = {A} où A Ω, A φ alors σ(c) = {A, A c, Ω, φ} Si C = {A 1, A 2,, A }, A i Ω, A i φ, détermier σ(c) (cosidérer d abord le cas = 2). 2. Si Ω est mui d ue structure d espace métrique, o peut cosidérer la famille C de tous les ouverts de Ω ; la tribu egedrée par C est alors appelée tribu boréliee de Ω et otée souvet B Ω. Remarquer que, si C est la famille de tous les fermés de Ω, o a aussi B Ω = σ(c ) = σ(c). 3. Si Ω = R d (d N ) la tribu B R d est egedrée par la famille C de tous les pavés de la forme d ]a i, b i [ où a i < b i, a i Q, b i Q i=1 Soit (Ω, a) u espace mesurable quelcoque ; le problème de la costructio d ue mesure de probabilité P sur a peut être o trivial. O a cepedat les exemples suivats. 4. Soiet (a k ) ue suite fixée de poits de Ω et (α k ) ue suite fixée de ombres positifs tels que k α k = 1. Pour tout A a, posos : P(A) = k 0 α k.1 A (a k ) (*) T où 1 A (a k ) = { 0 si ak A 1 si a k A O vérifie facilemet qu o défiit aisi ue mesure de probabilité P sur a. Lorsque a Ω est fixé, la mesure de probabilité défiie par : A a P(A) = 1 A (a) 3

est appelée masse de Dirac au poit a et otée δ {a}. La probabilité P défiie par la formule (*) est doc doée par P = k 0 α k.δ {ak } 5. O appelle foctio de répartitio sur R, toute applicatio F de R das [0, 1], croissate, cotiue à droite, telle que lim F(t) = 1 t + lim F(t) = 0 t Il existe alors (Théorème admis) ue uique probabilité P sur l espace mesurable (Ω = R, B R ) telle que O a alors, pour tout t R : s t : P( ]s, t]) = F(t) F(s) P({t}) = lim P( ]s, t]) = F(t) lim F(s) = F(t) F(t 0 ) = F(t) s t s<t s t s<t Si la foctio F est cotiue e t, le «saut» de F e t : F(t) est ul et P({t}) = 0. O dira que P est «diffuse» lorsque P({t}) = 0, t. Si pour tout N, F() = α où α 0, vérifie α = 1, o voit que P est ue probabilité discrète portée par N telle que : N P({}) = α Si, par cotre, il existe ue applicatio f : R R + cotiue par morceaux (positive) telle que et vérifiat + t R F(t) = f(x)dx = 1 t f(x)dx o voit que F est ue foctio de répartitio cotiue et que la probabilité P associée à F vérifie : s t P( ]s, t]) = t s f(x)dx O dira que P est la probabilité de desité f et o otera P(dx) = f(x)dx. O peut, de la même faço, défiir des probabilités de desité f sur (R d, B R d). 1.1.5 Propositio 1 Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et A, B, A ( N) des évéemets. Alors : 1) A B P(A) P(B) 4

2) ( ) P A P(A ) N N 3) Si pour tout, A A +1, o a : ( ) P A = lim P(A ) = sup P(A ) N Si pour tout, A +1 A, o a : ( ) P A = lim P(A ) = if P(A ) N Démostratio : 1) O suppose A B, alors : A = B (A\B) avec B (A\B) = doc P(A) = P(B) + P(A\B) P(B) 3) Si pour tout, A A +1, o voit que les évéemets A 0, A 1 \A 0, A 2 \A 1,..., A +1 \A,... sot disjoits de réuio A = A et doc P(A) = P A 0 + 0(A +1 \A ) = P (A 0 ) + 0 P(A +1 \A ) { 1 } = P(A 0 ) + lim (P(A m+1 ) P(A m )) m=0 = lim P(A ) (pour ue uio d évéemets deux à deux disjoits, o remplacera, par commodité, le symbole par le symbole +). Si pour tout, A +1 A, o a alors (( A ) C) P( A ) = 1 P = 1 P ( ) A C = 1 lim P(AC ) = lim P(A ) 2) Posos, pour tout, A = m=0 A m ; alors A A +1 et A = A doc : P( A ) = lim P(A ) lim car A et B état deux évéemets quelcoques, m=0 P(A m ) = 0 P(A ) P(A B) = P (A + (B\A)) = P(A) + P(B\A) P(A) + P(B) 5

et doc, par récurrece sur P(A ) = P( m=0 A m ) P(A m ) m=0 1.2 Probabilités coditioelles, idépedace Supposos, qu e étudiat ue expériece aléatoire représetée par u espace (Ω,a, P), o sache déjà qu u évéemet A a (de probabilité P(A) > 0) s est produit. Il est alors ituitif que les probabilités des évéemets B a doivet être modifiées. 1.2.1 Exemple Soit Ω = {ω 0, ω 1,...,ω } u espace fii. O suppose que P représete le tirage d u poit de Ω selo la loi uiforme. O a doc P ({ω k }) = 1 Card(Ω) et si B Ω, P(B) = Card(B) Card(Ω) Soit A Ω. Quelle est la probabilité qu u poit tiré soit das B, sachat qu il est das A? C est : 1.2.2 Défiitio 3 Card(A B) Card(A) = P(A B) P(A) Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et A a tel que P(A) > 0. O appelle probabilité coditioelle de B a sachat A, le ombre P(B/A) = P(A B) P(A) 1.2.3 Propositio 2 (Formule de Bayes) Soit (A ) ue suite fiie ou ifiie d évéemets deux à deux disjoits tels que Ω = A (partitio de Ω) et P(A ) > 0, pour tout, alors : B a, o a P(B) = P(B/A ).P(A ) Démostratio O a : B = B Ω = B ( A ) = (B A ) doc ( ) P(B) = P (B A ) = P(B A ) = P(B/A ).P(A ) O dira que deux évéemets A et B sot idépedats si P(B/A) = P(B) et doc si P(A B) = P(A).P(B) 6

1.2.4 Défiitio 4 Ue suite fiie A 1, A 2,, A d évéemets est dite idépedate si P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 ).P(A i2 )..P(A ik ) pour toute suite i 1 < i 2 <... < i k d etiers {1, 2,..., } deux à deux disticts. (N.B. o otera, par commodité, A.B pour désiger l itersectio A B de deux évèemets.) Si A a, soit σ(a) = {, Ω, A, A C } la tribu egedrée par A. 1.2.5 Propositio 3 Pour que la suite A 1, A 2,, A d évéemets das l espace de probabilité (Ω,a, P) soit idépedate il faut et il suffit que P(B 1 B 2... B ) = P(B 1 ).P(B 2 )..P(B ) quels que soiet les B m apparteat à σ(a m ), m = 1, 2,..., Démostratio Pour tout i {1, 2,..., }, soit A i = A i ou A C i. O a, e fait, l équivalece : (A 1, A 2,, A ) idépedate (A 1, A 2,, A ) idépedate. Il suffit, par récurrece de vérifier que : (A 1, A 2,, A ) idépedate (A 1, A 2,, A ) idépedate ce qui est facile et laissé e exercice. 1.2.6 Défiitio 4 bis Soit (A i ) i I ue famille d évéemets das l espace (Ω,a, P) où I est u esemble quelcoque d idices. O dit que la famille (A i ) i I est idépedate (ou que les A i, (i I) sot idépedats) si pour tout sous-esemble J fii, J I, o a P( A i ) = P(A i ) i J i J Soit (A ) N ue suite d évéemets das l espace (Ω,a, P). O défiit : lim A = {ω Ω tels que, pour ue ifiité d etiers : ω A } O vérifie aisémet que : lim A = {ω Ω : 0 1 A (ω) = + } = ( m A m ) a 1.2.7 Propositio 4 (Lemme de Borel-Catelli) Soit (A ) N ue suite d évéemets. O a 1. 0P(A ) < P(lim A ) = 0 7

2. Si la suite (A ) N est idépedate et si 0 P(A ) = + alors P(lim A ) = 1 Démostratio : 1. O a, lorsque P(A ) < : P(lim A ) = P( ( m A )) = lim P( A m) m { lim P(A ) } = 0 m 2. O suppose que P(A ) = + et que la suite (A ) est idépedate, alors : car P { (lim A ) C} = P { ( A C m )} m = lim P{ A C } m = 0 m P { A C } m = lim P{ k A C } m k m= m = lim k m= lim k e k (1 P(A m )) k m= P(Am) = 0 ( o a utilisé le fait que : x 0 (1 x) e x ) 1.3 Variables aléatoires 1.3.1 Défiitio 5 Soiet (Ω,a, P) u espace de probabilité et (F, B) u espace mesurable quelcoque. O dit qu ue applicatio X de (Ω,a) das (F, B) est ue variable aléatoire (e abrégé : v.a.) si pour tout B B alors X 1 (B) a. E Aalyse, o dit aussi que X, vérifiat la propriété précédete, est ue applicatio a B mesurable (ou, tout simplemet, mesurable s il y a pas d ambiguité). Lorsque l espace F est fii ou déombrable, la tribu B est, e gééral, égale à P(F) et o voit qu ue applicatio X de (Ω,a) das F est ue variable aléatoire si, pour tout x F o a X 1 ({x}) = (X = x) a. O dit, das ce cas, que X est ue variable aléatoire discrète. Lorsque F = R = R {+ } { }, mui de sa tribu boréliee B R (egedrée par les ouverts de R aisi que par les poits {+ }, { }), o dit que X est ue variable aléatoire réelle (v.a.r.). 1.3.2 Propositio 5 1. Pour qu ue applicatio X de (Ω,a) das (F, B) soit ue variable aléatoire, il suffit que, C état ue famille de parties de F qui egedre B (σ(c) = B), o ait : pour tout C C : X 1 (C) a (**). 8

2. Lorsque Ω et F sot des espaces métriques, muis respectivemet de leurs tribus boréliees, toute applicatio cotiue X, de Ω das F, est mesurable. Démostratio : 1. O suppose que σ(c) = B et que la propriété (**) est satisfaite. Soit B = {B F tel que X 1 (B) a} a état ue tribu sur Ω, o vérifie facilemet que B est ue tribu sur F. De plus, la propriété (**) sigifie que C B. Doc σ(c) = B B et X est bie ue variable aléatoire. 2. O sait qu ue applicatio X de Ω das F est cotiue, si pour tout ouvert C de F, X 1 (C) est u ouvert de Ω. L assertio 2) est doc ue coséquece immédiate de 1) et de la défiitio d ue tribu boréliee. 1.3.3 Propositio 6 Soiet (Ω,a), (F, B) et (T, S) trois espaces mesurables, X ue applicatio mesurable de (Ω,a) das (F, B), f ue applicatio mesurable de (F, B) das (T, S), alors Y = f X est ue applicatio mesurable de (Ω,a) das (T, S) Démostratio : elle est immédiate. Remarques : 1. Soit X ue applicatio de (Ω,a) das R. Pour que X soit ue variable aléatoire réelle il suffit que, pour tout t Q, l esemble (X t) [resp. (X t)] appartiee à a. E effet si C = { [, t], t Q } et C = { [t, + ], t Q }, o vérifie facilemet que σ(c) = σ(c ) = B R (tribu boréliee de R). O peut doc appliquer le 1) de la propositio 5. 2. Ue coséquece des propositios 5 et 6 est que, si X et Y sot deux variables aléatoires réelles fiies, alors, pour tous α et β apparteat à R, αx + βy, X.Y et 1 X (si X e s aule pas) sot aussi des variables aléatoires réelles. a Soit (a ) N ue suite d élémets de R. O défiit les ombres lim a et lim par : lim a { } { } = lim sup a m = if sup a m m m { lim a = lim if a m m } = sup { if a } m m Ces quatités sot doc bie défiies (das R), de plus : lim ( a ) = lim (a ) et lim a lim a O vérifie, d autre part, que l = lim a existe (das R) si et seulemet si lim a = lim a = l. Ces propriétés sot laissées e exercice. 9

1.3.4 Propositio 7 Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles, alors sup X, if X, lim X et lim X sot aussi des variables aléatoires réelles. E particulier, soit X l applicatio de Ω das R défiie par : { lim X (ω) = X (ω) si lim X (ω) existe 0 sio alors X est ue variable aléatoire réelle. Démostratio : Pour tout t R, o a (sup X t) = (X t) a (if X t) = (X t) a doc sup X et if X sot des variables aléatoires réelles. O e déduit que lim X et lim X sot aussi des variables aléatoires réelles puisque Doc : lim X = if {sup X m } et lim X = sup{ if X m} m m {ω Ω tel que lim X (ω) existe} = {ω Ω : lim X (ω) = lim X (ω) est u évéemet A. O voit alors que : X = ( lim X ).1 A (avec la covetio 0 = 0) est bie ue variable aléatoire réelle. La propositio précédete motre que toute limite simple (si elle existe) d ue suite de variables aléatoires réelles est ue variable aléatoire réelle. 1.3.5 Défiitio 6 Soit (Ω,a) u espace mesurable. O appelle variable aléatoire étagée toute variable aléatoire X : (Ω,a) R qui e pred qu u ombre fii de valeurs. O vérifie alors que X est étagée si et seulemet si elle est de la forme X = fiieα i.1 Ai où α i R et A i a Remarquer que la décompositio précédete de X est pas uique et que l esemble E des variables aléatoires étagées est u espace vectoriel sur R. 1.3.6 Propositio 8 Soit X ue applicatio de (Ω,a) das R + = [0, + ]. Alors X est ue variable aléatoire si et seulemet si il existe ue suite croissate (X ) N de 10

variables aléatoires étagées positives qui coverge simplemet vers X. Démostratio : S il existe ue suite (X ) d élémets de E qui coverge simplemet vers X o sait, d après la propositio 7, que X est ue variable aléatoire réelle. Réciproquemet supposos que X : (Ω,a) R + = [0, + ] est ue variable aléatoire réelle. Posos X = 2 1 k=0 k.1 (X [ k, k+1 [) +.1 (X=+ ) O vérifie alors facilemet que, pour tout, X E, X X +1 et que pour tout ω Ω : lim X (ω) = X(ω) 1.4 Espérace des variables aléatoires réelles et itégratio Soit X ue variable aléatoire réelle discrète telle que x.p(x = x) < où I m (X) = X(Ω) R x I m(x) O sait alors (cf. le cours de DEUG) que l espérace de X est défiie par : E(X) = x.p(x = x) x I m(x) O se propose ici d étedre la otio d espérace à ue classe beaucoup plus large de variables aléatoires réelles. L espérace de X (si elle existe) apparaîtra alors comme «l itégrale de X par rapport à la mesure de probabilité P» : E(X) = X dp Il s agit doc de doer u ses mathématique précis à cette écriture. 1.4.1 Défiitio 7 Soit (Ω, a) u espace mesurable. Ue mesure positive σ-fiie sur a est ue applicatio µ de a das R +, vérifiat : 1. si (A ) est ue suite d élémets de a deux à deux disjoits, alors ( ) µ A = µ(a ) Ω 2. il existe ue suite Ω ( N) d élémets de a telle que Ω = Ω et, pour tout, µ(ω ) <. La mesure µ est dite borée si sa masse totale µ(ω) est fiie ; µ est ue probabilité si µ(ω) = 1 (cf. la défiitio 1). Le triplet (Ω,a, µ) s appelle u espace mesuré. Remarquer que la défiitio précédete etraie que µ( ) = 0, puisque, si Ω a vérifie µ(ω ) <, o a µ(ω ) = µ(ω ) = µ(ω ) + µ( ). 11

1.4.2 Propositio 9 Soiet µ ue mesure positive σ-fiie sur a et A, B, A ( N) des évéemets. Alors : 1. A B µ(a) µ(b) 2. µ( A ) µ(a ) 3. si, pour tout, A A +1, o a : µ( A ) = lim µ(a ) = sup µ(a ) 4. si, pour tout, A +1 A et s il existe 0 tel que µ(a 0 ) <, alors µ( A ) = lim µ(a ) = if µ(a ) Démostratio : Cf. la preuve de la propositio 1. Exemple importat (mesure de Lebesgue) E dehors des exemples de probabilités doés précédemmet o a le résultat suivat : Cosidéros R d (d N ) mui de sa tribu boréliee B ; o sait que B est egedrée par la famille C de tous les pavés C de la forme C = d ]a i, b i ] où a i < b i, a i, b i R i=1 Il existe alors (ous admettros ce théorème) ue uique mesure positive σ-fiie λ sur B telle que ( d ) d λ ]a i, b i ] = (b i a i ) pour tous a i < b i, a i, b i R i=1 i=1 λ est appelée mesure de Lebesgue sur R d. Autre exemple (mesure de comptage) Soit Ω u esemble fii ou déombrable, mui de la tribu a = P(Ω). Pour tout B Ω, posos µ(b) = Card(B). Il est facile de voir qu o défiit aisi ue mesure σ-fiie sur (Ω, P(Ω)) appelée «mesure de comptage». 1.4.3 Défiitio 8 Soit (Ω,a, µ) u espace mesuré. U esemble N Ω est dit égligeable s il existe A a tel que N A et µ(a) = 0. Ue propriété P(.) cocerat les élémets ω Ω est dite vraie presque partout (e abrégé p.p.) [presque sûremet (p.s.) lorsque µ est ue probabilité] si {ω Ω tels que «o P(ω)»} est égligeable. O voit, grâce au 2) de la propositio 9 qu ue réuio déombrable d esembles égligeables est égligeable. Si o cosidère la mesure de Lebesgue sur R d, u poit est égligeable doc tout esemble déombrable est égligable ; par cotre, pour la mesure de comptage sur u esemble déombrable Ω, aucu poit est égligeable. Soiet X, Y, X ( N) des applicatios de Ω das R. O dira que : X est fiie presque partout si {ω : X(ω) = + } est égligeable. X Y presque partout si {ω : X(ω) > Y (ω)} est égligeable. X X presque partout si {ω : X (ω) X(ω)} est égligeable. La otio d esemble égligeable est liée à la mesure de référece µ. S il y a ambiguïté, o écrira doc «µ-égligeable» ou «µ-presque-partout» [µ presquesûremet lorsque µ est ue probabilité]. 12

1.5 Itégratio des variables aléatoires étagées positives Soiet (Ω,a, µ) u espace mesuré et X : (Ω,a) R + ue variable aléatoire étagée positive. Il existe alors ue décompositio de X sous la forme X = i I α i.1 Ai où (A i, i I) est ue partitio fiie de Ω, A i a et α i R +. Le ombre i I α iµ(a i ) e déped pas de la décompositio choisie pour X : e effet, si X = j J β j.1 Bj = i I α i.1 Ai où (B j, j J) est ue autre partitio fiie de Ω, B j a et β j R +. O voit que α i = β j si A i B j et doc α i µ(a i ) = { } α i µ(a i B j ) i i j = i,j α i µ(a i B j ) = i,j = j β j µ(a i B j ) β j µ(b j ) (avec la covetio 0 = 0). 1.5.1 Défiitio 9 Avec les otatios précédetes, le ombre i I α iµ(a i ) s appelle l itégrale de X par rapport à µ et se ote X dµ. O a doc, pour tout A a Ω µ(a) = 1 A dµ 1.5.2 Propositio 10 Soiet X et Y deux variables aléatoires étagées positives, alors : 1. Pour tout c R +, cx dµ = c X dµ 2. (X + Y )dµ = X dµ + Y dµ 3. Si X Y, o a : X dµ Y dµ Démostratio : L assertio 1) est évidete. Soiet (A 1,..., A ), (B 1,..., B m ) deux partitios de Ω formées d élémets de a et α i,..., α, β 1,...,β m R + tels que X = i α i.1 Ai, Y = j β j.1 Bj. Alors Ω X + Y = i,j (α i + β j ).1 Ai B j 13

et (X + Y )dµ = i,j (α i + β j )µ(a i B j ) = i,j α i µ(a i B j ) + i,j β j µ(a i B j ) = i = α i µ(a i ) + j X dµ + O suppose que X Y. Remarquer que : Y dµ β j µ(b j ) A i B j α i β j e effet ω A i B j X(ω) = α i Y (ω) = β j doc X dµ = α i µ(a i B j ) β j µ(a i B j ) = i,j i,j Y dµ 1.6 Itégratio des variables aléatoires réelles positives 1.6.1 Défiitio 10 Soit X ue variable aléatoire réelle positive (défiie sur l espace (Ω, a, µ)). L itégrale de X par rapport à µ, otée X dµ, est doée par la formule : Ω { } X dµ = sup Y dµ, Y variable aléatoire étagée telle que 0 Y X Ω Ω Remarquer que Ω X dµ peut être égale à +. 1.6.2 Lemme 1 Soiet Z ue variable aléatoire étagée positive et (Y ) N ue suite croissate de variables aléatoires étagées positives telle que : lim ր Y Z Alors lim ր Y dµ Z dµ Démostratio : Soit α ]0, 1[. Posos B = {Y αz}, alors B B +1, B a et B = Ω e effet, pour tout ω Ω, o a : Z(ω) = 0 ω B 0 14

et (Z(ω) > 0) (Z(ω) > αz(ω)) pour tout assez grad (Y (ω) > αz(ω)) De plus, si Z = fiieα i.1 Ai o a Y αz.1 B = fiieαα i.1 Ai B Doc Y dµ α Z.1 B dµ = α fiieα i µ(a i B ) et lim ր Y dµ α fiieα i µ(a i ) = α Z dµ puisque µ(a i B ) ր µ(a i ) quad + 1.6.3 Propositio 11 Soiet X ue variable aléatoire réelle positive et (Y ) N ue suite croissate de variables aléatoires réelles étagées positives telle que : lim ր Y = X Alors X dµ = lim ր Y dµ Démostratio : Pour tout N, o a : 0 Y Y +1 X doc Y dµ X dµ par défiitio et lim ր Y dµ X dµ Réciproquemet, soit Z ue variable aléatoire réelle étagée telle que 0 Z X = lim ր Y alors, d après le lemme 1 : Z dµ lim ր Y dµ d où l iégalité X dµ lim ր Y dµ 15

1.6.4 Propositio 12 Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles positives, alors : 1. pour tout c R + : cx dµ = c X dµ 2. (X + Y )dµ = X dµ + Y dµ 3. si X Y, o a : X dµ Y dµ Démostratio : Le 3) résulte de la défiitio 10. O sait, d autre part, d après la propositio 8, qu il existe X, Y variables aléatoires réelles étagées positives telles que lim ր X = X lim ր Y = Y doc : (X + Y )dµ = lim ր (X + Y )dµ = lim ր X dµ + lim ր = X dµ + Y dµ Y dµ O motre de même que cx dµ = c X dµ (c R + ) 1.6.5 Défiitio 12 Ue variable aléatoire réelle positive X est dite itégrable si Ω X dµ <. Doc si Y est ue variable aléatoire réelle telle que 0 Y X, o voit, d après la propositio 12, que Y est itégrable dès que X l est. 1.7 Itégratio des variables aléatoires réelles 1.7.1 Défiitio 13 Ue variable aléatoire réelle X (défiie sur l espace (Ω, a, µ)) est dite itégrable si X est itégrable. So itégrale est défiie par X dµ = X + dµ X dµ Ω Remarquer que X + et X sot itégrables puisque 0 X + = max{x, 0} X 0 X = max{ X, 0} X 1.7.2 Propositio 13 Ω Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles itégrables, alors 1. pour tout c R : cx dµ = c X dµ Ω 16

2. Si X + Y a u ses : (X + Y )dµ = X dµ + Y dµ 3. si X Y, X dµ Y dµ 4. X dµ X dµ Démostratio : O a : ( X) + = X doc : ( X)dµ = ( X) + dµ = X dµ = X dµ ( X) dµ X + dµ L égalité 1) est évidete si c 0 ; si c < 0, o écrit cx dµ = ( c)( X)dµ = ( c) ( X)dµ = c X dµ O a de plus : X + Y X + Y, doc X + Y est itégrable et : (X + Y ) = (X + Y ) + (X + Y ) = (X + X ) + (Y + Y ) doc (X + Y ) + + X + Y = (X + Y ) + X + + Y + (X +Y ) + dµ+ X dµ+ Y dµ = (X +Y ) dµ+ X + dµ+ Y + dµ et, ces quatités état fiies, par hypothèse : ( (X+Y ) + dµ (X+Y ) dµ = X + dµ ) ( X dµ + Y + dµ ) Y dµ d où l égalité 2). Pour le 3) o a : si X Y, Y X 0 et 0 (Y X)dµ = Y dµ X dµ Pour le 4) o a, puisque X = X + + X : X dµ = X + dµ + X dµ X + dµ X dµ = X dµ 1.7.3 Défiitio 14 O otera L 1 (Ω,a, µ) l esemble des variables aléatoires réelles X fiies et itégrables. La propositio 13 motre que cet esemble est mui, aturellemet, d ue structure d espace vectoriel sur R, l applicatio X L 1 X dµ R 17

état ue forme liéaire positive sur cet espace (i.e. que X 0 X dµ 0). Ue variable aléatoire X à valeurs das C est dite itégrable si X L 1 (Ω,a, µ). O posera alors : X dµ = Re(X)dµ + ı Im(X) dµ O désigera par L 1 C (Ω,a, µ) l esemble des variables aléatoires complexes et itégrables. Cet esemble forme u espace vectoriel sur C ; de plus, o vérifie facilemet que l applicatio : X L 1 C X dµ C est ue forme liéaire sur cet espace. Soit X L 1 C. Alors X dµ est u ombre complexe de la forme ρe ıθ où ρ 0 ; doc X dµ = ρ = e ıθ X dµ = e ıθ X dµ = Re(e ıθ X)dµ X dµ O voit aisi que pour tout X L 1 C : X dµ X dµ 1.7.4 Propositio 14 1. Soit X ue variable aléatoire à valeurs das R ou C. S il existe ue variable aléatoire réelle Y itégrable et positive telle que X Y, alors X est itégrable. 2. Si X et Y sot deux variables aléatoires à valeurs das R ou C égales presque partout (p.p.) et si X est itégrable, alors Y est itégrable ; de plus : X dµ = Y dµ. 3. Si X est ue variable aléatoire itégrable, alors, pour tout λ R + µ( X λ) 1 X dµ et ( X < ) presque partout λ Démostratio : Le 1) est évidet Pour 2) si S = {X Y } ; alors S a, de plus X (+ ).1 S + Y Y (+ ).1 S + X et doc (+ ).1 S dµ = lim +.1 S dµ = 0 puisque µ(s) = 0 X dµ = Y dµ < 18

Pour 3) si X L 1, o a, pour tout λ > 0 : λ.1 ( X λ) X doc λ.1 ( X λ) dµ = λµ( X λ) X dµ < De plus µ( X = + ) = lim λ λ N doc ( X < ) presque partout. Remarques : 1 µ( X λ) lim λ λ λ N X dµ = 0 1. La propostio 14 motre que, si X est ue variable aléatoire itégrable, alors X et X.1 ( X < ) sot égales presque partout et ot même itégrale. 2. Si X est ue variable aléatoire réelle positive, les défiitios précédetes motret que X dµ a toujours u ses (et peut valoir + ). Si X est ue variable aléatoire réelle quelcoque et si X + dµ < ou bie X dµ < (par exemple : X majorée ou miorée par ue variable aléatoire itégrable), o peut, par extesio, défiir l itégrale de X e posat : X dµ = X + dµ X dµ qui appartiet à [, + ] = R 1.7.5 Défiitio 15 (espérace des variables aléatoires réelles) O suppose que la mesure µ est ue probabilité P sur l espace mesurable (Ω,a). Soit X L 1 (Ω,a, P). L espérace de la variable aléatoire réelle X est alors défiie par : E(X) = X dp Remarquer que, si X est ue variable aléatoire réelle discrète (Im(X) = X(Ω) est fii ou déombrable). X = X = x Im(X) x Im(X) Ω x.1 (X=x) x.1 (X=x) O vérifie facilemet, das ce cas, que X est itégrable si et seulemet si E( X ) = X dp = x.p(x = x) < Ω x Im(X) et que E(X) = X dp = x.p(x = x) Ω x Im(X) 19

Remarquer que ( ) x.1 (X=x) x dp = lim x.1 (X=x) dp = lim + x + x 1.7.6 Propositio 16 (loi d ue variable aléatoire) Soit X ue variable aléatoire défiie sur l espace de probabilité (Ω,a, P) et à valeurs das u espace mesurable quelcoque (F, B). La formule suivate : (*) pour tout B B : ν(b) = P ( X 1 (B) ) défiit alors ue probabilité ν sur l espace (F, B). O dira que ν est la loi (image) de la variable aléatoire X et o posera ν = P X. De plus, pour toute applicatio mesurable ϕ de (F, B) das R, o a ϕ L 1 (F, B, P X ) si et seulemet si ϕ X L 1 (Ω,a, P) et das ce cas (**) ϕdp X = ϕ X dp (formule des lois images) Démostratio : La formule (*) motre que, si B a deux disjoits, o a : F Ω ( N) est ue suite d élémets de B deux X 1 ( B ) = X 1 (B ) et les X 1 (B ) ( N) état deux à deux disjoits : ) ν ( B = P (X ( )) ( ) 1 B = P X 1 (B ) = P ( X 1 (B ) ) x.p(x = x) = ν(b ) De plus ν(f) = P ( X 1 (F) ) = P(Ω) = 1. ν est bie ue probabilité sur l espace (F, B). Pour démotrer la formule des lois images, remarquos d abord, que si ϕ = 1 B, (B B), o a ϕdp X = P X (B) = P ( X 1 (B) ) = 1 X 1 (B) dp (par défiitio) F Ω = 1 B X dp = (ϕ X)dP Ω Ω La formule (**) est doc vérifiée lorsque ϕ = 1 B (B B), et par liéarité, lorsque ϕ est ue variable aléatoire étagée de la forme ϕ = fiie α i.1 Bi où B i B, α i R +. Soit ϕ ue applicatio mesurable positive de (F, B) das R ; il existe (propositio 8) ue suite croissate (ϕ ) N de variables aléatoires étagées positives telles que ϕ = lim ր ϕ ; doc : ϕdp X = lim ր ϕ dp X = lim ր (ϕ X)dP = (ϕ X)dP F F 20 Ω Ω

O voit alors que si ϕ est ue applicatio mesurable quelcoque de (F, B) das R, o a ϕ L 1 (F, B, P X ) ϕ X L 1 (Ω,a, P) et que, das ce cas, e décomposat ϕ : Remarques : F ϕdp X = ϕ + dp X ϕ dp X F F = (ϕ + X)dP X (ϕ X)dP X Ω Ω = (ϕ X)dP Ω 1. Avec les otatios de la propositio 16, si F est u esembe fii ou déombrable, o a B = P(F). La loi P X d ue variable aléatoire discrète X à valeurs das F s idetifie alors avec la famille déombrable de ombres positifs de somme égale à 1 : E effet, pour tout B F : P X (x) = P(X = x) (x F) P X (B) = P(X B) = x B P(X = x) = x B P X (x) et P X (F) = x F P X (x) = 1 O dit aussi que (P X (x), x F) est la desité discrète de X. Pour toute applicatio ϕ de F das R, o a : ϕ X est itégrable si et seulemet si ϕ(x) P(X = x) < et das ce cas : x F E{ϕ X} = ϕdp X = ϕ(x)p X (x) = ϕ(x)p(x = x) = F x F x F Ω ϕ X dp 2. Soit X ue variable aléatoire réelle itégrable défiie sur l espace mesuré (Ω,a, µ); o otera idifféremmet, das la suite, suivat les cotextes : Ω X dµ = Si A a, o posera, par défiitio : A Ω X(ω)dµ(ω) = X dµ = Ω Ω X.1 A dµ X(ω)µ (dω) 21

1.8 Théorèmes de covergece 1.8.1 Théorème 1 (Beppo-Levi) Soit (X ) N ue suite croissate de variables aléatoires réelles positives (défiies sur l espace mesuré (Ω,a, µ)). Posos X = lim ր X. Alors : X dµ = lim ր X dµ Démostratio : Pour tout N soit (X,k ) k N ue suite croissate de variables aléatoires étagées positives telle que : 0 X,k X,k+1 ր X, quad k + Posos Y k = max{x m,k, 0 m k} Alors Y k est étagée et de plus, pour tout m l das N : 0 Y k Y k+1 X k+1 X (1) X m,l Y l lim k ր Y k doc et X m lim l X m,l lim k ր Y k lim m ր X m = X lim k ր Y k X (2) Des iégalités (1) et (2), o déduit que : X dµ = lim ր Y k dµ = lim k k ր X k dµ Corollaire : Soit (Z ) N ue suite quelcoque de variables aléatoires réelles positives alors : ( ) Z dµ = Z dµ Démostratio : Pour tout m N, soit X m = m =0 Z, alors 0 X m X m+1 ր X = Z Il suffit d appliquer le théorème 1. 22

1.8.2 Théorème 2 (Lemme de Fatou) Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles. S il existe ue variable aléatoire réelle itégrable Y telle que, pour tout : Y X alors : lim X dµ lim X dµ S il existe ue variable aléatoire réelle itégrable Z telle que, pour tout : X Z alors : lim X dµ lim X dµ Démostratio : O suppose d abord que, pour tout, X 0, alors 0 Y m = if{x, m} Y m+1 ր lim X, quad m doc, d après le théorème 1 limx dµ = lim ր m ( Y m dµ lim if m m ) X dµ = lim X dµ puisque, pour tout m, Y m X et doc Y m dµ X dµ. Si, pour tout : X Y où Y L 1, il suffit de poser X = X Y 0 et de remarquer que lim X = lim X Y 0 doc lim X dµ = lim X dµ + Y dµ X dµ + lim Y dµ = lim X dµ Pour démotrer la secode assertio du théorème, il suffit de chager X e X ( N). 1.8.3 Théorème 3 (Théorème de Lesbesgue ou de «covergece domiée») Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires réelles. S il existe ue variable aléatoire réelle itégrable Y telle que, pour tout : X Y presque partout et si (X ) coverge presque partout vers ue variable aléatoire réelle X, quad alors X est itégrable et X X dµ 0, quad ; e particulier X dµ X dµ quad. Démostratio : Commeços par remarquer que, pour tout : (*) X X X +Y presque partout puisque X Y presque partout Quitte à modifier Y sur u esemble égligeable, o peut supposer que les iégalités précédetes sot valables partout et, e faisat tedre vers l ifii, 23

o voit que X Y presque partout, doc X L 1. D après le lemme de Fatou et grâce à (*) : lim X X dµ lim X X dµ = 0 car doc lim X X = 0 presque partout et X + Y L 1 X dµ X dµ = (X X )dµ X X dµ 0 quad Corollaire 1 : Soit (X s ) s S ue famille de variables aléatoires réelles où S est u espace métrique. O suppose que : 1. il existe l S tel que limx s = X l presque partout s l 2. pour tout s variat das ue boule ouverte cetrée e l : X s Y presque partout où Y est ue variable aléatoire réelle itégrable fixe, alors lim s l X (.) s dµ = X (.) l dµ Démostratio : Il suffit de vérifier que, pour toute suite (s ) N d élémets de S telle que lim s = l, o a lim X s dµ = X l dµ Appliquer le théorème de Lebesgue. Corollaire 2 : (Dérivatio sous le sige itégral) Soit (X s ) s S ue famille de variables aléatoires réelles itégrables où S est u itervalle ouvert de R. O suppose que, pour presque tout ω Ω, 1. la foctio s S X s (ω) est dérivable sur S 2. d ds X s(ω) Y (ω) e tout poit s de S où Y (.) est ue variable aléatoire réelle itégrable fixe. Alors X (.) s dµ est dérivable e s S et d X s (.) dµ = ds ( d ds X(.) s ) dµ Démostratio : Soit s 0 S. Pour tout h 0, assez petit, o a : ( ) ( ) 1 Xs0+h X s0 X s0+h dµ X s0 dµ = dµ h h et, d après le théorème des accroissemets fiis : X s0+h X s0 X h = θ h Y presque partout 24

où X s = d ds X s et θ h est compris etre s 0 et s 0 + h. O voit alors, d après le corollaire 1, que : ( ) 1 lim X s0+h dµ X s0 dµ = X s h 0 h 0 dµ h 0 1.8.4 Propositio 17 (lie avec l itégrale de Riema) 1. Soiet a et b das R, a < b et f C([a, b], R) (espace des foctios cotiues de [a, b] das R). La foctio f.1 [a,b] est alors itégrable pour la mesure de Lebesgue λ sur (R, B R ) et l itégrale de Riema b a f(x)dx est égale à f.1 [a,b] dλ. 2. Soit f ue applicatio de R das R cotiue par morceaux, alors f L 1 (R, B R, λ) si et seulemet si l itégrale I = + f(x)dx est absolumet covergete et das ce cas I = f dλ Démostratio : Assertio 1) : Soit f C([a, b], R) O sait qu il existe ue costate M 0 telle que, pour tout x [a, b] : f(x) M, doc f.1[a,b] M.1[a,b] et f.1 [a,b] dλ M.(b a) < : f.1 [a,b] L 1 (R, B R, λ) Soiet = {t 0 = a, < t 1 <... < t = b} ue subdivisio de l itervalle [a, b] 1 = max t i+1 t i et f = f(t i ).1 [ti,t i i+1[ O sait, de plus, que f f, quad 0, uiformémet sur [a, b[ (cf. le cours de DEUG) et que les sommes de Riema i=0 R( ) = i f(t i ).(t i+1 t i ) coverget, quad 0, vers b a f(x)dx; or R( ) = f dλ et f M.1 [a,b] doc (théorème de Lebesgue) lim R( ) = lim 0 0 remarquer aussi que f.1 [a,b] dλ = puisque λ({b}) = λ({a}) = 0. L assertio 2) est laissée e exercice. f dλ = f.1 [a,b[ dλ = b f.1 [a,b[ dλ = f.1 ]a,b[ dλ a f(x)dx 25

Cosidéros l espace discret (N, P(N), µ) où µ est la mesure de comptage (pour tout B N : µ(b) = Card(B)). Soit U = (U ) N ue suite de ombres réels ou complexes. O vérifie facilemet que U L 1 C (N, P(N), µ) si et seulemet si la série 0 U est absolumet covergete ( 0 U < ) et que das ce cas 1.8.5 Propositio 18 N U dµ = 0 Soit V = (V,m ) (,m) N N ue suite à deux idices et m (V,m C). O suppose que : 1. Pour tout, lim m V,m existe 2. 0 {sup m V,m } < alors lim m { } V,m = { 0 0 U lim m V,m L égalité (*) reste valable si, au lieu des coditios 1) et 2), o suppose 3) : pour tous et m : V,m R + et V,m V,m+1. Démostratio : Cosidéros ( ) f m = (V,m ) N et g = sup V,m m Pour tout N, o a f m () = V,m g() La coditio 1) sigifie que f m coverge simplemet, quad m et 2) sigifie que g L 1 C (N, P(N), µ). Pour obteir (*) il suffit d appliquer le théorème de Lebesgue sous les coditios 1) et 2), ou bie le théorème de Beppo-Levi sous l hypothèse 3). } (*) N 26

Chapitre 2 Espaces produits, idépedace 2.1 Espaces produits Soiet (F i, B i ), i = 1, 2,..., des espaces mesurables. Posos : F = F 1 F 2... F = O muit l esemble F de la tribu B egedrée par les pavés de la forme i=1 F i A 1 A 2... A où A i B i, i = 1,..., B s appelle la tribu produit et se ote : B = B 1 B 2... B = Remarquer que B est la plus petite tribu sur F redat mesurables les applicatios coordoées θ i, (i = 1,...,), de F das (F i, B i ) défiies par : i=1 θ i ((x 1, x 2,..., x )) = x i où (x 1,..., x ) F Si pour tout i, F i = R et B i = B R (tribu boréliee de R) o vérifie facilemet que, pout tout N : B i B R = B R... B R fois et que B R +m s idetifie à B R B R m (m N ). 2.1.1 Théorème 1 Soiet µ 1, µ 2,...,µ des mesures 0 σ-fiies défiies sur (F 1, B 1 ), (F 2, B 2 ),...,(F, B ) 27

respectivemet. Il existe ue uique mesure 0 σ-fiie µ sur l espace produit ( ) F = F i, B = B i i=1 i=1 telle que pour tous A 1 B 1, A 2 B 2,..., A B : µ(a 1 A 2... A ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 )...µ (A ) La mesure µ s appelle la mesure produit de µ 1, µ 2,..., µ et se ote : µ = µ 1 µ 2... µ = Par exemple, si λ désige la mesure de Lebesgue sur R ( N ), o a λ = λ 1 λ 1... λ 1 i=1 µ i ( fois) Remarquer, das le théorème 1, que si les µ i, (i = 1,...,) sot des probabilités, alors µ = i=1 µ i est ue probabilité. 2.1.2 Théorème 2 (de Fubii) Cas = 2. Soit f ue applicatio mesurable de (F 1 F 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) das R alors : 1. Pour tout x = (x 1, x 2 ) F 1 F 2, les applicatios f x1 de (F 2, B 2 ) das R et f x2 de (F 1, B 1 ) das R défiies par f x1 (y 2 ) = f(x 1, y 2 ) (y 2 F 2 ) f x2 (y 1 ) = f(y 1, x 2 ) (y 1 F 1 ) sot mesurables. 2. Si f est positive, les applicatios : x 1 F 1 f(x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) F 2 x 2 F 2 f(x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) F 1 sot mesurables sur (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) respectivemet, de plus : f(x 1, x 2 )µ 1 µ 2 (dx 1, dx 2 ) = µ 1 (dx 1 ) f(x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) F 1 F 2 F 1 F 2 = µ 2 (dx 2 ) f(x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) (*) F 2 F 1 3. Si f L 1 (F 1 F 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) alors pour µ 1 presque tout x 1 : f x1 L 1 (F 2, B 2, µ 2 ) pour µ 2 presque tout x 2 : f x2 L 1 (F 1, B 1, µ 1 ) et l itégrale de f par rapport à µ 1 µ 2 est ecore doée par l égalité (*). Ce théorème s éted facilemet, par récurrece, au cas d u produit fii d espaces (F i, B i, µ i ), (i = 1, 2,..., ). La démostratio des théorèmes 1 et 2 est basée sur le théorème 3 suivat (appelé «théorème de classe mootoe»). 28

2.1.3 Défiitio 1 Soiet Ω u esemble, C et S deux sous-esembles de P(Ω). O dira que C est u π-système si, pour tous A et B apparteat à C, o a A B C. S est u λ-système si, 1. pour toute suite (A ) d élémets de S telle que A A +1,, o a N A S 2. pour tous A et B apparteat à S, o a : A B A \ B S 2.1.4 Théorème 3 1. Si S est u λ-système coteat u π-système C et si Ω S, alors S cotiet σ(c) (la tribu egedrée par C). 2. Soit H u espace vectoriel de foctios umériques fiies (resp. borées) sur u espace mesurable (Ω,a) tel que : (a) 1 H et 1 A H, pour tout A C où C est u π-système tel que σ(c) = a (b) H est stable par passage à la limite croissate (i. e. : si (f ) est ue suite d élémets de H telle que f f +1 et f f fiie (resp. Démostratio : ր borée), o a f H) alors H cotiet toutes les foctios umériques a-mesurables fiies (resp. borées). 1. Soit S le λ-système egedré par C et Ω. S est l itersectio de tous les λ-systèmes coteat C et Ω. O a : S S et C S σ(c). Si o motre que S est stable par itersectio fiie, il est facile de voir que S est, e fait, ue tribu et, puisque C S, S = σ(c) S. Soit S 1 = {A S tel que A B S, B C} alors S 1 est u λ-système coteat C et Ω S 1 doc S 1 S S 1 = S. Soit S 2 = {A S tel que A B S, B S } S 2 est u λ-système coteat C et Ω S 2 doc S 2 = S, ce qui sigifie que, pour tous A et B das S, o a A B S 2. Soit S = {A a tel que 1 A H} a Les hypothèses sur H motret que S est u λ-système coteat C et Ω, doc S cotiet σ(c) = a (d après 1)) et S = a. L espace vectoriel H cotiet doc toutes les foctios étagées. Soit f ue foctio a-mesurable fiie (resp. borée), o a f = f + f où f + et f sot des foctios mesurables positives qui sot limites de suites croissates de foctios étagées positives, doc f + H, f H et f = f + f H. Corollaire 1 : Soiet µ 1 et µ 2 deux mesures positives σ-fiies sur (Ω,a) et C a u π-système tel que σ(c) = a. O suppose que : 29

1. Pour tout C C : µ 1 (C) = µ 2 (C) 2. Il existe ue suite croissate (C ) d élémets de C telle que Ω = C et µ i (C ) <, pour tout N. Alors µ 1 = µ 2. Démostratio : Soit N fixé. Cosidéros : S = {A a tel que µ 1 (A C ) = µ 2 (A C )} a O voit que S est u λ-système, S C et Ω S, doc S σ(c) = a et S = a. O e déduit que pour tout A a et tout N doc µ 1 (A C ) = µ 2 (A C ) µ 1 (A) = lim µ 1(A C ) = lim µ 2(A C ) = µ 2 (A) 2.1.5 Démostratio du théorème 1 Uicité : Soiet µ et µ deux mesures σ-fiies sur (F = i=1 F i, B = i=1 B i) telles que, pour tous A 1 B 1,..., A B µ(a 1... A ) = µ(a 1... A ) = µ i (A i ) (P) O sait qu il existe, pour tout i {1, 2,..., }, ue suite croissate (A k i ) k N d élémets de B i telle que A k i = F i et µ i (A k i ) <, pour tout k N. Posos : k i=1 alors, pour tout k : C k = A k 1 Ak 2... Ak µ(c k ) = µ(c k ) <, C k C k+1 et k C k = F Soit C la famille des pavés C de la forme C = A 1 A 2... A où A i B i C est u π-système tel que σ(c) = B et la propriété (P) motre que µ et µ coïcidet sur C, de plus C k C pour tout k, doc µ = µ (d après le corollaire 1). Existece : Il suffit de se restreidre au cas = 2. Pour tout A B = B 1 B 2 et pour x = (x 1, x 2 ) F 1 F 2, cosidéros : Remarquer que : A x1 = {x 2 F 2 tel que (x 1, x 2 ) A} F 2 A x2 = {x 1 F 1 tel que (x 1, x 2 ) A} F 1 1 Ax1 (x 2 ) = 1 Ax2 (x 1 ) = 1 A (x 1, x 2 ) Cosidéros l esemble S défii par : S = {A B vérifiat les propriétés suivates : 30

1. pour tout x = (x 1, x 2 ) F : A x1 B 2 et A x2 B 1 2. les applicatios x 1 F 1 µ 2 (A x1 ) et x 2 F 2 µ 1 (A x2 ) sot mesurables sur (F 1, B 1 ) et (F 2, B 2 ) respectivemet 3. µ 1 (dx 1 )µ 2 (A x1 ) = F 1 µ 2 (dx 2 )µ 1 (A x2 )} F 2 O se propose de motrer que S = B. Supposos d abord que µ 1 et µ 2 sot borées. O vérifie, das ce cas, facilemet que S est u λ-système coteat tous les pavés de la forme C = A 1 A 2 où A 1 B 1 et A 2 B 2, e particulierf = F 1 F 2 S Doc S = B = B 1 B 2 (théorème 3). Das le cas gééral, o sait qu il existe deux suites croissates (A k i ) k N, (i = 1, 2) telles que A k i B i, A k i = F i et µ i (A k i ) < pour tout k k N. Posos alors, pour tous B 1 B 1 et B 2 B 2 : µ k 1(B 1 ) = µ 1 (B 1 A k 1), µ k 2(B 2 ) = µ 2 (B 2 A k 2) O voit que, pour tout k, µ k 1 et µ k 2 sot deux mesures borées et que les propriétés 2) et 3) sot satisfaites pour tout A B lorsque l o remplace µ 1 par µ k 1 et µ 2 par µ k 2 ; e faisat tedre k vers l ifii, o vérifie alors, sas peie, que S = B = B 1 B 2. Posos esuite, pour tout A B : µ(a) = µ 1 (dx 1 )µ 2 (A x1 ) = µ 2 (dx 2 )µ 1 (A x2 ) F 1 F 2 Il est immédiat de vérifier que µ est ue mesure σ-fiie sur B telle que pour tous A 1 B 1, A 2 B 2 µ(a 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) 2.1.6 Démostratio du théorème 2 O désige par H l esemble suivat : H = { f : (F 1 F 2, B 1 B 2 ) R + = [0, ], mesurables vérifiat les assertios 1) et 2) du théorème 2. } O voit facilemet que si f et g sot deux élémets de H alors f + g appartiet à H et α.f H (α R + ) et que si 0 f f +1... est ue suite croissate d élémets f de H alors f = lim ր f appartiet à H. La démostratio du théorème 1 motre, de plus, que H cotiet les foctios idicatrices 1 A, pour tout A B 1 B 2 doc H cotiet les variables aléatoires réelles étagées positives et, par passage à la limite croissate, toutes les variables aléatoires réelles positives. Soit f L 1 (F 1 F 2, B 1 B 2, µ 1 µ 2 ) alors, d après 1) et 2), o voit que : µ 1 (dx 1 ) f (x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) = µ 2 (dx 2 ) f (x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) < F 1 F 2 F 2 F 1 31

doc, pour µ 1 presque tout x 1 : et, pour µ 2 presque tout x 2 : F 2 f (x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) < F 1 f (x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) < E décomposat f sous la forme f = f + f où f + = max(f, 0) 0 et f = max( f, 0) 0, o voit alors, par liéarité, que l itégrale de f par rapport à µ 1 µ 2 est ecore doée par l égalité : fdµ 1 µ 2 = µ 1 (dx 1 ) f(x 1, x 2 )µ 2 (dx 2 ) F 1 F 2 F 1 F 2 = µ 2 (dx 2 ) f(x 1, x 2 )µ 1 (dx 1 ) (*) F 2 F 1 L extesio du théorème 2 au cas d u produit fii d espaces se démotre facilemet par récurrece. Soit (F i, B i ) i I ue famille d espaces mesurables où I est u esemble quelcoque d idices (par exemple I = N ou R + ou R...) L espace produit F = i I F i est, par défiitio, l esemble des applicatios x de I das i I F i telles que, pour tout i I, x i F i ; o posera x = (x i ) i I. Les applicatios coordoées θ i de F das F i (i I) sot alors défiies par θ i (x) = x i, pour tout x = (x i ) i I das F. O muit l espace F = i I F i de la tribu produit B = i I B i qui est doée par B = σ{θ 1 i (B i ), i I, B i B i } O vérifie facilemet que B est la plus petite tribu sur F qui red mesurables toutes les applicatios θ i (i I). Soit C l esemble des pavés C de F de la forme C = (B i ) où J est fii, J I et B i B i. Remarquer que C est u θ 1 i i J π-système tel que σ(c) = B. 2.1.7 Propositio 1 Soit (Ω,a) u espace mesurable. Ue applicatio X de (Ω,a) das (F = i I F i, B = i I B i) est mesurable si et seulemet si : (P) i I, θ i X est mesurable de (Ω,a) das (F i, B i ) Démostratio : Puisque B est egedrée par la famille des θ 1 i (B i ), i I, B i B i, o voit que : X est mesurable pour tous i I et B i B i X 1 ( θ 1 i (B i ) ) a pour tout i I θ i X est mesurable car X 1 (θ 1 i (B i )) = (θ i X) 1 (B i ). Nous admettros le théorème suivat, dû à Kolmogorov, qui assure l existece, sous certaies coditios, d u produit ifii d espaces de probabilités. 32

2.1.8 Théorème 4 Pour chaque i I, soit µ x ue probabilité sur l espace mesurable (F i, B i ); o suppose que F i = R di, (d i N ) et que B i = B R d i (tribu boréliee de R di ). Il existe alors ue uique probabilité µ sur l espace produit ( F = F i, B = ) B i i I i I telle que pour tout pavé C = θi 1 i J (B i ) où J est fii, J I et B i B i o a µ(c) = i J µ i (B i ) (*) La probabilité µ est appelée probabilité produit des µ i (i I) et otée µ = i I µ i. Le théorème 4 est ue extesio directe du théorème 1 au cas d u produit quelcoque d espaces. Remarquer que l égalité (*) etraîe immédiatemet l uicité de µ puisque la famille C des pavés est u π-système qui egedre la tribu produit. Noter aussi que le théorème 4 reste valable si o suppose que, pour tout i, F i est u esemble déombrable et B i = P (Fi). 2.2 Idépedace 2.2.1 Défiitio 1 Soiet X 1, X 2,...,X variables aléatoires défiies sur u espace de probablité (Ω,a, P) et à valeurs das des espaces mesurables (F 1, B 1 ), (F 2, B 2 ),..., (F, B ) respectivemet. O dira que la famille (X i ) i=1,2,..., est idépedate (ou que les X i, i = 1, 2,...,, sot idépedates) si : pour tous B 1 B 1, B 2 B 2,..., B B, o a P {X 1 B 1, X 2 B 2,..., X B } = P(X i B i ) (*) i=1 Soit X l applicatio de (Ω,a, P) das l espace produit ( ) F = F i, B = B i défiie par : i=1 i=1 X(ω) = (X 1 (ω),..., X (ω)), ω Ω O vérifie facilemet que X est bie ue variable aléatoire. Notos P X la loi de X sur l espace produit (F, B) et P Xi la loi de X i sur (F i, B i ), i = 1, 2,...,. L égalité (*), das la défiitio 1, motre que les variables aléatoires X i, i = 1, 2,..., sot idépedates si et seulemet si la loi de X est égale au produit des lois des X i : ( ) P X = P X1 P X2... P X sur F = F i, B = B i (**) i=1 i=1 33