Durée : 2 heures L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation et de la rédaction entrent pour 4 points dans l appréciation des copies. Exercice n 1 : Partie numérique Réponses proposées N Proposition n 1 Proposition n 2 Proposition n 3 1 L expression ( ) a pour forme développée : 2 L expression a pour forme factorisée : ( )( ) ( ) ( )( ) 3 L équation a pour solution : 4 La partie en gras représente les solutions de l inéquation Exercice n 2 : 1) = = = = = = 2) = = = ( ) 3) = ( ) ( ) ( ) Exercice n 3 : est donc bien un nombre entier! 1) ( ) ( ) Ainsi le résultat du programme est 4 lorsque l on prend 5 comme nombre de départ. 2) ( ) ( ) Le résultat du programme est 9 lorsque l on prend comme nombre de départ. 3) a. On cherche les différents nombres vérifiant ( ) Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. Donc il faut choisir. b. On cherche les différents nombres vérifiant ( ) Cela est vrai lorsque ou lorsque Il y a donc deux solutions : et 4) On cherche les différents nombres vérifiant ( ) ( ) Cela est vrai lorsque (E1) : ou lorsque (E2) : ( ) C'est-à-dire lorsque (E1) : ou lorsque (E2) : (E1) n admet pas de solution tandis que est l unique solution de (E2) Bilan : Il n y a qu un nombre pour lequel les deux programmes de calcul sont égaux, il s agit du nombre.
Exercice n 4 : 1) Comme le PGCD est le dernier reste non nul dans l algorithme d Euclide. Ici, PGCD (144 ; 24) = 24. 2) Dans les conditions de cette situation, le nombre de bouquets à préparer correspond au PGCD des nombres 120 et 144. Pour ce qui est de la composition, il fallait effectuer les calculs = 6 et = 5 Ainsi, chaque bouquet contenait 6 tulipes et 5 roses. Exercice n 1 : Partie géométrique 1) 2) Dans le triangle ABC, on calcule séparément : AC ² = 12,5 ² = 156,25 AB ² + BC ² = 7,5 ² + 10 ² = 56,25 + 100 = 156,25 comme AC ² = AB ² + BC ² alors, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3) a. Voir figure 1) b. Voir figure 1)
4) Dans le triangle ABC, on commence par calculer séparément : Comme et que les points C, F et A sont alignés dans le même ordre que les points C, G et B Alors, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (FG) sont parallèles 5) Dans le triangle ABC, comme : Les points C, F et A sont alignés Les points C, G et B sont alignés (AB) // (FG) Alors, d après le théorème de Thalès, on a : On remplace par les valeurs numériques : Donc, FG = 6) Comme les droites (AB) et (FG) sont parallèles et que (BC) et (AB) sont perpendiculaires Alors les droites (FG) et (BC) sont perpendiculaires. Car si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Exercice n 2 : Lors d une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre située à 18 mètres audessus du sol en utilisant leur grande échelle. Ils doivent prévoir les réglages de l échelle. Le pied de l échelle est située sur le camion à du sol et à de l immeuble. 1) Comme R [FS], alors RF = FS RS = 18 1,5 = 16,5 m 2) Dans le triangle RFP rectangle en R, on a : Tan ( ) = Tan ( ) = Et donc, en utilisant la calculatrice 59
3) Dans le triangle RFP rectangle en R, d après le théorème de Pythagore, on a : Soit C'est-à-dire (Valeur approchée à l unité près par excès) Bilan : L échelle sera donc suffisamment longue pour atteindre la fenêtre. Partie 1 : Problème Les trois parties sont indépendantes Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 1) Prix pour 30 morceaux téléchargés par an Offre A Offre B 2) a. En désignant par ( ) le prix de l offre A pour un nombre de morceaux téléchargés On a : ( ) b. En désignant par ( ) le prix de l offre B pour un nombre de morceaux téléchargés On a : ( ) 3) Soient et les deux fonctions définies par : a. L affirmation «et sont toutes les deux des fonctions linéaires» est fausse. En effet, seule la fonction est linéaire car elle du type ( ) où un nombre donné. b. Comme, par exemple, ( ), la courbe représentative de passe par le point de coordonnées (60 ; 72). De plus, puisqu il s agit de la représentation graphique d une fonction linéaire, c est donc aussi une droite passant par l origine du repère. Et donc, on obtient la courbe tracé sur le repère en annexe. 4) On cherche à déterminer de telle sorte que ( ) ( ) C'est-à-dire tel que Soit Ainsi, Bilan : Pour 50 morceaux, on payera le même prix avec les deux offres. 5) Graphiquement, comme pour une abscisse égale à 60, la courbe représentative de est en dessous de celle de alors l offre la plus avantageuse sera l offre B.
6) Il suffit pour cela de déterminer de telle sorte que ( ) Cela revient à chercher x de telle sorte que Soit Donc Bilan : Si l on dépense avec l offre B, on pourra télécharger 90 morceaux. Partie 2 : On admet qu un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire (1 Mo = 1 Méga-octet) 1) Comme alors sur une clé USB d une capacité de 256 Mo, on pourra télécharger 85 morceaux de musique. On admet que la vitesse de téléchargement d un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s (Méga-octet par seconde) 2) Convertissons les deux minutes en secondes : 2 min 120 sec Ainsi, en deux minutes, on pourra télécharger 1200 Mo (10 Mo/s 120 s) Et comme 1200 3 = 400 On pourra donc télécharger 400 morceaux en deux minutes. Partie 3 : Les créateurs du site réalisent une enquête de satisfaction auprès des internautes clients. Ils leur demandent d attribuer une note sur 20 au site. Le tableau suivant donne les notes de 50 internautes. 1) Note moyenne = Note moyenne = Note moyenne = Note moyenne 13 2) Recherchons d abord le nombre total d internautes ayant donné une note supérieur ou égale à 14. Il y en a 29 (les 12 qui ont donné la note 14, les 9 qui ont donné la note 15 et les 8 qui ont donné la note 17). Ce qui correspond à une fréquence égale à Il y a donc 58 % des internautes qui ont donné une note supérieure ou égale à 14. Bilan : L enquête est jugée satisfaisante!
ANNEXE : Dans le repère orthonormé suivant, on désigne par fonction. la représentation graphique de la