A-.. CICUITS EN EGIMES VAIABLES I) Granders contnes et granders varables I.) Défnton ne grander contne est constante par rapport a temps alors q ne grander varable pet changer de valer à chaqe nstant. La grander varable sera représentée sr l'ordonnée d'n graphqe dont l'abscsse est le temps. Les ntés, les échelles et les gradatons dovent être précsées por povor exploter l'enregstrement. 5 (t) sorte(t) U 5 = 3V Iɵ sorte = ma,5 ma t (ms) Notatons : Une grander contne o constante est notée avec n nom en majscle. ar exemple : U 5, I ɵ sorte Une grander varable est notée avec n nom en mnscle sv de parenthèses et de la grander par rapport à laqelle elle vare. ar exemple 5 (t), sorte (t). or alléger la notaton et lorsq l est évdent qe la grander est varable par rapport a temps on la notera smplement avec son nom en mnscle. ar exemple 5, sorte La valer de la grander (t) à n nstant t est notée (t ). ar exemple sorte (. -3 ) =,5 ma I.) Varaton La varaton d ne grander y(t) entre dex ponts de la corbe à l nstant t et à l nstant t est : y = y(t ) y(t ) = y y A A sorte (t) A t I.3) Tax de varaton B t t (ms) BTS électrotechnqe age sr 4 t (ms) Sr cet exemple on pet calcler les varatons de temps et de la grander entre les ponts A et B : = t t = 4. -3. -3 =. -3 s = = = A Le tax de varaton d ne grander y(t) entre dex ponts de la corbe à l nstant t et à l nstant t est : y y y = t t Ce tax permet de précser jsq à qel pont la grander observée est crossante, décrossante o s elle est constante pendant n ntervalle de temps. Dans l exemple précédent : = 5A / s Le tax de varaton est de 5A/s. 3 3 4.. La grander agmente de 5A par seconde en moyenne sr l ntervalle [t ; t ].
emarqes : Le tax de varaton d ne grander constante y(t) est nl (car y = ). Le tax de varaton d ne grander lnéare (drote) est constant et correspond a coeffcent drecter o à la pente de la drote. v(t) A v v ' = ' B A v Une grander fablement varable dans le temps (tax de varaton fable) est sovent consdérée comme étant ne grander constante. Tot dépend de l échelle d observaton de la grander. r(t),.9 Æ r(t) B væ t t I.4) Noton de dérvée en n pont La dérvée représente le tax de varaton nstantané de la grander en n pont. C est ass le coeffcent drecter de la tangente en ce pont. On l obtent en calclant le tax de varaton avec dex ponts très proches par rapport à l échelle d observaton de la grander. or ne grander y(t) la dérvée dy en t est notée dt t w(t) A t A A t (ms) A w II) électrocnétqe appels : Le corant électrqe dans n crct est constté par n déplacement d ensemble d électrons (e - ). Le corant électrqe crcle d potentel (tenson) le pls élevé vers le potentel le mons élevé. Le prncpe de conservaton de la charge mplqe qe les composants électrqes ne pevent accmler des charges électrqes n en générer spontanément. II.) Corant et lo des nœds II..a) Natre mcroscopqe d corant électrqe Le corant électrqe est n movement d'ensemble de porters de charges électrqes. La charge élémentare exprmée en Colomb est : e =,6. -9 C. Un électron transporte la charge : - e donc -,6. -9 C. BTS électrotechnqe age sr 4
II..b) Intensté d corant électrqe endant la drée, N charges transportent la qantté d'électrcté : Q = N.e. L'ntensté d corant électrqe est défne par la relaton : Q I en Ampères (A) I = t Q en Colombs (C) t en secondes (s) Q(t) I(t) t t Ordre de granders : - Electronqe (crcts ntégrés, transstors ) : na ( -9 A), µa ( -6 A), ma ( -3 A). - Electronqe de pssance (almentatons, amplfcaters ) : A à ka ( 3 A). - Electrotechnqe (moters, centrales ) : A à 4 A. II..c) Lo des noeds ar conventon le corant crcle de la borne postve (potentel le pls élevé) vers la borne négatve (potentel le mons élevé) d'n générater. La mesre d corant électrqe se fat avec n ampèremètre qe l'on branche en sére dans le crct. Il dot être traversé ntégralement par le corant q l mesre, conformément a schéma c-dessos : Corant à mesrer Ampèremètre écepter qelconqe I I I A + COM Sorte «-» o «COM» o borne nore Entrée «+» o borne roge emarqe : Le prncpe de conservaton de la charge mpose qe l ntensté d corant avant et après n dpôle est la même. Un nœd est ne connexon q rele a mons tros fls. D après le prncpe de conservaton de la charge por n nœd, on dédt : Lo des nœds : La somme des ntenstés des corants q arrvent a nœd est égale à la somme des ntenstés des corants q sortent d nœd. Dans l'exemple c-contre, la lo des nœds donne la relaton : + = 3 + 4. 3 4 emarqe : L applcaton d prncpe de conservaton de la charge est valable por tot composant électronqe o même por ne porton de crct. or le transstor bpolare, par exemple, on a la relaton : E = B + C. BTS électrotechnqe age 3 sr 4 B B C C E E
II.) Tenson et lo des malles II..a) Introdcton a potentel électrqe. Analoge mécanqe La blle ne pet se déplacer qe s le plan est nclné : pls l nclnason (o la hater h) est grande pls la blle prendra de la vtesse rapdement. De même n corant électrqe ne pet exster qe s l exste ne dfférence de tenson. ls cette dfférence de potentel sera élevée pls l ntensté d corant porra être grande. La tenson o force électromotrce (FEM) o dfférence de potentel s exprme en volt (V) La crclaton d corant électrqe entre dex ponts ne pet se fare qe d potentel le pls élevé vers le potentel le mons élevé. II..b) La tenson électrqe Défnton : La tenson électrqe ax bornes d'n crct est la dfférence de potentel entre ses dex bornes. On notera AB la tenson égale à v A - v B. Cette tenson sera symbolsée par ne flèche dont la ponte est en A et le talon en B ( ponte talon ). La mesre de la tenson électrqe AB se fat avec n voltmètre qe l'on branche en parallèle dans le crct. La borne "+" d voltmètre est relé a pont A et la borne "COM" est relée a pont B. conformément a schéma c-contre : A AB = v A - v B AB B V + COM emarqe : Un fl de lason a tos ses ponts a même potentel. La tenson à ses bornes est donc V. Ordres de grander : - Electronqe (crcts ntégrés, transstors ) : µv ( -6 V), mv ( -3 V) et V. - Electronqe de pssance (almentatons, amplfcaters ) : V à kv ( 3 V). - Electrotechnqe (moters, centrales ) : V à 4kV. II..c) Los relatves à la tenson Lo d'addtvté : Sr ne branche (porton) d'n crct, on trove la relaton : AC = AB + BC A B AC C Lo des malles : AB BC Une malle est consttée de plsers branches q forment n crct fermé. On chost n sens arbtrare de parcors : A AB B Alors la somme des tensons q ndqent n sens est égale à la somme des tensons q ndqent l'atre sens. AD + CB or notre exemple, on a la relaton : AD + CB + DC = AB. D C DC BTS électrotechnqe age 4 sr 4
II.3) ésstance et lo d Ohm II.3.a) Conventon générater et conventon récepter Dpôle Dpôle Conventon récepter Conventon générater or n dpôle récepter, l sera jdcex d'adopter la conventon récepter (flèches de et ndqant n sens contrare). II.3.b) Enoncé de la lo La lo d'ohm por n condcter ohmqe de résstance o résstor lnéare, avec la conventon récepter est : ésstance Ohm (Ω) Condctance Sémens (S o Ω - ) = o = G avec G = Volt (V) Ampère (A) Ampère (A) Volt (V) En conventon générater on ara = - o = -G. II.3.c) Assocaton sére et parallèle Défnton : Des dpôles sont en sére lorsq'ls sont traversés par le même corant. Exemple : assocons tros résstances en sére et cherchons la résstance éqvalente. s 3 s 3 lo des malles : = + + 3 S = + + 3 = ( + + 3 ) Donc S = + + 3. Lo : Dans ne assocaton de résstors en sére, la résstance éqvalente est égale à la somme des résstances. S N est le nombre des résstors, on a : emarqe : or N résstors dentqes : S = N. + 3 + = S Défnton : Des dpôles sont en parallèle lorsq'ls sont soms à la même tenson. Exemple : assocons tros résstances en parallèle et cherchons la résstance éqvalente. + + N. BTS électrotechnqe age 5 sr 4
p p 3 3 lo des nœds : = + + 3 = + + 3 Donc = + + mas on a ass : G = G + G + G 3 (avec G = ). 3 Lo : Dans ne assocaton de résstors en parallèle, la condctance éqvalente est égale à la somme des condctances. S N est le nombre des résstors, on a : G S = G + G + G 3 + + G N. emarqes : Lors d'ne assocaton en parallèle, la résstance est pls pette qe la pls pette des résstances. or N résstors dentqes en parallèle on a G = N G o =. N r odt or dex résstors et en parallèle, on a = =. + Somme Attenton : La formle précédente (prodt / somme) est valable nqement por dex résstances. 3 + + 3 = FAUX II.4) Dvser de tenson et dvser de corant Défnton : on est en présence d'n dvser de tenson chaqe fos qe des résstors sont branchés en sére c'est-à-dre traversés par le même corant. Montage : elaton : = + Défnton : on est en présence d'n dvser de corant chaqe fos qe des résstors sont branchés en parallèle c'est-à-dre soms à la même tenson. E M S elaton : G +. = G G BTS électrotechnqe age 6 sr 4
III) Dpôle actf La caractérstqe = f() o = f() d'n dpôle actf ne passe pas par l'orgne des axes. De pls, l pet fornr de l'énerge électrqe. emarqe : S = (crct overt) on a = U, c'est la tenson à vde des ples par exemple. S = (cort-crct) on a = I CC, c'est le corant de cort-crct q pet être très élevé dans le cas d'ne battere. Un dpôle actf générater transforme ne pssance d'orgne non électrqe en ne pssance électrqe avec n certan rendement (pssance perde en chaler par exemple) Un dpôle actf récepter transforme ne pssance électrqe en pssance non électrqe (recharge d'ne battere, dynamo tlsée en moter). DA écepter U Générater I CC Exemple de la ple : (V) battere,5 ssance chmqe Décharge echarge ssance électrqe écepter (recharge) Générater -,5,5 (A) ssance thermqe Exemple de la machne à corant contn : n - Moter (V) 5 Génératrce ssance mécanqe (A) Génératrce Moter Machne ssance thermqe Génératrce Moter ssance électrqe III.) Modèles électrqes éqvalents III..a) I) Sorces de tenson et de corant parfats Sorce de tenson parfate : La tenson U à ses bornes est constante qel qe sot la valer d corant délvré I. U On la note : I U U Sorce de corant parfate I : L ntensté d corant I délvrée est constante qel qe sot la valer de la tenson U à ses bornes. U I On la note : U I I I BTS électrotechnqe age 7 sr 4
III..b) Modèle éqvalent de Thévenn M.E.T. = U (V) Dpôle actf lnéare écepter U - Générater (A) - I U Calcl de à partr de la caractérstqe : osons l opératon svante : = = (U - ) - (U - ) = - ( ) = - D o on dédt : = - Donc U est la tenson à vde d dpôle actf lnéare (lorsqe = ). est la résstance nterne d dpôle actf lnéare et =-. = U avec emarqe : Il sfft de la mesre de dex ponts de fonctonnement por détermner le M.E.T. Une mesre à vde donne drectement U et ne seconde en charge. L écart entre les dex mesres permet de calcler et donc. III..c) Modèle éqvalent de Norton (M.E.N.) U La relaton = U pet ass s'écrre = = I. Un dpôle actf composé d'ne sorce de corant I en parallèle avec ne résstance débtera n corant = I. Dpôle actf lnéare I I avec = I est le corant de cort-crct (lorsqe = ). est la résstance nterne d dpôle actf lnéare. emarqes : Il sfft de la mesre de dex ponts de fonctonnement por détermner le M.E.N. Une mesre en cort crct (s c est possble) donne drectement I et ne seconde en charge. L écart entre les dex mesres permet de calcler et donc. On pet ass consdérer la condctance nterne G et dans ce cas : G = / = I G. Sorce parfate de tenson : La résstance nterne est égale à Ω et la pente de la drote = f() est nlle. Sorce parfate de corant : La résstance nterne est nfne (G = S) et la pente de la drote = g() est nlle. III..d) Eqvalence entre les dex modèles Les modèles de Thévenn et de Norton sont éqvalents. or passer d n modèle à l atre l sfft d écrre qe : U = I. BTS électrotechnqe age 8 sr 4
IV) Adaptaton d mpédance L adaptaton d mpédance concerne la transmsson d nformaton o le transfert de pssance entre dex systèmes. L n se comporte comme ne sorce et l atre comme n récepter. On pet donc modélser cette lason par le schéma svant : sorce récepter r v La sorce pet être remplacée par son générater de Thèvenn éqvalent, de tenson à vde (t), de résstance nterne r, et le récepter par sa résstance d entrée. Dans le cas de la transmsson de l nformaton l est nécessare qe le récepter sot attaqé par ne tenson v o n corant le pls élevé possble. Adaptaton en tenson : v = v est maxmal s >> r + r s alors v est maxmal et v = Adaptaton en corant : = + r est maxmal s << r s alors I est maxmal et = r,8,6,4, /r,8 /r,6 /r,4 /r, /r v, r, r r r r, r, r r r r Dans le cas de la transmsson de pssance l est nécessare qe le récepter reçove la pssance = v la pls élevé possble. Adaptaton en pssance : = v = + r r + r s + = ( ) r alors est maxmale et = emarqe : La charge reçot la même pssance qe celle dsspée par la résstance nterne d générater.,5,4,3,,, r, r r r r V) Théorème de sperposton emarqe : étendre n générater revent à le remplacer par sa résstance nterne. BTS électrotechnqe age 9 sr 4
Défnton : L'ntensté d corant crclant dans ne branche d'n crct comportant plsers génératers ndépendants, est la somme des corants dans cette branche lorsqe chaqe générater fonctonne sel, les atres étant étents. Défnton : La tenson ax bornes d'n dpôle d'n crct comportant plsers génératers ndépendants, est la somme des tensons ax bornes de ce dpôle lorsqe chaqe générater fonctonne sel, les atres étant étents. Exemple : U E E I E = V ; E = -V ; = Ω ; = 3Ω Calcl de U : On étent E : I On étent E : I U E E U D après le dvser de tenson : U = + Applcaton d théorème de sperposton : U = U + U = + E E + + D après le dvser de tenson : U = + E + E E = + E VI) Dpôles réactfs VI.) Comportement de la capacté Chargeons n condensater de capacté C avec sccessvement les valers +I ; et I (ma ; et ma). Les fgres c-contre représentent les chronogrammes de (t) et (t) : (ma) - 3 6 9 t (ms) C - (V) 4 3 t (ms) 3 6 9 < t < 3ms : La tenson croît lnéarement, le coeffcent drecter de la drote est postf : 3 < t < 6ms : + I =. C La tenson reste constante, le coeffcent drecter de la drote est donc égal à zéro : = =. C BTS électrotechnqe age sr 4
6 < t < 9ms : La tenson décroît lnéarement, le coeffcent drecter de la drote est négatf : I =. C Lo : La relaton entre l'ntensté d corant et la tenson ax bornes d'n condensater parfat est : d = C t o = C dt emarqe : en régme snsoïdal : (t) = U sn(ωt) et C = d dt = U ω cos(ωt) On observe l apparton d n déphasage entre (t) et (t) (vor régme snsoïdal) (V),5. -,5 -,,4,6,8 t(s) 8 6 4 - -4-6 -8 /C (V/s),,4,6,8 t(s) VI.) Comportement de l ndctance Applqons les valers de tenson +U ; et -U (V ; et V) ax bornes d ne ndctance L. Les fgres c-contre représentent les chronogrammes de (t) et (t) : (V) - 3 6 9 t (ms) L - (A) 4 3 t (ms) 3 6 9 < t < 3ms : Le corant croît lnéarement, le coeffcent drecter de la drote est postf : + U =. L BTS électrotechnqe age sr 4
3 < t < 6ms : Le corant reste constante, le coeffcent drecter de la drote est donc égal à zéro : 6 < t < 9ms : Le corant décroît lnéarement, le coeffcent drecter de la drote est négatf : Lo : La relaton entre l'ntensté d corant et la tenson ax bornes d'ne bobne parfat est : = L t o d = L dt. = =. L U =. L emarqe : en régme snsoïdal (por des rasons smlare a condensater) on observe l apparton d n déphasage entre (t) et (t) (vor régme snsoïdal) VII) ssance et énerge électrqe VII.) Expresson générale et mesre de la pssance électrqe Sot n dpôle D qelconqe, traversé par n corant d'ntensté et soms à la tenson. Avec la conventon récepter (schéma c-dessos), la pssance nstantanée reçe par D s'écrt : Watts (W) p =. Ampères (A) Volts (V) La pssance est ne grander algébrqe dont le sgne dépend de la conventon chose. Avec la conventon récepter, le comportement d dpôle est le svant : s p = >, alors le dpôle reçot la pssance (récepter) s p = <, alors le dpôle fornt la pssance (générater). emarqe : Lorsqe la pssance absorbée flcte, on consdère la valer moyenne de p(t) notée = <p(t)>. S la tenson et le corant sont contns alors (t) = U, (t) = I et = U I. La pssance se mesre avec n Wattmètre (schéma c-dessos). Cet apparel mesre à la fos la tenson et le corant por en dédre la pssance. * * W I U écepter D VII.) ssance dans les résstors lnéares or ne résstance, la relaton entre et est =. On a p = donc p = mas ass p =. VII.3) elaton entre pssance et énerge En régme permanent, s n dpôle D a consommé la pssance constante pendant ne drée, alors l a reç l'énerge W (Schéma c-dessos) : BTS électrotechnqe age sr 4
joles (J) W = watt (W) seconde (s) Energe (W) t ssance (W) t O = W or ne pssance constante, l'énerge agmente lnéarement. L'énerge agmente avec la pssance mas ass avec le temps. or les fortes qanttés d'énerge, on tlse ne atre nté, le Watthere (W.h): W.h = 36 J kw.h = 3 W.h = 3,6. 6 J. VII.4) Expresson de l'énerge électrqe Dans le cas d'n résstor lnéare de résstance, l'énerge reçe est dsspée sos forme de chaler On a v qe W =. avec = U.I donc W = U.I. or U = I donc : W J en joles (J) Cette relaton tradt la lo de Jole. On dt qe en ohms ( Ω) WJ = I avec l'énerge est dsspée par effet Jole. I en ampères (A) t en secondes (s) emarqe : La mesre de l'énerge électrqe se fat avec n compter d'énerge. Il est caractérsé par ne constante k q représente l'énerge reçe par l'nstallaton por n tor d dsqe. ar exemple, s k =,5 W.h / tr alors n tor de dsqe correspond à ne consommaton de,5 W.h. VII.5) rncpe de conservaton de l énerge L'énerge se trove sos dverses formes : mécanqe (moter, le vent ), électrqe (trbne génératrce, EDF ), chmqe (battere, ple à combstble ), thermqe (résstance chaffante, combston d'n carbrant ), rayonnement (solel, lampe nfraroge ). L'énerge sbt des transformatons, par exemple : dans n résstor, l'énerge électrqe est transformée en énerge thermqe, dans n moter, l'énerge électrqe est transformée en énerge mécanqe. dans ne battere, l'énerge chmqe se transforme en énerge électrqe. Lo : varaton d énerge reçe par n système = varaton de son énerge nterne + varaton d énerge forne. W reçe = W nterne + W forne L'énerge forne par n système est composée d'énerge tle et d'énerge perde. Exemple : La battere d'accmlater (énerge stockée) Accmlater décharge charge Energe électrqe Exemple : La photople Energe thermqe BTS électrotechnqe age 3 sr 4
Energe lmnese hotople Energe électrqe Energe thermqe VII.6) endement or n système en éqlbre : pssance absorbée = pssance tle + pssance perde a = + p Défnton : Le rendement d'n système est défn par le rapport : ssance tle η = ssance absorbée = a et on a ass η = + p Exemples : hotople η %. (η = 36 % en laboratore). Moter électrqe 85 % η 98 %. ésstance chaffante η = %. VIII) ésmé Q électrqe entre dex ponts ne pet se fare qe d Noton de corant : I = t potentel le pls élevé vers le potentel le mons élevé. Noton de tenson : La crclaton d corant Lo des nœds : La somme des ntenstés des corants q arrvent a nœd est égale à la somme des ntenstés des corants q sortent d nœd. Lo des malles : Alors la somme des tensons q ndqent n sens est égale à la somme des tensons q ndqent l'atre sens. Assocaton de résstances : Lo d Ohm : = Sére : S = + + 3 + + N arallèle : G S = G + G + G 3 + + G N U tenson à vde. Dvser de tenson : = M.E.T : U + avec résstance nterne. Adaptaton : en tenson : v est maxmal s >> r en corant : est maxmal s << r en pssance : est maxmale s = r = Théorème de sperposton : La tenson ax bornes d'n dpôle d'n crct comportant plsers génératers ndépendants, est la somme des tensons ax bornes de ce dpôle lorsqe chaqe générater fonctonne sel, les atres étant étents. (même chose por le corant) d d Capacté : = C Indctance : = L dt dt ssance : p =. Energe : W = Lo : W reçe = W nterne + W forne ssance tle endement : η = = ssance absorbée a BTS électrotechnqe age 4 sr 4