T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 1 CHAPITRE 8 : CARACTERISTIQUES EOMETRIQUES DES SECTIONS INTRODUCTION : replaçons - nous dans le programme de mécanique I CALCUL DE LA POSITION DU CENTRE DE RAVITE II QUE DEFINIT - ON PAR CARACTERISTIQUES EOMETRIQUES DES SECTIONS? III MOMENT QUADRATIQUE (OU MOMENT D INERTIE) D UNE SECTION. 3-1) DEFINITION 3-2) THEOREME DE HUYENS 3-3) MODULE D INERTIE IV MOMENT STATIQUE D UNE SECTION. V CARACTERISTIQUES EOMETRIQUES DES PROFILES METALLIQUES
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 2 INTRODUCTION : replaçons - nous dans le programme de mécanique Nous avons déjà vu qu au niveau de la conception d un ouvrage l on devait respecter certains critères, qui peuvent être parfois contradictoires au départ : la sécurité l économie l arcitecture une construction doit être résistante et se déformer le moins possile une construction doit coûter le moins cer possile une construction doit respecter les dimensions données par les arcitectes R.D.M. CHAP 5 : potèses de la R.D.M. CHAP 6 : tracé de N, V et Mf la nature et la répartition des efforts à l intérieur de la matière en fonction du cargement : N, V et Mf CHAP 8 : caractéristiques géométriques des sections CHAP 7 : logiciel R.D.M. CHAP 9 CHAP 10 E.L.U. résistance que doivent posséder les matériau de la structure pour assurer stailité de celle - ci les déformations engendrées par l application des forces doivent être inférieures au déformations limites CHAP 11 E.L.S. dimensionnement des pièces constituant la structure
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 3 Pour calculer les caractéristiques géométriques des sections, nous devons savoir calculer la position de leur centre de gravité. I CALCUL DE LA POSITION DU CENTRE DE RAVITE 1. Sections simples ELEMENT AIRE X Y Rectangle Triangle Cercle 2. Sections composées Déterminer la position de en mm. DEFINITION DE, centre de gravité de la section composé : c est le arcentre des Cd des éléments qui composent la section, affectés des aires de ces éléments. CALCUL DE suivant cette DEFINITION : X = (A 1 X 1 + A 2 X 2 +A3 X 3 )/ (A 1 + A 2 + A 3 ) = 145 mm Y = = 211,2 mm
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 4 CALCUL DE avec un taleau : ELEMENT AIRE Ai Xi Xi Ai Yi Yi Ai 1 2 3 X = Y = CONCLUSION DE CET EXERCICE : METHODE POUR LE CALCUL DE o PHASE 1 = décomposition de la section (métode additive ou soustractive) o PHASE 2 = recerce d un ae de smétrie (le centre de gravité est sur cet ae) o PHASE 3 = calcul en taleau Si l énoncé ne précise pas d unité pour les calculs, on coisira le cm².
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 5 METHODE SOUSTRACTIVE : Déterminer la position de en mm. ELEMENT AIRE Ai Xi Xi Ai Yi Yi Ai 1 2 3 X = Y =
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 6 3. Eercices à faire à la maison 3.1) Déterminez les coordonnées du Cd 3.2) Déterminez les coordonnées du Cd 3.3) Déterminez les coordonnées du Cd Y Z
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 7 II QUE DEFINIT - ON PAR CARACTERISTIQUES EOMETRIQUES DES SECTIONS? Faisons une première epérience : Sollicitons par un cargement réparti une poutre de section rectangulaire posée sur deu appuis : section de 10 cm 80 cm soit une surface de 800 cm². Il eiste deu façons de positionner cette poutre vis à vis du cargement : CAS N 1 : poutre posée à cant vis à vis du cargement CAS N 2 : poutre posée à plat vis à vis du cargement Intuitivement, on peut ressentir facilement que la poutre résistera moins et se déformera plus dans le CAS N 2 que dans le CAS N 1. Faisons une deuième epérience : Sollicitons par un cargement réparti une poutre de section rectangulaire posée sur deu appuis : section de 20 cm 40 cm soit une même surface de 800 cm². Nous retrouvons les deu positions de la poutre vis à vis du cargement : CAS N 3 : poutre posée à cant vis à vis du cargement CAS N 4 : poutre posée à plat vis à vis du cargement Intuitivement, on peut ressentir facilement que la poutre résistera moins et se déformera plus dans le CAS N 4 que dans le CAS N 3. On peut aussi ressentir que la poutre résistera moins et se déformera plus dans le CAS N 3 que dans le CA S N 1. Bilan sur les 2 epériences : ien que la quantité de matière soit identique pour ces 4 cas on voit ien que la rigidité de la poutre dépend de la répartition de la matière vis à vis du cargement. Ainsi, nous venons de mettre en évidence de nouvelles caractéristiques géométriques qui tiennent compte de cette répartition de matière : - le moment d inertie ; - le moment statique.
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 8 III MOMENT D INERTIE (OU MOMENT QUADRATIQUE) : 3-1) DEFINITION : Un moment d inertie est une grandeur géométrique qui caractérise la répartition de la masse matière dans une section par rapport à un ae. Le moment d inertie caractérise ainsi son aptitude à résister au flécissement (ou sa rigidité) vis à vis du cargement. Matématiquement le moment d inertie d un corps se calcule en faisant l intégrale du produit de caque élément de masse de ce corps par le carré («quadratique» en latin signifie relatif au carré) de la distance de cet élément à un ae fie (ae d inertie). En considérant une section rectangulaire : +/2 le moment d inertie par rapport à l ae de cette section = ². ds - /2 avec : ds, la section d un élément de matière : ds =. d /2 /2 d ², le carré de la distance de cet élément à l ae +/2 somme des ds sur une valeur de variant de + /2 à /2 par rapport à l ae - /2 +/2 +/2 +/2 +/2 d où ². ds = ².. d = ². d = [ 3 / 3 ] = [ ( 3 / 24) ( 3 / 24) ] =. 3 - /2 - /2 - /2 - /2 Le moment d inertie est une grandeur toujours positive et se calcule toujours par rapport à un ae. Moments d inertie, calculés par rapport au aes qui passent par le centre de gravité, pour un rectangle : SYMBOLE DU MOMENT QUADRATIQUE : I UNITE DU MOMENT QUADRATIQUE : m 4 SECTION RECTANULAIRE Moment quadratique par rapport au aes ou I ou I Moment quadratique par rapport au aes ou I ou I 3 3
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 9 Pour mémoire, voici les moments d inertie pour un triangle et un cercle : I ou I I ou I TRIANLE 3 36 3 36 CERCLE D π r 4 4 APPLICATIONS : Calculez les moments quadratiques des sections rectangulaires des 4 CAS vus précédemment : CAS N 1 : CAS N 2 : I = I = 0,1 0,8 3 = 4,26.10-3 m 4 I = I = 0,8 0,1 3 = 6,67.10-5 m 4 CAS N 3 : CAS N 4 : I = I = 0,2 0,4 3 = 1,07.10-3 m 4 I = I = 0,4 0,2 3 = 2,67.10-4 m 4 D après les résultats trouvés, concluez : que constatez - vous? Plus la valeur du moment quadratique de la section est forte, plus la poutre est rigide (plus elle résiste au flécissement vis à vis du cargement). 3-2) MOMENT QUADRATIQUE CALCULE PAR RAPPORT A UN AXE QUELCONQUE : THEOREME DE HUYENS.
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 10 On connaît généralement les moments quadratiques d une section calculés par rapport au aes passant par le centre de gravité : I et I. On peut aisément calculer le moment quadratique de cette même section par rapport à un ae quelconque. Pour cela il suffit de lui ajouter ce qu on appelle le transport de HUYENS. I = I + «transport de HUYENS» d I = I + [d² A] Avec - d = distance entre les deu aes - A = surface de la section I = 3 + [ ² ( )] = 3 2² 3 Plus on s éloigne de l ae, plus I est grand! П Application : Eprimez le moment quadratique par rapport à l ae П de cette section rectangulaire en fonction de et de. d = /2 I П = 3 + [ ² ( )] = 3 2² 3 3-3) MODULE D INERTIE En mécanique de énie Civil, pour le dimensionnement des pièces, on utilise souvent une autre caractéristique géométrique directement issue du moment d inertie (ou moment quadratique), c est le module d inertie. Module d inertie = I V ou I V V V Fire supérieure Avec V = distance du c. d. g. à la fire supérieure V = distance du c. d. g. à la fire inférieure Fire inférieure
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page 11 IV MOMENT STATIQUE : Un moment statique est une grandeur géométrique qui caractérise la position du centre de gravité. En effet, au centre de ravité on a Ms / = 0 et Ms / = 0. Matématiquement le moment statique se calcule en faisant l intégrale du produit de caque élément de matière par la distance de cet élément à un ae autre que celui qui passe par son centre de gravité. En considérant une section rectangulaire : le moment statique par rapport à l ae de cette section = 0 avec : ds, la section d un élément de matière : ds =. d. ds d, la distance de cet élément à l ae variant de 0 à somme des ds sur une valeur de variant de 0 à par rapport à l ae 0 d où. ds =.. d =. d = 2 / 2 = ( 2 / 2) =. 2 =. [ ] [ ] 0 2 2 0 0 0 Le moment statique, par rapport à un ae quelconque d une section de surface A, est le produit de la surface A par la distance de son centre de gravité à cet ae quelconque (qui ne passe pas par le centre de gravité de la section). SYMBOLE DU MOMENT STATIQUE : Ms UNITE DU MOMENT STATIQUE : m 3 Moment statique par rapport à l ae Moment statique par rapport à l ae SECTION RECTANULAIRE Ms / Ms / /2 /2 ( ) ( ) 2 2 Remarque : le moment statique d une section par rapport à un ae qui passe par son centre de gravité est nul.
T.. C. Mécanique Caractéristiques géométriques des sections page V - MOMENT QUADRATIQUE, MODULE D INERTIE ET MOMENT STATIQUE DES PROFILES METALLIQUES : Pour les profilés métalliques, il eiste un catalogue «catalogue OTUA» qui donne toutes les caractéristiques géométriques des sections : moment quadratique, module d inertie et moment statique. Vous n avez donc rien à calculer, par contre vous devez savoir lire les taleau de données. Eemple avec un profilé HEM 100 : «etrait du catalogue OTUA» z aes : ancienne norme aes : nouvelle norme z Ancienne Norme Nouvelle Norme Caractéristiques géométriques de calcul I I / v i Ms/ I I / v i Ms/ Moment d inertie Module d inertie Moment statique Moment d inertie Module d inertie Moment statique I W el. i W pl. A vz I z W el.z i z W pl.z A v cm 4 cm 3 cm cm 3 cm 2 cm 4 cm 3 cm cm 3 cm 2 HE 100 M 1142,6 190,4 4,63 235,8 18,0 398,6 75,2 2,74 116,3 45,3