Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Partie A : Dérivabilité Etudier la dérivabilité de la fonction : 1 en 1. On considère la fonction définie sur 1; par 1 1 Etudier la dérivabilité de en 1. En utilisant la définition d un nombre dérivé, déterminer les ites suivantes : 3 2 sin2 1 Exercice 4 On considère la fonction définie sur par 1) Démontrer que est continue en 1. 2) Démontrer que n est pas dérivable en 1. Partie B : Etude de fonctions On considère la fonction définie sur 1 par 2 si 1 si 1 1 3 4 1 1 3 5 5 1 1) Calculer les ites de aux bornes de son ensemble de définition. En donner une interprétation graphique lorsque cela est possible. 2) Démontrer que la droite d équation 1 est une asymptote oblique à la courbe de. 3) Etudier la position relative de et. 4) Calculer la dérivée de. 5) Etudier le signe de après avoir factorisé le numérateur à l aide de racines évidentes. 6) Dresser le tableau de variations complet de. On considère la fonction définie sur 1,5 par 2 3 1) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d abscisse 1. 2) Existe-t-il un autre point de la courbe de pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à? Si oui, déterminer ses coordonnées et l équation de cette seconde tangente. Etudier la fonction : (ensemble de définition, de dérivabilité, ites et variations) Exercice 4 Etudier la fonction : 4 3 Exercice 5 Etudier la fonction :
Exercice 6 On considère la fonction définie sur par 8 1) Etudier les ites de en et en. 2) Démontrer que est décroissante sur. Donner le tableau de variations complet de. 3) Démontrer que la courbe de admet deux asymptotes dont la droite d équation 2. Partie C : Trouver la fonction On considère une fonction polynôme de degré 3, c est-à-dire. Déterminer,, et sachant que la tangente au point 0; 1 de la courbe de a pour équation 1 et celle au point 1; 4 a pour équation 12 8. On considère une fonction définie et dérivable sur 2; par Où,, et sont des réels non nuls. Le tableau de variations de est le suivant : 2 0 0 5 La courbe représentative de passe par 1; 6. 1) Quelle asymptote parallèle à l axe des ordonnées la courbe de possède-t-elle? En déduire. 2) Déterminer les trois autres nombres, et. 3) Démontrer que la courbe de admet une asymptote oblique. Etudier la position relative de et. On considère la fonction définie sur par 6 5 si 1 Déterminer et pour que soit continue et dérivable en 1. si 1 Partie D : Fonctions et paramètres On considère un réel non nul et la fonction définie sur 2 par 5 2 1) Prouver que les différentes courbes admettent en commun deux asymptotes. 2) Calculer la fonction dérivée de la fonction et étudier selon les valeurs de le signe de cette dérivée.
Correction Partie A : Dérivabilité Ensemble de définition de : 1 0 1 1 0 or 1 est toujours positif car son discriminant Δ vaut 3 donc 1 0 ou encore 1; Pour 0 (et 0) : 1 1 1 1 0 3 3 ; 3 1 3 3 1 donc par addition 3 3 donc par composition 3 3 Comme 0, et donc nous avons 1 1 Ceci indique que n est pas dérivable en 1. Pour 0 : 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 donc et alors 1 1 1 1 De plus 1 1 donc par quotient Ceci montre que n est pas dérivable en 1. On considère la fonction : 3 définie sur. Elle est la composée d une fonction polynôme, dérivable sur et strictement positive et de la fonction racine carrée dérivable sur 0; donc est dérivable sur 0; et 1 2 2 3 3 En particulier en 1 1 1 3 2 1 ou encore 1 1 2 On considère la fonction : sin2 définie sur. C est la composée entre la fonction sinus dérivable sur et une fonction affine dérivable sur donc est dérivable sur et 2 cos2. En particulier en 0 0 0 g sin2 0 ou encore 2 On considère la fonction : 3 4 1 définie sur ; 1; car 3 4 1 a pour discriminant Δ 4 et est donc positif sauf entre les racines 1 et. Elle est la composée d une fonction polynôme, dérivable sur et strictement positive sur ; 1; et de la fonction racine carrée dérivable sur 0; donc est dérivable sur ; 1; et 1 6 4 2 3 4 1 3 2 3 4 1 En particulier en 0
0 3 4 1 1 0 ou encore 2 0 Exercice 4 1) En 1 à gauche : 2 2 1 1 1 En 1 à droite : 1 1 1 1 1 Donc est bien continue en 1. 2) En 1 à gauche : 1 2 1 1 1 En 1 à droite 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 Les ites à gauche et à droite sont différentes donc n est pas dérivable en 1. Partie B : Etude de fonctions 1) A l infini : et de même En -1: 3 5 5 1 3 5 5 2 et 1 0 donc par quotient Ceci montre que la droite d équation 1 est une asymptote verticale à la courbe de. 2) A l infini : 1 3 5 5 1 1 1 3 5 5 3 3 1 1 2 4 1 1 2 4 1 2 2 0 et de même 1 0 Donc la droite d équation 1 est bien une asymptote oblique à. 3) Pour étudier la position relative de et, on étudie le signe de 1 soit de. Le dénominateur est clairement positif donc c est du signe de 2 4. Sur ; 2, 2 4 0 donc est en dessous de. Sur 2;, 2 4 0 donc est au dessus de. 4) est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et 3 6 5 1 2 1 3 5 5 1 13 6 5 1 2 6 10 10 1 3 3 6 6 5 5 2 6 10 10 1 3 5 1 5) 1 est une racine évidente du numérateur donc il existe, et avec 3 5 1 3 5 d où par identification 1 1 3 4 et donc 1 4 5 1 1 5 5 Pour le signe de 4 5 : Δ 4 donc c est toujours positif.
1 1 1 0 4 5 1 0 0 Variation de 7 2 1) est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et 22 3 2 2 3 4 6 2 2 3 2 3 2 3 L équation de la tangente à la courbe de au point d abscisse 1 est 1 1 1 soit 4 1 1 ou encore 4 3 2) La tangente à la courbe de au point d abscisse est parallèle à si elle a le même coefficient directeur, à savoir 4. On doit donc résoudre 4 dans 1,5. 22 3 4 2 3 4 4 6 44 12 9 20 56 36 0 5 1490 Δ16 donc il y a deux solutions 1,8 et 1 Donc il existe bien une autre tangente à la courbe de parallèle à. Il s agit de la tangente au point d abscisse 1,8. 1,8 9 5 9 5 2 9 81 5 3 25 5 3 27 5 L équation de la tangente au point ; est 4 soit 4. est la composée d une fonction rationnelle définie sur 2 et de la fonction cube définie et dérivable sur donc est dérivable sur 2 et 4 2 32 2 122 2 0 Pour les ites, on utilise la ites des fonctions composées Voici le détail pour la ite en : 2 2 1 et 1 donc par composition 1 2 1 1 Exercice 4 Ensemble de définition : on résout 430 et donc ;13;. Ensemble de dérivabilité : la fonction 43 est la composée d une fonction polynôme dérivable sur et strictement positive sur ;13; et de la fonction racine carré dérivable sur 0;. La fonction est le produit de cette fonction dérivable sur ;13; et de la fonction dérivable sur donc est dérivable sur ;13; et 1 4324 2 43 2 63 43 Le dénominateur est strictement positif donc est du signe de 2 63 : Δ12 donc est du signe de 2 sauf entre les racines et
3 3 2 1 3 3 2 3 0 Variations de 0,63 0 0 4 3 et donc par composition 4 3 Par produit avec,on trouve De la même manière, Exercice 5 Ensemble de définition : on doit avoir 1 0 et 0 autrement dit ; 1 1; Ensemble de dérivabilité : on doit avoir 1 0 autrement dit ; 1 1; Dérivation : est de la forme avec 1 dérivable et strictement positive sur et dérivable aussi sur donc est dérivable sur et 2 1 1 1 1 1 1 est strictement positive clairement donc est strictement croissante sur chaque intervalle où elle est définit. Limite en : pour 0 1 1 1 1 1 1 1 car 0 donc 1 0 donc 1 Limite en :pour 0, c est la même démarche mais donc 1 1 donc 1 1 1 0 1 Variations de 1 0 Exercice 6 1) En 8 et par addition donc par composition 8 En : il s agit d une forme indéterminée. On utilise l expression conjuguée pour trouver, pour assez grand, 8 et donc 8 8 et 0 2) est la somme d une fonction affine dérivable sur et d une fonction de la forme avec 8 dérivable et strictement positive sur donc est dérivable sur et 2 1 2 8 8 8 Or, pour tout réel, 8 et comme la fonction racine carrée est croissante sur 0;, 8
et de plus donc 8 et 8 0 Donc est négative sur et est strictement décroissante. Variations de 0 3) Grâce à la ite en, on peut dire que la courbe de a une asymptote horizontale d équation 0 en. En : 8 2 8 2 8 8 8 donc 2 0 La droite d équation 2 est donc bien une asymptote à la courbe de en. Partie C : Trouver la fonction La tangente en 0; 1 a pour équation 1 donc la courbe de passe par le point et 0 1 et par ailleurs le coefficient directeur de la tangente est nul donc 0 0. La tangente au point 1; 4 à la courbe de a pour équation 12 8 donc la courbe de passe par et 1 4 et le coefficient directeur est alors de 12 donc 1 12. Ceci nous donne quatre conditions. Il ne reste plus qu à écrire les relations sur,, et que cela donne. est un polynôme donc est dérivable sur et 3 2. 0 1 1 0 0 0 1 4 4 1 12 3 2 12 Donc 2 3 1. 1 0 5 3 2 12 1 0 5 2 1 0 3 2 1) D après le tableau de variations, la ite de en 2 est égale à ce qui signifie que la droite d équation 2 est une asymptote verticale à la courbe de. Ceci indique que 2 est une valeur interdite, autrement dit que 2 0 donc 2. 2) La courbe de passe par 1; 6 donc 1 6. D après le tableau de variation 0 5 et 0 0. Calculons la dérivée de qui est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition : 2 Les trois conditions donnent : 1 6 6 0 5 2 5 4 5 2 6 0 0 5 4 3 4 0 2 1 4 Donc 3 3) On considère la droite d équation 3. Alors 3 4 donc 3 0 2 Ceci montre que la droite est une asymptote oblique à la courbe de en. Pour étudier la position relative de et, on étudie le signe de 3 autrement dit de 2;, 2 est positif et donc continue en 1 signifie que également. Ceci indique que est au dessus de. 1 Or 1 1. En utilisant la ite à gauche, on trouve 1 1 ou encore 2 or sur
dérivable en 1 signifie que la dérivée à droite et à gauche de sont égales. Or, 2 6 si 1 1 si 1 En 1, on a donc 2 6 1. On a donc : 2 2 6 1 2 2 4 6 1 3 1 Partie D : Fonctions et paramètres 1) En 2 : si 0 5 7 et 2 si 0 donc par addition 0 Ceci montre que la droite d équation 2 est une asymptote verticale à la courbe pour tout réel. De plus : 5 et 2 2 0 Donc la droite d équation 5 est une asymptote oblique à la courbe en. 2) est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et 1 2 2 2 Le dénominateur est clairement positif donc est du signe de 2. 2 0 2 Si 0, cette inéquation admet comme solution et donc est strictement positif donc est strictement croissante. 2 Si 0, alors on utilise la fonction racine carrée qui est strictement croissante sur 0; 2 0 2 0 2 2 0 On construit un tableau de signe : 2 2 2 0 0