Entiers Nturels 1, 2, 3, 4.. Entiers Reltifs -5, -3 - Nomres Décimux -0. 1 5 Nomres Rtionnels 2 3 Nomres Réels RAPPEL : Un nomre premier est un entier nturel qui dmet exctement 2 diviseurs distincts entiers positifs (1 + lui-même). 6 est divisile pr 6, 3, 2 et 1 ; 8 pr 8, 4, 2 et 1 etc Liste des nomres premiers : 2, 3, 5,, 11, 13, 1, 19, 23, 29 Les Nomres Entiers Les nomres entiers sont otenus en joutnt ou retrnchnt des unités à zéro. Entiers supérieurs à 0 entiers positifs (entiers nturels) Entiers inférieurs à 0 entiers négtifs L ensemle des entiers positifs et négtifs est l ensemle (entiers reltifs) Les Nomres Décimux Une frction : quotient de 2 nomres entiers x est le numérteur, est le dénominteur ( 0). Une frction décimle : frction dont le dénominteur est une puissnce de (1,, 0, 00 ) Un nomre est déciml : s il peut s écrire sous l forme de frction décimle 12.5 est un nomre déciml cr il peut s écrire 125 12 est ussi déciml cr peu s écrire 120 ou 12 1 Un nomre déciml est composé d une prtie entière et d une prtie décimle limitée. Il s écrit vec une virgule et un nomre fini de chiffres à droite de l virgule. Il est égl à l somme de s prtie entière et de s prtie décimle. Exemple : 12,23 1223 1223 23 12 + Et 12,23 1223 X -2 2 0 n Ntch - CRPE 2016 Les ensemles de nomres
Reconnitre si une frction représente un nomre déciml Définition : une frction représente un nomre déciml si s frction irréductile un dénominteur pouvnt être multiplié pr une puissnce de 2 ou de 5. Cr n 2 n X 5 n Exemple : 45 600 45 3 2 X 5 1 600 2 3 X 5 2 X 3 1 45 3 2 X 5 1 3 600 2 3 X 5 2 X 3 1 2 3 X 5 FRACTION DECIMALE 45 Exemple : 500 45 3 2 X 5 1 500 2 2 X 5 3 X 3 1 X 1 45 3 2 X 5 1 3 500 2 2 X 5 3 X 3 1 X 1 2 2 X 5 2 X 1 FRACTION NON DECIMALE Vleur d un chiffre dns l écriture à virgule d un nomre déciml L vleur d un chiffre est donnée pr s position pr rpport à l virgule. Exemple : 205,502 3 2 1 0, -1-2 -3-4 2 0 5, 5 0 2 Vleur des chiffres de l prtie entière liée ux puissnces positives de Vleur des chiffres à droite de l virgule liée ux puissnces négtives de 205,502 2 X + 5 + 5 X 0.1 + 2 X 0.001 Ou 205,502 20 X + 5,502 Ou 205,502 2055 X 0.1 + 0,002 Comprer et rnger des nomres décimux positifs Comprer les vleurs des prties entières. Puis comprer les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. Exemple : 3,5 3,583 3,6,01 Comprer et rnger des nomres décimux négtifs Comprer les vleurs des prties entières. Situer pr rpport à zéro, Puis comprer les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes, toujours pr rpport à zéro. Exemple : -3,3-2,3 Intercler des nomres décimux entre eux On peut intercler une infinité de nomres décimux entre deux nomres décimux. Exemple : Entre 5,029 et 5,03 on peut intercler 5,0295 ; 5,29 etc.. Ntch - CRPE 2016 Les ensemles de nomres
Les Nomres Rtionnels Définition : C est un nomre qui comprend une prtie décimle illimitée et périodique. Exemple : 3 0.4285142851 Si x (le quotient de pr ) Alors le nomre rtionnel x est l solution de l éqution X x 5 3 5 X 1 3 Reconnitre des frctions égles Définition : Les frctions et c d sont égles si et seulement si X d X c Exemple : 12 8 12 X 120 et X 8 120. Ces frctions sont égles. Eglité vrie. Trouver une frction égle à Multiplier ou diviser son numérteur et son dénominteur pr un même nomre entier reltif non nul. Xk ou k X k : k Exemple : 12 12 X3 36 X 3 45 Trouver une frction irréductile égle à Une frction est irréductile lorsque le numérteur et le dénominteur n ont ucun diviseur commun utre que 1. Le numérteur et le dénominteur sont lors premiers entre eux. Chercher le PGCD (Plus Grnd Commun Diviseur) des nomres et. Diviser et pr le PGCD. Exemple : trouver l frction irréductile de 440 440 2 3 X 5 X 11 336 2 4 X 3 X Le PGCD de 440 et 336 est 2 3 336 440 5 X 11 336 23 X 5 X 11 55 2 X 3 X 42 2 4 X 3 X Trouver l frction inverse de Deux frctions sont inverses si leur produit est égl à 1. L inverse de l frction est l frction cr X Il fut donc inverser le numérteur et le dénominteur. X X 1 Exemple : l inverse de 5 3 est 3 5 Ntch - CRPE 2016 Les ensemles de nomres
Comprer deux frctions Les dénominteurs sont égux comprer les numérteurs. L frction ynt le plus grnd numérteur est l plus grnde 2 Exemple : 20 cr 2 est plus grnd que 20. Les numérteurs sont égux comprer les dénominteurs. L frction ynt le plus petit dénominteur est l plus grnde. 2 Exemple : 2 cr 5 est plus petit que 9. 5 9 Les dénominteurs et numérteurs sont différents réduire les frctions u même dénominteur 1 11 1 Exemple : et 34 et 11 33 2 18 2 54 18 54 34 donc 33 54 54 1 donc 11 2 18 clculer l vleur décimle 1 11 1 Exemple : et 2 18 2 0.63 et 11 18 1 0.61 donc 11 2 18 comprer à des nomres simples Exemple : 1 et 32 on sit que 1 2 1 et que 1 32 2 donc 1 32 Intercler une frction entre deux frctions Exemple : 5 32 et 6 32 on clcule 5 50 et 6 60 32 320 32 320 donc entre 5 et 6 32 32 on peut mettre 51, 52, 53 320 320 320 etc Trouver l prtie entière d une frction L prtie entière d une frction est le plus grnd nomre entier inférieur à cette frction. q + r soit ( X q) + r Exemple : pour 18 18 11 + 13 18 ( X 11) + 13 L prtie entière est donc 11. Le reste r est donc le numérteur de l frction complémentire, inférieur à 1 : 13 Ntch - CRPE 2016 Les ensemles de nomres
Les Nomres Réels Ensemle des nomres pouvnt correspondre à TOUS les points d une droite. Ils sont soit rtionnels ( ) soit irrtionnels (ne peuvent ps s écrire sous l forme d un quotient de deux nomres entiers p q ). Leur prtie décimle est illimitée et non périodique. Il ne peut s écrire sous forme de frction. Comprer des nomres réels Ordre et opposé + - 0 Deux nomres sont opposés si leur somme est égle à 0. Exemple : 6 et -6 sont opposés. Ordre et inverse X 1 1 et si lors 1 1 Deux nomres sont inverses si leur produit est égl à 1. Ordre et ddition + c + c Exemple : 6 et 1 6 sont opposés. En joutnt un même nomre à et, on otient le même sens d inéglité Exemple : 5 5 + 3 + 3 Si et c d lors +c + d En joutnt des memres vec le même sens d inéglités à et, on otient le même sens d inéglité Ordre et multipliction X c X c En multiplint pr un même nomre positif et, on otient le même sens d inéglité Si X -c X -c En multiplint pr un même nomre négtif et, le sens d inéglité s inverse Exemple : 5 5 X -3 X 3 Ecrire un nomre rtionnel non déciml sous forme décimle Exemple : Ecrire 43 sous forme décimle 43 6,142851 30 20 60 40 50 30 Les restes successifs sont : 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1 On otient toujours l même suite. L suite décimle est donc illimitée et périodique, l suite étnt 14285. L écriture décimle est donc : 43 6, 14285 Ecrire un nomre rtionnel sous forme frctionnire Exemple : Trouver l forme frctionnire de,032 (soit,032323232..) x,0323232.. l période est l suite 32 00x 032,323232 x 0,32323232 Ntch - CRPE 2016 Multiplier x pr une puissnce de de fçon à engloer l première période. Multiplier x pr une puissnce de de fçon à otenir l prtie entière sns cette période, que l période commence près l virgule Les ensemles de nomres
00x - x 032 0 Soustrire le 2 e nomre du 1 er (les prties près l virgule sont identiques) 990x 14882 x 14882 990 Résoudre l éqution et réduire l frction. x.032 14882 990 441 495 Approximtion décimle d un nomre réel Vleur pprochée Vleur pprochée pr défut : Vleur pprochée pr excès : x + p - p x Exemple : 22 3,142851429 3,1 22 3,1 + 0,1 Soit 3,1 est l vleur pprochée pr défut 3,2-0,1 22 3,2 Soit 3,2 est l vleur pprochée pr excès Arrondi Exemple : Pour 22 3,142851429 L rrondi à l unité près est 3 L rrondi u dix-millième près est 3,1429 (on rrondi u 000 e ) Troncture Exemple : Pour 22 3,142851429 L troncture à l unité près est 3 L troncture u dix-millième près est 3,1428 (on coupé u 000 e ) Ntch - CRPE 2016 Les ensemles de nomres