Chapitre 1.5 Les fonctions trigonométriques inverses et le MHS La constante de phase quelconque Lorsqu on doit évaluer la constante de phase du mouvement harmonique simple ( A t sin ), il faut manipuler la fonction arcsinus (sin -1 ). Cette fonction évalue l arc de cercle requis pour positionner une coordonnée sur un cercle trigonométrique. La difficulté est qu il a une infinité d arcs de cercle menant à une même coordonnée sur un cercle trigonométrique. 1 Eemple : arcsin( 1/ 2) sin 1/ 2..., 5 /, /, 7 /, 11 /,... P 7π / 3 1 7 /, 2 2 -π / Deu angles pour sinus et cosinus 3 / 2 1/ 2 3 / 2 P 0 1,0 -π / 3 1 P /, 2 2 0 7π / Dans un cercle trigonométrique, on peut visualiser qu il a toujours plusieurs solutions au calcul de la fonction arcsinus et arccosinus. Pour une position en sur le cercle, il a deu positions en admissibles et vice versa. Les angles et ont le même sinus Les angles et 2 ont le même cosinus sin cos 2 1 1 P.S. arctan tan...,,,... Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome C Page 1
Situation 1 : La constante de phase d un MHS. La position en fonction du temps d un mobile est donnée par A sin(t ) avec A 0,4 m et 2 rad/s. À t 0, le mobile est situé en 0,2 m et il se déplace dans le sens négatif de l ae (schéma ci-contre). On désire déterminer la valeur de (0 2 rad). t Simplifions notre équation de la position pour t = 0 : Asin t,2 0,4sin20 0 (Remplacer pour t = 0) 0,5 sin (Simplification) Nous pouvons obtenir les constantes de phase admissibles : 0,5 sin sin 1 0,5 7...,,,... -7π / 1 / 2 π / P.S. Calculatrice : / rad Évaluons la vitesse à t = 0 pour ces deu constantes de phase : v A cos t 0,42 cos20 7 / v v 0,93 m/s 0,42 cos20 / v v 0,93 m/s Puisque le mobile se déplace dans le sens négatif de l ae, nous choisissons la constante de phase suivante : 7 Dans l énoncé, on demande que trouvée précédemment : 7 5 2 0,22 rad 0 2. Ainsi, nous allons ajouter 2π à notre constante de phase Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome C Page 2
Situation 2 : Trois instants à la même position. La position en fonction du temps d un mobile est donnée par 0,5 sin(3t 4,5) où est en mètres et t est en secondes. On désire déterminer les 3 premiers instants après t 0 où le mobile est situé en 0,4 m. Simplifions notre équation de la position : Asin t 0,4 0,5sin3 4,5 t (Remplacer pour 0, 4 ) 0,8 sin3 4,5 t (Simplification) Évaluons les arcs de cercle admissibles : 0,8 sin3t 4,5 3t 4,5 sin 0,8 3t 4,5..., 0,927, 4,07,... P.S. Calculatrice : 3t 4,5 0,927 rad 4,07 0,8-0,927 Nous cherchons les 3 premiers temps positifs : Essaie 1 : 0, 927 3t 4,5 0, 927 t 1,81 s (non valide) Essaie 2 : 4, 07 3t 4,5 4, 07 t 0,143 s (non valide) Essaie 3 : Essaie 4 : Essaie 5 : 0,927 2 3t 4,5 5, 3 t 0,287 s 4,07 2 3t 4,5 10, 35 t 1,95 s 0,927 4 3t 4,5 11, 4 t 2,38 s Voici une représentation de la fonction avec l identification des moments où le mobile occupe la position 0,4 m à des temps positifs : (m) 0,5 0,285 1,95 2,38 t (s) 0,4 0,5 Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome C Page 3
Situation 3 : L amplitude et la constante de phase à partir de la position, de la vitesse et de la fréquence angulaire. La position en fonction du temps d un objet est donnée par Avec Asin t 3 rad/s. À t 2 s, la position de l objet est 0,4 m et la composante selon de sa vitesse est v veut A 0 et 0 2 rad.) Eprimons la fonction de la position à 2 secondes : Asin t,4 sin3 2 0, m/s. On désire déterminer la valeurs de A et. (On 0 A (Position à 2 s),4 sin 0 A (1) Eprimons la fonction de la vitesse à 2 secondes : v A cos t, 3cos3 2 0 A (Vitesse à 2 s),2 cos Évaluons le carré de nos deu équations : 0 A (2) De (1) : 0,4 2 A sin 2 2 2 0,1 sin A (1) 2 De (2) : 0,2 2 A cos 2 2 2 0,04 cos A (2) 2 Additionnons nous deu équations (1) 2 et (2) 2 afin d évaluer A : (1) 2 + (2) 2 2 2 0,1 0,04 sin 2 2 A cos A (Additionner éq.) (1) 2 (2) 2 (1) 2 (2) 2 2 2 2 0,2 sin cos 0,2 A (Factoriser A et simplification) 2 2 2 A 1 ( cos sin 1 A 0, 2 (Isoler A) ) A 0,447 m ( A 0 selon l énoncé) Simplifions notre équation de la position à 2 s (1) en utilisant la valeur de A trouvée : 0,4 A sin,4 0,447sin 0 (Remplacer A),895 sin 0 (Simplification) Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome C Page 4
Nous pouvons obtenir les constantes de phase admissibles : 0,895 sin sin 1 0,895..., 1,11, 4,25,... P.S. Calculatrice : 1,11 rad 4,25 0,895-1,11 Nous avons les solutions suivantes pour la constante de phase :..., 1,11, 4,25,......, 1,11, 4,25,......, 7,11, 1,75,... Ce qui donne : et 7,11 2 n, n Z 1,75 2 n, n Z Choisissons la bonne constante de phase à partir de l équation (2) de la vitesse à t = 2 s : 0, A cos, 0,4473 cos Choi 1 : 7, 11 Choi 2 : 1, 75 0 (Remplacer A et ), 1,341cos 0 (Simplifier) 0, 1,341cos 7,11 (Remplacer ) 0, 0, (Contradiction) 0, 1,341cos 1,75 (Remplacer ) 0, 0, (Vérification) Ainsi, nous pouvons choisir la constante de phase suivante : Dans l énoncé, on demande que trouvée précédemment : 2 1,75 4,53 rad 1,75 0 2. Ainsi, nous allons ajouter 2π à notre constante de phase Voici l équation finale : où 0,447 sin 3t 4,53 A 0,447 m et 4,53 rad Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome C Page 5
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