Iformatique quatique IFT6155 Algorithmes simples 1
Calcul de foctios À chaque foctio f : X Y o peut associer ue opératio uitaire F x y := x y f(x) clairemet F = F, F F = I et F x 0 := x f(x) Si f est ue foctio biaire, o peut aussi défiir F x := ( 1) f(x) x ecore ue fois F = F et F F = I.
Calcul de foctios À partir de F, o peut costruire F e utilisat u qubit supplémetaire das l état 1 ( 0 1 ) F x 1 ( 0 1 ) = x 1 ( f(x) f(x) ) = x ( 1) f(x) 1 ( 0 1 ) = ( 1) f(x) x 1 ( 0 1 ) = F x 1 ( 0 1 ) 3
Algorithme de Grover Soit f : {0, 1} {0, 1} avec la promesse qu il existe x 0 tel que f(x 0 ) = 1 et si x x 0 alors f(x) = 0. Soit l opératio uitaire U défiie par: U 00 = 1 ( 00 + 01 + 10 + 11 ) U 01 = 1 (+ 00 01 + 10 + 11 ) U 10 = 1 (+ 00 + 01 10 + 11 ) U 11 = 1 (+ 00 + 01 + 10 11 ) 4
Algorithme de Grover(f) Algorithme de Grover ψ = U F H 00 m = Mesure( ψ ) retoure m Classique: 3 requêtes à f. Quatique: 1 requête à f. 5
Algorithme de Grover aalysé ψ = U F H 00 = U F 1 ( 00 + 01 + 10 + 11 ) = U 1 (( 1)f(00) 00 + ( 1) f(01) 01 +( 1) f(10) 10 + ( 1) f(11) 11 ) = x 0 6
Algorithme de Deutsch Problème de Deutsch (versio de R. Cleve et A. Tapp): État doé f : {0, 1} {0, 1}, décider si f(0) = f(1). Algorithme Deutsch(f) ψ = HF H 0 m = Mesure( ψ ) si m = 0 répod CONSTANTE sio ÉQUILIBRÉE Classique: deux requêtes à f. Quatique: ue requête à f. 7
Rappel H 0 1 ( 0 + 1 ) H 1 1 ( 0 1 ) H = H 8
Algorithme de Deutsch Aalyse ψ = HF H 0 = HF 1 ( 0 + 1 ) = H 1 (( 1) f(0) 0 + ( 1) f(1) 1 ) = H( 1) f(0) 1 ( 0 + ( 1) f(0) ( 1) f(1) 1 ) = H( 1) f(0) 1 ( 0 + ( 1) f(0) f(1) 1 ) = ( 1) f(0) f(0) f(1) O obtiet doc f(0) f(1) avec certitude. Si f(0) f(1) = 0 alors la foctio est costate, (f(0) = f(1)) sio la foctio est équilibrée (f(0) f(1)). 9
Algorithme de Deutsch-Josza Problème de Deutsch-Josza: État doé f : {0, 1} {0, 1} décider si f est costate ( x, y, f(x) = f(y)) ou équilibrée ( f 1 (0) = f 1 (1) ). Algorithme Deutsch-Josza(f) ψ = H F H 0 m = Mesure( ψ ) si m = 0 répod CONSTANTE sio ÉQUILIBRÉE Classique: 1 + 1 requêtes à f. Quatique: ue requête à f. 10
Trasformatio de Hadamard Lemme: (H = H ) H y = 1 1 x=0 où x y = x 1 y 1 x y x y et e particulier H 0 = 1 1 x=0 x ( 1) x y x Preuve: Exercice... 11
Algorithme de Deutsch-Josza Aalyse ψ = H F H 0 = H F 1 = H 1 = 1 = 1 j=0 1 i=0 1 i ( 1) f(i) i i=0 1 ( 1) f(i) 1 1 i=0 j=0 1 ( 1) f(i)+i j i=0 j ( 1) i j j 1
Algorithme de Deutsch-Josza Aalyse La probabilité d observer 0 est doée par Si f est costate alors 1 ( 1) f(i)+i 0 i=0 1 ( 1) f(i) i=0 Si f est équilibrée alors = 1 ( 1) f(i) i=0 = ( 1)f(0) = 1 1 ( 1) f(i) i=0 1 i=0 1 1 = 1 = 0 13
Algorithme de Simo État doé f : {0, 1} {0, 1} 1 telle qu il existe s o ul avec la propriété que x y : f(x) = f(y) x = y s, trouver s. Algorithme Simo(f) S = {} tat que S < 1 ψ = (H I 1)F (H I 1) 0 0 (m, y) = Mesure( ψ ) si m est idépedat de S alors S S {m} fi du tat que déduire s de S. Classique: Ω( (1/ ɛ) ) requêtes à f même avec probabilité de succès costate. Quatique: Espérace de O() requêtes à f. 14
Algorithme de Simo: aalyse Soit X tel que X = ( 1) et X (s X) = {0, 1}. ψ = (H I 1)F (H I ) 0 0 = (H I 1)F x 0 = (H I 1) = = = = x {0,1} 1 x {0,1} 1 x {0,1} 1 y {0,1} 1 x f(x) ( 1)x y y f(x) ( 1)x y y f(x) x,y {0,1} ( 1)x y ( 1)(x s) y y f(x) + y f(x s) x X,y {0,1} ( 1)x y + ( 1)(x s) y y f(x) x X,y {0,1} 15
Algorithme de Simo: aalyse (suite) ψ = ( 1)x y + ( 1)(x s) y x X,y {0,1} y f(x) Si s y = 0 alors x y = x y + s y = (x s) y d où l amplitude de y f(x) = +1. Si par cotre s y = 1 alors x y = x y + s y + 1 = (x s) y + 1 d où l amplitude de y f(x) est 0. 16
Algorithme de Simo: aalyse (suite) E observat le premier registre, o obtiet y uiformémet distribué et tel que y s = 0. Posos s = s s 1 s 1. Ue fois que S = 1 ous avos obteu 1 équatios liéaires avec comme variables les s i. Le système d équatios possède deux solutios, dot l ue est la solutio triviale s = 0. Nous avos doc détermié s. 17
Algorithme de Simo: aalyse (suite) Aalysos maiteat le ombre d essais écessaires pour obteir 1 équatios liéairemet idépedates. À chaque itératio, tous les vecteurs x tels que x s = 0 sot équiprobables. Il e existe exactemet 1. Si S = k alors il existe k vecteurs liéairemet dépedats de S et doc 1 k vecteurs liéairemet idépedats. Le cas critique (probabilité la plus faible) adviet quad S = 1, auquel cas exactemet la moitié des vecteurs sot acceptables. À chaque itératio, la probabilité de succès est doc au mois 1/, ce qui ous doe u ombre d itératios espéré das O(). 18
Mesure partielle Pour tout état ψ H ABC o peut mesurer le sous-espace B. Pour u sous-espace B de dimesio d et u état ψ = d 1 i=0 α i a i i c i o obtiet le résultat classique i avec probabilité α i et l état deviet a i i c i. 19
Exemple 1: Si o mesure tout u registre das l état ψ = i α i i o obtiedra comme résultat i avec probabilité α i. Exemple : Soit l état ψ = 1 3 ( 000 + 110 + 111 ). O a que ψ = 1 3 0 00 + 3 1 ( 1 ( 10 + 11 )). Si o mesure le premier qubit o obtiedra 0 avec probabilité 1 3 = 1 3 et l état deviet 000. O obtiet 1 avec probabilité = 3 3 pour se retrouver das l état 1 ( 1 ( 10 + 11 )). Exemple 3: De faço géérale, si o mesure le sous-espace H B d u registre ψ = ijk α ijk i j k H ABC o obtiedra j avec probabilité ik α ijk. 0
Algorithme de Simo: aalyse V ψ = (H I 1)F (H I ) 0 0 = (H I 1)F = (H I 1) = (H I 1) = (H I 1) = y ( 1) x y x {0,1} 1 x f(x) ( ) 1 ( x + x s ) f(x) x X 1 ( ) x + x s f(x) MESURE y + y ( 1) (x s) y y x {0,1} 1 x 0 = y ( 1) x y + ( 1) (x s) y + 1 y = y ( 1) x y + ( 1) (x y) (s y) + 1 y 1
Algorithme de Simo: aalyse V y ( 1) x y + ( 1) (x y) (s y) + 1 y = y ( 1) x y (1 + ( 1) s y ) + 1 y Si s y = 0 alors l amplitude de y est +1. Si par cotre si s y = 1 alors l amplitude de y est 0.