Seconde STATISTIQUES. Ch 0 I) Données : Définition : Une série statistique est une suite de nombres (rerésentant ar exemle le résultat d une enquête). ex : Dans tout le cours, on utilisera le relevé de notes suivant, résultat d'un devoir d'un groue de élèves: 2, 8, 2, 5, 2, 8, 8, 8, 5, 5,, 8,, 9,, 5, 2. Convention : Les statistiques essaient de tirer des enseignements d un grand nombre de données. Pour cela, les calculs nécessitent des ordinateurs erformants et du tems. En classe, our ne as asser tro de tems, nous n étudierons que des séries à faible effectifs ; mais il faut toujours garder à l esrit que l intérêt des statistiques ne orte que sur des séries à effectifs imortants. ex : Les statistiques vont ermettre d essayer de révoir le comortement d un grand nombre de clients dans un grand magasin ou le futur vote d un grand nombre d électeurs. En aucun cas elles n ont our but de révoir le comortement d une ersonne en articulier. Remarque : Les statistiques ne s intéressent qu à des quantités mesurables (ar exemle, la couleur des cheveux d une ersonne n est as une donnée assez récise ; ar contre, sa taille, son âge, sont des données récises). ) Effectif : Définition 2 : L effectif d une série statistique est le nombre de termes de cette série. ex : L effectif de la série des notes est. Règle : Pour étudier une série statistique, on range les termes de la série dans l ordre croissant. ex : Rangée, la série des notes devient : 5, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 2, 2, 2, 2,,,, 5. Règle 2 : Pour étudier une série statistique, on regroue les termes ayant même valeur. ex : Si f est la fonction «effectif», on a : f ( 5) = ; f ( 8) = 5 ; f ( 9) = ; f ( 2) = ; f ( ) = ; ( ) Valeur 5 8 9 2 5 effectif 5 Remarque : La somme des effectifs fait bien, l effectif total. f 5 =. Définition : ) L effectif cumulé croissant d une valeur d une série statistique est le nombre de termes de la série dont la valeur est inférieure ou égale à cette valeur. 2) L effectif cumulé décroissant d une valeur d une série statistique est le nombre de termes de la série dont la valeur est suérieure ou égale à cette valeur. ex : ) L effectif cumulé croissant de la valeur 2 est (en fait, on comte les effectifs des valeurs inférieures ou égales à la valeur voulue : + 5 + + = ) ; on eut ainsi dire que élèves ont au maximum 2. - Si F est la fonction «effectif cumulé croissant», on a ainsi : ( 5) F ( ) = 6 et ( 5) F = ; F ( 8) = 8 ; F ( 9) = 9 ; ( ) F 2 = ; F = (cette valeur rerésente l ensemble de l effectif uisque élèves ont au maximum 5). M M Page sur 5
Valeur 5 8 9 2 5 effectif cumulé croissant 8 9 6 2) L effectif cumulé décroissant de la valeur 2 est 8 ; on eut dire que 8 élèves ont au moins 2. 5 2 8 - Si F est la fonction «effectif cumulé décroissant», on a : F ( ) = ; F ( ) = ; F ( ) = ; ( ) F ( 8) = et F ( 5) = (cette valeur rerésente l ensemble de l effectif uisque élèves ont au moins 6). Valeur 5 2 9 8 5 effectif cumulé décroissant 8 9 F 9 = 9 ; 2) Fréquence : Définition : La fréquence d'une valeur d'une série statistique est le quotient de l'effectif de cette valeur ar l'effectif total. ex : La note 2 aaraît fois sur résultats : sa fréquence est égale à 0, 2529... = Remarques : a) Les fréquences sont toujours inférieures à, et la somme des fréquences est égale à (en ratique, il eut arriver que l on ait une valeur arochée en fonction des arrondis). b) Les fréquences sont souvent exrimées en ourcentages (il suffit de multilier la fréquence ar 00). f ( 5) ex : ) Si g est la fonction fréquence (et f la fonction effectif), alors on a : g ( 5) = = ; ( 8) g ( 9) = ; g ( 2) = ; g ( ) = ; ( 5) g =. Valeur 5 8 9 2 5 fréquence 0,6 0,29 0,059 0,26 0,6 0,059 5 5 + 8 + 9 + 2 + + 5 = + + + + + = =. ) Par exemle, la fréquence en ourcentage de la note 2 est égale 2,5 %. 2) On a : g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) ( ) f 8 5 g = = ; NB : L effectif réellement trouvé our la fréquence 2 est 0,25 ; mais si l on effectue la somme : 0,6 +.. + 0,25 +.. + 0,059, on obtient 0,999 ; on modifie légèrement un résultat our bien obtenir une somme égale à (l autre solution est de dire une hrase du tye «La somme des fréquences n est as égale à du fait des arrondis»). Définition 5 : ) La fréquence cumulée croissante d une valeur d une série statistique est la somme des fréquences des termes de la série dont la valeur est inférieure ou égale à cette valeur ; elle est égale au quotient de l effectif cumulé croissant corresondant ar l effectif total. 2) La fréquence cumulée décroissante d une valeur d une série statistique est la somme des fréquences des termes de la série dont la valeur est suérieure ou égale à cette valeur ; elle est égale au quotient de l effectif cumulé décroissant corresondant ar l effectif total. ex : ) La fréquence cumulée croissante de la valeur 2 est 2 (elle est égale au quotient de la valeur de l effectif cumulé croissant divisé ar l effectif total) ; elle est donc égale à 0,70588, soit 70,6 %. - Si G est la fonction «fréquence cumulée croissante», on calcule ainsi : F ( 5) F ( 8) 8 5 8 9 G ( 5) = = ; G ( 8) = = ou G ( 8) = g ( 5) + g ( 8) = + = ; G ( 9) = ; G ( 2) = ; 6 G ( ) = et G ( 5) = = (cette dernière valeur exrime que tous les élèves ont au lus 5). Valeur 5 8 9 2 5 fréquence cumulée croissante 0,6 0,70 0,529 0,765 0,9 M M Page 2 sur 5
2) La fréquence cumulée décroissante de la valeur 2 est 8 (elle est égale au quotient de la valeur de l effectif cumulé croissant divisé ar l effectif total) ; elle est égale à 0,7588, soit 7,6 %. - Si G est la fonction «fréquence cumulée décroissante», on calcule ainsi : F ( 5) F ( ) 8 G ( 5) = = ; G ( ) = = ou G ( ) = g ( ) + g ( 5) = + = ; G ( 2) = ; 9 G ( 9) = ; G ( 8) = et G ( 5) = = (ainsi tous les élèves ont au moins 6). Valeur 5 2 9 8 5 fréquence cumulée décroissante 0,059 0,25 0,70 0,529 0,82 ) Etendue : Définition 6 : L'étendue d'une série statistique est la différence entre la lus grande et la lus etite valeur de cette série. ex : Pour les notes, l'étendue des notes est égale à 0 (5 5 = 0 ). II) Paramètres : ) Médiane : Définition 7 : La médiane m d une série statistique est la valeur du terme tel que la moitié de la oulation étudiée rend une valeur inférieure ou égale à m et la moitié rend une valeur suérieure ou égale à m. ex : Ayant notes, la médiane va séarer celles-ci en deux groues de 8 notes. Ainsi la médiane est la 9 e note : m = 9 (on eut trouver 8 élèves ayant au moins 9, et 8 élèves ayant au lus 9). - Si l on ne s occue que des notes au-dessous de la moyenne, il y en a 9 ; la médiane des notes inférieures à la moyenne va donc séarer ces notes en deux groues de notes ; ainsi m = 8 (ainsi, armi les élèves n ayant as la moyenne, élèves ont au moins 8, et élèves ont au lus 8). - Si l on ne s occue que des notes au-dessus de la moyenne, il y en a 8 ; la médiane des notes suérieures à la moyenne va donc séarer ces notes en deux groues de notes ; ainsi m eut-être n imorte quelle note ente 2 et (ar exemle, ou 2,5, ou,75) ; en fait, on va rendre, qui est la moyenne entre 2 et (ainsi on aura bien, armi les élèves ayant la moyenne, élèves ont au moins, et élèves ont au lus ). Remarques : ) Lorsque la série a our effectif total un nombre imair, la médiane est donnée ar la valeur du terme «central» de la série. 2) Lorsque la série a our effectif total un nombre air, la médiane n est donnée ar la valeur d aucun terme de la série ; il suffit de rendre une valeur resectant la définition de médiane. Règle : Lorsqu une série a our effectif total un nombre air, la médiane est donnée ar la moyenne des valeurs des deux termes «centraux» de la série. 2) Quartiles : Une série statistique eut être étudiée lus finement en exloitant des données autres que la médiane, tout en réartissant les valeurs de cette série en groues ; on utilise la notion de quartile. Définition 8 : - Le remier quartile d une série statistique est le lus etit élément q des valeurs des termes de la série tel qu au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à q. - Le troisième quartile d une série statistique est le lus etit élément q des valeurs des termes de la série tel qu au moins 75 % des données soient inférieures ou égales à q. M M Page sur 5
ex : Notre série de notes a termes. - 25% =, 25 ; le remier quartile est donné ar la 5 e note ; il s agit de 8 ; au moins 25% des élèves ont 8 au maximum. - 75% = 2, 75 ; le troisième quartile est donné ar la e note, qui est 2 ; au moins 75% des élèves ont 2 au maximum. Remarque : Le remier et le troisième quartile d une série statistique sont obligatoirement des termes de la série. Définition 9 : - On aelle intervalle interquartiles l intervalle dont les extrémités sont le remier et le q; q ). troisième quartiles (c est l intervalle [ ] - On aelle écart interquartiles la longueur de l intervalle interquartiles, c est à dire la différence entre le troisième et le remier quartiles (c est le nombre q q ). ex : L intervalle interquartiles de la série des notes est : [ 8; 2 ] ; l écart interquartiles est (2 8 = ). ) Moyenne : Définition 0 : La moyenne arithmétique x de nombres x, x 2,..., x,, est : 2 + 8 + 2 + 5 +... + 5 + 2 ex : Ainsi la moyenne des notes est : x = = 9,9. x + x2 +... + x x =. Remarque : En fait il eut être lus intéressant de comter le nombre d'éléments de chaque groue. Définition : La moyenne arithmétique x (ondérée) des nombres x, x 2,..., x affectés n x + n2 x2 +... + n x resectivement des coefficients n, n 2,..., n est égale à : x =. n + n +... + n 2 ex : Pour les notes, on a : 5 + 8 5 + 9 + 2 + + 5 x = = 9,9. Remarque : Le résultat des deux calculs récédents est évidemment identique. Proriété : Si une série statistique est comosée des valeurs x, x 2,, x dont les fréquences sont f, f 2,, f, alors la moyenne de la série est égale à : x = x f + x2 f2 +... + x f. ex : Pour les notes, on a : 5 0,6 + 8 0, 29 +... + 5 0,059 = 9,9. III) Rerésentations grahiques : ) Nuage de oints : Définition 2 : On rerésente une série statistique dont les termes sont regroués ar valeur ar un nuage de oints qui 2 J est la rerésentation grahique de la fonction «effectifs». Oo I 8 2 6 ex : On note en abscisse les valeurs des termes de la série, et en ordonnée les effectifs de ces valeurs. Les oints du grahique corresondent aux coordonnées ainsi obtenues. 6 M M Page sur 5
2) Histogramme : Définition : En statistique, une classe est un intervalle regrouant un ensemble de valeurs. Définition : On rerésente une série statistique dont les termes sont des classes ar un histogramme ; les abscisses rerésentent des classes de même amlitude et les ordonnées corresondent aux effectifs. ex : Si l on regroue les notes ar tranches de 5, on obtient l histogramme ci-dessus : élèves ont entre 0 et 5 (5 comris), 6 élèves ont entre 5 et 0 (5 non comris, 0 comris), et 8 élèves ont entre 0 et 5. oo ) Autre grahique : ex : On eut faire la courbe corresondant aux effectifs cumulés croissants (on l aelle souvent «olygone» des effectifs cumulés croissants). L avantage de ce grahique est que l on eut y reérer la médiane et les quartiles. J O I q m q' M M Page 5 sur 5