Chapitre VII : Les ecters Repérage dans le plan I Vecters a) égalité de ecters Définition : On dit qe dex ecters sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer On note = = CD = EF Vecters particliers : Le ecter nl 0 : por tot point M, MM = 0 Le ecter opposé à est le ecter qi a la même direction, la même longer qe mais n sens opposé C est donc le ecter On note : - = Propriété : Dire qe qatre points,, C et D sont tels qe = DC éqiat à dire qe les segments [C] et [D] ont le même milie En particlier, si les points ne sont pas alignés, c est éqialent à dire qe CD est n parallélogramme I est le milie de [C] et celi de [D] b) somme et différence de ecters Définition : La somme de dex ecters et est le ecter, noté +, défini ainsi : étant n point qelconqe, on place le point tel qe =, pis le point C tel qe C = ; alors + = C L égalité + C = C est appelée relation de Chasles Remarqe : si = OM et = ON, alors + = OR où OMRN est n parallélogramme I est le milie de [C] et de [D] et CD est n parallélogramme + On en dédit la règle d parallélogramme :, et C étant donnés, + C = D éqiat à DC est n parallélogramme Définition : La différence d ecter et d ecter s obtient en ajotant a ecter l opposé d ecter : = + (- ) Milie d n segment : - - Le milie de [] est le point I tel qe : = I o I = 1 tres tradctions : I = I ; I = - I ; I + I = 0 Exercice : 1 Démontrer qe por tos points O, et, O O =, et C sont trois points ; I est le milie de [C] Démontrer qe I = + C
Soltion : 1 O O = O + O = O + O = + C = I + I + I + IC = I + I + IC Or I est le milie de [C], d où I + IC = 0 Donc on a bien I = + C II Mltiplication d n ecter par n réel a) Définition désigne n ecter non nl et k n nombre réel non nl Le prodit d ecter par le réel k est le ecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 Lorsqe k < 0 k a le même sens qe k est de sens opposé à celi de la longer de k est le prodit de k la longer de k est le prodit de l opposé par la longer de de k par la longer de C k C k Les égalités de longer peent être résmées par : C = k Exemples : centre de graité d n triangle : Le centre de graité d triangle C est le point G tel qe G = I o G = - GI, lorsqe I est le milie de [C] (c est à dire qe (I) est la médiane isse de ) tres tradctions : IG = 1 le théorème des miliex C est n triangle I ; GI = - 1 G Si M est le milie de [] et N celi de [C] alors MN = 1 En effet : MN = M + N C = 1 + 1 C car M est le milie de [] et N celi de [C] = 1 ( + C ) = 1 C b) règles de calcl Propriétés : k = 0 éqiat à k = 0 o = 0 Por tos réels k, k et tos ecters, : k( + ) = k + k (k + k ) = k + k k(k ) = (kk ) 1 = Exemples : + = ( + ) = 5 - = - = - M = 0 éqiat à M = 0, c est à dire = M
III Colinéarité de dex ecters a) ecters colinéaires Définition : Dire qe dex ecters non nls = et = CD sont colinéaires signifie q ils ont la même direction Cela signifie qe les droites () et (CD) sont parallèles o confondes D C Propriété : Dire qe les ecters non nls et sont colinéaires éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = k Remarqe : Par conention, on dit qe le ecter nl est colinéaire à tot ecter b) parallélisme et alignement Dire qe les droites () et (CD) sont parallèles éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe CD = k Dire qe les points distincts, et C sont alignés éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = kc Exercice 1 : Dans la figre ci-contre : CD est n parallélogramme de centre I, est le milie d segment [E], G est le centre de graité d triangle CE, et F = + D Déterminer les relations reliant E et CD, CG et C, pis EI et EG Calcler IE + IF, pis montrer qe E, G et F sont alignés Soltion : E = car est le milie de [E] = DC = -CD car CD est n parallélogramme CG = C car G est le centre de graité d triangle CE EG = IE + IF = I + = I + EI car G est le centre de graité d triangle CE, donc EI = E + I + F EG E + + D = ( I + ) + + D ( E = car est le milie de [E]) = I + C ( + D = C car CD est n parallélogramme) = C + C = 0 ( I = C car I est le milie de [C]) On en dédit qe I est le milie de [EF] On a alors EF = EI et de pls EI = EG donc EF = EG et les points E, F et G sont alignés Exercice : C est n triangle, les points I et J sont tels qe I = 1 et J = C 1 Exprimer IC et J en fonction de et C En dédire qe les droites (IC) et (J) sont parallèles Soltion : 1 IC = I + C = - 1 + C J = + J
J = - + C D après les égalités précédentes, on obtient : J = IC Donc les ecters J et IC sont colinéaires et les droites (J) et (IC) sont parallèles IV Repérage d n point a) repérage sr ne droite Choisir n repère sr ne droite, c est se donner dex points distincts O et I de, pris dans cet ordre O est l origine d repère Posons alors OI = i Le ecter i est appelé ecter de base Le repère sera noté (O ; i ) Définition : L abscisse d point M de dans le repère (O ; i ) est le réel x tel qe OM =x i Exemple : OM = 7 i signifie qe M a por abscisse 7 dans le repère (O ; i ) N a por abscisse -, dans le repère (O ; i ) signifie qe ON = -, i N O I M -, 0 i 1 7 b) repérage dans le plan Définition : (O ; i, j ) est n repère d plan Il est constité d n point O appelé origine d repère et d ne base ( i, j ), c est à dire dex ecters non colinéaires pris dans cet ordre Remarqe : - Lorsqe les directions des ecters i et j sont perpendiclaires, la base ( i, j ) est orthogonale - Une nité de longer étant choisie, si i et j ont des directions perpendiclaires et ont por longer 1, alors la base ( i, j ) est orthonormale Coordonnées d n point dans n repère Soit M n point d plan mni d repère (O ; i, j ) En traçant la parallèle à chaqe axe passant par M, on obtient dex points H et K Il existe n niqe réel x et n niqe réel y tels qe OH = x i et OK = y On a alors OM = OH + OK, c est à dire OM = x i + y On dit qe (x ; y) est le cople des coordonnées d point M dans le repère (O ; i, j ) V Coordonnées de ecters Dans ce paragraphe, n repère (O ; i, j ) d plan est fixé a) Généralités est n ecter donné ; M est le point tel qe OM = Notons (x ; y) les coordonnées d point M lors OM = x i + y Donc = x i + y insi tot ecter d plan pet s écrire sos la forme : = x i + y Définition : Dire qe le ecter a por coordonnées x dans le repère (O ; i, j ) signifie qe = x i + y On note y Propriété : Dire qe les ecters y et x' y' sont égax éqiat à dire qe lers coordonnées respecties sont égales: x = x et y = y
b) règles de calcl sr les coordonnées Propriétés : y et x' y' sont dex ecters et k est n réel qelconqe, Le ecter + a por coordonnées x + x' y + y' ; kx Le ecter k a por coordonnées ky En effet = x i + y j et = x i + y j, on a alors + = (x + x ) i + (y + y ) Calcl des coordonnées de : (x ; y ) et (x ; y ) sont dex points Le ecter a por coordonnées x x y Démonstration : D après la relation de Chasles, = O + O et O = - O De pls O = x i + y j et O = x i + y On obtient alors = (x x ) i + (y y ) Exercice : Dans n repère (O ; i, j ), on donne le point (-1 ; ) et le ecter -1 La translation de ecter transforme en Calcler les coordonnées de Soltion : On note (x ; y ) les coordonnées d point La translation de ecter transforme en signifie qe = Les coordonnées de ces dex ecters sont donc égales On en dédit : x (-1) = et y = -1 d où x = et y = 1 Donc ( ; 1) Coordonnées d milie d n segment Soient (x ; y ) et (x ; y ) dex points d plan mni d n repère (O ; i, j ), alors le milie I d segment [] a por coordonnées x + x y + y ; En effet, I est le milie de [] se tradit par I = 1 et I x I x I y ; x x y On obtient alors les égalités : x I x = 1 (x x ) d où x I = x + x et y I y = 1 (y y ) d où y I = y + y Exercice : Dans la figre ci-contre : CD est n parallélogramme, le point P est le milie d segment [D], le point R est le symétriqe de par rapport à D et le point Q est tel qe Q = 1 On et montrer qe les points P, Q et R sont alignés Soltion : On pose i = et j = D Dans le repère ( ; i, j ), (1 ; 0), D(0 ; 1), Q( 1 ; 0) car Q = 1 et P(0 ; 1 ) car P est le milie de [D] R(x R ; y R ) est le symétriqe de par rapport à D, D est alors le milie de [R]
On obtient alors x D = x + x R et y D = y + y R D où x D = x + x R c est à dire 0 = 1 + x R et x R = -1 y D = y + y R c est à dire = 0 + y R et y R = donc R(-1 ; ) On obtient alors QP x P x Q 0 1 P y ; QP Q - 1 1 ; QP 0 1 et QR x R x Q R y ; QR -1 1 Q ; QR - 4 On a alors QR = 4 QP 0 Les ecters QR et QP sont colinéaires, donc les points Q, P et R sont alignés c) condition de colinéarité Propriété : Dans n repère (O ; i, j ) fixé, dire qe les ecters non nls y et x' y' sont colinéaires éqiat à dire qe xy x y = 0 exemples : 1 5 si - 1 et -, alors xy x y = 1-5 5-1 = - 1 5 + 1 5 = 0 5 Donc et sont colinéaires - si 15 et - 4, alors xy x y =- 15 5 5-4 5 = - 10 15 + 8 15 = - 15 0 5 Donc et ne sont pas colinéaires Exercice : Le plan est mni d n repère (O ; i, j ) On considère les points (- ; ), (4 ; -1) et C(1 ; 4) Déterminer les points D(4 ; y) et M(x ; ) tels qe : CD est n trapèze, de bases parallèles [] et [CD], et M est n point de la droite () Soltion : () et (CD) sont parallèles signifie qe les ecters et CD sont colinéaires x x y ; 4 (-) -1 ; 6-4 et CD x D x C D y ; CD 4 1 C y 4 ; CD y 4 et CD sont colinéaires signifie qe 6 (y 4) (-4) = 0 6y 1 = 0 donc y = et D(4 ; ) M est n point de () signifie qe les points M, et sont alignés et donc qe les ecters et M sont colinéaires 6-4 et M x M x M y ; M x (-) ; M x + -1 et M sont colinéaires signifie qe 6 (-1) (-4) (x + ) = 0 + 4x = 0 donc x = - 1 et M(-1 ; ) d) Distance entre dex points (y -y )j Propriété : (x ; y ) et (x ; y ) sont dex points d n repère orthonormal (O ; i, j ) (x M La distance de à est donnée par : -x )i = (x x )² + (y y )² j O i