Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées Capitre 3 Les Dérivées A) Nombre dérivé et tangente à une courbe en un point (rappels de première) 1) Définitions Soit un point A sur la courbe d'une fonction f. Si on appelle a son abscisse, son ordonnée sera donc f(a). La tangente à la courbe C f d'une fonction f en un point A est la droite passant par A et qui, au voisinage de A, est "parallèle" à la courbe C f. On appellera nombre dérivé de f pour la valeur a le coefficient directeur de la tangente à C f au point A de coordonnées (a ; f(a)). Ce nombre dérivé sera noté f'(a). 2) Interprétation grapique a) La tangente et son approximation Sur la courbe suivante, on a tracé en vert la tangente à C f en A(4 ; 0), et on a placé un point M de la courbe de f, peu éloigné de A : Si on rapproce le point M du point A, la droite (AM) se rapprocera de la tangente en A à la courbe de f. b) Calcul du nombre dérivé Si M a pour abscisse le nombre a +, le coefficient directeur de la droite (AM) sera le taux de variation de la fonction f entre A et M, soit : t a () = y M y A x M x A = f (a+) f (a) (a+ ) a = f (a+) f (a) f (a+) f (a) Si cette fonction de t a () = admet une limite pour s'approcant de zéro (ce qui est généralement le cas), c'est à dire lorsque M se rapproce de A, cette limite sera le coefficient directeur de la tangente à C f en A et s'appellera alors le nombre dérivé de f(x) en a. On dit alors que f(x) est dérivable en a, et comme vu ci-dessus on note f'(a) le nombre dérivé de f(x) en a.. Page 1
Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées c) Dérivabilité Il y a plusieurs cas où une fonction n'est pas dérivable en un point A(a ; f(a)) : 1. Si la tangente est verticale en A, elle n'a pas de coefficient directeur (il serait infini), c'est donc un cas où la fonction n'admet pas de nombre dérivé (n'est pas dérivable) en ce point. 2. Si la courbe de la fonction fait un angle en A, il y aurait une tangente à gauce différente de la tangente à gauce, elle n'est donc pas dérivable non plus en ce point 3. Si la fonction est discontinue, donc que la courbe "saute" d'un point à un autre de même abscisse (on ne peut pas tracer cette courbe sans lever le crayon), il y a aussi deux tangentes distinvtes à gauce et à droite, et la fonction n'est donc pas dérivable non plus en ce point. 4. Certaines fonctions bizarres ne sont carrément dérivables nulle part. Par exemple, une fonction égale à 1 pour tout x rationnel, et à 0 sinon. d). Soit f(x) = x². Calculer le nombre dérivé de f(x) en x = 2.. Soit f(x) = x. Calculer le nombre dérivé de f en x = 0.. Soit f(x) = 1 / x. Calculer le nombre dérivé de f(x) en x = 3. B) La fonction dérivée 1) Définitions Si pour tout point x d un intervalle I de R, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I. On peut alors définir une fonction, qu'on appellera fonction dérivée ou "dérivée" de f(x) la fonction qui associe à tout x de I, le nombre dérivé de f en x, soit f (x). On note f cette nouvelle fonction. Exemple résolu : Soit f(x) = x² : On aura t = a 2 a 2 = a2 2a 2 a 2 = a2 2a 2 a 2 = D'où en faisant = 0 maintenant que c'est possible, t 0 =f ' a =2a. 2a 2 En remplaçant enfin a par x, on trouve la formule de la dérivée de x², soit f'(x) = 2x. On peut aussi écrire : (x²)' = 2x. Quelle est la dérivée de : f(x) = 3x + 7? f(x) = 1 x? = 2a Indice : Pour cela, calculer comme ci-dessus d'après la définition le nombre dérivé de f en x=a, faire = 0 lorsque ce sera possible, et remplacer enfin a par x. Page 2
Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées 2) Les dérivées des fonctions usuelles Fonction f x =k Dérivée f ' x =0 f x =x f ' x =1 f x =mx p f x =a x 2 b x c f ' x =m f ' x =2a x b f x =x 3 f ' x =3 x 2 f x =k x n f x = k x f ' x =n k x n 1 f ' x = k x² f x =k x f x = k 2 x Note : x est la variable, les autres lettres sont des constantes réelles. Trouver grâce au tableau la dérivée de : f(x) = 7x 3 f(x) = 2x² 7x + 27 f(x) = x 3 f(x) = 5x² -2x 3 f(x) = 3 x f(x) = 3x 7 f(x) = 6 x 3) Équation de la tangente en un point A à la courbe C f de f(x) On a vu que le coefficient directeur de la droite tangente (T) à la courbe de f(x) au point A(a ; f(a)) est le nombre dérivé de f au point A, c'est à dire aussi la valeur de la fonction dérivée f'(x) lorsque x=a, autrement dit f'(a). L'équation de (T) est donc de la forme : y = mx + p avec m=f'(a), donc y = f'(a)x + p. Pour trouver p, on va exprimer le fait que (T) passe par A, autrement dit que les coordonnées de A obéissent à cette égalité, soit : f(a) = f'(a) a + p (on a simplement remplacé, dans l'équation de la droite, x et y par les coordonnées de A, soit y = f(a) et x = a). D'où on peut trouver que p = f(a) f'(a) a, et en remplaçant dans l'équation de (T), on arrive à l'équation y = f'(a) x + f(a) a f'(a), et en mettant ensuite f'(a) en facteur : L'équation de la tangente à la courbe de f(x) en x = a est : y=f ' a x a f a. Trouver l'équation de la tangente dans les cas suivants : f(x) = 7x 3 pour a = 684 Page 3
f(x) = 2x² 7x + 27 pour a = 1 f(x) = x 3 pour a = 0 et pour a = 2 f(x) = 5x² -2x 3 pour a = 2 f(x) = 3 x pour a = 1 f(x) = 3x 7 pour a = 1 f(x) = 6 x pour x = 2 Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées Remarque : Une autre façon de trouver l'équation de la tangente (T) est la suivante : Le taux de variation d'une fonction affine étant constant et la tangente étant la courbe d'une fonction affine, on peut dire que le taux de variation de la tangente, égal à son coefficient directeur, donc à f'(a), est égal au taux de variation entre A(a ; f(a)) et M(x ; y), soit : f '(a)= y y M A = y f (a), soit y f(a) = f'(a) (x a) ou encore : y = f'(a) (x a) + f(a). x M x A x a. C'est aussi la raison pour laquelle la tangente à une droite en n'importe quel point de cette droite est cette droite elle-même! 4) Opérations sur les dérivées On notera u et v deux fonctions, dont les dérivées sont respectivement u' et v'. Opération u v ku uv u n Calculer les dérivées des fonctions suivantes : u v Formule de la dérivée u ' v' ku' u ' v uv' n u ' u n 1 u' v u v ' v 2 f x = x 2 1 x 3x19 f x = x 3 x f x = x 2 1 3 f x = 3 x 1 2x 3 f x = 3 x 1 2x 3 5) Lien avec le tableau de variation a) Dérivée et croissance On a vu que le nombre dérivé correspond à la pente de la tangente de la courbe de f en un point. S'il est positif, la tangente, donc la courbe, monte au voisinage de ce point, sinon elles descendent. Page 4
On en déduit le téorème suivant : Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées Téorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I R. Si pour tout x de I, f'(x) > 0, alors f est strictement croissante sur I. Si pour tout x de I, f'(x) < 0, alors f est strictement décroissante sur I. b) Conséquences sur le tableau de variation L étude du signe de la dérivée permet donc de déterminer le tableau de variation d une fonction. De même, ce tableau aidera à la construction de la courbe de la fonction. Remarque : Pour mieux étudier le signe de la dérivée, il vaudra mieux l'avoir sous forme factorisée que sous forme développée (car on pourra ainsi l'étudier grâce à un tableau de signes). Faire le tableau de variation de la fonction : - f ( x )= x 2 2 x+3 - f ( x)=3 x+ 2 x - f x =3 x 2 5 x 1 x 6) Application : signe d'un polynôme du second degré f(x) = a x² + b x + c a) Résolution de f(x) = 0 b) Calcul et signe de la dérivée c) Tableau de variation d) Règle des signes du polynôme du second degré Page 5
Cours de Terminale ST2S Capitre 3 : Les dérivées Fice de révision : Dérivation Définition : f (a)= df dx ( (a)=lim 0 f (a+) f (a) ) Équation de la tangente en a à la courbe de f : y = f (a) (x a) + f(a) Dérivées de base : Fonction définie sur Fonction f(x) = Dérivée f (x) = Dérivée définie sur R k 0 R R a x + b a R R a x n n a x n - 1 R R * = R \ {0} R * = R \ {0} [0; ] a x a x n a x a x 2 R * = R \ {0} n a x n+1 R * = R \ {0} a 2 x ]0 ; ] R a sin( x) a cos( x) R R a cos( x) asin( x) R Dérivée d une fonction composée (formule générale) : (u( v(x))) ' = v ( x) u (v( x)) Opérations sur les dérivées Dérivées des fonctions composées Opération Formule de la dérivée Fonction composée Formule de la dérivée u v u ' v' sin(u) u ' cos(u) k u ku' cos(u) u ' sin(u) u v u ' v+u v' u ax b au' ax b u u v u ' 2 u (a x+b) n a n(a x+b) n 1 u' v uv' 1 a n v 2 (a x+b) n (a x+b) n+1 u n n u ' u n 1 sin(a x+b) a cos(a x+b) 1 u n nu ' u n+1 cos(a x+b) asin(a x+b) Page 6