Chapitre 4 Les matrices 4 Notions de bases Définition Une matrice est un tableau rectangulaire contenant des nombres : a a n A a ij a m a mn Les matrices peuvent représenter toutes sortes d informations Si la matrice a m lignes et n colonnes, on dit que c est une matrice de taille ou de type m n Les nombres a ij sont les coefficients de la matrice Ils ont un double indice : i désigne la ligne où se trouve ledit coefficient et j indique la colonne On dit que la matrice est carrée si n m, ie si elle a autant de lignes que de colonnes, sinon elle est rectangulaire Une matrice de taille n s appelle un vecteur-ligne et une matrice de taille n s appelle un vecteur-colonne Par exemple la matrice A 3 7 4 est une matrice rectangulaire de taille 3 4 Le coefficient de la deuxième ligne et première colonne est a 3 4 et celui de la première ligne et quatrième colonne est a 4 7 On peut définir plusieurs opérations algébriques sur les matrices : Multiplication d une matrice par un nombre La multiplication d une matrice A par un nombre λ consiste simplement à multiplier chaque coefficient de la matrice par ce nombre : λ A λa λa m λa n λa mn Par exemple 3 3 7 4 6 9 3 3 3 6 Somme de deux matrices On peut additionner deux matrices de même taille Cela se fait simplement en additionnant les coefficients de même position : a ij +b ij a ij +b ij Dans le contexte du calcul matriciel, on parle de scalaire Un scalaire est simplement un nombre réel
Par exemple 3 7 4 + 3 3 3 8 3 3 La différence de deux matrices se définit en faisant la différence des coefficients de même position : a ij b ij a ij b ij Par exemple 3 7 4 3 3 3 6 3 3 3 La matrice nulle de taille m n est la matrice O O m n dont tous les coefficients sont nuls, on la note O m n, par exemple O 4 Si A est une m n quelconque, alors, O 3 A+O m n O m n +A A, O La matrice opposée d une matrice A est la matrice obtenue en changeant la signe de chaque coefficient, elle se note A : a a n a a n a m a mn a m a mn Nous avons alors les propriétés suivantes qui sont les premières identités du calcul matriciel où A, B, C sont des matrices de même taille et λ est un nombre; ces régles sont élémentaires à vérifier Premiéres identités matricielles : A+B B +A commutativité A+B +C A+B+C λ A+B λ A+λ B λ A+µ A λ+µ A associativité distributivité distributivité A+O O +A A A A O
4 Produit matriciel On peut multiplier une matrice de taille m n avec une matrice de taille n p, on obtient alors une matrice de taille m p La régle est la suivante : si A a ij et B b jk, alors le produit C A B est la matrice C c ik telle que n c ik a ij b jk a i b k +a i b k + a in b nk Exemple : 3 j 4 8 4 Définition La matrice identité de taille n n est la matrice I n δ ij dont les coefficients valent { si i j δ ij si sinon Par exemple I I 3 I 4 Théorème 4 La matrice identité est un élément neutre pour la multiplication matricielle : Si A est une n m matrice, alors I n A A I m A 43 Diagonale, transposée et matrice symétrique Rappelons qu matrice est dite carrée si elle a autant de ligne que de colonnes, c est à dire qu elle est de taille m n avec m n La diagonale principale d une matrice carrée A est la liste des coefficients dont les numéros de lignes et de colonnes coïncident : a,,a,,a 3,3, Par exemple la diagonale principale de 7 3 4 4 contient les nombres 7, et Une matrice carrée est dite diagonale si tous les coefficients hors de la diagonale principale sont nuls Par exemple D est diagonale et F ne l est pas : D, F La matrice identité de taille n n est donc la matrice carrée diagonale dont les coefficients diagonaux valent tous
La transposée d une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes, on la note A t Observons que si A a ij, alors A t a ji Par exemple 3 4 t 3 4 et 7 t 7 Une matrice carrée A est symétrique si A A t et elle est antisymétrique si A A t Par exemple F est symétrique et 4 4 est antisymétrique 44 Inversion d une matrice Définition Si A et B sont des matrices carrées de même taille n n, alors on dit que B est l inverse de A si A B B A I n Proposition 4 Si il existe, l inverse d une matrice A est unique et on le note B A De plus, il suffit que A B I n ou que B A I n pour que B soit l inverse de A Preuve Nous démontrons la premiére affirmation de cette proposition Supposons que B et C soient deux inverses de A, alors A C I n Multiplions cette égalité à gauche par la matrice B, on obtient B A C B I n B Donc B B A C B A C I n C C a b Proposition 43 Une matrice A est inversible si et seulement si ad bc c d Dans ce cas on a A d b ad bc c a Preuve Il suffit d observer que a b c d d b c a ad bc ad bc 3
Exemples 3 3 3 6 3, Définition Le déterminant de la matrice A a b c d et 3 est le nombre 6 3 Nous avons donc à condition que deta A deta ad bc deta d b c d Inversion des 3 3 matrices Passons à l inversion d une matrice de taille 3 3 Il nous faut quelques définitions : Définitions Soit A a ij une 3 3 matrice On note A ij la matrice obtenue en supprimant la i éme ligne et la j éme colonnes de A Alors les nombres c ij i+j deta ij s appellent les cofacteurs de la matrice A Ils forment une nouvelle matrice qu on appelle la matrice des cofacteurs de A : C CofA c ij - Le déterminant de A est le nombre 3 deta a i c i a c +a c +a 3 c 3 i a deta a deta +a 3 deta 3 Théorème 44 La 3 3 matrice A est inversible si et seulement si son déterminant ne s annule pas Dans ce cas, l inverse est donnée par la transposée de la matrice des cofacteurs divisée par le déterminant : A deta CofAt Voyons un exemple Considérons la matrice A Le déterminant de cette matrice est donné par deta det + 3 4 det La matrice des cofacteurs c ij i+j deta ij est 3 CofA + det 4
et donc A deta CofAt 4 3 Théorème 4 Dans le calcul d un déterminant, on peut développer à partir de n importe quelle ligne ou colonne : deta 3 a ij c ij i Par exemple le déterminant de la matrice A colonne, ce qui donne deta det + 4 ou selon la troisième colonne, ce qui donne 3 a ij c ij j det deta 3 + 4 Peut se développer selon la première + det On simplifie le calcul d un déterminant en choisissant de le développer selon une ligne ou une colonne qui contient un ou plusieurs zéros si c est possible 4 Application aux systèmes d équations linéaires Definition 4 Un système d équations linéaires à m équations et n inconnues m et n deux entiers positifs est un ensemble d équations du type a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a m x + a m x + + a mn x n b m où pour i m, j n : les coefficients du système a ij et les termes inhomogènes b i sont des nombres réels donnés ; les x j sont les inconnues que l on cherche à déterminer Une solution du système est un n-tuple x,x,,x n R n qui satisfait simultanément toutes les m équations du système Remarque : On peut écrire le système d équations sous la forme d une unique équation matricielle : a a n x b a m a mn x n D une manière abrégée, on peut écrire A X B où X et B sont des matrices colonnes et A est une matrice rectangulaire X représente les inconnues du système b m
Supposons que le système contienne autant d équations que d inconnues et supposons que la matrice A a ij des coefficients soit inversible, alors la solution du système est unique et elle est donnée par Preuve Nous avons X A B A X A A B A A B I n B B Exemple Le système { 3x y 8 x + y s écrit matriciellement La solution est donnée par x 3 y c est-à-dire x et y 3 8 x y 4 8 3 8 / / Exemple Le système x + z 4 x + y x + y + z 8 s écrit matriciellement La solution est x y z c est-à-dire x et y et z 4 8 46 Rappels sur les vecteurs 4 x y z 4 8 3 4 8 Une matrice-colonne de taille n s appelle aussi un vecteur ou un vecteur-colonne à n dimension On note R n l ensemble de ces vecteurs, ainsi { R x x,y R}, R y x y x,y,z R z Géométriquement, un vecteur correspond à un segment orienté reliant deux points ou à une différence de deux point Fixons un système de coordonnées cartésiennes Oxy dans le plan et considérons deux points dans ce plan de coordoonées A a,a et B b,b Alors le vecteur reliant ces deux points est donné par b a AB R b a 6
Remarquons que tout vecteur V R du plan peut s écrire comme combinaison linéaire de e et e En effet V v v v +v v e +v e De même, tout vecteur V R 3 de l espace peut s écrire comme combinaison linéaire de e, e, et e 3 En effet V v v v 3 v +v +v 3 v e +v e ++v 3 e 3 47 Applications linéaires Définition Une application f : R n R m est linéaire si a fv +W fv+fw, b fλv λfv Pour tout nombres λ R et tous vecteurs V,W R n Proposition 46 Si f est linéaire, alors a f, b L image par f d une droite est une droite La seconde propriété de cette proposition explique le nom d application linéaire Soit f : R R une application linéaire Sa matrice associée est la matrice m m M M f m m définie par f m m et f m m C est donc la matrice dont la première colonne est l image par f du premier vecteur de base e et la deuxième colonne est l image par f du deuxième vecteur de base e Proposition 47 Si f : R R est linéaire, alors l image de tout vecteur s obtient en multipliant la matrice associée à f par ce vecteur : x m m f x y m y m 7
48 Vecteurs propres et valeurs propres Définitions Soit f : R n R n une application linéaire et V R n un vecteur On dit que V est un vecteur propre de f si a V, b fv est colinéaire à V, ie il existe un nombre λ R tel que fv λ V On dit alors que λ est une valeur propre de f et que V est un vecteur propre associé à la valeur propre λ Remarque Tout multiple non nul d un vecteur propre est aussi un vecteur propre En effet, si fv λ V, alors fsv s fv s λ V λ sv Proposition 48 Le nombre λ R est une valeur propre de l application linéaire f : R R si et seulement si detm ΛI où M est la matrice associée à f Définition Le polynôme caractéristique de f est le polynôme Pλ detm ΛI Pour trouver les vecteurs propres d une application linéaire f : R R on procède ainsi On cherche les valeurs propres en résolvant l équation caractéristique Pλ detm ΛI Pour chaque solution λ trouvée, on cherche les solutions non nulles de l équation fv λ V 49 Diagonalisation des matrices Supposons qu on a trouvé deux vecteurs propres V,W R linéairement indépendants d une matrice A : A V λv et A W µw On forme alors deux nouvelles matrices : λ D µ et P [V,W] v w v w Définition La matrice D s appelle la forme diagonale de A et P s appelle la matrice modale ou la matrice de passage, c est donc la matrice formée à partir des deux vecteurs propres Ces notions sont importantes en raison de l équation suivante, qui s appelle la diagonalisation de la matrice A : Proposition 49 Soient P une matrice modale pour A et D la forme diagonale de A Alors detp et on a A P D P et D P A P Remarque Les matrice ne sont pas toujours diagonalisables 8
4 Puissance d une matrice Si A est une matrice carrée et n N est un nombre entier naturel, alors on définit A n A A A }{{} n Exemples 4 6 Si R, alors R K Donc R n R pour tout n 3 Si S, alors S, S 3, S 4, On constate que S 4 I, on peut donc facilement calculer S n pour tout n, par exemple S 9 S 6+3 S 6 S 3 I S 3 3 Si T 3, alors T 6 On en déduit que T n pour tout n 3 et T3 Il est à priori difficile de calculer A n si A est grand pour une matrice quelconque Mais en diagonalisant la matrice, le calcul devient très simple Théorème 4 Soient A P D P la diagonalisation d une matrice A Alors A n λ n P µ n P Résumons-nous : Pour calculer les puissances d une matrice quelconque A, on peut essayer de la diagonaliser, on procède donc ainsi : i On calcule le polynôme caractéristique Pλ ii On cherche les valeurs propres en résolvant l équation caractéristique Pλ iii On cherche deux vecteurs propres linéairement indépendant V et W, ceci nous donne iv Nous avons donc la forme diagonale D et la matrice modale P v Finalement : A n P D n P Exemple On désire calculer A où A 6, ce calcul est faisable à la main par la méthode de diagonalisation de la matrice : 9
i Le polynôme caractéristique pλ est donné par λ 6 pλ det λ 3λ+ λ λ, λ ii Les valeurs propres de A sont donc λ et λ iii Un vecteur propre de A pour la valeur propre λ s obtient en résolvant le système A V V, c est à dire { 6 v v v + 6v v v v v v v Une solution est donnée par v 3, v, ainsi V λ 3 est un vecteur propre pour Cherchons un autre vecteur propre W pour la valeur propre λ Il s obtient en résolvant le système A W W, c est à dire { 6 w w w + 6w w w w w w w Une solution est donnée par w, w, donc W λ iv La forme diagonale et la matrice modale de A sont donc D et P Le déterminant de P vaut et P P D P v Finalement : A P D P, c est à dire A 3 3 3 Exemple On considère la matrice G a par où G n 3 est un vecteur propre pour On vérifie par un simple calcul que A 493 638 46 368 Les puissances de cette matrice sont données sn a n n s n +a+a + +a n a k Pour vérifier l équation, il suffit d observer que G n+ G G n sn sn +a a a n n a n+ Appliquons la méthode de diagonalisation pour calculer G n : i Le polynôme caractéristique pλ est donné par λ pλ det λa λ a λ k sn+ a n+ * 6
ii Les valeurs propres sont donc λ et λ a iii On trouve les vecteurs propres V pour la valeur propre λ et W pour a la valeur propre a Ces vecteurs propres sont linéairement indépendants si a ce que nous supposerons désormais iv Nous avons donc la forme diagonale D et la matrice modale P suivantes D et P a a a La matrice inverse de P est données par P a et on vérifie que A P D P v Nous pouvons maintenant calculer : A n P D n P a a a n a a n a a n a a a a n a a n a a n a a n Nous concluons de ce calcul que n s n a k an a k Nous avons donc retrouvé la formule de sommation d une série géométrique au moyen du calcul matriciel 4 La suite de Fibonacci Nous avons vu au début du cours la suite de Fibonacci Elle se définit récursivement par x, x et x k+ x k +x k, si k Les premiers termes sont On se propose x k,,,,3,,8,3,,34,, a de calculer x, x, et plus généralement x k pour tout k b de calculer la limite lim k x k+ x k On remarque pour cela qu on peut écrire la récurrence qui définit la suite de Fibonacci ainsi : { xk x k où encore, de façon matricielle : xk x k+ x k + x k x k+ xk x k 6
On note F et X k xk x k+ La suite de vecteurs {X k } contient la même information que la suite de Fibonacci La matrice F s appelle la matrice de Fibonacci On remarque que X et que De façon générale : X F X, X F X F X, X 3 F X F 3 X X k F k X Ainsi donc, pour calculer X k, il suffit de calculer les puissances de la matrice de Fibonacci F Pour cela, on peut utiliser la méthode de la diagonalisation Les valeurs propres de F sont données par detf λi det λ λ λ λ Il y a deux valeurs propres qu on notera λ et µ ; elles sont données par λ + 68, µ λ 68 Le nombre λ s appelle le nombre d or et µ s appelle le conjugué du nombre d or Cherchons deux vecteurs propres linéairement indépendants Pour la valeur propre λ, on pose { v v v λ, λv v v v + v λv Une solution est donnée par v et v λ car + λ λ Le vecteur propre cherché est donc V λ De la même manière, on trouve que W est un vecteur propre pour la valeur propre µ µ Nous obtenons donc la diagonalisation suivante de F : avec Observons que donc D Nous pouvons maintenant calculer λ µ F P D P et P λ µ detp µ λ +, P µ µ detp λ λ F k λ µ λ k µ µ k λ λ k µ k λ k+ µ k+ µ λ µ k λ λ k µ λ k µ k µ k+ λ λ k+ µ λ k+ µ k+ 6
Nous obtenons donc finalement xk X k F x k k+ Et en particulier, le k ème terme de la suite de Fibonacci est égal à x k λ k µ k λ k µ k λ k+ µ k+ + k k Cette expression, pour calculer le terme général de la suite de Fibonacci, s appelle la formule de Binet, par exemple + x 34484879697 Vérifions la formule de Biner Pour k,,, elle dit que x λ µ, x λ µ, et x λ µ λ+ µ+ Dans ce dernier calcul, on utilise la propriété suivante du nombre d or et de son conjugé : λ λ+, µ µ+ Pour prouver qu en général la formule est correcte, on procède ainsi pour k > Terminons par deux remarques : x k λ k µ k λ λ k µ µ k λ+λ k µ+µ k λ k +λ k µ k +µ k x k +x k+ Remarques Le nombre µ 68 est en valeur absolue plus petit que Donc µ k converge vers lorsque k tend vers l infini Pour cette raison on peut le négliger dans la formule de Binet et simplement calculer x k ainsi : + k x k l entier le plus proche de Par exemple + 6 849, et donc x6 8 L ordre de grandeur de x est x + 43684 8 La suite de Fibonacci tend vers l infini, mais la proportion entre deux termes successifs converge vers le nombre d or : x k+ lim λ + k x k 63
En effet, on a car lim k µk x k+ lim lim k x k k λ k+ µ k+ λ λ k µ k 64