I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et B. le produit P = A B est indépendant de la droite choisie et est appelé puissance de par rapport au cercle. En effet, si une autre droite coupe le cercle en A et B, les triangles AB et A B sont semblables et donc A = B A B, ce qui prouve que A B = A B. B B A A A B A B Corollaire Soit quatre points A, B, A, B du plan tels que les droites AB et A B se coupent en. Les points sont cocycliques si et seulement si A B = A B. Conséquences : le signe de P donne la position du point par rapport au cercle :

I 2 P > 0 : est extérieur au cercle P < 0 : est intérieur au cercle P = 0 : est sur le cercle Diverses expressions de la puissance d un point par rapport à un cercle 1) En prenant un diamètre du cercle pour sécante P = (O + OA)(O + OB) = O 2 R 2 = d 2 R 2. 2) Soit C et D les extrémités d un diamètre quelconque du cercle. On a P = d 2 R 2 = O 2 OC 2 = ( O + OC)( O + OD) = C D. C O D 3) Si est extérieur au cercle et si T est un point du cercle tel que T est tangent au cercle P = T 2. T O 4) Si le cercle est donné par son équation cartésienne x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0 et si a pour coordonnées (x,y), alors P = x 2 + y 2 2ax 2by + c. En effet le cercle a pour centre O = (a,b) et pour rayon R = a 2 + b 2 c, alors P = d 2 R 2 = (x a) 2 + (y b) 2 (a 2 + b 2 c).

I 3 Différence des puissances d un point par rapport à deux cercles - axe radical de deux cercles Soit deux cercles (O,R) et (O,R ) et un point du plan. Soit P et P les puissances de par rapport à (O,R) et (O,R ) respectivement. On a P P = O 2 R 2 (O 2 R 2 ) = ( O + O )( O O ) (R 2 R 2 ). Donc si ω est le milieu de OO, on a P P = 2 ω OO (R 2 R 2 ), ou encore, en appelant le projection de sur OO, P P = 2ω OO (R 2 R 2 ). O ω O Théorème L ensemble des points du plan tels que la différence des puissances par rapport à deux cercles non concentriques est une constante C est une droite, orthogonale à la ligne des centres en un point tel que ω = R2 R 2 + C. 2OO

I 4 Définition La droite obtenue dans le cas où C = 0 est appelée l axe radical des deux cercles. C est donc l ensemble des points d égales puissances par rapport aux deux cercles, et elle est orthogonale à la ligne des centres en un point H tel que ωh = R2 R 2 2OO. Remarques : 1) Si R est inférieur à R, les nombres OO et ωh sont de même signe, donc et O se trouvent du même côté de ω. 2) Si les cercles sont sécants ou tangents, leurs points d intersection vérifient P = P = 0 et se trouvent sur l axe radical, d où une construction évidente dans ce cas. 3) Si les cercles ne se coupent pas, l axe radical ne coupe aucun d eux. 4) Si les cercles ont même rayon, l axe radical est la médiatrice de OO. 5) L axe radical de deux cercles extérieurs passe par le milieu de leurs tangentes communes, ce qui permet de le construire. 6) Ce qui précède reste valable si l un ou les deux cercles sont réduits à des points. Centre radical de trois cercles Théorème - Définition Soit trois cercles dont les centres ne sont pas alignés. Il existe un point I et un seul, ayant la même puissance par rapport aux trois cercles. On l appelle le centre radical des trois cercles. Ce point est l intersection des trois axes radicaux des cercles pris deux à deux. En effet, un point d égal puissance est nécessairement sur les trois axes radicaux. Réciproquement, si I appartient aux axes radicaux de (O,R), (O,R ) et de (O,R ), (O,R ) il a même puissance par rapport aux trois cercles dont appartient à l axe radical de (O,R), (O,R ). Ceci permet de construire l axe radical de deux cercles. On les coupe par un troisième cercle. D après la remarque 2), on a facilement deux des trois axes radicaux. Ils se coupent en un point qui est sur l axe radical cherché. On prend alors la droite orthogonale à la ligne des centres passant par ce point. Sur le dessin suivant, I est le centre radical des trois cercles.

I 5 axe radical de (O,R) et de (O,R ) I O O O Cercles orthogonaux Définition Deux cercles sécants sont dits orthogonaux si leurs tangentes en un point d intersection sont orthogonales. Il en est alors de même pour l autre point d intersection.

I 6 Théorème vraie : Deux cercles sont orthogonaux si et seulement si une des propriétés suivantes est 1. Les rayons en un point d intersection sont orthogonaux. 2. Si les cercles ont pour rayons respectifs R et R et si la distance de leurs centres O et O est d, on a R 2 + R 2 = d 2 3. La puissance de O par rapport au cercle (O,R ) vaut R 2. 4. La puissance de O par rapport au cercle (O,R) vaut R 2. 5. Si une sécante, passant par O coupe (O,R) en X et Y et (O,R ) en et N, alors (XY,N) est une division harmonique. La définition équivaut à 1) car les rayons sont orthogonaux aux tangentes. 1) équivaut à 2) à cause du théorème de Pythagore. Le triangle OAO est rectangle si et seulement si R 2 + R 2 = d 2. 2) équivaut à 3) et à 4), puisque la puissance de O par rapport à (O,R ) vaut d 2 R 2 et celle de O par rapport à (O,R) vaut d 2 R 2. 3) équivaut à 5) car la puissance de O par rapport à (O,R ) vaut O ON et la relation O ON = R 2 avec O milieu de XY équivaut à dire que (XY,N) est une division harmonique (voir G). T T A X O O Y N

I 7 Faisceaux de cercles Définition On appelle faisceau linéaire de cercles une famille de cercles admettant deux à deux le même axe radical. Conséquences : 1) Les centres de tous les cercles du faisceau sont alignés sur une droite orthogonale à l axe radical. 2) Un point de l axe radical a même puissance par rapport à tous les cercles du faisceau. Un faisceau de cercles est donc caractérisé par l axe radical une droite D orthogonale à en un point H la puissance P de H par rapport aux cercles du faisceau. Classification des faisceaux de cercles 1) Si P est strictement négative, le point H est intérieur à tous les cercles du faisceau. La droite est une sécante qui coupe tous les cercles du faisceau suivant deux points fixes A et B équidistants de H et tels que HA = HB = P. Ces points sont appelés points de base du faisceau. Tout cercle passant par les points A et B appartient au faisceau. Le cercle de plus petit rayon possible appartenant au faisceau est celui de diamètre AB. Les centres des cercles décrivent toute la droite. A D H B

I 8 2) Si P est strictement positive, le point H est extérieur à tous les cercles du faisceau et ne coupe aucun d eux. Les plus petits cercles possibles sont deux cercles-points I et J tels que HI = HJ = P. Ces points sont appelés points limites du faisceau. Le faisceau se sépare en deux familles de cercles symétriques par rapport à. Chaque famille est formée de cercles entourant un des points I ou J. Tous les centres sont situés à l extérieur du segment IJ. L ensemble des points où les tangentes aux cercles issues de H coupent les cercles du faisceau est un cercle de rayon P et de diamètre IJ. D O I H J O 3) Si P est nul, on a l intermédiaire entre les cas précédents. les points de base et les points limites sont confondus. On dit qu il s agit d un faisceau singulier. Tous les cercles sont tangents à en H. On peut donc définir aussi un faisceau par : 1) la donnée de deux cercles du faisceau 2) la donnée des points de base ou des points limites (sauf pour un faisceau singulier où il faut donner une indication supplémentaire : ligne des centres ou axe radical, par exemple).

I 9 Etude analytique d un faisceau de cercles Théorème On se donne deux cercles non concentriques C et C d équations cartésiennes F(x,y) = x 2 + y 2 + f(x,y) = 0 et G(x,y) = x 2 + y 2 + g(x,y) = 0, où f et g sont des polynômes en x et y de degré au plus 1. Ces deux cercles définissent un faisceau. Un cercle C appartient à ce faisceau si et seulement si il existe un réel a tel que l équation de C soit L équation de l axe radical du faisceau est alors H(x,y) = af(x,y) + (1 a)g(x,y) = 0. f(x,y) g(x,y) = 0. Si a pour coordonnées (x,y), la puissance de par rapport à C est F(x,y), celle de par rapport à C est G(x,y). Donc appartient à l axe radical des deux cercles si et seulement si F(x,y) G(x,y) = f(x,y) g(x,y) = 0. Comme f(x,y) g(x,y) = 0 est l équation d une droite, on retrouve bien que l axe radical et une droite et l on obtient ainsi son équation. Soit C un cercle d équation H(x,y) = af(x,y) + (1 a)g(x,y) = 0. Supposons a non nul, (sinon C = C ). L axe radical de C et de C a pour équation soit H(x,y) G(x,y) = 0 a(f(x,y) G(x,y)) = 0. L axe radical de C et C est donc le même que celui de C et C. Donc C est bien un cercle du faisceau défini par C et C. Réciproquement, soit C un cercle du faisceau défini par C et C d équation H(x,y) = 0. L axe radical de C et C étant le même que celui de C et C, les équations H(x,y) G(x,y) = 0 et F(x,y) G(x,y) = 0 doivent êtres proportionnelles. Il existe un réel a tel que ce qui donne H(x,y) G(x,y) = a(f(x,y) G(x,y)) H(x,y) = af(x,y) + (1 a)g(x,y).

I 10 Faisceaux conjugués de cercles orthogonaux Théorème - Définition 1) Soit A et B deux points distincts. Tout cercle du faisceau à points de base A et B est orthogonal à tout cercle du faisceau à points limites A et B. 2) Soit D et D deux droites orthogonales en A. Tout cercle du faisceau singulier d axe radical D et de point A est orthogonal à tout cercle du faisceau singulier d axe radical D et de point A. Dans les deux cas on dit que les faisceaux sont orthogonaux. O T A H B O Pour le cas 1), prenons un cercle (O,R) du faisceau à points de base A et B, et un cercle (O,R ) du faisceau à points limites A et B. Soit OT la tangente issue de O au cercle (O,R ). La puissance de O par rapport à tous les cercles du faisceau à points limites A et B étant la même, la puissance de O par rapport à (O,R ) qui vaut OT 2, est égale à celle de O par rapport au cercle-point B qui vaut OB 2. Donc OB et OT sont égaux, et T est sur le cercle (O,R). Il en résulte que les cercles (O,R) et (O,R ) sont orthogonaux. Le cas 2) est évident.

I 11 Pôle et polaire par rapport à un cercle Définition On dit que deux points P et sont conjugués par rapport à un cercle (O,R) si le cercle de diamètre P est orthogonal à (O,R). Remarque : le centre O n a pas de conjugué. Il se trouve rejeté à l infini. Théorème - Définition L ensemble des points conjugués de P par rapport au cercle (O, R) est une droite orthogonale à OP en un point H tel que OP OH = R 2. Cette droite est appelée polaire de P par rapport au cercle. Inversement, si D est une droite ne passant pas par O, il existe un point P unique situé sur la droite orthogonale à D passant par O et dont D est la polaire. Ce point est appelé pôle de D par rapport au cercle. polaire de P par rapport à (O,R) O H H O P D Soit (O,R ) le cercle de diamètre P. La puissance de O par rapport à ce cercle vaut O OP. Ecrire que les cercles (O,R) et (O,R ) sont orthogonaux équivaut à la relation O OP = R 2

I 12 ou, en projetant sur OP OH OP = R 2 ce qui donne le théorème. (Il faut supposer P et H distincts de O). La relation OH OP = R 2 prouve que P et H sont toujours du même côté de O. D autre part le cercle (O,R ) est orthogonal à (O,R) et au cercle-point P. Donc O se trouve sur l axe radical de ces deux cercles, et la projection de O sur HP est le point H milieu de HP. Enfin, il résulte de la symétrie de la relation de conjugaison, que si la polaire de passe par P, celle de P passe par, et donc, que si décrit la polaire de P, la polaire de pivote autour de P. On en tire une conséquence intéressante qui permet de démontrer l alignement de trois points. Théorème Trois points sont alignés si et seulement si les polaires des trois points par rapport à un même cercle sont concourantes. Si les polaires sont concourantes, les trois points sont sur la polaire du point d intersection et sont donc alignés. Définition Deux droites D et D sont dites conjuguées par rapport à un cercle si chacune passe par le pôle de l autre par rapport au cercle. Construction de la polaire d un point par rapport à un cercle Théorème Soit (O,R) un cercle, et P un point. Si PAB et PA B sont deux sécantes au cercle issues de P, et si Q est l intersection de A B et de AB, et R celle de AA et de BB, alors la polaire de P par rapport au cercle est la droite QR. La droite QR est la polaire de P par rapport aux droites AA et BB (voir G), donc QR coupe AB et A B en deux points et qui sont tels que (P,AB) et (P,A B ) soient des divisions harmoniques. Ceci prouve que le cercle de diamètre P est orthogonal à (O,R), ainsi que celui de diamètre P. Les points P et Q sont donc sur la polaire cherchée. Remarque : si le point P est extérieur au cercle, et si PT et PT sont les tangentes au cercle issues de P, alors la droite TT est la polaire de P par rapport au cercle. Si P est sur le cercle sa polaire est la tangente au cercle en P.

P polaire de P par rapport à (O,R) I 13 A B A Q B R Cette construction montre aussi que PR est la polaire de Q et PQ celle de R. De plus PQ est orthogonal à OR, ainsi que QR à OP et RP à OQ. Donc l orthocentre du triangle PQR est le point O. P polaire de P par rapport à (O,R) O Q R

I 14 Définition Le triangle P QR ainsi construit est appelé triangle conjugué par rapport au cercle, ou triangle orthopolaire. Etude analytique Théorème Si un cercle a pour équation x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0 et si P a pour coordonnées (u,v), la polaire de P par rapport au cercle a pour équation ux + vy a(x + u) b(y + v) + c = 0. Le centre du cercle est le point C de coordonnées (a,b) et le rayon du cercle vaut R = a 2 + b 2 c. Soit de coordonnées (x,y). La condition C CP = R 2 s écrit (u a)(x a) + (v b)(y b) = R 2 et, en développant, donne l équation indiquée. Exemples d applications 1) Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit. Les bissectrices intérieures recoupent le cercle en A, B, C. Les tangentes au cercle en A et A, B et B, C et C respectivement se coupent en, N, P. Alors les points, N, P sont alignés. En effet, AA est la polaire de par rapport au cercle circonscrit. De même BB est celle de N et CC celle de P. Comme les bissectrices sont concourantes, les trois points sont alignés. On remarquera également que A, B et C sont les intersections du cercle avec les médiatrices du triangle, et que le point A est le milieu de l arc BC, le point B est le milieu de l arc CA et le point C est le milieu de l arc AB.

I 15 P N B C A B O C A 2) Soit un triangle ABC et son cercle inscrit, touchant les côtés en A, B,C. Soit l intersection de B C et de la parallèle à BC passant par le centre O du cercle, N l intersection de C A et de la parallèle à CA passant par O, et P l intersection de A B et de la parallèle à AB passant par O. Alors, N, P sont alignés. En effet appartient à la polaire de A par rapport au cercle, donc A appartient à la polaire de. De plus la polaire de est orthogonale à O, donc à BC. C est donc la hauteur issue de A. De même pour les polaires de N et P : ce sont les hauteurs issues respectivement de B et C. Comme les hauteurs sont concourantes, les points, N, P sont alignés.

I 16 N A B C O B A C P Transformation par polaire réciproque Théorème - Définition Etant donné un cercle fixe (O,R) et une courbe C de classe C 1 telle qu en tout point de la courbe le vecteur O et le vecteur tangent ne soient pas colinéaires, l enveloppe Γ des polaires des points de C par rapport au cercle est aussi l ensemble des pôles, par rapport au cercle, des tangentes à C. La transformation qui à C associe Γ est appelée transformation par polaires réciproques. Le résultat étant invariant par homothétie, montrons le dans le cas où le cercle est centré en l origine et de rayon 1. Supposons la courbe C paramétrée par (t) = (f(t),g(t)), où f et g sont des fonctions de classe C 1 définies sur un intervalle I. La polaire de (t) a pour équation f(t)x + g(t)y = 1.

I 17 L enveloppe de ces droites s obtient en résolvant le système { f(t)x + g(t)y = 1 f (t)x + g (t)y = 0. Par hypothèse f(t)g (t) g(t)f (t) n est pas nul et on obtient comme solution Cela définit un point x = g (t) f(t)g (t) g(t)f (t) f (t), y = f(t)g (t) g(t)f (t), ( g (t) P(t) = f(t)g (t) g(t)f (t), f ) (t) f(t)g (t) g(t)f (t) ce qui donne un paramétrage de la courbe Γ. L équation de la tangente à C et (t) est g (t)x f (t)y + f (t)g(t) g (t)f(t) = 0. On constate que ce n est autre que la polaire du point P(t) de la courbe Γ. Remarques 1) Les coordonnées d un point de Γ peuvent s écrire x = (1/g) (f/g), y = (1/f) (g/f). 2) Lorsque C est une droite ne passant pas par O, la courbe Γ se réduit à un point qui est le pôle de la droite par rapport au cercle. (Une droite passant par O n a pas de transformée car les polaires des points de la droite sont des droites parallèles). 3) On peut remarquer que la transformation conserve les contacts. En effet, d une part, si deux courbes se coupent en un point, la polaire de ce point sera une tangente commune aux deux courbes images. Si de plus les deux courbes de départ ont même tangente, les courbes images passeront par le pôle de cette tangente commune, et ce pôle est sur la polaire de leur point de contact. Les courbes images seront tangentes elles aussi. 4) On peut remarquer également que si la courbe C est transformée par l homothétie de centre O et de rapport k, la courbe Γ est transformée par l homothétie de centre O et de rapport 1/k. C est visible sur les équations paramétriques et aussi sur la relation O OH = R 2. 5) Il résulte du théorème que la transformation par polaire réciproque est involutive : la transformée de la transformée est la courbe de départ.

I 18 Exemple : transformée d un cercle. Le cercle définissant la transformation étant toujours le cercle unité, cherchons analytiquement l image d un cercle de rayon R centré sur Ox au point d abscisse ar. On a donc l équation paramétrique du cercle f(t) = R(cos t + a), g(t) = R sin t. Et les formules obtenues plus haut donne le paramétrage de Γ x = 1 R ou encore en coordonnées polaires cos t 1 + acos t ρ = 1 R, y = 1 R 1 1 + acos t, ce qui est l équation d une conique d axe Ox. On obtient en effet sin t 1 + acos t ρr(1 + acos t) = R(ρ + ax) = 1 d où l on déduit et en développant x 2 + y 2 = (R 1 ax) 2 (1 a 2 )x 2 + y 2 + 2 a R x 1 R 2 = 0. Lorsque a 2 = 1, c est-à-dire lorsque le cercle passe par O, on obtient une parabole d équation x = 1 2aR (1 R2 y 2 ). Dans les autres cas, l équation se met sous la forme ( x + ) 2 a R(1 a 2 ) + 1 R 2 (1 a 2 ) 2 y 2 1 R 2 (1 a 2 ) Lorsque a = 0, c est-à-dire lorsque le centre du cercle est O, sa transformée est un cercle de centre O et de rayon 1/R. En particulier, le cercle (O,1) est transformé en lui-même. On obtient ( une ellipse ) si 0 < a 2 < 1 et une hyperbole dans le cas contraire. Les coordonnées du centre a sont R(1 a 2 ),0 et l excentricité vaut a. = 1. Enfin, dans le cas de l hyperbole, les asymptotes ont pour pente ± a 2 1. Remarque : l image d une courbe fermée n est donc pas nécessairement une courbe fermée.