Cours t tru irigés éniqu u point t u soli β G α C Frnçois BINET rofssur tir Unirsité Liogs IUT u Liousin Sit GEII Bri Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
Soir Bss rpèrs t référntils...4 Cinétiqu u point t u soli...5. Cooronnés rtésinns...5. Cooronnés linriqus...6. Cooronnés sphériqus...8.4 osition un point....9.5 Vitss un point....6 élértion un point....7 Cooronnés intrinsèqus. Coposnts Frnt.... 5.8 Etu ounts... 6.8. Tps ounts... 6.8. Tritr un ri inétiqu... 6 TVUX DIIGES SU L CINETIQUE... 8 Notions fors t équilibr.... L torsur for..... Ls fors..... ont fors.... Equilibr, rottion t trnsltion... 4.. Equilibr... 4.. Coupl t ount rottion... 4.. Trnsltion... 5. Fors frottnt... 5.. Frottnt sttiqu... 5.. Frottnt niqu... 5.4 ésolution s problès sttiqu... 7.4. Soli n équilibr sous l tion fors... 7.4. Soli n équilibr sous l tion fors... 7.4. Soli n équilibr sous l tion n fors... 7.4.4 étho... 7 TVUX DIIGES SU L STTIQUE... 8 4 Dniqu s solis... 4. Elénts niqu... 4.. L torsur inétiqu... 4... Quntité ount... 4... ont inétiqu... 4... rrêt, rottion t trnsltion... 4.. L torsur niqu... 4. rinips fonntu l niqu... 4 4.. Enoné Nwton... 4 4.. Enoné thétiqu u prinip fonntl... 4 4.. Théorè l quntité ount, Théorè l résultnt inétiqu... 4 4..4 Théorè u ont inétiqu... 4 4. Dniqu s prtiuls hrgés... 5 4.. Fors hp... 5 Chp grittionnl :... 5 Chp éltrognétiqu :... 5 TVUX DIIGES SU L DYNIQUE... 6 5 Enrgétiqu... 4 5. Grnurs slirs... 4 5.. uissn, Tril t Enrgi potntill... 4 uissn... 4 Tril... 4 Enrgi potntill... 4 Tril t énrgi potntill s fors usulls... 4 5.. Enrgi inétiqu... 4 5..4 Enrgi éniqu... 4 5..5 Enrgi totl... 4 5. Théorès thétiqus... 44 5.. Trnsport s onts... 44 5.. éférntil u ntr ss... 44 5.. Théorè Konig... 44 Théorè Konig pour l énrgi inétiqu... 45 5. Théorè l énrgi inétiqu... 46 Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
5. Théorè l énrgi éniqu... 46 5.5 Trnsfrts énrgétiqus... 47 5.5. Différnts tps trnsfrt... 47 5.5. rir prinip throniqu... 47 5.5. nnt... 47 TVUX DIIGES SU L ENEGETIQUE... 48 6 Soli n rottion utour un irtion fi... 5 6. ont inrti... 5 6.. ont inrti pr rpport à un... 5 Eprssions pr rpport u s u rpèr rtésin... 5 6.. ont inrti pr rpport à un point... 5 6.. Bs prinipl inrti... 5 6..4 Théorè Hughns-Shtinr... 54 6..5 Epls luls onts inrti... 55 ont inrti un isqu plin... 55 ont inrti un ôn plin régulir... 55 ont inrti un sphèr rus... 56 ont inrti un sphèr plin... 56 6. Cs un soli à sétri linriqu ou sphériqu... 57 6.. ont inétiqu - ont inrti... 57 6.. Théorè u ont inétiqu pr rpport à l rottion... 57 6.. Eprssion l énrgi inétiqu un soli n rottion utour un fi... 58 6.. nlogi l ount trnsltion... 58 TVUX DIIGES SU L DYNIQUE DU SLIDE... 59 nn. Ls intégrls... 64. Définitions... 64. ropriétés... 64. éthos intégrtion... 64 nn Ls ifférntills... 65 nn Equtions ifférntills... 66. Solutions tps... 66. étho résolution... 66 nn 4 Cluls surfs t olus... 67 4. Forulir... 67 4.. Coffiints... 67 4.. Clul surfs... 67 4.. Clul olus... 67 4. Epls luls surfs... 68 4.. Surf un rl... 68 4.. Surf un sphèr... 68 4. Epls luls olus... 69 4.. Volu un linr... 69 4.. Volu un sphèr... 69 4.. Volu un ôn... 69 nn 5 Cluls ntrs inrti... 7 5. Définition u ntr inrti... 7 5. ropriétés u ntr inrti... 7 5. Cluls ntrs inrti... 7 5.. Cntr inrti un ôn plin régulir... 7 5.. Cntr inrti un i sphèr plin... 7 5.. Cntr inrti un i sphèr rus... 7 5..4 Cntr inrti un isqu pré... 7 5..5 Cntr inrti un soli sipl... 7 nn.6 Ls turs... 7 nn 7 Ls opérturs... 74 7. L grint... 74 7. L irgn... 74 7. L rottionnl... 74 7.4 ltions ntr opérturs... 75 7.5 ltions intégrls... 75 Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
Bss rpèrs t référntils Bs : Dns un sp à trois insions, on ppll bs torill un nsbl turs linéirnt inépnnts : b,, sont non oplnirs pèrs sp : L nsbl onstitué un point l sp t turs bs for un rpèr sp. pèr irt : L prouit toril étnt ntiouttif B B, il st néssir éfinir un «nor»,un sns «norl». L sns irt st obtnu l règl l in roit. pèr Coprni : L origin orrspon : u ntr ss u sstè solir t ls s sont irigés rs : trois étoils fis. pèr géontriqu : L origin orrspon :u ntr ss l trr t ls s sont irigés rs : trois étoils fis. Cooronnés : our éfinir l position tout point ns un rpèr, on onstt périntlnt, qu il st néssir t suffisnt prnr trois réls pplés ooronnés. pèr tps Il st onstitué un instnt origin t un éhll tps éférntil L nsbl onstitué un rpèr sp t un rpèr tps st pplé référntil. éférntil glilén : C st un référntil ns lqul l sp st hoogèn t isotrop t l tps unifor. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
Cinétiqu u point t u soli L inétiqu st l étu s ounts inépnnt s uss qui ls prouisnt. our érir l ount un point il st néssir utilisr s ooronnés. L hoi u sstè ooronnés épnr s rtéristiqus u ount. Voii trois sstès ooronnés usuls : - Cooronnés rtésinns. - Cooronnés linriqus. - Cooronnés sphériqus. Cooronnés rtésinns Cooronnés : : bsiss : oronné : ôt présnttion : Vtur position : Déplnt éléntir : Volu éléntir : V Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
. Cooronnés linriqus Cooronnés : : ron polir : ngl polir : ôt présnttion : r '. r Vtur position : n rrqur qu l point n ps oposnt slon. L bs linriqu st un bs obil on l ngl intrint non ps ns l position pr rpport à l bs linriqu is ns l position l bs linriqu pr rpport u rpèr qui st fi ltion ls ooronnés rtésinns : os sin os sin rt sin os rt sin Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
Déplnt éléntir : Volu éléntir : V Dériés s turs pr rpport à l ngl : ppls : (os sin sin qu l on put rtnir : os. n éuit s ooronnés s turs : -os sin -sin os intégrtion érition n rrqur qu l érition pr rpport à orrspon à un rottion π : π/ Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
. Cooronnés sphériqus Cooronnés : r : ron tur r θ : oltitu θ π : iuth π présnttion : r r.θ r.sinθ. r r.θ θ θ r θ Vtur position : r r r.sinθ r.sinθ. r θ ê rrqu qu pour ls ooronnés linriqus : n qu un ooronné r l bs sphériqu st obil. Ls u utrs ooronnés pprissnt ns l positionnnt l bs obil pr rpport à l bs fi. ltion ls ooronnés rtésinns : r sinθ os r sinθ sin r osθ r.osθ θ r.sinθ r r.osθ r.sinθṡin.os r.sinθ.sin Déplnt éléntir : r.sinθ r r.sinθ.os r r rθ rsin θ Volu éléntir : V r rθ rsinθ θ r.θ r r.sinθ. θ Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 8 -
.4 osition un point. Un point ns un rpèr st rtérisé pr son tur position : trjtoir En ooronnés rtésinns on not : où rt ou iniqu qu ls ooronnés u tur sont lls qu il ns l bs rtésinn. L trjtoir st l nsbl s positions oupés pr l point. L éqution l trjtoir u point st l rltion lint ls ooronnés inépnnt u tps. En ooronnés rtésinns on notr f (,, rt n ppll éqution horir l prssion s ooronnés u point n fontion u tps : f f f Si l ount st pln, on hoisit l rpèr tll sort qu u ooronnés suffisnt. Générlnt on onsr ls ooronnés t. f ( t f ( t Si l ount st rtilign, on hoisit l rpèr tll sort qu un sul ooronné suffis. Générlnt on onsr l ooronné. f ( t ( t ( t (t Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 9 -
Lorsqu l trjtoir st tll qu ls prssions t luls s position, itss t élértion sont plus sipls n ooronnés linriqus lors on ls pri ns tt bs obil. trjtoir bs fi bs obil L bs linriqu étnt un bs obil ont l orinttion s turs épn l position u point ns s trjtoir il n st ps étonnnt oir qu u ooronnés sulnt suffisnt à prir l position : ou l.5 Vitss un point L itss onn un point st obtnu n lulnt l rpport l istn prouru pr l uré u prours : t Lorsqu l on ut obtnir l tur itss onn ntr u points (t t (t on pri : t Si l on ut prir l tur itss instntné n un point l trjtoir il fut fir l lul : t / ( t L tur prié st lui l itss u point ns son ount pr rpport u référntil. L érié u tur position s fisnt pr rpport à référntil. L prssion u tur itss ns son ount pr rpport u référntil put êtr prié ns tout utr bs. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
En ooronnés rtésinns (bs fi l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur itss : / ou / rt En ooronnés linriqus (bs obil l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur itss : / ou / l éonstrtion : t ( / ( ( t / t t t t n u qu : on on put siplifir t t t t r st un tur fi soit / Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
n notr ls points suints : L unité légl l itss st l ètr pr son.s - L tur itss n un point st onfonu à l tngnt à l trjtoir n point. L sns u tur itss st lui u ount. Co pour tout tur l nor l itss orrspon à l rin rré l so u rré s oposnts tur. ( / Il n fut ps onfonr un prt l référntil pr rpport uqul on étui l ount utr prt l bs qu l on hoisit pour prir l plus filnt ls turs position, itss ou élértion. Dns l s un ount rottion, on éfinit l tur ω. l i s ooronnés linriqus prions l prouit toril soit l rltion générl : ω ω. n ω l l on ω L ount un point pr rpport à un référntil ntr t pr rpport à un référntil ntr érifi l loi oposition s itsss: ( t / ( t / où ω / / / / ω / ésign l tur itss rottion u rpèr pr rpport à / l Vitss ril Vitss orthoril Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -.6 élértion un point D ê qu pour l itss on put éfinir ls turs élértion onn t élértion instntné. L tur élértion onn st obtnu ntr u turs itsss à s instnts t t t t t L tur élértion instntné orrspon à l érié u tur itss pr rpport u tps t ( / / ou t ( / Ls rrqus sur l itss onrnnt l bs t l référntil sont ussi lbls pour l élértion En ooronnés rtésinns (bs fi l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur élértion : / ou rt / En ooronnés linriqus (bs obil l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur itss : [ ] [ ] / ou l / éonstrtion : t t ( ( ( / / t t t ( ( ( ( ( ( / t t t t t t t ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( / n : on t t t on t t t t soit / / [ ] [ ] / ou [ ] ( t /
n notr ls points suints : L unité légl l élértion st l ètr pr son u rré.s - L irtion t l sns u tur élértion pr rpport à s trjtoir n st ps isént pribl. Co pour tout tur l nor l élértion orrspon à l rin rré l so u rré s oposnts tur. [ ] [ ] / / t ( l élértion ril élértion orthoril L ir un r rl ngl θ ut θ t s érié pr rpport u tps qui ut θ s ppll l itss réolir. Si l ount st tl qu l élértion orthoril st null lors ( t st t un onstnt on l ount s fftu à itss réolir onstnt. Cl orrspon u ounts plnétirs. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
.7 Cooronnés intrinsèqus. Coposnts Frnt. n put ussi prir l itss t l élértion à prtir un bs obil (, t, n, b éfini à prtir s turs : t : Vtur tngnt à l trjtoir u point, ns l sns u ount n : Vtur norl à l trjtoir ont l roit tion pss pr l ntr ourbur l trjtoir n point b : Vtur binorl éfini à prtir s u préénts pr b t n n ppll pln osultur, l pln, t, : ( n Ω trjtoir Lolnt on onfon l trjtoir l rl osultur. rl osultur n Ω t s n éfini un bsiss urilign s sur l rl osultur qui érifi s soit nor : s L itss s pri pr : s t t t l élértion s n éuit : t ( t t t t t t n éjà u qu t t ê n on t t t t t n is n st ps un grnur ssibl, lors qu l st, on érit on : t s où l prssion : s t s t soit t t n t t n élértion tngntill élértion norl Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
.8 Etu ounts..8. Tps ounts Dns l référntil onsiéré. L trjtoir put êtr : - rtilign : - l trjtoir st un roit, - l ron ourbur st infini t l oposnt norl l élértion st null. - irulir : - l trjtoir st un rl, - l trjtoir st on pln, - l ron ourbur st onstnt. - urilign : - l trjtoir st un ourb. - hélioïl : - l trjtoir st un héli. L ount put êtr : - unifor : - l lur lgébriqu l itss st onstnt, - l tur itss n st ps forént onstnt, - sul l oposnt tngntill l élértion st null. - uniforént rié : - l lur lgébriqu l élértion tngntill st onstnt. - éléré : - l lur lgébriqu l itss ugnt, - l oposnt tngntill l élértion st ns l sns u ount. - rlnti : - l lur lgébriqu l itss iinu, - l oposnt tngntill l élértion st ns l sns ontrir u ount. - sinusoïl : - un oposnt position épn sinusoïlnt u tps. L ount un soli put êtr : - trnsltion : - l tur itss st intiqu n tout point u soli. - rottion : - l trjtoir hqu point u soli st irulir. r pl l nll un grn rou u érrg un ount trnsltion irulir uniforént rié.8. Tritr un ri inétiqu L but st générlnt prir ls équtions horirs u ount pour rontr éntullnt rs l éqution l trjtoir. Lorsqu l ntur l trjtoir st onné, il fut n éuir ls onitions sur ls rtéristiqus priés ns un bs pté. Epl u ount irulir sinusoïl L trjtoir st irulir on hoisit l bs linriqu. L trjtoir st pln on l ooronné st null L trjtoir st un rl on l ron st un onstnt ( n st ps lui qui épn sinusoïlnt u tps Don on put éjà érir n notnt r l ron u rl : r n rrqu qu l bs obil hoisi n prt ps fir pprîtr l rtèr sinusoïl u ount n n éuit l prssion l itss : puis l prssion l élértion : / r Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
[ ] [ ] / L rtèr sinusoïl pprît ns l prssion : os( ωt où ésign l pulstion t l inlinison initil. Lorsqu l pplition s lois l niqu nous fournis ls ooronnés l élértion, lors il fut rontr pr intégrtion u rtéristiqus itss puis position. Ls onstnts intégrtion sront étrinés pr ls onitions initils u ount. intégrtion intégrtion Vtur position Vtur itss Vtur élértion érition érition Clul l nor Clul l nor itss intrinsèqu élértion intrinsèqu Clul l érié élértion tngntill élértion norl our ls pplitions nuériqus, il fut pnsr nt tout lul à s plr ns l sstè unités intrntionls (U.S.I.. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
TVUX DIIGES SU L CINETIQUE Eri : ounts rtiligns our hun s ounts suints : - ount rtilign unifor, - ount rtilign uniforént rié. Iniqur ls onitions sur ls rtéristiqus. b En éuir ls turs élértion puis itss puis position. Eri : L oitur Un oitur lné sur un lign roit à 7 k.h - s rrêt un ount uniforént rié sur un istn 8. Qull st l lur l éélértion? b Cobin tps t-ll pour s rrêtr? Eri : ounts irulirs our hun s ounts suints : - ount irulir unifor, - ount irulir uniforént rié. Iniqur ls onitions sur ls rtéristiqus. b Iniqur l bs hoisi. En éuir ls turs position, itss t élértion. Eri 4 : ount hélioïl unifor L point étuié suit l trjtoir i-ontr : Donnr l prssion s ooronnés position ns ls rpèrs rtésins t linriqus b En éuir ls ooronnés l itss insi qu s nor. En éuir ls ooronnés l élértion insi qu s nor. Qul st l ron ourbur l trjtoir. Eri 5 : L projtil s l'héli πh L α Un obil onsiéré o pontul s épl à l itss onstnt l long un brr longuur L fisnt un ngl α onstnt l. L brr st nié un ount rottion unifor itss ngulir ω utour l. Iniqur l position u point ns ls ifférnts bss (rtésinns, linriqus, sphériqus. b En éuir l tur itss ns l bs hoisi. Clulr l itss éjtion (α 45, k/h, ω tr/in, L. Eprir l tur élértion. Eri 6 : L tioptr Un list sn un itss onstnt s. Donnr l éqution horir u tioptr situé à l ironférn un rou ron r4. b Eprir l itss t l élértion n ooronnés intrinsèqus. En éuir l ron ourbur l trjtoir loïl. Eri 7 ours éontrr l prssion l position, l osition u itss t l élértion n ooronnés linriqus tioptr Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 8 - à t
Eri 8 orrigé : L otur Sur un broh hin st onté un outil iètr. n fr l intrruptur u otur. L outil t sons pour prnr l itss ngulir régi, égl à 4 r.s -. L outil tourn nsuit un ount unifor pnnt 6 sons. n oup l ournt, l outil t 4 sons pour s rrêtr. n n pour hun s périos étrinr, pour un point l périphéri l outil : L élértion ngulir t l élértion tngntill à l périphéri (on ttr qu l pério érrg t ll rlntissnt sont à élértion onstnt. b L élértion norl, à l périphéri, n fontion u tps. Eri 9 orrigé : rtil Un obil onsiéré o pontul st tthé à l tréité un brr longuur L, obil utour u point.l brr st nié un ount rottion opl tl qu : α t β t t Eprir ns un rpèr pté t n ous int u forulir l tur itss n fontion, L t t. En éuir s nor. Eprir l tur élértion n fontion,l t t. θ r α L β Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 9 -
----------------------------------------------------------CECTINS :---------------------------------------------------------- Corrigé l ri 8 our tritr ount irulir on put : - S plr ns l bs linriqu turs (,, t prir ls turs position, itss t élértion : / / L itss ngulir l énoné orrspon à : ω t l élértion ngulir à γ L élértion tngntill orrspon à l oposnt slon : oposnt slon : norl t l élértion norl à l - s plr ns l bs Frnt t n notnt l ron on érir ω t t on : l élértion ngulir à γ ω ( w l élértion tngntill ω tn t l élértion t t norl ( ω norl ω qui onnnt ls ês résultts soint : itss ngulir (r.s - tn 4 ount unifor Dérrg lntissnt : γ 4 r s norl, t,4t,, ( γ r s tn γ 4 r s 4 4 t 8 s, uré (s tn,, s t on puisqu l élértion st onstnt t 4r s norl, 4 6 s tn,, s t on puisqu l éélértion st onstnt [ ( ] t,, ( t, t 8t 44 norl Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
Corrigé l ri 9 ( n hoisi l bs sphériqu r ; θ; L sphr r L ; α θ ; r / rθ r sinθ où l nor : L onstnt t on : β ; L ; α ; α ; sphr int ls onnés l énoné ( L ( L( 6t ( t / sin ( 6 t ( t / L sin t l élértion : int ls onnés l énoné / / β 6 t t / L β 6 L ( 6t sin( t sphr r rθ r sin θ r θ rθ r sinθ osθ r r r sinθ θ osθ sinθ L sphr L L( 6t sin ( t L( 6t sin( t os( t ( t ( t L ( t 6 os 6 sin sphr Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
Notions fors t équilibr Tout tion éniqu s rçnt sur un objt pour fft soit : - oifir son ount ou l ttr n ount, - l intnir n équilibr, - l éforr. Tout tion éniqu put êtr érit pr un so tions éléntirs. Tout tion éniqu éléntir s rçnt sur un orps put êtr érit pr l onnissn s qutr rtéristiqus suints : - l point pplition, - l roit tion, - l sns, - l lur : son intnsité. Cs qutr rtéristiqus sont lls un tur lié. L onnissn s qutr rtéristiqus prt onstruir un grnur torill noé for. L onnissn l nsbl s rtéristiqus rprésntnt l nsbl s tions éléntirs prttr érir l soli à n iport qul instnt. C st ns tt hpothès étrinist qu nous nous plrons ns l nsbl ours. Il st iportnt notr qu un tion sur un soli l ttnt ou oifint son ount put êtr érit pr un nsbl fors is qu l sipl onnissn l so s fors (so torill n st ps suffisnt pour n érir l ount. Il st lors néssir onnîtr un grnur suppléntir : L ont totl s fors (so torill s onts s fors s rçnt sur l soli. En fft un so fors null put très bin ttr n ount un soli. our êtr oplt ns l onnissn un tion il fur on onnîtr u grnurs : - l so torill s fors s rçnt sur l soli. - l so torill s onts s fors s rçnt sur l soli. n rtinr on qu pour érir l ount un soli ns l sp, il nous fur onnîtr l oupl suint : [So s fors, So s onts s fors] noé Torsur for t noté [F]. insi ls équtions l niqu priés sur ls fors t sur ls onts pourront êtr rnés à s équtions torsorills. hqu tion éléntir, on ssoir un torsur oposé u tur for t son ont. Il st à notr qu l ont prt érir l is n rottion un soli. C st pourquoi pour un prièr pproh l niqu si on s liit à l étu un point ou u ntr inrti un soli l utilistion s torsurs st inutil t l sul onnissn s turs fors suffit, lissnt ôté l notion ont. is ns l étu l éniqu u point, il n fut ps oublir qu l on pr un prti l générlité. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
. L torsur for.. Ls fors Ls fors punt êtr rgroupés n trois fills : - Ls fors hp : for grittion, for Lornt. - Ls fors ontt : for frottnt,. - Ls fors nuléirs ssurnt l ohésion u nou toiqu. Ls fors s print n Nwton noté N L pois qui pprtint à l prièr fill st éfini pr ls rtéristiqus suints : - oint pplition : l ntr inrti u soli - Droit tion : l rtil - Sns : Vrs l bs - Vlur : g ss n kg u soli t g9,8n/kg sur trr Dns l s s fors ontt l point pplition orrspon u point ontt... ont fors L ont totl s fors st l grnur qui nous prttr soir si l tion ur pour fft l is n rottion u soli. Il s pri n un point qulonqu t pour un for F nt o point pplition pr : L ont st un tur libr. Il st inépnnt l position sur l roit tion. Nor u ont : F F F F F sin α our s risons siplifition, si l soli st n rottion utour un, on préférr générlnt prir l ont pr rpport à t. pssnt pr l rottion on : F α F F F F sur l. st l projtion F sur l tur irtur.l slir F st inépnnt u hoi S hoisir un tur st hoisir un sns positif pour l rottion utour l. L sign u ont pr rpport à l st on positif si l rottion u tur F utour s fit ns l sns positif hoisi. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
. Equilibr, rottion t trnsltion.. Equilibr Tout ount un soli ns l sp put êtr éoposé n : - un ount trnsltion t - un ount rottion. L onnissn l so s fors s rçnt sur un soli rnsignr sur l oifition son ount trnsltion. F G F F F C tur iniqunt l sns t l irtion u ount. L bsn trnsltion s truisnt pr un so fors null. F F L onnissn l so s onts s fors s rçnt sur un soli rnsignr sur l oifition son ount rottion. En fft tout for F nt o point pplition s ppliqunt sur un soli ont l rottion pss pr l point ttr soli n rottion utour son tnt qu l tur n sr ps olinéir u tur for F. L rottion s rrêtnt qun ls turs sont olinéirs soit l prouit toril nul. F F Un soli n pourr êtr intnu ns son étt équilibr qu s il n st is ni n trnsltion ni n rottion. F Cl s truit thétiqunt pr : F F G F t F F ou plus snthétiqunt pr l torsur for [F] : [ F ] F.. Coupl t ount rottion Un soli ont l so s fors st null is l ont totl non nul st souis à un oupl. F F Un oupl st un tion qui t l soli uniqunt n rottion. G F F Un soli initilnt n trnsltion t souis à un oupl rstr n trnsltion is subir n plus un ount rottion F F F Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
.. Trnsltion L oifition u ount un soli, souis à un nsbl fors non nulls is ont totl nul, sr un trnsltion. F G F F F F F Un soli initilnt n rottion t souis à un so for non null is ont totl nul rstr n rottion is subir n plus un ount trnsltion.. Fors frottnt étion u support t for frottnt sont générlnt inlus ns un ê for noté. L torsur [ ] s éopos on n : N : étion norl T : étion tngntill for frottnt.. Frottnt sttiqu : ont résistn u piotnt N : ont résistn u roulnt T Qun l soli st iobil u fit s frottnts on put éfinir un ftur frottnt sttiqu µ S. µ s st éfini à prtir l lur il qu put prnr l oposnt tngntill sns qu il it ount. n on T µ t on qun l soli st iobil : s N T µ s N n put ussi utilisr l ngl frottnt sttiqu t l ôn frottnt pour iu isulisr l liit à prtir lqull l soli glissr. prtir u ont où T st supériur à frottnt niqu µ D. µ, l soli s t n ount t il fut utilisr l ftur s N.. Frottnt niqu L ftur frottnt niqu µ D qui o µ S st un grnur tbulé qui épn l ntur u ontt, prt prir l oposnt tngntill n fontion l oposnt norl : T µ D N L lur µ D st obligtoirnt infériur à µ S Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
Epl : Soli sur un pln inliné rnons un soli pois N posé sur un pln inliné un ngl α. L soli st n équilibr si ls u fors t sont égls t opposés. n suppos µ, 4 t µ,. φ rtn(,4, 8 S D S Tnt qu l pnt st ngl α φs : L rétion ut N osα t l for frottnt T sinα qui st érifi T µ s N, on it qu l rétion st ns l ôn frottnt sttiqu : N osα N φ S α T T sin α is ès qu l ngl α > φs. n toujours N osα is l lur µ s N st supériur à T on on lul ésoris T µ D N r l soli s t à glissr. N N osα,9 9, N T α T µ D, 9,,76N N Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
.4 ésolution s problès sttiqu.4. Soli n équilibr sous l tion fors our qu un soli soit n équilibr sous l tion fors, il fut t il suffit qu ls u fors soint égls t irtnt opposés..4. Soli n équilibr sous l tion fors our qu un soli soit n équilibr sous l tion fors, il fut t il suffit qu : - ls fors soint oplnirs. - ls fors soint onournts u ê point. - hun s fors soit opposé à l so géoétriqu s utrs : niqu fré. F G F F F F F.4. Soli n équilibr sous l tion n fors ropriété très iportnt : L projtion sur un pln un sstè n fors n équilibr st un sstès n fors oplnirs n équilibr. our ls orps possént un pln sétri pln sr toujours hoisi o pln projtion..4.4 étho our résour un problè sttiqu il fut proér générlnt insi : - élisr un ssin sitution où figur l sstè à étuir ns son nironnnt tériur sns fir figurr fors. - élisr un ssin où n figur qu l sstè étuié t ls fors tériurs qu il subit. - Fir un biln s rtéristiqus onnus t inonnus s fors. - élisr l onstrution thétiqu truisnt ls onitions équilibr : l niqu s fors. - Eploitr s ifférnts étps pour résour l problè. L utilistion u ont pr rpport à un onn un éqution : / Et l utilistion l projtion l so torill s fors sur un pln ( n fournit u utrs : F F Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
TVUX DIIGES SU L STTIQUE Eri : L potn Soit un potn onstitué : - un brr étlliqu hoogèn longuur Bl,5 t ss kg - un âbl horiontl longuur BCl, t pois négligbl nt l tnsion n suspn n B un âbl kg uqul st tthé un hrg 89kg. Fir un biln s fors s ppliqunt sur l brr. n nor β l ngl qu fit l rétion l rtil. b pplr ls onitions équilibr puis ls prir n fontion s onnés u problè. En éuir l lur l tnsion u âbl t l rétion n. n prnr g N/kg C l l B Eri : L onsol obil Soit un onsol onstitué un tringl rtngl isoèl BC t tl qu BCl. Son pois st négligbl nt l hrg porté sur C. Ell st instllé sur un tuu iètr r. Soit k l offiint frottnt glissnt ntr l onsol t l tuu. ' C Clulr l istn inil à l u tuu pour lqull l hrg put êtr supporté sns qu il it glissnt l onsol. B' B Eri : L éhll Soit un éhll pois n ontt un proi liss t un sol liss. ontrr qu si ls ontts s font sns frottnt, il st ipossibl ppur l éhll obliqunt ontr un ur rtil. B θ B θ b Dns ls pls i-ontr prir l rétion n t B insi qu l tnsion T u fil n fontion, lb t θ. C fil fi n C C n onsièr ésoris ns l suit l ri un sol ruguu, t l éhll n st plus intnu pr un fil. B Clulr l ngl frottnt pour intnir just l éhll n équilibr. En éuir ls rétions n t B t l offiint frottnt sttiqu (l5, 5N, θ b Eprir l longuur l n fontion l inlinison θ l éhll à lqull un ho pois put ontr. Fir l pplition nuériqu un nfnt kg t un ho kg pour un ngl. Inrsnt prir l onition pour qu un ho pois puiss ontr n hut l éhll. Fir l pplition un ho 7kg. θ Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 8 -
Eri 4 orrigé rtil : θ H G 4 I J 6 B Consiérons un éhll oubl onstitué u éhlls sipls n luiniu kg hun. Ls u éhlls sont liés pr un prfit sns frottnt n t tthés n I t J pr un or. L or st pois négligbl. L sol sur lqull ll st posé st onsiéré o prfitnt liss t on sns frottnt. Un ho uni un su son ntr ss G sur l éhll à un hutur 4, l nsbl psnt 8kg. n prnr pour siplifir gn/kg our siplifir nos rltions, on n prnr ps n opt ls fors s rçnt n. L ngl θ st 6. Fir un biln fors s rçnt sur l éhll t oplétr l nn n ls fisnt figurr. n pliitr ls ooronnés s ifférnts fors ns l rpèr rtésin. pplr ls onitions équilibr s fors t s onts pr rpport u point Eploitr s onitions pour étblir ls équtions qu oint stisfir ls fors. n lulr pour l l ont toril s fors pr rpport u point. ( ppl ( tn t on G 4 En éuir ls lurs s rétions u sol. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 9 -
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - - ----------------------------------------------------------CECTINS :---------------------------------------------------------- Eri 4 rtil : B G I J T T B G G n : rt rt B B rt rt rt rt T T rt T T T T B T T B T T B ntrîn : T T (u B ( T T B ntrîn : on : G G G 4 4 I 4 4 J 6 6 6 6 B soit 6 6 t on 6 D ê B B 6 ; ; t T I T soit 4 4 T T t on T T 4 t ussi T T 4
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - - B T T T T B 4 4 6 6 s oit 4 4 6 6 T T B ( 4 D t on éuit : 6 6 B ls lurs N 8 ; N on obtint l sstè 8 6 8 B B 8 B B N N B 467 7
4 Dniqu s solis L niqu st l prti l éniqu qui étui ls uss u ount. 4. Elénts niqu our qui bin opris qu tout ount pouit s onstruir à prtir un ount trnsltion t rottion, opris l néssité s torsurs. Ctt ntité oposé u turs truisnt l ount trnsltion t rottion été introuit ls fors. C st ésoris ls élénts inétiqus qu nous llons l éfinir. 4.. L torsur inétiqu L torsur inétiqu [] orrspon u grnurs [quntité ount, ont inétiqu] érits i-près. Il st iportnt notr qu s grnurs épnnt u référntil hoisi. 4... Quntité ount our étuir l ount un soli pontul isolé, on pourrit s ontntr onnîtr s itss. is l étu u ount u solis n intrtion n pourr s fir qu pr l ponértion s itsss pr un grnur qui épn l objt. Ctt grnur st pplé ss inrt (inrt : inrti : itss. L périn ontr qu tt grnur qui ponèr l itss un soli st l ê qu ll qui ponèr l for grittionnll s solis ntr u. Ell st noé ss gr. n nor on ss sns istintion l ss gr t l ss inrt. ussi on utilisr un tur p qui orrspon à l ponértion l itss pr tt grnur pplé ss : p p st pplé quntité ount. Lorsqu l soli n st ps pontul il fur utilisr l résultnt inétiqu : p i i i 4... ont inétiqu Dns l s un soli qulonqu, il fur n plus l résultnt inétiqu u soli éfinir l ont totl ssoié pplé ont inétiqu résultnt : L i p Dns l s un istribution non ps isrèt is ontinu on lulr 4... rrêt, rottion t trnsltion. p t L i i r nlogi l torsur for où l on it éfini ls s : équilibr, oupl t trnsltion on put érir ls s suint : - L soli st à l rrêt : p t L - L soli st n rottion : p t L - L soli st n trnsltion : p t L Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
4.. L torsur niqu Lorsqu l itss ri on utilis l élértion pour érir tt rition. D l ê fçon on put éfinir un torsur niqu [D] à prtir l quntité élértion t u ont niqu. Et pour un soli on prnr l résultnt niqu t l ont niqu résultnt D i i N i D i D t N i i Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - -
4. rinips fonntu l niqu 4.. Enoné Nwton rièr loi : Tout orps prséèr ns son étt rpos ou ount rtilign unifor, suf si s fors ipriés l ontrignnt n hngr. Duiè loi : L hngnt ount st proportionnl à l for iprié t s fftu suint l roit pr lqull tt for st iprié. Troisiè loi : L rétion st toujours ontrir à l tion : ou nor ls tions qu u orps rnt l un sur l utr sont toujours égls t irigés n sns ontrir. 4.. Enoné thétiqu u prinip fonntl C prinip issu l uiè loi Nwton rn équilnt u grnurs fonntlnt ifférnts n lint l ount u fors. Dns un référntil glilén, l ount un sstè points térils pr rpport à un point fi érifi l éqution torsorill suint : F, t n notnt [ ] [ ] [ ] t F/, t / l torsur s fors tériurs ont l ont st lulé pr rpport à. En trnt u torsur ss u oposnts torills, on obtint ls u théorès suints : 4.. Théorè l quntité ount, Théorè l résultnt inétiqu Dns l s un soli pontul on obtint l théorè l quntité ount : p Ft t Dns l s un soli non pontul on prl théorè l résultnt inétiqu. 4..4 Théorè u ont inétiqu L théorè lint ls onts s pri pr : L t Ft C théorè put s érr util ê lorsqu l résultnt u ont s fors st null r l ont inétiqu st lors un onstnt torill. is on l utilisr surtout pour l étu s solis t non pour l étu l niqu u point. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
4. Dniqu s prtiuls hrgés C hpitr niqu s pl blé ns un r rstrint étu s prtiuls. Clls-i sont onsiérés o pontulls, oublint insi l possibilité un éntull rottion l prtiul sur ll-ê t rstrignnt l étu à un problè niqu u point. Lurs itsss sont supposés très infériurs à l itss l luièr pour rstr ns l r l éniqu nwtoninn. 4.. Fors hp Ls prtiuls hrgés possènt u rtéristiqus intrinsèqus : - lur ss, - lur hrg q, t l rtéristiqu ount : lur itss. Chp grittionnl : C st ns un hp grittionnl G qu pprît l for grittion : F G G l hp G réé pr un istribution oluiqu ss ut : qui à l istn r l prtiul Chp éltrognétiqu : r G G r C st ns un hp éltrognétiqu ( E, B qu pprît l for Lornt : F L q( E B 9 L étu sur trr un prtiul tll qu l éltron ss 9, kg t hrg q,6 C t 8 itss s souis u hps hbituls: G 9,8N kg, t n onurrn : - un for grittionnll F G 9 N E V t B 5 T 6 - un for Lornt F L N L for Lornt st lors i ill illirs ( fois plus intns qu l for grittionnll. n négligr on générlnt l for grittionnll nt l for Lornt. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
Eri : L osillosop. TVUX DIIGES SU L DYNIQUE Détrinr ls fors subis pr un prtiul hrg q, ss, lorsqu ll st situé ns un sp où règn un hp éltriqu E. Coprr s fors sur l pl u proton : q,6. -9 C,,67. -7 kg, EkV. - (fibl hp Conlusion. En souttnt u plqus étlliqus prllèls à un tnsion V, on ré ntr lls un hp unifor E. Supposons qu un prtiul pénètr à l instnt t ns l oin E un itss prpniulir à E. Ern l'osillosop H B C D E longuur s plquslc Donnr ls équtions horirs u ount. b L prtiul sort u hp u point B t prn, n l bsn for, un ount rtilign ns l irtion B ont l support pss pr. Détrinr ls u oposnts B : B t B n fontion : E, l, q, t. L prtiul touh l érn u point H. Détrinr ls ooronnés H n fontion E, l, D, q, t. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
Eri orrigé : rtiul ns un hp éltriqu. Soit l prtiul hrg q initilnt pris à l origin u rpèr, ss, osα itss sinα rt t souis u hp éltriqu E tl qu E E. Eprir l théorè l niqu En éuir ls ooronnés s turs élértion, itss t position. Détrinr l éqution l trjtoir. 4 En prnnt α réponr u qustions t t n éuir l ntur u ount. 5 ê qustion α /. α E Eri orrigé : rtiul ns un hp gnétiqu Soit l prtiul hrg q initilnt pris à l origin u rpèr, ss, itss u hp gnétiqu B tl qu B B. sinα osα rt t souis Donnr l prssion u théorè l quntité qb En posnt ω étrinr l prssion s ooronnés s turs élértion puis itss. En utilisnt ls ooronnés u tur itss, ontrr qu l ooronnés position érifi l éqution ifférntill : ω 4 En éuir l prssion u tur position t l ntur u ount. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 8 - ----------------------------------------------------------CECTINS :---------------------------------------------------------- Eri : rtiul ns un hp éltriqu. L pplition u théorè l quntité ount onn : E q t rt qe rt t qe sin os α α rt t t t qe sin os α α D où l éqution l trjtoir : α tnα sin qe 4 : rt t t qe rt t qe rt qe Il s git un ount rtilign uniforént rié ns l sns u hp 5 / : rt t t qe rt t qe rt qe L éqution l trjtoir st lors : qe qui st l éqution un prbol. Il s git un ount prboliqu uniforént rié. Si l hp éltriqu n st qu sur un hutur L on obtint : t L t qel L qe tn φ soit tn( qel r φ ou EL q φ tn α E Φ L
Eri : rtiul ns un hp gnétiqu L pplition u théorè l quntité ount onn : t qb osons ω, on soit : En réintrouisnt l prssion q B q B t ω ω rt t pr intégrtion ω st ω st ω st osα ω ns l prssion ω on obtint l éqution ifférntill : ω Co iniqué n nn tt éqution pour solutions : Ls onitions initils onnnt à t : t sinα r n prnnt os( ω t o tp solution on à t os t ω sin C qui prt trour ls onstnts π t iωt B iωt ou osω t Bsin ω t os( ω t sinα or os( ω t π sin( ωt où ω sinα sin( ω t ω sinα ω sinα sin( ωt qui onn pr intégrtion os( ωt st ω Ls onitions initils onnnt à t : α sin α sin os( ωt ω ω rt sinα sin( ωt ω sinα ω ( os( ωt ( osα t n ronnît l tur position un ount hélioïl (f TDs inétiqu ps héli ron sinα. ω rt osα π t ω Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 9 -
5 Enrgétiqu 5. Grnurs slirs L utilistion grnurs slirs plutôt qu torills prt à l fois siplifir ls équtions t oir un illur opréhnsion s phénoèns u trrs grnurs plus intuitis : ls grnurs énrgétiqus. 5.. uissn, Tril t Enrgi potntill uissn Dns l s sipl un soli pontul l puissn un for orrspon u prouit slir l for pr l itss éplnt son point pplition : F Dns l s un for F gissnt sur un sstè points on érir : - pour un istribution isrèt : F i i i C qui put s siplifir n introuisnt l notion soli t ls grnurs torsorills ssoiés. L puissn s obtint à l i u oprouit torsoril : [ F] [ ] qui orrspon u prouits slirs suints : F F ω où ésign l itss trnsltion u soli t ω s itss ngulir rottion. Lorsqu sr positif, on prlr puissn otri ontrir. tnis qu on prlr puissn résistnt ns l s L unité puissn st l Wtt. Tril L tril éléntir un soli pontul δ W orrspon u prouit l for pr l tur éplnt éléntir : δ W F Qu l on put ussi érir pr référn à l itss : δ W F t Dns l s un sstè points souis à un for F on érir : δ W F i t C qui s siplifi à l i s grnurs torsorills u soli pr l oprouit torsoril : i [ F] [ ] t δ W qui orrspon u prouits slirs suints : δ W ( F ω t F où ésign l itss trnsltion u soli t ω s itss ngulir rottion. n notr bin qu générlnt l tril éléntir st un for ifférntill t l tril W qu l on lulr n épnr ps uniqunt s étts initiu t finu u sstè is ussi u hin prouru ntr s étts. L unité tril st l Joul. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
Enrgi potntill Dns rtins s, l tril put s ttr sous l for un ifférntill totl t t il n épn lors qu s étts initiu t finu. n prl lors non plus tril is énrgi potntill : ξ p δw n n pourr éfinir tt grnur qu ns l s fors its onsrtis. C qui s érir ns l s un sstè points : t ns l s u soli : ξ ξ p ξ p F p F i i ( F ωt Inrsnt on pourr ir qu s fors érint un potntil t on truir l thétiqunt pr : F grξ p Entr u étts t B, on pourr intégrr ξ p t lulr l énrgi potntill ξ p : ξ p ξ F p Tril t énrgi potntill s fors usulls L pois n prn g t on δ W g. Si l on suppos qu l soli st ss onstnt t qu il st plé ns un hp grittionnl onstnt lors : t on éfinir un énrgi potntill éléntir soit pr intégrtion : δ W g δw ξ p : ( g ( g ξ p ξ p g st L pois st on un for onsrti t on notr l tril : δ W g t l on put pr pl lulr ns l s l hut libr un orps un point hutur h u point B hutur h B : B B W δ W g g( hb h < Tril rsistnt Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
For rppl un rssort l F k ( kl δ W F l k l l où k st l onstnt riur u rssort t l l ( l t on pr intégrtion : on put érir : δw k l ξ p ξ p k l st Co préént l for rppl st un for onsrti t on ur l tril : W l δ W k l k ( Il st à notr qu l intégrtion s fit sur l llongnt t non sur l position on n ps For frottnt isquu W δ W B F α F α δ W F l α l Dns s l tril épn l itss qu prn l obil ntr ls points t B on ur : t on n put éfinir énrgi potntill. n ir qu ls fors frottnt sont non onsrtis. W n n δ W α l Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 -
5.. Enrgi inétiqu, on put ésoris fir ê l torsur inétiqu. our lui onsrr son hoogénéité un énrgi t pouoir utilisr l prinip fonntl l niqu on éfini l énrgi inétiqu ns l s u soli pontul pr : n bâti préént un grnur slir à prtir u torsur for [ F] [ ] soit : ξ p ( ξ soit pr intégrtion : ξ st n prn o onstnt l lur null pour oir un énrgi inétiqu null à itss null. Dns l s un istribution isrèt points on notr : t un istribution ontinu : ξ ξ ξ Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 4 - i i Et n utilisnt l nottion plus sipl s torsurs, l énrgi inétiqu sr pour l soli soit pr intégrtion : où C ésign l ntr ss u soli. ξ ξ [ p] [ ] ( p L ωs Dns l s un ount trnsltion on ur : ξ ( p t un ount rottion : ξ ( L ω S 5..4 Enrgi éniqu n ppllr énrgi éniqu, l so l énrgi u u ount ( ξ t l énrgi u u fors onsrtis : ξ ξ ξ Il st à notr qu ns l s un soli souis à s fors intériurs t tériurs, l énrgi éniqu s érit n étillnt : t int ξ ξ ξ p ξ p Ctt rrqu prn tout son iportn ns l pplition u théorè l énrgi éniqu. 5..5 Enrgi totl n ppllr énrgi totl, l so touts ls fors énrgi un soli t on l notr ξ. n pourr éoposr tt énrgi n u tps : - ls grnurs énrgétiqus surbls l éniqu : - l énrgi inétiqu u soli - l énrgi potntill s fors tériurs. - touts ls utrs : - l énrgi intrn U (qui oprn l énrgi potntill s fors intériurs. ξ ξ ξ p t p U
5. Théorès thétiqus 5.. Trnsport s onts Clulons l ont n u points ifférnt t : F t ê on uri l ont inétiqu : ' F F ' ( ' ' F ' F F F ' F L / ' F F ' L ' p / ' 5.. éférntil u ntr ss fin siplifir rtins prssions, il st intérssnt éfinir un référntil prtiulir pplé référntil u ntr ss t noté. C référntil n trnsltion pr rpport u référntil étu st tl qu ns référntil tthé u soli, s résultnt inétiqu soit null. p t L ntr inrti u soli s éfini pr: C C t on soit p / t t C ns l référntil u ntr ss on ur C / n rtinr qu l ntr ss C st fi ns référntil éfini pr p 5.. Théorè Konig Utilisons pour éontrr théorè l ont inétiqu un istribution ontinu ss. Eprions l ont inétiqu ns pr rpport à L /, / Eprions l ont inétiqu ns C pr rpport à C (point fi C : L C / C, / C C C L référntil C étnt n trnsltion pr rpport à on : / / C C / Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 44 -
L L ( C C ( / C / /, C C C C C /, / / C / C / C C C / C pr éfinition u rférntil u ntr ss L C, C C C / C C / C C / pr éfinition u rférntil u ntr ss L /, L/ C, C C C / C théorè qui s rpport à un point fi prt l pplition plus isé u théorè u ont inétiqu. Théorè Konig pour l énrgi inétiqu ê qu préént : ξ ξ / / / C C / ( / C / C ξ / / C C ξ C / C C / / C C C / / / C pr éfinition u réfrntil u ntr ss ξ C / ξ C / C C / Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 45 -
5. Théorè l énrgi inétiqu L théorè l énrgi inétiqu orrspon à l is n rltion s grnurs énrgétiqus u trrs u prinip fonntl l niqu. n ultiplint pr [] : [ p] t [ F] [ p] [ ] [ F ] [ ] t. ξ t δw. δt ξ δw. ou nor n intégrnt : L théorè s énon insi : ξ W. L rition énrgi inétiqu un soli orrspon u tril s fors s ppliqunt sur soli. rqus iportnts : Lorsqu l on énoné l prinip fonntl l niqu on fit pprîtr uniqunt ls fors tériurs r l so s fors intériurs insi qu l so s onts s fors intériurs étint nulls. is ns l théorè l énrgi inétiqu, l fit ppliqur un prouit slir l itss hqu point u soli n ntrîn ps l nullité l so. insi l théorè l énrgi inétiqu prn n opt s fors qui n pprissnt ps ns l théorè fonntl l niqu. n put on érir : ξ W int W t Il fut notr utr prt qu l tril ésign un trnsfrt énrgi t non un énrgi. C trnsfrt énrgi orrspon à l rition l énrgi inétiqu. r ontr, on put ir qu à tout instnt l soli possè un énrgi inétiqu, qui n st ps l s l tril. 5. Théorè l énrgi éniqu L intérêt éfinir l énrgi éniqu t pr l ê utilisr un théorè l énrgi éniqu st fir pprîtr un istintion ntr fors onsrtis t non onsrtis. En fft : près l théorè l énrgi inétiqu : t pr éfinition l énrgi potntill : on : Soit : ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ons ξ δw δw ξ p ons δw δw p δw ons p non ons non ons δw ons ξ δw non ons ξ W non ons insi n l bsn fors n érint ps un potntil l énrgi s onsr : ξ D où l pplltion onsrti pour ls fors érint un potntil. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 46 -
5.5 Trnsfrts énrgétiqus 5.5. Différnts tps trnsfrt n int oir qu l tril noté W orrsponit à un trnsfrt énrgi. Si l on rgr un pu plus préisnt l oportnt s prtiuls éléntirs qui subissnt un tril, on s prçoit qu lurs niu énrgi rint is qu lur réprtition ns s niu énrgétiqus rst inhngé. C st pourquoi on it qu l tril orrspon à un trnsfrt énrgi rosopiqu. r opposition, on éfinir un trnsfrt énrgi irosopiqu qui u sin s prtiuls éléntirs s truir pr un oifition non ps s niu énrgi is l réprtition s prtiuls ns u-i. Cs trnsfrts sont noés trnsfrt loriqu ou hlur t noté Q insi éfini il n ist qu u tps trnsfrts énrgétiqus : - L tril W : trnsfrt énrgi rosopiqu, - L hlur Q : trnsfrt énrgi irosopiqu. L tril n st ps forént lirnt ssoié à un for. r pl l tril éltriqu un rsistn sr δ W t I t Qu ils soint rosopiqus ou irosopiqus, ls trnsfrts énrgi s font sous plusiurs os qui sront étillés ns l suit u ours (pr r Dounis: - ls trnsfrts ritifs û u photons t pplé ronnnt, - ls trnsfrts ontifs û à un ount nsbl l tièr. - ls trnsfrts iffusifs û u ounts gittion l tièr t pplé onution. 5.5. rir prinip throniqu Ls prinips qui régissnt ls lois l phsiqu sont pu nobru. près oir énoné ls prinips fonntu l éniqu, oii l prir prinip throniqu : our tout sstè n éhngnt l tériur qu l énrgi on : ξ δw δq ξ W Q où W t Q ésignnt ls trnsfrt énrgi à trrs l surf éliitnt l sstè. n pourr ussi érir ( U ξ ξ W Q p t 5.5. nnt n éfinir l rnnt o l rpport : η Enrgi util Enrgi onsoé Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 47 -
Eri : Sut à l élstiqu TVUX DIIGES SU L ENEGETIQUE Fits un biln s fors à l équilibr tt prsonn ss 7kg suspnu à un élstiqu riur : k 4N, longuur à i : 8 t g N b Clul l tril s fors ntr l hut u pont t un position qulonqu (ous fr pprîtr ls u phss u ount. ppl l théorè l énrgi inétiqu t prir l itss un point qulonqu. En éuir l longuur il ttint. près oir iniqué à qul ont l trjtoir l itss st il ous l lulr. f près oir iniqué à qul ont l trjtoir l for rppl st il ous l lulr. Eri : ount un surfur sur un gu n oélis l ount u surfur pr un point ss n sns itss initil t l on hrh à soir qull oit êtr l hutur h pour qu l surfur ttign l point S sot l gu. S h D θ C α H B Iniqur sur l shé i-ssus ls fors s rçnt sur l surfur u u points iniqués t C. Tritnt slir : Eprir l tril s fors lors un éplnt éléntir. b Eprir l énrgi potntill u pois. ppliqur l théorè l énrgi éniqu pour lulr l itss u point B. Eprir H n fontion t θ. ppliqur l théorè l énrgi éniqu pour lulr l itss u point C n fontion H t B Tritnt toril : Iniqur ns l rpèr intrinsèqu à l prti BD, ls ooronnés s turs fors, itss t élértion. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 48 -
b En ppliqunt l théorè fonntl l niqu, n éuir l lur l rétion n fontion s onnés suints :,, θ, C t g. 4 Iniqur l onition sur h pour qu l surfur ttign l sot S l gu. Eri orrigé : ount un prtiul n intrtion nwtoninn ou oulobinn rti ppl l prssion l for grittion t l for Coulob un prtiul ss t hrg q uniqunt n intrtion un sstè ss t hrg Q. Vous onsiérr sstè o origin u rpèr. n notr ésoris sns istintion s fors sous l for b Eprir l ont tt for pr rpport à. rti Elénts inétiqus K F r En ppliqunt l théorè u ont inétiqu, n éuir l propriété u ont inétiqu un prtiul souis à un intrtion Coulobinn ou Nwtoninn. b ppl l prssion générl u ont inétiqu tt prtiul. Qu pou-ous n éuir sur l ntur u ount un prtiul souis à un intrtion Coulobinn ou Nwtoninn. En éuir n ooronnés linriqus, ls turs position t itss. En éuir ls élénts inétiqus (Enrgi, quntité ount t ont. rti Tril t énrgi potntill r Eprir l tril éléntir δw b Eprir l énrgi éniqu. rti 4 Eqution u ount t ontrr qu l on put éfinir un énrgi potntill. our rhrhr l éqution u ount on pos : u t on u u u L u ontrr qu l on put érir ξ u b En éuir l prssion l énrgi éniqu ξ Clulr En ppliqunt l théorè l énrgi éniqu t n utilisnt l résultt préént n éuir l éqution ifférntill u ount (n u À l i otr ours th, onnr l prssion u t n éuir l prssion. u u Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 49 -
---------------------------------------------------------- CECTINS : ---------------------------------------------------------Eri : ount un prtiul n intrtion nwtoninn ou oulobinn rti,, Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
rti 4 Eqution u ount Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
6 Soli n rottion utour un irtion fi près oir éfini ls grnurs t ls théorès l éniqu u soli, il nous rst à ppliqur s théoris à s s prtiqus. L prir pl qu nous ons trité étit lui s prtiuls hrgés où l on s rnit à l niqu u point. Dns l s l niqu u soli, trois s sont nisgbls pour l ount u soli : - un ount trnsltion, - un ount rottion, - l obinison s u préénts. L tritnt u ount trnsltion st siilir u tritnts niqu u point. Nous llons on ns hpitr tritr ls ounts rottion n l bsn ount trnsltion. our éitr rntrr ns s tritnts thétiqus triils qui pportnt pu élénts suppléntirs à l opréhnsion phsiqu s ounts rottion, on s rstrinr à l étu solis nt un sétri sphériqu ou linriqu. 6. ont inrti Lors ount rottion, l réprtition s sss u soli pr rpport à l rottion st un rtéristiqu ssntill. Il st néssir bâtir un grnur intrinsèqu u soli qui prnn n opt tt réprtition ss. L prièr ié pourrit êtr éfinir un prt un grnur : ss istn à l. is l istn à l pprîtrit nouu ns l prssion l itss hqu point slon l rltion ω, lors u lul u ont inétiqu. n éfinit on l grnur intrinsèqu: ss istn à l istn à l soit : I 6.. ont inrti pr rpport à un En prnnt H i l projté orthogonl sur l rottion hqu point i ffté un ss i. Si l istribution ss st isrèt on l lul pr I ( H Si l istribution ss st ontinu on l lul pr H i i i i. I l ss oluiqu noté insi pour n ps l onfonr l ron polir. H i i Eprssions pr rpport u s u rpèr rtésin En ooronnés rtésinns : Si st l : I ( Si st l : I ( Si st l : I ( En ooronnés linriqus : Si st l : I soit : I Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
6.. ont inrti pr rpport à un point our s risons filité lul, il put êtr intérssnt éfinir l ont inrti pr rpport à un point I r En fft ns l s un sétri sphériqu ls s,, t sont équilnts t on : t on : I ( ( ( ( ( I I I I I I I I I I t on pour ls solis à sétri sphériqu: I I 6.. Bs prinipl inrti Lors u ount rottion un soli, l rottion n orrspon ps forént u s sétri u soli. Si l soli possè s s sétri l hoi s s u rpèr s n éuit fin filitr ls luls. En fft : Tout sétri térill st prinipl inrti Tout prpniulir à un pln sétri térill st prinipl inrti n pourr on très sount êtr onfronté à éfinir s onts inrti pr rpport à un rottion qui n orrspon ps u s sétri u soli. ussi toujours fin filitr ls luls, -t-on proér insi : L soli possè-t-il s s sétri prttnt trour s bs 'inrti? NN n hoisi l rpèr l plus pté UI n éfini ls s u rpèr n fontion s s sétri u soli L bs hoisi st bs 'inrti n lul l tri 'inrti n lul irtnt ls onts prinipu 'inrti L bs lulé st bs 'inrti n igonlis l tri t on pri l bs propr fin 'obtnir ls onts prinipu 'inrti Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 5 -
Dns ours on s liitr u solis à sétri linriqu t sphériqu t on l bs rtésinn sr un bs prinipl inrti t on ur : - pour l sétri sphériqu I I I - pour l sétri linriqu I I Don on lulr bor s onts inrti puis on n éuir l ont inrti pr rpport à notr qulonqu pr l rltion sipl : C I I α I β où l st tur irtur I α β δ δ 6..4 Théorè Hughns-Shtinr C théorè prt lir l ont inrti pr rpport à un qulonqu l ont inrti un prllèl pssnt pr l ntr inrti u soli. En fft on : H i H H I H H HH H t on C ( HHC HC HHC HC HHC HC C C I HH C HH C H C HH C HH H C C H C I C HH C H C HH C H C I I C Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 54 -
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 55-6..5 Epls luls onts inrti ont inrti un isqu plin L sétri st linriqu on prn on : I L olu un isqu ron t épissur h st h V π on : h h I π π h h I π π 4 4 I ont inrti un ôn plin régulir L ôn st hoogèn ron u sot t hutur h L ss u ôn st π h (f nn4 5.. on h π Clulons l ont inrti pr rpport à l : I n utilisr l résultt préént n onsiérnt l ôn o un pilnt isqus ron r : I I r I h π t h r ( f nn4 4.. n obtint : π h r I h h h h I π π h h h h I 4 π π I r h
ont inrti un sphèr rus Co pour l lul u ntr inrti on s rèn à s luls sur ls élénts surf. L sétri sphériqu prt lulr l ont inrti pr rpport u point t n éuir l ont inrti pr rpport à l slon L élént surf st lors I I I S θ sinθ S S Co on l u n nn4 4.. l surf un sphèr ut I S 4π S S θ sinθ 4π 4π t on S I 4π π sinθθ π I 4π I 4π I ont inrti un sphèr plin L sétri sphériqu prt lulr l ont inrti pr rpport u point t n éuir l ont inrti pr rpport à l slon I I I r L élént olu st : r rθ rsinθ 4 Co on l u n f nn4 4.. l olu un sphèr ut I r r rθ rsinθ I π 4 r r sinθθ 4π 5 π osθ 4π 5 5 I / / π/ 4/ π/ 5 I 5 I 5 I π t on π [ ] π 4π Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 56 -
6. Cs un soli à sétri linriqu ou sphériqu Dns l s u soli à sétri linriqu ou sphériqu ls s u rpèr orrsponnt ls s prinipu inrti. Ls rltions fonntls i-ssous onsrnt tout lur générlité, is pour ls ppliqur ns l s générl tlls ont êtr présntés ii, il sr néssir rourir à s luls triils prouits inrti pour s plr ns l bs prinipl inrti. 6.. ont inétiqu - ont inrti Soit l rottion linr utour l noé L prssion u ont inétiqu : ut s érir shnt qu : L l Et qu pour tout point situé à un istn l rottion on : L prouit toril onn : / l / où l prssion u ont inétiqu : ( ( L où on put ontrr qu l son tr st nul t on l projtion sur l rottion u ont inétiqu s érit : L L l L I 6.. Théorè u ont inétiqu pr rpport à l rottion L projtion u ont inétiqu t u ont s fors pr rpport à l rottion prt érir : L t Ft Ft I Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 57 -
6.. Eprssion l énrgi inétiqu un soli n rottion utour un fi n sit qu : ξ Dns l s un soli n rottion nt un point fi l prssion l énrgi s siplifi. n u n.. qu l prssion l itss st ns s : ω C qui prt érir : ξ ( w ξ ξ ( w ξ ( w L w Dns l s l rottion utour l irtion fi pssnt pr l point on : L L I w t qui prt érir : ξ I 6.. nlogi l ount trnsltion n put fir pprîtr l nlogi grâ u tblu suint : Grnur Trnsltion slon l ottion utour l Enrgi inétiqu ξ ξ I Théorè fonntl Ft Ft I Torsur inétiqu p L I Ci nous prt iu nous rnr opt l iportn onts inrti ns l opréhnsion phsiqu s ounts rottion. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 58 -
TVUX DIIGES SU L DYNIQUE DU SLIDE Etu un stllit géosttionnir Eri : Etu un pnnu solir n souhit rélisr l ssrissnt position un nsbl pnnu solir ont l isposition st l suint : L spnt ntr hqu pnnu solir st. Chqu pnnu pour insion l5 t L t un ss. Clulr ls onts inrti pr rpport u s horiontu t rtiu un pnnu solir. En utilisnt l théorè Hugns-Shtinr n éuir l ont inrti l nsbl slon l t l. L itss rottion u pnnu ut ω ω ω ω 4, r s t ω 6 r s. Eprir puis lulr ls ont inétiqus slon ls s t l nsbl s pnnu. 4 Clulr l oupl otur néssir à l is n rottion l nsbl n 4 h. Ls frottnts sont négligés. Eri : Etu u stllit L stllit ss t st ssiilbl à un sphèr plin iètr. L l Eprir puis lulr l ont inrti l sphèr plin. Clulr l énrgi inétiqu stllit géosttionnir ltitu r4 k qui tourn sur lui-ê n un inut. r Eri : Etu un pi robot L pi un robot st onstitué un i-boul rtiulé. β G α C figur figur Détrinr l position u ntr inrti l i-boul ron r Déuir très siplnt l prti, l ont inrti un i-boul slon l L i boul st n équilibr sur l pln inliné. Fir un biln s fors. 4 Eprir ls onitions équilibr. 5 En éuir l rltion lint α t β. 6 En éuir l pnt il issibl. Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 59 -
Eri orrigé n 4 : L pnul torsion L pnul st souis à un oupl torsion ont rppl C où C st l onstnt torsion. - En ppliqunt l théorè u ont inétiqu, onnr l éqution ifférntill u ount. - En éuir l pulstion u ount osilltoir Eri orrigé n 5 : L pnul psnt C - Donnr l prssion u ont u pois. - Donnr l prssion u ont inrti isqu ss tournnt utour un istnt un istn u ntr ss C. - En éuir l éqution ifférntill u ount : 4 - Dns l s fibls osilltions, on put pproir sin pr. Siplifir l éqution ifférntill t n éuir l pério s osilltions. Eri orrigé n 6 : L pnul sipl Eprir l ont inrti un sphèr plin ss t ron r, utour un qulonqu pssnt pr l ntr l sphèr. En utilisnt l théorè Hughns-Shtinr onnr l prssion u ont inrti l sphèr suspnu à un tig ss négligbl t longuur. Fir un biln s fors s ppliqunt à l sphèr à l équilibr. 4 Eprir l énrgi potntill psntur pour un ngl qulonqu (on prnr l énrgi potntill null pour. 6 En ppliqunt l théorè l énrgi éniqu ontrr qu l on l éqution ifférntill : g ( os ξ r 5 Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
----------------------------------------------------------CECTINS :---------------------------------------------------------- Eri orrigé n 4 : L pnul torsion L pplition u théorè u ont inétiqu u pnul souis à un oupl torsion ont rppl C où C st l onstnt torsion onn l éqution ifférntill: I C C truisnt un ount osilltoir pulstion ω I Eri orrigé n 5 : L pnul psnt C L pplition u théorè u ont inétiqu à isqu ss tournnt utour un istnt un istn u ntr ss C onn l ont u pois g sin l éqution ifférntill : I g sin qui ns l r s fibls osilltions put s pproir pr : I g truisnt un ount osilltoir pulstion I g π ω t pério T π I ω I g Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
Eri orrigé n 6 : L pnul sipl L pnul onstitué un sphèr ron r t ss suspnu à un tig ss négligbl nt l sphèr. n : I r 5 T L énrgi potntill psntur st pris égl à pour, on on ξ p g( os os l prssion : L énrgi inétiqu ut : ξ I L théorè l énrgi éniqu onn : ξ soit ξ st t on l éqution ifférntill : r g( os 5 g ( os r 5 g C st un éqution ω u tp : ω ( os qui n érint onn un éqution u r 5 tp : ω sin o l s préént u pnul psnt. Etuions un pu plus n étil l ount u pnul à l i u portrit phs qui st l rprésnttion n bsiss u gré librté (ii t s érié n oronné (ii. D près l éqution ifférntill i-ssus on ± g r 5 ( os π Enrgi éniqu supériur à g oint 'équilibr stbl oint 'équilibr instbl Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
nns Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 6 -
nn. Ls intégrls. Définitions riiti Soit f un fontion réll ou opl éfini ns un intrll I. n ppll priiti f tout fontion réll ou opl éfini ns I tll qu F f Intégrl Soint (,,,., n un subiision [,b] tll qu l fontion f it un lur onstnt i ns hqu intrll ] i, i [, on ppll intégrl f l nobr rél : ( - ( -.. n ( n - n- C nobr s not : b [ F( ] b f ( F ( b F (. ropriétés b Intégrls équilnts : f ( f ( u u f ( t t ultiplition pr un onstnt : λ f ( λ f ( b Intégrl un so : ( ( g( f ( Vlur bsolu un intégrl : b b b f g( b f ( f ( Intrlls ontigus : f ( f ( f ( pposé l intégrl : Vlur onn : b b b b f ( f ( f ( b b b b b b. éthos intégrtion En notnt u u u t u ls ériés sipls t oubls pr rpport u tps t. t t Intégrtion pr prtis : u t u Chngnt ribl (t b u t : f f ( ( t β ( ( t t (α t b (β α Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 64 -
For ifférntill : nn Ls ifférntills δ W l Différntill t : Si, t sont ls ériés un ê fontion tlls qu : l l, t lors st un ifférntill t : W l l l l l l L istintion ntr ifférntill t for ifférntill st iportnt r on n put lulr l lur W ntr u points t qu un ifférntill : W Dns l s un for ifférntill, lul n st ps irtnt possibl, W épn u hin suii ntr ls u points t. W Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 65 -
. Solutions tps b t solution k t solution k t solutions nn Equtions ifférntills C kt b t B kt ikt B ikt ou oskt Bsin kt os( kt p q n posnt pr q t t rt rt > : B r α jβ r α jβ < : αt r t r solutions : ( t B ( os βt B sin βt. étho résolution Dns l s un éqution ifférntill inhoogèn ( un son br on proè n u tps : n prn un solution u tp u son br s onstnts à étrinr t on rpl ns l éqution ifférntill inhoogèn pour obtnir l lur s onstnts. n hrh l solution l éqution hoogèn. uis on itionn ls u solutions. Epl : Soit à résour C soit n rplçnt K C C t on K solution t où l solution générl : Kt Kt C K t K C où C st un onstnt C K Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 66 -
nn 4 Cluls surfs t olus 4. Forulir 4.. Coffiints Cooronnés rtésinns Cooronnés linriqus Cooronnés sphériqus r θ Cooronnés rtésinns Cooronnés linriqus Cooronnés sphériqus r θ Cooronnés rtésinns Cooronnés linriqus Cooronnés sphériqus r r.sinθ Déplnt éléntir 4.. Clul surfs r S S S S S S S. S r.θ r r.sinθ. θ S Crtésinns Clinriqus Sphériqus S S S Crtésinn... Clinriqu... Sphériqu r.θ.r.sinθ. r.r.sinθ. r.θ.r générl......... 4.. Clul olus Co pour l lul surf il st néssir pour lul prir l élént olu qui prt trour ls borns intégrtion ls plus sipls. V Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 67 -
4. Epls luls surfs 4.. Surf un rl Ls rpèrs linr ou sphériqu punt êtr utilisés ns s. S Si l on hoisi l nottion linriqu on un surf ns l pln,,, t on un élént surf S rint à t à π : S π S ( π π 4.. Surf un sphèr L rpèr sphériqu oit êtr utilisé ns s. L ron l sphèr st onstnt t égl à. Chqu élént surf st ns l pln éfini pr (, θ, t ut : S rθ r sinθ Il st iportnt notr qu l surf oplèt l sphèr orrspon à: θ rint à π t rint à π S S π π S sinθ θ [ osθ ] π π ( π 4π r θ r θ S Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 68 -
4. Epls luls olus 4.. Volu un linr L rpèr linriqu s ipos nturllnt. our un linr ron t hutur h on un élént olu Et un olu π h π h π h 4.. Volu un sphèr L rpèr sphériqu s ipos nturllnt. L ron l sphèr st onstnt t égl à. L élént olu st Et un olu r rθ r sinθ π π r r sinθθ π 4 π 4.. Volu un ôn L rpèr linriqu s ipos. our un ôn régulir ron u sot t hutur h. n pri l élént olu pr πr o étnt un suprposition isqus hutur r infinitésil. En rrqunt qu r st fontion, on l pri grâ à l rltion Thls t insi h π h Et un olu π π h h h h r Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 69 -
nn 5 Cluls ntrs inrti 5. Définition u ntr inrti L ntr inrti C (ou ntr ss st l brntr s points u sstè ponéré pr lur ss. Il st néssir l onnîtr pour lolisr l point pplition u pois un orps t pour ls ounts trnsltion. Si l istribution ss st isrèt on l lul pr C i i l ss totl u sstè. i Si l istribution ss st ontinu on l lul pr C l ss oluiqu. n put ussi érir t on C 5. ropriétés u ntr inrti ssoitiité : Du sstès ntrs t sss rsptifs C,C,, ont pour ntr ss : ( C C C Sétri térill : Si un sstè possè un élént sétri térill qui érifi pour tout point : ( s( ( lors l élént sétri ontint l ntr ss. 5. Cluls ntrs inrti 5.. Cntr inrti un ôn plin régulir L ôn st hoogèn ron u sot t hutur h L olu u ôn st π h (f.4.4.. t on s ss π h L sétri térill iniqu qu l ntr inrti pprtint à l. Il suffit on lulr l ooronné u ntr inrti slon : π h (f.4.4.. π n obtint : π h h π h 4 h h π h h 4 h 4 h h C Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
5.. Cntr inrti un i sphèr plin L olu un i sphèr st π (f.4.4.. t on s ss π L sétri térill iniqu qu l ntr inrti pprtint à l. Il suffit on lulr l ooronné u ntr inrti slon : r rθ r sinθ (f.4.4.. t r osθ π π π 4 sinθ osθ θ r r π 8 π sin θ 4 π 5.. Cntr inrti un i sphèr rus L sétri térill iniqu qu l ntr inrti pprtint à l. Il suffit on lulr l ooronné our l i sphèr rus l ron st onstnt t égl à, on put fir l lul sur s élénts surf, t éfinir un nsité ssiqu surf S : S S S S L élént surf st lors S S θ sinθ t on osθ : S S S S S S 5..4 Cntr inrti un isqu pré S S S S sin θ π π π S sinθ osθθ π π [ osθ ] π sinθθ Un isqu ron st pré à l bsiss un trou irulir ron L st sétri on lul on uniqunt l bsiss u ntr ss. L ss u isqu non pré ut : L ss éié ut : π π L ss u isqu pré ut : π ( L bsiss s lul n utilisnt l propriété ssoitiité rpplé n.4.5. n notr qu l bsiss u rl non pré st null t qu l ss éié st onsiéré o négti ns l lul. ( π π Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7-5..5 Cntr inrti un soli sipl Un soli st oposé u prllélépipès rtngls otés, t pour l prir t, t pour l son. Ls ooronnés rsptis s u ntrs inrti s u solis sont : t Ls sss rsptis : t t l ss totl 5 où ls ooronnés u ntr inrti : 5 9 5 6 5
nn.6 Ls turs Vtur libr : Vtur éfini uniqunt pr s irtion son sns t s lur, son point pplition pount êtr qulonqu ns l sp. Vtur glissnt : Vtur éfini uniqunt pr s roit tion son sns t s lur, son point pplition pount êtr qulonqu sur l roit tion. Vtur lié : Vtur éfini pr s roit tion son sns, s lur t son point pplition. ont n un point un tur lié : L ont n un tur V point pplition ut : V Torsur : C st l nsbl onstitué u ont t son tur [ V, ]. ont pr rpport à un un tur lié : L ont unitir un tur V point pplition ut : ( V pr rpport à l pssnt pr tur So géoétriqu turs : L so géoétriqu turs librs, glissnt ou lié st un tur libr. ésultnt turs : C st un s prtiulir so géoétriqu turs glissnt ou lié. Ell n ist qu si ls turs sont onournts u ê point ou prllèls t ê sns. Si ls turs sont liés, l résultnt st un tur lié, insi pr pl l résultnt s turs pois éléntirs st un tur pois ont l point pplition st l ntr grité u soli onsiéré. rouit slir : C st l nobr rél u os( u, qui st un grnur intrinsèqu (inépnnt l bs lul. Soint ls turs u t on u rouit toril : C st un tur libr w ont l sns st tl qu il for un trièr ( u, w, positif, ont l irtion st prpniulir u pln foré pr ls tursu,, t nor u u sin( u,. L sns u tur épn l orinttion l sp hoisi t éfini pr l règl l in roit. n ussi u t : u w Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 7 -
Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 74 - nn 7 Ls opérturs Ils prttnt prir lolnt s rltions intégrls. 7. L grint Ct opértur toril git sur un slir. Il st l tur norl à l surf niu (surf où V st onstnt irigé ns l sns s V roissnts. r r V V gr En utilisnt ls nottions us n.4.4. : V V V V gr Soit pr pl n ooronnés sphériqus : θ θ V r V r r V sin 7. L irgn Ct opértur slir git sur un tur. Ctt lur orrspon u flu E φ u tur E sortnt un unité olu à trrs un surf fré. φ E ie li En utilisnt ls nottions us n.4.4. : ( ( ( E E E E i Soit pr pl n ooronnés rtésinns : ( E E E E i 7. L rottionnl Ct opértur toril git sur un tur. C tur st prllèl à l norl u pln pour lqul l irultion éléntir E st il. n S E E rot En utilisnt ls nottions us n.4.4. : E E E rote où st l nottion un étrinnt.
Soit pr pl n ooronnés rtésinns : E E E E rote E E 7.4 ltions ntr opérturs rot i gr V rot E 7.5 ltions intégrls Soint un olu liité pr un surf S t un surf S liité pr un ourb fré C. Forul Stoks : Cirultion E sur l ourb fré C C E r Forul strogrsk : Flu E à trrs un surf fré S Forul u rottionnl : n E S rote Forul u grint : Forul Klin : C S S V n S V r S grv grv n S S S rote n S E n S i E Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 75 -
CTESIENNES Déplnt éléntir : Volu éléntir : V rt / rt / rt Forulir CYLINDIQUES Déplnt éléntir : Volu éléntir : V l / l / l. r '. SHEIQUES Déplnt éléntir : r r rθ rsin θ Volu éléntir : V r rθ r sinθ r r rθ / r sinθ sphr θ sphr r rθ r sin θ r θ rθ r / sinθ osθ r r r sinθ θ osθ sinθ CENTE D INETIE : C ENT D INETIE : I H t pour ls solis à sétri sphériqu: I I I I C THEEE FNDENTL : [ ] [ ] t ENEGIES : p t F /, t Ft ξ p δw ξ ( p L ωs sphr L t Ft ξ I ξ C / ξ C / C r.θ θ r r r.sinθ C / θ r r.sinθ. θ r r r.θ θ r.sinθ. r.θ r.sinθ. r θ Unirsité Liogs. I.U.T. u liousin. Sit G.E.I.I. Bri Frnçois BINET - 76 -