Pacific Journal of Mathematics

Pacific Journal of Mathematics CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CERTAINS CORPS BIQUADRATIQUES DONT LE CORPS DE GENRES DIFFÈRE DU -CORPS DE CLASSES DE HILBERT ABDELMALEK AZIZI ET ALI MOUHIB Volume 18 No. 1 January 005

PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS Vol. 18, No. 1, 005 CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CERTAINS CORPS BIQUADRATIQUES DONT LE CORPS DE GENRES DIFFÈRE DU -CORPS DE CLASSES DE HILBERT ABDELMALEK AZIZI ET ALI MOUHIB Let K ( d 1, d, where d 1 and d are ositive square-free integers such that (d 1 1. Let K (1 be the Hilbert -class field of K. Let K ( be the Hilbert -class field of K (1 and K ( the genus field of K. We suose that K (1 K ( and Gal(K (1 /K / /. We study the caitulation roblem of the -ideal classes of K in the sub-extensions of K (1 /K and we determine the structure of Gal(K (. 1. Introduction Soient K un cors de nombres, K (1 le -cors de classes de Hilbert de K, K ( le -cors de classes de Hilbert de K (1 (, G le groue Gal(K /K et K ( le cors de genres de K, c est-à-dire la lus grande extension de K da la forme K L non rifiée our tous les remiers finis et infinis et telle que L/ est abélienne. On suose que Gal(K (1 (1 /K / / ; alors K contient trois sousextensions quadratiques sur K qu on désigne ar K 1, K et K 3. Kisilevsky [1976] a lié le roblème de caitulation dans les extensions K 1 /K, K /K et K 3 /K à la structure du groue G et aussi à la structure de la -artie du groue de classes de ces trois extensions. Plus récisément, Olga Taussky a démontré que le groue G est abélieniédral, quaternionique ou semi-diédral (voir ar exemle [Gorenstein 1980]. Par conséquent, il existe i 0 {1,, 3} tel que le -groue de classes de K i0 est cyclique et on a deux ossibilités: 1 Les -groues de classes des extensions K 1, K et K 3 sont cycliques et dans ce cas G est abélien ou quaternionique d ordre 8. Plus récisément: G est abélien si et seulement si our tout i {1,, 3} toutes les -classes de K caitulent dans K i. G est quaternionique d ordre 8 si et seulement si our tout i {1,, 3}, il existe une seule -classe non triviale de K qui caitule dans K i. Le -groue de classes de K i0 est cyclique et our i i 0, le -groue de classes de K i est de tye (, et dans ce cas: MSC000: 11R7, 11R37. Mots-clefs: groue de classes, caitulation, cors de classes de Hilbert. 17

18 A. AZIZI ET A. MOUHIB Pour i i 0, il existe une seule -classe non triviale de K qui caitule dans K i. G est diédral si et seulement si toutes les -classes de K caitulent dans K i0. G est quaternionique d ordre suerieur ou égal à 4 si et seulement si il existe une seule -classe non triviale de K qui caitule dans K i0 et K i0 est de tye (A. (Pour la définition du tye (A et du tye (B, voir ar exemle [Kisilevsky 1976]. G est semi-diédral d ordre suerieur ou égal à 4 si et seulement si il existe une seule -classe non triviale de K qui caitule dans K i0 et K i0 est de tye (B. Ces résultats nous ermettent de réduire l étude du roblème de caitulation dans les extensions intermédiaires de K (1/K à une étude dans K i 0. Si K est un cors biquadratique et K (1 K (, alors d arès la théorie des groues K ( K (car sinon Gal(K (1/K serait cyclique et ar suite K ( est l un des cors K 1, K ou K 3. Dans [Azizi et Mouhib 008], on a démontré que si K (1 /K a / / our Galois groue et [K (1 : K ( ], alors: 1 Le -groue de classes de K ( est cyclique et K ( est le -cors de classes de Hilbert de K (. Le groue G ne eut jais être semi-diédral. Dans ce travail, on suose que K ( d 1, d où d 1 et d sont deux entiers naturels sans facteurs carrés et remiers entre eux, Gal(K (1 /K / / et K (1 K (. Alors on étudie le roblème de caitulation des -classes d idéaux de K en distinguant deux cas: 1 L extension K/ ( d 1 d est non rifiée. L extension K/ ( d 1 d est rifiée. Avant d étudier ces cas, on aura besoin de certains résultats sur le rang du - groue de classes des cors biquadratiques réels contenant un cors quadratique de nombre de classes imair. Dans toute la suite, on désigne ar h(n la -artie du nombre de classes de ( n et ar h(m la -artie du nombre de classes d un cors quelconque M.. Rang du -groue de classes de certains cors biquadratiques réels Dans ce aragrahe on suose que K ( m, d où m et d sont deux entiers naturels sans facteurs carrés et le nombre de classes de ( m est imair. On désigne ar ε m l unité fondentale de ( m, E le groue des unités de ( m, r le nombre des remiers de ( m rifiés dans K, l alication norme ar raort à l extension K/ ( m, e l entier naturel défini ar e [E : E (K ] et ar C,K le -groue de classes de K. Dans [Azizi et Mouhib 001], on a

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 19 montré que le rang de C,K est r 1 e. La détermination de l entier e revient à chercher quand est-ce que les éléments, ε m et ε m sont normes ou non dans l extension K/ ( m. Ce qui revient à chercher les valeurs du symbole du reste normique ( (, εm our tous les remiers de ( m rifiés dans K. Ainsi e {0, 1, }; lus récisément: e 0 si et seulement si et ε m sont des normes dans l extension K/ ( m. e si et seulement si, ε m et ε m ne sont as des normes dans l extension K/ ( m. D autre art arès la théorie des genres m est de l une des formes suivantes: 1 m est un remier. m q où q est un remier tel que q (mod 4. 3 m q q où q et q sont deux remiers tels que q q (mod 4. Théorème 1 [Azizi et Mouhib 001]. Soient m un remier 1 ou (mod 4 et K ( m, d où d est un entier naturel sans facteurs carrés. Posons S { divisant d ( m 1 et q1 remier imair de }. S il existe un remier q tel que q 3 (mod 4 et q d, alors e 1 ou e. Plus récisément : 1 Si m ou 5 (mod 8, alors rang (C,K r si et seulement si ( 1 our tout S. Si m 1 (mod 8, alors rang (C,K r si et seulement si ( 1 our tout S et [ ( d c avec ] c 1 ou bien d 1 (mod 4. Théorème [Azizi et Mouhib 001]. Soient m un remier 1 ou (mod 4 et K ( m, d où d est un entier naturel sans facteurs carrés, qui n est as divisible ar les remiers (mod 4. Alors e 0 ou e 1 ; lus récisément : 1 Si m 1 (mod 4, alors rang(c,k r 1 si et seulement si our chaque q d tel que ( q ( 1 on a q 4 q 4 et ( 4 ((/8 si 1 (mod 8 et d c. Si m, alors rang (C,K r 1 si et seulement si our chaque q d tel que q 1 (mod 8 on a ( q 4 ((q/8. Dans le cas où m {q, q, q q } où q, q et q sont des remiers tels que q q q (mod 4, on vérifie facilement que l unité fondentale ε m de ( m vérifie ε m a m u où u ( m et a m est défini comme suit: a m si m q ou m q et a m q ou a m q si m q q. Alors en utilisant les roriétés du symbole du reste normique (voir ar exemle [Hasse 1930], on démontre les deux théorèmes suivants:

0 A. AZIZI ET A. MOUHIB Théorème 3. Soient q, q et q des remiers tels que q q q (mod 4, m un entier naturel tel que m {q, q} ou m q q 5 (mod 8 et K ( m, d où d est un entier naturel sans facteurs carrés. On ose S { divisant d ( m 1 et q1 remier imair de }. Alors : e 0 si et seulement si ( ( q1 1 our tout q1 S. e si et seulement si il existe des remiers, q, q 3 de S tels que ( ( ( q1 et ( q 3 q3. Preuve. On suose que m {q, q } ou m q q 5 (mod 8. Soit un idéal remier de ( m qui se rifie dans K. Calculons le symbole du reste normique (. Si est au dessus d un remier imair tel que ( m, alors d arès les roriétés du symbole du reste normique (voir ar exemle [Hasse 1930], on a ( ( ( m/q ( 1. Si est au dessus de où S, alors ( ( d, ( v (d ( où v (d désigne la valuation d indice aliquée à l idéal engendré ar (d dans ( m. Si est au dessus de, alors est le seul remier de k qui est au dessus de. Ainsi arès [Hasse 1930], on a ( ( ( m/ ( 1. On en déduit alors que est norme dans l extension K/ ( m si et seulement si our tout remier S, on a ( 1. Calculons le symbole du reste normique ( ε m. On sait que εm a m u où u ( m. Ainsi on a ( ε m (. Si est au dessus de q1 où est un remier imair tel que ( m, on trouve que ( εm ( ( m/ (ε m 1. Si est au dessus de où S, alors ( ε m ( ( d, ( v ( (d ( q1. Si est au dessus de, on trouve que εm 1. Ainsi εm est norme dans l extension K/ ( m si et seulement si our tout S, on a ( a m q1 1. Ce qui termine la reuve du théorème. Théorème 4. Soient q et q deux remiers tels que q q (mod 4, m un entier naturel tel que m q q 1 (mod 8 et K ( m, d où d est un entier naturel sans facteurs carrés. On ose S { divisant d ( m 1 et q1 remier imair de }.

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 1 Alors e 0 si et seulement si ( ( q1 1 our tout q1 S et d 1 (mod 4 ou d c tel que ( c ( q 1. e si et seulement si l une des conditions suivantes est vérifiée : d (mod 4 et S tel que ( ( q1. d 1 (mod 4 et, q, q 3 S tels que ( ( ( q et ( q 3 q3. d c et ( ( q c 1 et q1 S tel que ( ( q1 ou ( ( c q 1 et q1 S tel que ( ou ( ( c q 1 et q1, q, q 3 S tels que ( ( ( q et ( q 3 q3. Preuve. On suose que m q q 1 (mod 8. Soit un remier de ( m qui se rifie dans K. Calculons (. Si est au dessus d un remier q1 imair, alors comme dans le théorème 3, on trouve que: Si ( ( m, on a ( 1. Si m ( 1, on a (. Si est au dessus de, on raisonne comme suit: Suosons que d 3 (mod 4, alors on a (, q d (, q (. Comme q d 1 (mod 4, alors ne se rifie as dans ( m, q d; ar suite (, q d ( q d v ( 1. Ainsi on a ( (, q (. On se rène à calculer le symbole, q. Soient le cors L ( q, q et C,L son -groue de classes. D arès le théorème 3, on a rang(c,l 0, c est à dire le nombre de classes de L est imair. On a L ( m, q. Si on note ar r le nombre des remiers de ( m rifiés dans L et ar e l entier associé à l extension L/ ( méfini ar e [E : E (L ], alors on a rang(c,l r 1 e 1 e 0, ainsi e 1. Par suite ou ε m n est as une norme dans l extension L/ ( m. On a ( εm, q ( q, q (, q ( q, q. Or ( q, q ( ; alors εm, q (, q (. Par suite, q (, et on a. Suosons que d c avec c imair. On a ( (, (, c. On sait que ( m, / ( m (ε onc (, ( 1. Si c 3 (mod 4, alors, c (. Si c 1 (mod 4, alors, c 1. On tire que est norme dans l extension K/k si et seulement si our tout remier de S on a ( [ ( 1 et d 1 (mod 4 ou d c tel que ] c 1. Calculons ( ε m. Si est au dessus d un remier q1 tel que ( m (, alors εm. Si est au dessus d un remier q1 tel que S, on a ( ε m ( q ( q1. Si est au dessus de, on raisonne comme suit. On suose que d 3 (mod 4; alors on a ( ε m ( q ( q, d ( q, (. Or q, ( (voir le cas récédent et q, d ( 1 (car d 1 (mod 4onc εm (. On suose que d c où c est imair; alors εm ( εm (, εm, c.

A. AZIZI ET A. MOUHIB Si c 3 (mod 4, alors ( ε m (, c. Si c 1 (mod 4, alors εm (, c c v (ε m 1. On a ( ε m (, q, ( ( q où εm ( ( c q. Ainsi εm est norme dans l extension K/ ( m si et seulement si our tout remier S, on a ( a m q1 1 et [ d 1 (mod 4 ou d c tel que ( ( c ] q. Par conséquent, on retrouve le théorème. 3. Caitulation des -classes d idéaux de K où K/ ( d 1 d est non rifiée Soient d 1 et d deux entiers naturels remiers entre eux et K ( d 1, d. On suose que l extension K/ ( d 1 d est non rifiée, que [K ( : K ] et que Gal(K (1 /K / /. Alors, on donne une méthode générale qui ermet de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur d 1 et d our que K (1 K ( et on donne un moyen qui ermet de chercher la structure du groue G. On termine ar donner une alication aux résultats trouvés. Étude des conditions our lesquels K (1 K (. On note ar C ( d 1 d le - groue de classes du cors ( d 1 d. Théorème 5. On garde les notations récédentes et on suose que l extension K/ ( d 1 d est non rifiée, [K ( : K ] et Gal(K (1 /K / /. Alors C ( d1 d / / ou C ( d1 d / /. Si C ( d1 d / /, alors K (1 K (. Si C ( d1 d / /, alors il existe un cors biquadratique L dont le -groue de classes est cyclique tel que K (1 K ( si et seulement si 8 h(l. Preuve. D arès [Azizi et Mouhib 008], le groue C ( d1 d est de tye (, ou bien de tye (,. Si C ( d1 d est de tye (,, alors K (1 est le -cors de classes de Hilbert de ( d 1 d. Comme K est une extension quadratique non rifiée de ( d 1 d dont la -artie du nombre de classes est égale à 4, alors d arès [Benjin et al. 1998], la suite des -cors de classes de Hilbert de ( d 1 d s arrète en K (1. Par conséquent on a K (1 K (. Si C ( d1 d est de tye (,, alors K ( est le -cors de classes de Hilbert de ( d 1 d. D arès la théorie des groues, il existe une sous-extension rore de K ( / ( d 1 d notée L telle que le -groue de classes de L est cyclique. D autre art et comme K ( /L est une extension non rifiée, L et K ( ont le même - cors de classes de Hilbert qui est K ( (1. Par suite h(k 1 h(k ( 1 4 h(l. On en déduit que K (1 K ( si et seulement si 8 h(l, ce qui achève la reuve. Le théorème 1 nous ermet de transformer l étude des conditions our lesquels K (1 K ( à une étude de la -artie du nombre de classes du cors L. Un tel cors est bien un cors biquadratique de la forme ( d, d où d et d sont deux entiers remiers entre eux divisant d 1 d. Or K ( /L est bien une extension de degré et K ( est le cors de genres de L; ar suite et à l aide de la théorie des

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 3 genres; l un des cors quadratiques ( d ou ( d est de nombre de classes imair. Donc L contient un cors quadratique de nombres de classes imair et ar suite L eut être déterminer à artir des théorèmes 1,, 3 et 4. Ainsi, à l aide des résultats connus sur la -artie du nombre de classes des cors quadratiques (voir ar exemle [Kalan 1976; Kučera 1995; Benjin et Snyder 1995] et en utilisant la formule de Wada sur le nombre de classes d un comosé de cors quadratiques (voir [Wada 1966], on eut déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur d 1 et d our lesquels 8 h(l et ar suite K (1 K (. Structure du groue G Gal(K (/K. On sait que C ( d 1 d / / ou C ( d1 d / /. Si C ( d1 d / /, alors K (1 K (. Par conséquent G est abélien. Si C ( d1 d / /, alors K ( est le -cors de classes de Hilbert de ( d 1 d. De lus K ( est le -cors de classes de Hilbert de K (. On se rène ainsi à des questions de caitulation sur des cors quadratiques. En utilisant [Benjin et Snyder 1995] et [Couture et Derhem 199], on trouve la structure du groue Gal(K (/ ( d 1 d. Comme G est un sous-groue d indice dans Gal(K (/ ( d 1 d, la structure du groue G est bien déterminée. Dans la suite on va donner une alication à cette étude our illustrer la méthode qu on vient de décrire. Soient,,, q des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et K ( d 1, d où d 1 et d q. Les entiers naturels d 1 et d sont remiers entre eux et on a K ( (,, q et ar suite [K ( : K ]. Théorème 6 [Azizi et Mouhib 001]. Soient,,, q des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et K (, q. Alors le -groue de classes de K est de tye (, si et seulement si l un des cas suivants est vérifié : 1 q 1 et q. q 1 et q. 3 q 1 et q. 4 1, q, q et. 5 1, q, et [ ou q ]. Dans ce qui suit, on va étudier le roblème de caitulation des -classes d idéaux de K, en distinguant les cinq cas du théorème 6.

4 A. AZIZI ET A. MOUHIB Étude des conditions our lesquels K (1 K (. Nous aurons besoin de quelques résultats sur les unités qu on va démontrer dans ce qui suit: Soient L ( A, B un cors biquadratique réel et Q L l indice du groue des unités de L modulo son sous-groue engendré ar les unités des trois souscors quadratiques de L. On suose que Gal(L/ est engendré ar σ et τ et que ( A inv (σ, ( B inv (τ et ( AB inv (σ τ. D arès une idée qui revient à Hergoltz, on sait que le carré d une unité ε de L vérifie ε (εε σ (εε τ (ε σ ε τ, c est-à-dire il est un roduit d unités dans ( Aans ( B et dans ( AB (voire εε σ, εε τ, ε σ ε τ resectivement. Ainsi, l indice Q L est égal à 1,, 4 ou 8. T. Kubota [1956] a démontré que Q L {1,, 4}. S il existe exactement r relations quadratiques et indéendantes entre les unités ε 1, ε et ε 3 des trois sous-cors quadratiques de L, alors Q L r. Pour m entier naturel, on désigne dans tout ce quit suit ar e(m la norme ar raort à l extension ( m/ de l unité fondentale de ( m. Lemme 1. Soient, q,, des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et L ( q,. On suose que e( 1 ; alors Q L. Preuve. Soit ε 1 l unité fondentale de ( q, ε l unité fondentale de ( et ε 3 l unité fondentale de ( q. Comme e( q e( e( q 1, on a arès [Cohn 1978, théorème 11.3,. 106], les trois relations suivantes: ε1 y 1 q1 + y q, avec y 1, y ; ε t 1 + t, avec t 1, t ; ε3 v 1 m + v n, avec v1, v, m, n, mn q. Donc, il existe trois entiers naturels uniques i, j, k tels que {i, j, k} {0, 1}, i + j + k 0 et ε1 i ε j εk 3 K. Par conséquent Q L. Lemme. Soient,,, q des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et L ( q,. On suose que e(, ( q et ( ( q 1. Alors Q L 1. Preuve. Comme e(, l unité fondentale de ( n est as un carré dans L. Soient ε 1 et ε les unités fondentales resectives des cors ( q et ( q. On sait d arès la reuve du lemme 1 qu il existe deux nombres rationnels y 1 et y tels que (3 1 ε1 y 1 q1 + y q.

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 5 Soit w un entier naturel sans facteurs carrés tel que q / (1 + ε wx où x est un entier naturel. D arès [Benjin et Snyder 1995], on a w q ; ar suite il existe deux entiers naturels b et c tels que ε c q + b. De cela et de (3 1 on tire que les unités ε 1, ε et ε 1 ε ne sont as des carrés dans L. Par conséquent Q L 1. Lemme 3. Soient,,, q des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et L ( q,. On suose que e(, 1, ( q, ( q, et ( ; alors Q L. Preuve. Soient ε 1 et ε les unités fondentales resectives des cors ( q et ( q. D arès la reuve du lemme 1, il existe deux nombres rationnels y 1 et y tels que ε1 y 1 q1 + y q. Soit w l entier naturel défini dans la reuve du lemme. D arès [Benjin et Snyder 1995], on a w ou w q ; ar suite il existe deux entiers naturels c et d tels que ε c d q w + w. Par suite, on a ε 1 ε L où Q L. Lemme 4. Soient q, deux remiers différents tels que q 1 (mod 4 et L ( q,. Alors : 1 e( 1 Q L 4. e( Q L. Preuve. 1 Soient ε 1, ε et ε 3 les unités fondentales de ( q, ( et ( q resectivement. On vérifie facilement qu il existe deux nombres rationnels a 1 et a tels que (3 ε1 a 1 + a q. Comme e( 1, il existe deux nombres rationnels b 1 et b tels que (3 3 ε b 1 + b. D autre art il existe deux nombres rationnels c 1 et c tels que (3 4 ε3 c 1 m + c n où m et n sont deux entiers naturels remiers entre eux tels que mn q. De (3 et (3 3, on déduit que ε 1 ε L et de (3 et (3 4, on déduit que ε3 L ou bien ε 1 ε 3 L. Par conséquent, on a Q L 4. On suose que e(. D arès 1, on a ε 1 L et ε 3 L ou bien ε1 ε 3 L. Par suite on a Q L.

6 A. AZIZI ET A. MOUHIB Lemme 5. Soient, q, q des remiers différents tels que q q 1 (mod 4 et K ( q, q. On suose que ( q ( q 1 ; alors Q K. Preuve. Soit ε 1 l unité fondentale de ( q. Comme e(q 1, il existe deux nombres rationnels t 1 et t tels que (3 5 ε1 t 1 + t q. Soit ε l unité fondentale de ( q. Comme e(q 1, il existe deux nombres rationnels v 1 et v tels que (3 6 ε v 1 m + v n, et m, n deux entiers naturels tels que mn {q, 4q }. Soit ε 3 x + y qq où x et y sont des entiers, l unité fondentale de ( qq. On a e(qq 1; alors (x (x + qq y. Comme ( q ( q 1, il existe deux nombres rationnels y1 et y tels que { x ± q y1 où y 1 y y, x qy. En osant W q y 1 + q y, on trouve que W 4ε 3. Ainsi (3 7 ε3 y 1 q + y q. De (3 5, (3 6 et (3 7, on a ε 1 K, ε 3 K. De lus, il existe trois entiers naturels i, j, k uniques tels que {i, j, k} {0, 1}, i + j + k 0 et ε1 i ε j εk 3 K. Ainsi, on a Q K. Théorème 7. Soient,,, q des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et K (, q. On suose que K vérifie les conditions des cas 1 ou 5 du théorème 6; alors L ( q, et K (1 K ( si et seulement si 4 4 1. On suose que K vérifie les conditions du cas du théorème 6; alors L (, q et K (1 K ( si et seulement si 8 h( q ou [ Q L et h( q 4 (mod 8 ]. On suose que K vérifie les conditions du cas 3 du théorème 6; alors L (, q et K (1 K ( si et seulement si 8 h( q ou [ Q L et h( q 4 (mod 8 ]. On suose que K vérifie les conditions du cas 4 du théorème 6; alors L ( q, et K (1 K ( si et seulement si ( 4 ((/8. Preuve. On note ar ε 1 l unité fondentale de ( q et ar ε l unité fondentale de ( q. Soit w un entier naturel sans facteurs carrés tel que ( q / (1 + ε wx où x est un entier naturel.

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 7 On suose que K vérifie les conditions du cas 1 du théorème 6. Donc ( ( ( q 1 et q. D arès le théorème 4, le -groue de classes de L ( q, est cyclique. On sait d arès le théorème 5 que K (1 K ( si et seulement si 8 h(l. D arès [Kalan 1976], h( q 4 (mod 8 et e( q 1. Si 4 4, alors arès [Kučera 1995], on a h( (mod 4 et e( 1. D autre art, d arès le lemme 1, on a Q L, ar suite arès [Wada 1966], on a h(l Q Lh( q h( h( q 4 (mod 8. 4 Ainsi on a K (1 K (. Si 4, alors d arès [Kučera 1995], on a 4 h( 4 (mod 8 et e(. D autre art arès le lemme, on a Q L 1 et donc h(l 4 (mod 8. Si 4 4 1, alors si e(, on a 8 h(, d arès [Kučera 1995]; ar suite 8 h(l. Ainsi, on a K (1 K (. Si e( 1, alors arès le lemme 1, on a Q L ; ar suite 8 h(l. Donc K (1 K ( 4 4 1. On suose que K vérifie les conditions du cas du théorème 6. Donc q 1 et q. D arès le théorème 1, le -groue de classes de L (, q est cyclique. Or arès [Kalan 1976], on a h( q 4 (mod 8 et 4 h( q onc on a K (1 K ( 8 h( q ou bien [ h( q 4 (mod 8 et Q L ]. On suose que K vérifie les conditions du cas 3 du théorème 6. Donc 1 et q. D arès le théorème 1, le -groue de classes de L (, q est cyclique. Ce cas est similaire au cas ; ar suite, on a K (1 K ( 8 h( q ou bien [h( q 4 (mod 8 et Q L ]. On suose que K vérifie les conditions du cas 4 du théorème 6. Donc ( 1, ( q, ( q, (. D arès le théorème 4, le -groue de classes de L ( q, est cyclique. D arès [Kalan 1976], on a h( q 4 (mod 8. Si 4, on trouve 4 que K (1 K (, comme dans le cas 1 du théorème 6. Dans le cas contraire arès [Kučera 1995], on a 4 h( et on distingue les cas suivants: Si e( arès le lemme 3, on a Q L ; ar suite K (1 K (. Si e( 1 arès le lemme 1, on a Q L ; ar suite 8 h(l. Par conséquent K (1 K ( 4 4.

8 A. AZIZI ET A. MOUHIB On suose que K vérifie les conditions du cas 5 du théorème 6. Donc ( 1, ( q, ( [ (, ( ou ] q. D arès le théorème 4, le -groue de classes de L ( q, est cyclique. Ce cas est similaire au cas 1onc on a K (1 K ( 4 4 1. Structure du groue G Gal(K ( /K. On a rouvé récédemment (age 3 que la détermination de la structure du groue G revient à chercher la structure du groue Gal ( K (/ ( d. Alors en utilisant [Couture et Derhem 199] et [Benjin et Snyder 1995], on retrouve le théorème suivant: On désigne ar w l entier naturel sans facteurs carrés défini ar q1 q / (1 + ε q1 q wn où ε q1 q est l unité fondentale de ( q et n un entier naturel. Théorème 8. Soient,,, q des remiers différents tels que q 1 (mod 4 et K (, q. On suose que K vérifie les conditions du cas 1 du théorème 6 et K (1 K ( alors G est diédral. On suose que K vérifie les conditions du cas du théorème 6 et K (1 K ( alors G est quaternionique si w {, q }, sinon G est diédral. On suose que K vérifie les conditions du cas 3 du théorème 6 et K (1 K ( alors G est quaternionique si w, sinon G est diédral. On suose que K vérifie les conditions du cas 4 du théorème 6 et K (1 K ( alors G est quaternionique si e, sinon G est diédral. On suose que K vérifie les conditions du cas 5 du théorème 6 et K (1 K ( alors G est diédral. Preuve. On utilise lusieurs fois des résultats contenus dans [Benjin et Snyder 1995]. Dans le cas 1 du théorème 6, on a h( q 4 (mod 8. Si K (1 K (, alors Gal(K (/Q( q est diédral et comme G est est un sous-groue d indice dans Gal(K (/Q( q, alors G est diédral. Dans le cas du théorème 6, on a h( q 4 (mod 8. Si K (1 K (, alors Gal(K (/Q( q est quaternionique si w {, q }, et diédral dans le cas contraire. G est d indice dans Gal(K (/Q( q, ce qui donne le résultat. Pour les autres cas du théorème 6, on a toujours h( q 4 (mod 8, et on trouve le résultat toujours en utilisant [Benjin et Snyder 1995]. 4. Caitulation des -classes d idéaux de K où K/ ( d 1 d est rifiée Dans cette section, on suose que Gal(K (1 /K / /, [K ( : K ] et l extension K/ ( d 1 d est rifiée. D arès [Azizi et Mouhib 008], la - artie du nombre de classes de ( d 1 d est égale à 1 ou à ; ar suite la -artie ; ; ; ; ;

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 9 du nombre de classes de ( d 1 d est égale à (car sinon le nombre de classes de K serait imair. D arès [Kalan 1976], les cas tels que h(d 1 d (mod 4 sont: 1 d 1 d q où q 1 (mod 4 et ( ( ou q. d 1 d qq où q q 1 (mod 4 et ( q ( ou q. 3 d 1 d où 1 (mod 4 et h( (mod 4. 4 d 1 d où 1 (mod 4 et h( (mod 4. 5 d 1 d qq où q q (mod 4 et h(qq (mod 4. 6 d 1 d q où q 1 (mod 4 et h(q (mod 4. Les cas 3, 4 et 6 sont à rejeter car l extension K/ ( d 1 d est suosée rifiée. Le cas 5 est aussi à rejeter car arès le théorème 3, le -groue de classes de K est trivial ou cyclique, ce qui est contraire aux hyothèses. Ainsi ce qui reste sont les cas 1 et. Afin d avoir K/ ( d 1 d rifiée, K doit rendre l une des formes suivantes: Dans le cas 1: [ ] [ ( K (, q ou bien K ( q, et ( ou q ]. Dans le cas : [ K ( q, q ou bien K ( q, q ] et [ ( q ( ou q ]. Théorème 9. Soient K ( d 1, d où d 1 et d sont deux entiers naturels remiers entre eux. On suose que l extension K/ ( d 1 d est rifiée et que [K ( : K ] ; alors le -groue de classes de K est de tye (, si et seulement si l un des deux cas suivants est vérifié : 1 d ( 1 q où et q sont deux remiers tels que q 1 (mod 4 et ( q 1. d 1 q q où, q et q sont des remiers tels que q q 1 (mod 4 et ( ( q ( q 1. Preuve. 1 D arès le théorème, le -groue de classes de K est de rang si et seulement si ( 1. Alorsans ce qui suit, on suose que c est le cas. On sait d arès ce qui récède que ( ( ou q ( ; ar suite q, et alors, d arès [Kalan 1976], on a h(q h(q (mod 4. D autre art arès [Kubota 1956], on a Q K {1,, 4} et comme rang(c,k, alors 4 h(k et ar suite Q K 4 et h(k 4. Soit K ( q, q. D arès le théorème 3, le -groue de classes de K est de rang égal à si et seulement si ( ( q 1. On suose dans ce qui suit que c est le cas. On sait d arès ce qui récède que ( q ( ou q ; ar suite ( q, et alors arès [Kalan 1976], on a h(q h(q (mod 4.

30 A. AZIZI ET A. MOUHIB D autre art d arès [Kubota 1956], on a Q K {1,, 4} et comme rang(c,k, alors 4 h(k et ar suite Q K 4 et h(k 4. Ainsi le théorème est démontré. Dans la suite on va étudier le roblème de caitulation des -classes d idéaux de K dans les deux cas du théorème 9. Étude de la caitulation dans le cas 1 du théorème 9. Dans ce cas, on a K (, q où et q sont deux remiers tels que q 1 (mod 4 et ( ( q 1 et K ( (,, q. Proosition 1. Soient, q deux remiers tels que (mod 4 et que ( ( q 1. Alors K (1 K ( si et seulement si ( 4 ((/8 1. Preuve. Soit L ( q, ; alors d arès le théorème 3, le -groue de classes de L est cyclique. De lus, l extension K ( /L est non rifiée; ar suite K ( et L ont le même -cors de classes de Hilbert qui est K ( (1. Ainsi h(k 1 h(k ( 1 (1 4h(L et ar conséquent on a K K ( si et seulement si 8 h(l. Donc on est rené à étudier la -artie du nombre de classes de L. D arès [Kalan 1976], on a h(q (mod 4 et d arès la théorie des genres h(q 1 et h(. On suose que ( 4 ((/8 ; alors d arès [Kučera 1995], h( (mod 4 et e( 1. D autre art arès le lemme 4, on a Q L 4. Ainsi on a h(l 4 (mod 8 et donc K (1 K (. On suose que ( 4 ((/8 ; alors arès [Kučera 1995], on a 4 h(. On distingue deux cas: On suose que ( 4 ((/8 1; alors d arès [Kučera 1995], on a: Si e(, alors 8 h( et d arès le lemme 4, on a Q L Par suite Q L et ar conséquent 8 h(l. Si e( 1, alors d arès le lemme 4, on a Q L 4 et ar conséquent 8 h(l. On suose que ( 4 ((/8 ; alors d arès [Kučera 1995], on a h( 4 (mod 8 et e(. D arès le lemme 4, Q L. Par suite, on a h(l 4 (mod 8 où K (1 K (. Ainsi la roosition est démontrèe. Dans la suite, on va déterminer les classes engendrant le -groue de classes de K. On note ar O M l anneau des entiers d un cors M. Comme ( 1, alors O ( où et sont deux idéaux remiers différents de (. De lus our i {1, } on a i O K Yi où Y i est un idéal remier de K. Proosition. Soient, q deux remiers tels que (mod 4 et que ( ( q ( 1. On suose que 4 ((/8 1 ; alors le -groue de classes de K est engendré ar les classes d idéaux de Y 1 et de Y. Preuve. On sait que le nombre de classes de ( est égal à 1. Comme et sont deux idéaux remiers de (, ils sont rinciaux. Or our i {1, } on a i O K Yi, donc les classes [Y 1] et [Y ] sont des -classes de K. Montrons que Y 1 n est as rincial.

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 31 On vérifie facilement que Y 1 reste inerte dans K ( ; alors d arès la loi de récirocité d Artin aliquée à l extension K ( /K, l idéal Y 1 n est as rincial. Montrons que Y 1 Y n est as rincial. On a K/ ( (Y 1 Y O (. On suose que Y 1 Y est rincial; alors il existe une unité u de ( tel que u est norme dans l extension K/ (, ce qui est imossible. En effet: En utilisant le symbole du reste normique, on sait que u est norme dans cette extension si et seulement si u, q 1 our tout remier de ( rifié dans K (voir [Azizi et Mouhib 001]. D autre art, l idéal remier de ( se rifie dans K et on a (, q (, ( 1 et ( ε, q ( ε, ( ε, q ( ε,. Or, ( ε, ( 4 ((/8 d arès [Azizi et Mouhib 001]. Comme ( 4 ( (/8 1, on a ( ε, ( 1 et donc ε, q 1. Ainsi l unité u de ( vérifie ( u, q 1. De lus, on a, q (,, q ( q. D où u, q, ar conséquent on a une contradiction. Ainsi Y1 Y n est as rincial et la roosition est démontrée. Dans la suite, on va déterminer les -classes de K qui caitulent dans K (. On sait que Y 1 et Y restent inerte dans K ( onc Y 1 O K ( Q 1 et Y O K ( Q où et sont deux idéaux remiers de K (. D autre art on a O L où L ( q, et est un idéal remier de L; ar suite O K ( Y 1 Y. Proosition 3. En gardant les mêmes notations, les idéaux remiers et sont rinciaux si et seulement si l idéal remier est rincial. Preuve. On sait que si est rincial; alors K ( /L( est rincial. Inversement, si l idéal remier est rincial, on raisonne comme suit: On sait que le -groue de classes de L est cyclique et que K ( et L ont le même -cors de classes de Hilbert qui est K (. D autre art arès la théorie des cors de classes de Hilbert, le noyau de l alication d Artin dans l extension K (/L est réduit au groue des idéaux fractionnaires rinciaux de L. Comme l idéal remier est rincial, se décomose comlètement dans K ( ; ar suite les idéaux remiers et se décomosent comlètement dans K ( (. Comme K est le -cors de classes de Hilbert de K (, le noyau de l alication d Artin dans l extension K (/K ( est réduit au groue des idéaux fractionnaires rinciaux de K (. Ainsi et sont rinciaux et la roosition est démontrée. Théorème 10. Soient et q deux remiers tels que q 1 (mod 4, ( ( q ( 1 et K (, q. On suose que 4 ((/8 1 ; alors toutes les -classes de K caitulent dans K ( et le groue G Gal(K ( /K est diédral.

3 A. AZIZI ET A. MOUHIB Preuve. On sait que le -groue de classes de K est engendré ar les classes d idéaux [Y 1 ] et [Y ] définis dans la roosition. Montrons que Y 1 Y caitule dans K (. On a O q où est un idéal remier de ( q; ar suite O K Y 1 Y. Ainsi, il existe deux -classes bigues de K relativement à ( q, la classe triviale et la classe [Y 1 Y ]. Comme K ( / ( q est une extension abélienne et K ( /K est une extension non rifiée, K ( est le -cors de genres relatif à l extension K/ ( q. On sait arès [Terada 1971], que toutes les -classes bigues de K ( / ( q caitulent dans K (. Ainsi la classe [Y 1 Y ] caitule dans K (. Montrons que Y 1 caitule dans K (. On sait que Y 1 O K ( où est un idéal remier de K ( et que O L où est un idéal remier de L. D arès la roosition 3, Y 1 caitule dans K ( si et seulement si est rincial. Montrons que est rincial. Soit ε q x +y q l unité fondentale de ( q. Alors arès [Azizi 000], x ± 1 est un carré dans. Donc il existe deux entiers naturels y 1 et y tels que x ± 1 y1, x 1 y et y 1y y; ar suite ε q 1 y1 + 1 q y. De lus, on a O L ( ε q εq O L. Comme ε q est un entier de L, l idéal est rincial; ar suite l idéal 1 est rincial. Ainsi, toutes les -classes de K caitulent dans K (. Comme ( [Kisilevsky 1976], le groue Gal(K ( 4 ((/8 1, alors K (1 K ( et d arès /K est diédral. Étude de la caitulation dans le cas du théorème 9. Ce cas est similaire au cas 1, et on suit les mêmes étaes. Dans le cas du théorème 9, on a K ( q, q où, q et q sont des remiers tels que q q 1 (mod 4 et ( ( q ( q 1 et K ( ( q,, q. Proosition 4. Soient, q, q des remiers différents tels que q q 1 (mod 4, ( ( q ( q 1 et K ( q, q. Alors K (1 K ( si et seulement si 8 h(q. Preuve. D arès le théorème 3, le -groue de classes de L ( q, q est cyclique. De lus, l extension K ( /F est non rifiéeonc K ( et L ont le même -cors de classes de Hilbert qui est K (. Alors comme dans le cas 1 du théorème 9, on a K (1 K ( si et seulement si 8 h(l. On est donc rené à étudier la -artie du nombre de classes de L. D arès [Kalan 1976] on a h(qq et 4 h(q. D arès le lemme 5, on a Q L. Si h(q 4 (mod 8, on a h(l 4 (mod 8; ar suite K (1 K (. Si 8 h(q, on a 8 h(l; ar suite K (1 K (. D où la roosition est démontrée. Dans la suite on va déterminer les classes engendrant le -groue de classes de K. Comme ( q 1, l idéal remier se décomose dans ( q et on a O ( q où et sont deux idéaux remiers différents de ( q. Comme est rifié dans K, alors i O K Yi où Y i est un idéal remier de K.

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 33 Proosition 5. Soient, q, q des remiers différents tels que q q 1 (mod 4, ( ( q ( q 1 et K ( q, q. Alors le -groue de classes de K est engendré ar [Y1 l] et [Y l] où l est le nombre de classes de ( q. Preuve. Le cors quadratique ( q est de nombre de classes imair. Soit l le nombre de classes de ( q; alors l 1 et l sont des idéaux rinciaux de ( q. Par suite [Y1 l] et [Y l] sont des -classes de K. Les idéaux remiers Y 1 et Y ne sont as rinciaux. En effet: On vérifie que Y 1 et Y restent inerte dans K (. Alors d arès la loi de récirocité d Artin aliquée à l extension K ( /K, les idéaux remiers Y 1 et Y ne sont as rinciaux. Comme l est imair et l extension K ( /K est de degré, alors Y1 l et Y l ne sont as rinciaux. Montrons que Y 1 ly l est non rincial. On a K/ ( q (Y1 ly l l 1 l l O ( q. On suose que Y1 ly l est rincial; alors il existe une unité u de ( q tel que l u est norme dans l extension K/ ( q. Ce qui est imossible. En effet: Comme dans le cas 1, en utilisant le symbole du reste normique, on a: l idéal est un remier de ( q rifié dans K. On a (, q (, ( ( εq, q 1 et ( εq,. D autre art arès la reuve du théorème 10, il existe deux nombres rationnels y 1 et y tels que ε q y 1 + y q; ar suite ε q v où v est un élément de ( q et on a ( ε q, (, ( 1. Ainsi ( u, q 1 et de lus( l, q ( l, l, q ( q l. Donc on a une contradiction. Par conséquent la roosition est démontrée. Dans la suite on va déterminer les -classes de K qui caitulent dans K (. On sait que le -groue de classes de K ( q, q est engendré ar [Y l 1 ] et [Y l ] où l est le nombre de classes de ( q. On ose Y 1 O K et Y O K où et sont deux idéaux remiers de K (. D autre art, on a q O L où L ( q, q et est un idéal remier de L. Proosition 6. En gardant les mêmes notations, est rincial si et seulement si et sont rinciaux. Preuve. Le cors L ( q, q est de -groue de classes cyclique, alors la reuve de la roosition 3 reste valable ici. Théorème ( 11. Soient, q et q des remiers tels que q q 1 (mod 4, ( q ( q 1 et K ( q, q. On suose que 8 h(q ; alors toutes les -classes de K caitulent dans K ( et le groue G Gal(K ( /K est diédral. Preuve. On sait arès la roosition 5, que le -groue de classes de K est engendré ar les classes [Y1 l] et [Y 1 l]. Montrons que Y 1 ly l caitule dans K (. Comme dans le cas 1 du théorème 9, on trouve que [Y1 ly l ] est la seule -classe bigue non

34 A. AZIZI ET A. MOUHIB triviale relativement à l extension K/ ( qq et K ( est le -cors de genres relatif de l extension K/ ( qq. D arès [Terada 1971], Y1 ly l caitule dans K (. Montrons que Y 1 caitule dans K (. On sait que Y 1 O K ( où est un idéal remier de K ( et que O L où est un idéal remier de L. D arès la roosition 6, Y 1 caitule dans K ( si et seulement si est rincial. Montrons que est rincial. Soit ε qq l unité fondentale de ( qq. Comme ( ( q ( q 1, il existe arès le lemme 5eux entiers naturels y 1 et y tels que ε qq 1 y 1 q + 1 y q. Par conséquent on a O L ( ε qq ε qq O L. Comme ε qq est un entier de L, l idéal est rincial. Par suite l 1 et l sont rinciaux. Ainsi, toutes les -classes de K caitulent dans K (. De lus, comme 8 h(l, alors K (1 K ( et d arès [Kisilevsky 1976], le groue Gal(K ( /K est diédral. Conclusion. Soient d 1 et d deux entiers naturels sans facteurs carrés et remiers entre eux, K Q( d 1 d, K (1 le -cors de classes de Hilbert de K et K ( le - cors de classes de Hilbert de K (1 (1. On suose que Gal(K /K / /, K ( K (1 et l extension K/Q( d 1 d est rifiée. Alors il existe toujours une sous-extension rore de K (1 /K où toutes les -classes de K caitulent. Plus récisément le groue Gal(K ( /K est abélien ou diédral. Exemles numériques. Soit K ( d 1, d où d 1 et d sont deux entiers naturels sans facteurs carrés et remiers entre eux tels que K/ ( d 1 d est rifiée. On suose que Gal(K (1/K / / et K ( K (1. Soit alors L le cors biquadratique contenu dans K ( tel que le -groue de classes de L est cyclique et l extension K ( /L est non rifiée. On sait arès le théorème 9, qu il existe deux cas de cors K dont le -groue de classes est de tye (,. On donne des exemles numériques corrésondant à chaque cas. Dans la suite, q, q sont des remiers différents vérifiant q q 1 (mod 4. Cas 1 d 1 et d q où ( ( q 1. Soient 113 et q 3. On a ( ( 1, ( q, 4 ((/8 1 et h( 8. De lus on a L ( q, et e( ; ar suite Q L. Ainsi d arès la roosition 1, on a K ( K (1. D autre art on a Gal(K ( /K [K ( : L] h(l Q Lh(h(qh(q h( 8 4 et d arès le théorème 10, le groue Gal(K ( /K est diédral d ordre 8.

CAPITULATION DES -CLASSES D IDÉAUX DE CORPS BIQUADRATIQUES 35 Soient 3313 et q 11. On a ( ( 1, q, ( 4 ((/8 1 et h( 16. De lus on a L ( q, et e( ; ar suite Q L (voir lemme 4. Ainsi d arès la roosition 1, on a K ( K (1. D autre art on a Gal(K ( /K h(l h( 16 et d arès le théorème 10, le groue Gal(K ( /K est diédral d ordre 16. Soient 41 et q 19. On a ( ( 1 et q ; de lus ( 4 ((/8. Alors arès la roosition 1, K (1 K ( et le groue Gal(K ( /K est abélien. Cas d 1 q et d q où ( ( q ( q 1. Soient 433, q 3 et q 7. On a ( ( q ( q 1 et h(q 8. Ainsi arès la roosition 4, on a K (1 K (. D autre art, on a L ( q, q, Q L et Gal(K ( /K Q L h(qh(qq h(q h(l h(q 8. 4 D arès le théorème 11, le groue Gal(K ( /K est diédral d ordre 8. Soient 17, q 7 et q 31. On a ( ( q ( q ( 1 et 4 ((/8. D arès la roosition 4, Gal(K ( /K est abélien. Soient 1009, q 11 et q 7. On a ( ( q ( q 1 et h(q 8. D arès la roosition 4, K (1 K ( (. D arès le théorème 11, Gal(K /K est diédral d ordre 8. References [Azizi 000] A. Azizi, Sur la caitulation des -classes d idéaux de k Q( q, i où q 1 mod 4, Acta Arith. 94:4 (000, 383 399. MR 001k:111 Zbl 0953.11033 [Azizi et Mouhib 001] A. Azizi et A. Mouhib, Sur le rang du -groue de classes de Q( m, d où m ou un remier 1 (mod 4, Trans. Amer. Math. Soc. 353:7 (001, 741 75. MR 00b:1115 [Azizi et Mouhib 008] A. Azizi et A. Mouhib, Sur le -groue de classes du cors de genres de certains cors biquadratiques, Ann. Sci. Math. Québec. To aear. [Benjin et Snyder 1995] E. Benjin et C. Snyder, Real quadratic number fields with -class grou of tye (,, Math. Scand. 76: (1995, 161 178. MR 96m:11094 Zbl 0847.11058

36 A. AZIZI ET A. MOUHIB [Benjin et al. 1998] E. Benjin, F. Lemmermeyer et C. Snyder, Real quadratic fields with abelian -class field tower, Journal of Number Theory 73: (1998, 18 194. MR 000c:11179 Zbl 0919.11073 [Cohn 1978] H. Cohn, A classical invitation to algebraic numbers and class fields, Sringer-Verlag, New York, 1978. MR 80c:1001 [Couture et Derhem 199] R. Couture et A. Derhem, Un roblème de caitulation, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 314:11 (199, 785 788. MR 93c:11100 Zbl 0778.11059 [Gorenstein 1980] D. Gorenstein, Finite grous, Second éd., Chelsea Publishing Co., New York, 1980. MR 81b:000 [Hasse 1930] H. Hasse, Neue Begründung und Verallgemeinerung der Theorie der Normenrestsymbols, J. Reine Angew. Math. 16 (1930, 134 144. [Kalan 1976] P. Kalan, Sur le -groue des classes d idéaux des cors quadratiques, J. Reine Angew. Math. 83/84 (1976, 313 363. MR 53 #8009 [Kisilevsky 1976] H. Kisilevsky, Number fields with class number congruent to 4 mod 8 and Hilbert s theorem 94, J. Number Theory 8:3 (1976, 71 79. MR 54 #5188 Zbl 0334.1019 [Kubota 1956] T. Kubota, Über den bizyklischen biquadratischen Zahlkörer, Nagoya Math. J. 10 (1956, 65 85. MR 18,643e [Kučera 1995] R. Kučera, On the arity of the class number of a biquadratic field, J. Number Theory 5:1 (1995, 43 5. MR 96e:11139 [Terada 1971] F. Terada, A rincial ideal theorem in the genus field, Tôhoku Math. J. ( 3 (1971, 697 718. MR 46 #585 Zbl 043.1003 [Wada 1966] H. Wada, On the class number and the unit grou of certain algebraic number fields, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 13 (1966, 01 09 (1966. MR 35 #5414 Received October 15, 00. ABDELMALEK AZIZI DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES FACULTÉ DES SCIENCES UNIVERSITÉ MOHAMMED 1 OUJDA MAROC azizi@sciences.univ-oujda.ac.ma ALI MOUHIB DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES FACULTÉ DES SCIENCES UNIVERSITÉ MOHAMMED 1 OUJDA MAROC