La géométrie du compas onstructions au compas - Théorème de Mohr-Mascheroni aptiste GRN ans les treize livres des Éléments, les constructions géométriques étudiées par Euclide s effectuent à la règle et au compas uniquement. ertains problèmes de construction à l aide de ces seuls instruments se sont révélés impossible ; il en est ainsi de la quadrature du cercle, de la duplication du cube et de la trisection de l angle. Par ailleurs, il s avère que si la construction d un point à la règle et au compas peut être réalisée, seul le compas suffit pour le construire. ette note s intéresse à la géométrie du compas. es constructions effectuées à l aide du compas, qu elles soient élémentaires, classiques ou célèbres, sont tout d abord présentées avant de démontrer le théorème de Mohr-Mascheroni.. onstructions au compas onstruction.1 Étant donnés une droite et un point, construire, au compas, le symétrique de par rapport à. Première construction Soient et J deux points de. Les cercles de centres et J passant par se coupent en (et ). Le point est le symétrique de par rapport à. euxième construction Soit un cercle de centre et de rayon R coupant en et J. Les cercles de centres et J et de rayon R se coupent en et. Le point est le symétrique de par rapport à. J J onstruction.2 Étant donnés deux points et, construire, au compas, le symétrique de par rapport à. Première construction Soit le cercle de centre passant par. À partir du point, reporter sur le cercle trois fois la longueur. Le point obtenu est le symétrique de par rapport à.
La géométrie du compas 2 En effet, la construction fait apparaître trois triangles équilatéraux de sorte que les points, et sont alignés. euxième construction Soit le cercle de centre passant par. Le cercle de centre passant par coupe en et. Le cercle de centre passant par coupe en (et ). Le point est le symétrique de par rapport à. En effet, le cercle est circonscrit au triangle équilatéral. onstruction.3 Étant donné un segment [], construire, au compas, un segment de longueur n. onstruction Posons 0 = et 1 =. onstruire, pour k = 2,...,n, le point k, symétrique de k 2 par rapport à k 1 (construction.2). Le segment [ n ] a pour longueur n. onstruction.4 onstruire, au compas, le milieu d un segment [] donné. onstruction Soit le symétrique de par rapport à (construction.2). Les cercles de centre passant par et de centre passant par se coupent en et E. Les cercles de centres et E passant par se coupent en (et ). Le point est le milieu du segment [].
La géométrie du compas 3 E émonstration Pour des raisons de symétrie, le point appartient à la droite (). Première démonstration. Soient le symétrique de par rapport à et J le point d intersection des droites () et (E). J étant le pied de la hauteur issue de dans le triangle rectangle en, on a : 2 = J. omme = et = 4, il vient : = 4J. r, J est le milieu du segment [], donc = 2. insi est le milieu du segment []. euxième démonstration. Les triangles isocèles et ont un angle en commun ; ils sont donc semblables. où : = = 1 2 onc = 1 2. insi est le milieu du segment []. onstruction.5 Étant donnés une droite et un point, construire, au compas, le projeté orthogonal de sur. onstruction Soit le symétrique de par rapport à (construction.2). Soit H le milieu du segment [ ] (construction.4). Le point H est le projeté orthogonal de sur..q.f.. onstruction.6 Étant donnés un cercle de centre et un point extérieur à, construire, au compas, les points de tangence à. onstruction Soit le milieu du segment [] (construction.4). Le cercle de centre passant par coupe en T 1 et T 2. T 1 et T 2 sont les points de tangence à. T 1 T 2
La géométrie du compas 4 En effet, les triangles T 1 et T 2 sont rectangles en T 1 et T 2 respectivement, donc leur cercle circonscrit a pour diamètre l hypoténuse []. onstruction.7 onstruire, au compas, un carré dont un coté [] est donné. onstruction Soit le cercle de centre passant par. Soient,J et les points de obtenus en reportant trois fois la longueur à partir de. est alors le point diamétralement opposé à (construction.2). Les cercles de centre passant par J et de centre passant par se coupent en K. Le cercle de centre et rayon K coupe en. Les cercles de centre passant par et de centre passant par se coupent en (et ). Le quadrilatère est un carré. K J émonstration ans le triangle J rectangle en J, on a : J = 3. ans le triangle K, rectangle en K, on a : K 2 = K 2 2 = J 2 2 = 2 2. Par suite, = 2 est la diagonale d un carré de côté..q.f.. Remarque 1. ette construction permet répondre aux problèmes suivants : construire un carré inscrit dans un cercle donné ; étant donnés deux points et, construire un point K tel que (K) et () soient perpendiculaires. onstruction.8 onstruire, au compas, un carré dont deux sommets opposés et sont donnés. onstruction n note et les cercles de centres et et de rayon. Soient E le symétrique de par rapport à et F le symétrique de par rapport à (construction.2). Les cercles E et F de centres E et F et de rayon E = F coupent et en H et G. Les cercles E et F de centres E et F et de rayon EG = FH se coupent en et. Le quadrilatère est un carré. G H F E E F E F
La géométrie du compas 5 émonstration En considérant le triangle FG, on a : onc, dans le triangle EG, il vient : EG 2 cos Ä FG ä = F 2 +G 2 FG 2 2F G = 1 4 = E 2 +G 2 2E Gcos Ä GE ä = 2 2 +2 2 cos Ä FG ä = 5 2 2 r, la droite () est la médiatrice des segments [] et [EF] ; donc, si est le milieu (commun) de ces deux segments, on a : 2 = E 2 E 2 = EG 2 9 4 2 = 5 2 2 9 4 2 = 1 4 2 Par suite : = = 1 2. Finalement est un carré. onstruction.9 iviser, au compas, un arc de cercle en deux parties égales..q.f.. onstruction Soient un cercle de centre, et deux points de. Soient et les points tels que et soient des parallélogrammes. Soit E le point d intersection des cercles de centres et et de rayon =. Soient enfin et J les points d intersection des cercles de centres et et de rayon E. lors et J appartiennent au cercle et divisent les petit et grand arcs de cercle à en deux parties égales. E J émonstration La figure présentant un axe de symétrie auquel les points,e, et J appartiennent, il suffit de montrer que et J sont sur le cercle. ans le parallélogramme, on a : 2 + 2 = 2( 2 + 2 ) soit : 2 = 2 2 +R 2. Le triangle E étant rectangle en, on a, d après le théorème de Pythagore : E 2 = 2 +E 2. omme = E, il vient : E 2 = 2 +R 2. Le triangle étant rectangle en, on a, d après le théorème de Pythagore : 2 = 2 2. après ce qui précède, il vient : 2 = E 2 2 = 2 +R 2 2 = R 2. insi = R. e même, on a J = R. insi et J appartiennent au cercle et, par conséquent, divisent les petit et grands arcs de cercle à en deux parties égales..q.f..
La géométrie du compas 6 onstruction.10 Étant données trois longueurs a,b et c, construire, au compas, la longueur d telle que a b = c d. onstruction Premier cas : b < 2a Soient 1 et 2 les cercles de centres et de rayons respectifs a et c. Soient, 1 tels que = b ( et existent puisque c < 2a). Soit l une longueur telle que l > a c. Les cercles de centres et et de rayon l coupent 2 en et. lors = d. 1 2 En effet, les triangles et sont isométriques de sorte les triangles isocèles et sont semblables ; d où : soit : a b = c. n a bien = d. euxième cas : b 2a et c < 2a = l suffit de considérer l égalité a c = b d au lieu de a b = c et d appliquer le premier cas. x Troisième cas : b 2a et c 2a l suffit de construire une longueur na (construction.3) telle que b < 2(na) puis d appliquer le premier cas en construisant la longueur d telle que na b = c d. lors d = nd (construction.3). onstruction.11 iviser, au compas, un segment donné [] en un segment de longueur n. onstruction Soit [) tel que = n (construction.3). Soit d la longueur telle que = (construction.10). d lors d = n. onstruction.12 onstruire, au compas, l inverse d un point, le cercle d inversion i étant donné par son centre et son rayon R. Première construction Premier cas : > R 2 Soient et les points d intersection de i et du cercle de centre passant par. Les cercles de centres et passant par se coupent en (et ). Le point est l inverse de par rapport à i.
La géométrie du compas 7 i Pour des raisons de symétrie, le point appartient à la droite (). Par ailleurs, les triangles isocèles et ont un angle en commun ; ils sont donc semblables. où : Soit : = 2 = R 2. et sont donc inverses l un de l autre. euxième cas : R 2 = Soit 1 [) tel que 1 = n > R 2 (construction.3) et 1 l inverse de 1 par rapport à i (premier cas). Soit [) tel que = n 1 (construction.3). Le point est l inverse de par rapport à i. En effet, on a : = 1 n n 1 = 1 1 = R 2. euxième construction Premier cas : = R et sont confondus. euxième cas : > R Soit T un point de tangence i (construction.6). Soit la projection orthogonale de T sur la droite (). Le point est l inverse de par rapport à i. T i En effet, les triangles rectangles T et T sont semblables : d où : T = T Soit : = T 2 = R 2. et sont donc inverses l un de l autre. Troisième cas : < R Soient 1 [) tel que 1 = n > R (construction.3) et 1 l inverse de 1 par rapport à i (deuxième cas). Soit [) tel que = n 1 (construction.3). Le point est l inverse de par rapport à i.
La géométrie du compas 8 onstruction.13 À son retour de la campagne d talie, Napoléon onaparte signala à l cadémie des Sciences l oeuvre du mathématicien italien Lorenzo Mascheroni (1750-1800) et présenta notamment le problème suivant : onstruire, au compas, le centre d un cercle donné sans son centre Pierre Simon de Laplace (1749-1827) aurait dit alors : «nous attendions tout de vous, général, sauf des leçons de géométrie». Première construction Soient et deux points du cercle. Le cercle 1 de centre passant par recoupe le cercle en. Les cercles de centres et passant par se coupent en (et ). Le cercle 2 de centre passant par coupe 1 en E et F. Les cercles de centre E et F passant par se coupent en, centre du cercle. E 2 1 F ette construction a été fournie par Napoléon. ependant, on pense que l auteur de cette solution est Mascheroni et que celle-ci a été soufflée à l empereur par Gaspard Monge (1746-1818). émonstration Soit le point obtenu par la construction précédente. Notons que la figure admet un axe de symétrie, à savoir la droite à laquelle les points,, et appartiennent. e plus, tous les points de la figure appartiennent au même demi-plan déterminé par la tangente à en. Première démonstration. Soient le point d intersection de () et (), J le point d intersection de (EF) et ( ). et J sont les milieux respectifs des segments [] et [ ]. Montrons que coïncide avec le centre du cercle, autrement dit que J est le milieu de []. Notons R,R 1 et R 2 les rayons respectifs des cercles, 1 et 2. appartient à l axe radical des cercles et 1, dont a la même puissance par rapport à ceux deux cercles : soit : 2 R 2 = 2 R 2 1 2 2 = R 2 1 R2 2 ( ) 2 = R 2 1 R 2 2 2 = R 2 1 R2 donc : = R2 1 2 = R2 1 2R. e même, J appartient à l axe radical des cercles 1 et 2, donc : J = R2 1 2R 2. r, est le milieu du segment [], donc = R 2 2.
La géométrie du compas 9 Par suite, on a : = R2 1 2R = R 2 2, soit R2 1 = RR 2. Finalement : J = R2 1 = R, autrement dit J est le milieu du segment []. 2R 2 2 euxième démonstration. Les triangles et sont isocèles en et respectivement. omme ils ont l angle en commun, ils sont donc semblables. où : = soit : 2 =. Les triangles E et E sont isocèles en E et respectivement. omme ils ont l angle E en commun, ils sont donc semblables. où : E = E soit : E 2 =. r, et E appartiennent au cercle 1, donc = E. où : =. omme les point, et sont alignés et appartiennent à un même demi-plan, on en conclut que les points et sont confondus..q.f.. euxième construction Soient et deux points du cercle. Le cercle 1 de centre passant par recoupe le cercle en. Soit le point de 1 diamétralement opposé à (construction.2). Les cercles de centres et et de rayon se coupent en E. Le cercle de centre E et de rayon coupe 1 en F (et ). La longueur F est égal au rayon du cercle. Les cercles de centre et et de rayon F se coupent en, centre du cercle. F 1 E émonstration F étant le symétriques de par rapport à la droite (E), les triangles isocèles EF et E sont isométriques. n a : F = π E EF = π 2 EF = FE Le triangle F étant isocèle en, on en déduit que les triangles F et EF sont semblables. onc : F F = F E omme E =, il vient : F 2 = F. Soit H le pied de la hauteur issue de de dans le triangle. n a :
La géométrie du compas 10 = 4R() où R désigne le rayon du cercle inscrit au triangle. H omme () =, on obtient : = 2R H. 2 Les triangles H et rectangles en H et respectivement étant semblables, on a : H = 1 2. onc : = 2 = R. et F appartenant au cercle 1, on a = F, donc F = R. insi F = R. Troisième construction Soient, et trois points du cercle. Soient i le cercle de centre passant par et i l inversion correspondante. Soit l inverse de par i (construction.12). Les cercles de centres et passant par se coupent en et. L inverse de par i est le centre du cercle. i.q.f.. émonstration Les inverses de et par i sont et respectivement. n en déduit que les inverses des cercles de centres et passant par sont les médiatrices des segments [] et []. En considérant les points d intersection, on en déduit que l inverse de est le centre du cercle circonscrit au triangle..q.f.. Remarque 2. Pour cette troisième construction, seule la donnée de trois points du cercle suffit à construire le centre ; le tracé du cercle est inutile.. Théorème de Mohr-Mascheroni En 1797, dans La geometria del compasso, Lorenzo Mascheroni démontre que tout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul. r, il s avère que le mathématicien danois Georg Mohr a démontré ce résultat en 1672 dans Euclides danicus (Euclide le danois), ouvrage perdu et ignoré, retrouvé en 1928 chez un bouquiniste de openhague par un étudiant en mathématiques. Théorème (Mohr-Mascheroni). Tout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul. émonstration l suffit de montrer que les points suivants sont constructibles au compas uniquement : les points d intersection de deux cercles déterminé chacun par son centre et son rayon (construction.1); les points d intersection d un cercle donné par son centre et son rayon et d une droite donnée par deux points (construction.2);
La géométrie du compas 11 les points d intersection de deux droites déterminées chacune par deux points (construction.3). onstruction.1 l n y a rien à démontrer. Première démonstration onstruction.2 Soient un cercle de centre et de rayon R et une droite déterminée par deux points et. Notons X et Y les points d intersection de et. Premier cas : n appartient pas à la droite Les cercles de centre et passant par se recoupent en, symétrique de par rapport à. Soit alors le symétrique de par rapport à. X et Y sont alors les points d intersection de et. Y X euxième cas : appartient à la droite. Soient et le deuxième point d intersection de et () (premier cas). Soit 1 un cercle de centre 1 passant par et et de rayon R 1 supérieur à R. n considère deux points E et F de 1 tels que EF = 2R (la longueur 2R est constructible à partir de deux points diamétralement opposés sur ). Soit un point d intersection de la droite (EF) avec le cercle de centre 1 passant par (premier cas). Soient 2 le milieu du segment [EF] (contruction.5) et 2 le cercle de centre 2 passant par E. n considère un point G de 2 tel que G =. Les points X et Y sont alors déterminés par : X,Y,X = EG,Y = FG. 1 X 2 1 F Y 2 E G En effet, la puissance de par rapport au cercle est égale à : X Y = La puissance de par rapport au cercle 2 est égale à : = 2 1 R2 1 = 2 1 R2 1 = E F n en déduit que X Y = E F. l s ensuit que la configuration déterminée par les points, X,, Y et est isométrique à celle déterminée par
La géométrie du compas 12,E, 2,F et G. onstruction.3 Soient 1 et 2 deux droites déterminées par les points 1 et 1 d une part, 2 et 2 d autre part. Notons leur point d intersection. Première méthode Soient H le projeté orthogonal de 1 sur 2 et K le projeté orthogonal de H sur 1 (construction.5). n a : 1 H 2 = 1 K 1. onstruisons la longueur l = 1 : soient le symétrique de 1 par rapport à H (construction.2), un cercle passant par 1 et, tel que H = 1 K, et E le second point d intersection de et (H) (construction.1). lors HE = l. En effet : H 2 1 = H 1 H = H HE = 1 K HE ; il vient : HE = 1 = l. E 2 1 1 H 2 2 K 1 est alors le point d intersection de la droite 1 et du cercle de centre 1 et de rayon l (deuxième cas de la construction.2). euxième méthode Soient 1 et 1 les symétriques de 1 et 1 par rapport à la droite ( 2 2 ) (construction.1). Soit le point tel que 1 1 1 soit un parallélogramme. Soit d la longueur telle que 1 1 = 1 1 (construction.10). 1 d est alors un des deux points d intersection des cercles de centre 1 et 1 et de rayon d. 1 2 1 1 2 2 1 1 En effet, d après le théorème de Thalès, on a : onc 1 = 1 = d. euxième démonstration 1 1 1 = 1 1 1. onstruction.2 Soient un cercle de centre et de rayon R et une droite déterminée par deux points et. Notons X et Y les points d intersection de et. Soient i un cercle ne contenant aucun élément de la figure, P son centre et i l inversion par rapport à i. Soient et les inverses de et par i (construction.12) et 2 le cercle circonscrit au triangle P
La géométrie du compas 13 (dont le centre est déterminé par la troisième construction.13). Soit 1 l inverse du cercle par i (construit à partir des inverses de trois points de et dont le centre est déterminé par la troisième construction.13). Soient X et Y les points d intersection des cercles 1 et 2. Les points X et Y sont les inverses de X et Y par i (construction.12). i Y 2 Y P X 1 X En effet, le cercle 2 est l inverse de la droite par i. onc, les points d intersection des cercles 1 et 2 ont pour inverses par i les points d intersection du cercle et de la droite, à savoir X et Y. onstruction.3 Soient 1 et 2 deux droites déterminées par les points 1 et 1 d une part, 2 et 2 d autre part. Notons leur point d intersection. Soient i un cercle ne contenant aucun élément de la figure, P son centre et i l inversion par rapport à i. Soient 1, 1, 1 et 1 les inverses de,, et par i (construction.12). Soient 1 et 2 les cercles circonscrits aux triangle P 1 1 et P 1 1 (dont les centres sont déterminés par la troisième construction.13). Les cercles 1 et 2 se coupent en (et P). Le point est l inverse de par i (construction.12). 2 2 2 2 2 P 2 1 1 1 1 1 i 1 En effet, les cercles 1 et 2 sont les inverses des droites 1 et 2 respectivement. onc, le point d intersection des cercles 1 et 2 a pour inverse par i le point d intersection des droites 1 et 2, à savoir..q.f..