BZ - SERIES FORMELLES

BZ - SERIES FORMELLES Le corps K étant R ou C, on se place dans l espace vectoriel l(k des suites à coefficients dans K. Définition 1 Si a = (a n n 0 est un élément de l(k, on appelle ordre de a le nombre ν(a = { inf{n N an 0} si a 0 + si a = 0. On a immédiatement et si λ est un nombre non nul, On pose alors ν(a + b min(ν(a, ν(b, ν(λa = ν(a. N(a = 2 ν(a. On définit ainsi une application de l(k dans R + qui vérifie les propriétés suivantes : 1 N(a = 0 si et seulement si a = 0, 2 N(λa = N(a pour toute suite a et tout scalaire non nul λ, 3 N(a + b max(n(a, N(b, 4 N(a 1. On définit alors une distance ultramétrique et bornée sur l(k en posant d(a, b = N(b a. De plus N(a N(b N(a b, et l application N est continue pour cette distance. Proposition 1 La topologie définie par la distance d n est autre que la topologie produit sur K N, où K est muni de la topologie discrète. Supposons que la suite (a(k k 0 converge vers a dans (l(k, d. Pour tout s 0, il existe k(s tel que, si k est supérieur à k(s, alors d(a(k, a < 2 s,

BZ 2 c est-à-dire et donc, La suite (a(k s k 0 est donc stationnaire. ν(a(k a > s, a(k s = a s. On remarque au passage que l application π n qui à a associe a n est alors continue. Inversement, si pour tout s 0, il existe k(s tel que, si k est supérieur à k(s alors posons Alors, si k K(s, et 0 r s, on a donc et a(k s = a s, K(s = max 0 r s k(r. a(k r = a r, ν(a(k a s + 1, d(a(k, a 2 (s+1. Il en résulte que la suite (a(k k 0 converge vers a. Conséquence : si a = (a n n 0 est dans l(r la suite (a(k k 0 définie par converge vers a. a(k = (a 1,..., a k, 0,..., 0,... Proposition 2 Pour tout entier k, l ensemble ν 1 ({k} est connexe. Tout d abord, ν 1 ({k} = N 1 ({2 k } est fermé comme image réciproque d un fermé par une application continue. D autre part, soit a dans ν 1 ({k} et b dans la boule ouverte de centre a et de rayon 2 k. On a donc d(a, b < 2 k, d où l on déduit donc N(a b 2 (k+1, ν(a b k + 1.

BZ 3 Comme ainsi que on en déduit que d où l on déduit finalement a 0 = = a k 1 = 0 et a k 0, a 0 b 0 = = a k b k = 0, b 0 = = b k 1 = 0 et b k 0, ν(a = ν(b = k. La boule ouverte de centre a et de rayon 2 k est incluse dans ν 1 ({k} qui est donc ouvert. Opérations dans l(k En plus des opérations d espace vectoriel, on définit le produit ( n (a n (b n = a k b n k. On définit alors sur l(k une structure d algèbre commutative intègre unitaire. L élément neutre étant 1l = (1, 0,..., 0,.... De plus ν(ab = ν(a + ν(b et N(ab = N(aN(b. L intégrité de l anneau résulte de cette dernière formule. Posons alors Par définition du produit z = (0, 1, 0,..., 0,.... z n = (0,..., 0, 1, 0,..., 0,... où le nombre 1 figure à la n + 1 ième place. Si a = (a k est dans l(k on a et, pour k 1, (a 0, 0,..., 0,... = a 0 1l, (0,..., 0, a k, 0,..., 0,... = a k z k. Alors n (a 0, a 1,..., a n, 0,..., 0,... = a 0 1l + a k z k. k=1

BZ 4 Comme l application qui à λ associe λ 1l est un morphisme injectif ( d algèbre de K dans l(k, on peut n confondre λ avec λ 1l. Alors, puisque a est la limite de la suite a k z k, on en déduit que a est la somme d une série. On a a = a k z k. Un tel objet sera appelé une série formelle et nous noterons désormais K[[z]] l ensemble des séries formelles à coefficients dans K. L ensemble K[z] est alors une sous-algèbre dense de K[[z]]. n 0 Proposition 3 L anneau K[[z]] est un anneau topologique. Pour l addition, on a N((a 1 b 1 (a 2 b 2 = N((a 1 a 2 (b 1 b 2 max(n(a 1 a 2, N(b 1 b 2. L application qui à (a, b associe a b est donc continue. Pour le produit N(a 1 b 1 a 2 b 2 = N(a 1 (b 1 b 2 + b 2 (a 1 a 2 max(n(a 1 (b 1 b 2, N(b 2 (a 1 a 2 max(n(a 1 N(b 1 b 2, N(b 2 N(a 1 a 2 max(n(a 1 a 2, N(b 1 b 2. L application qui à (a, b associe a b est donc continue. Remarque : l application qui à (λ, a associe λa de K K[[z]] dans K[[z]] n est pas continue si K est muni de la valeur absolue. Elle ne l est que pour la topologie discrète. Donc K[[z]] n est pas une algèbre topologique. Séries dans K[[z]] Théorème 1 La série S = f n est convergente dans K[[z]] si et seulement si la suite (ν(f n admet + pour limite, ou encore si et seulement si la suite (N(f n converge vers 0. De plus N(S max k 0 N(f k.

BZ 5 Notons S k la somme partielle de rang k de la série. Si la série est convergente, la suite (S k converge vers S donc (f k = (S k+1 S k converge vers 0. Alors (N(f k converge vers 0 et (ν(f k admet + pour limite. Réciproquement, si (ν(f k admet + pour limite, pour tout r il existe N r tel que, si k > N r, alors d où l on déduit Alors π r (S k = ν(f k > r, π r (f k = 0. k N r π r (f n = π r (f n = π r (S Nr. Donc la suite (π r (S k k 0 est constante à partir d un certain rang. Alors si l on note u r cette constante et si l on pose S = u n z n, on a, à partir d un certain rang, et donc la suite (S k converge vers S. Enfin donc π r (S k = π r (S, N(S n max 0 k n N(f k max k 0 N(f k, N(S max k 0 N(f k. Remarque : le résultat précédent s interprète comme une permutation de sommations. Si on a alors Les sommes f k = f k = a n (k z n, ( a n (k z n. a n (k ne comportent en fait qu un nombre fini de termes.

BZ 6 Composition de séries formelles Théorème 2 Soit f et g deux séries formelles. Si l on a la série f = a n z n, a n g n converge dans deux cas seulement : 1 si l ordre de g est non nul, 2 si f est un polynôme. On a ν(a k g k = { + si ak = 0 k ν(g si a k 0. La série converge si et seulement si la suite (ν(a k g k admet + pour limite. Alors, ou bien a k = 0 pour k k 0 et f est un polynôme, ou bien il existe une suite (p k telle que a pk soit non nul pour tout k. Dans ce cas la suite (p k ν(g admet + pour limite et donc ν(g n est pas nul. Inversement si ν(g est non nul, on a ν(a k g k k ν(g, et donc la suite (ν(a k g k admet + pour limite et la série converge. D autre part si f est un polynôme la série est une somme finie. Définition 2 Lorsque la série précédente converge, on notera f g = a n g n. C est la composée des séries f et g. Remarque : en composant les séries f et z, on retrouve f et on notera indifféremment n f = f z = f(z = a k z k. Proposition 4 K n [z] K[[z]]. L application qui à (f, g associe f g est continue sur K[[z]] ν 1 (N et sur

BZ 7 Du fait des relations N(f 1 g 1 f 2 g 2 max(n(f 1 g 1 f 1 g 2, N(f 1 g 2 f 2 g 2 il suffit de montrer que la continuité est séparée. Lemme 1 On a N(f g 1 f g 2 N(g 1 g 2. Tout d abord N(g n 1 g n 2 = N(g 1 g 2 N(g n 1 1 + g n 2 1 g 2 + + g n 1 2 N(g 1 g 2. Alors ( N(f g 1 f g 2 = N a k (g1 k g2 k max k 0 N(a k(g k 1 g k 2 max k 0 N(gk 1 g k 2 N(g 1 g 2. Lemme 2 Dans K[[z]] ν 1 (N, on a N(f 1 g f 2 g N(f 1 f 2. Comme ν(g n est pas nul, on a Donc ν(g k = k ν(g k. N(g k 2 k. Alors N(f 1 g f 2 g max k 0 N((a k(1 a k (2g k. Or N((a k (1 a k (2g k est nul si k < ν(f 1 f 2, donc N(f 1 g f 2 g max k ν(f 1 f 2 N((a k(1 a k (2g k max k ν(f 1 f 2 N(gk max k ν(f 1 f 2 2 k 2 ν(f 1 f 2 = N(f 1 f 2.

BZ 8 Lemme 3 Dans K n [z] K[[z]], on a N(f 1 g f 2 g 2 n N(f 1 f 2. On a N(f 1 g f 2 g max k 0 N((a k(1 a k (2g k max k 0 N(a k(1 a k (2. Or N(a k (1 a k (2 vaut 1 si a k (1 a k (2 est non nul, et 0 sinon. Si l on a alors et donc Si par contre ν(f 1 f 2 = k n, N(f 1 g f 2 g 1 N(f 1 f 2 = 2 k, N(f 1 g f 2 g 2 k N(f 1 f 2 2 n N(f 1 f 2. ν(f 1 f 2 > n, alors f 1 f 2 est nul et donc f 1 = f 2 et l inégalité est évidente. Remarque : les propriétés habituelles de la composée d applications restent vraies pour les séries formelles sous réserve d appartenir aux ensembles convenables. On a par exemple f (g h = (f g h, (f + g h = f h + g h, (fg h = (f h(g h. Il suffit pour le voir d utiliser la densité des polynômes dans l ensemble des séries formelles. Inverse d une série formelle Théorème 3 Soit f dans K[[z]]. Il existe une série formelle g telle que fg = 1 si et seulement si ν(f = 0. Cette série est alors unique et notée 1/f. C est l inverse de f. En raison des propriétés de ν, si l on a la relation fg = 1 alors ν(1 = 0 = ν(f + ν(g

BZ 9 ce qui implique ν(f = ν(g = 0. Soit alors une série f telle que ν(f = 0. Donc avec a 0 non nul. Considérons la série g = 1 a 0 f = a n z n Comme le terme constant de 1 f/a 0 est nul, on a ( 1 f a 0 n. n ν ((1 fa0 n, et la série définissant g converge d après le théorème 1. Notons g k sa somme partielle de rang k. Alors fg k = ( ( 1 1 f k ( 1 f n = a 0 a 0 k ( 1 f a 0 n k ( 1 f a 0 n+1. En simplifiant, il reste ( fg k == 1 1 f k+1. a 0 Comme la suite (N(1 f/a 0 k+1 converge vers 0, on en déduit que la suite (fg k converge vers 1, et donc que le produit fg vaut 1. D où l existence de g. L unicité résulte de l intégrité de l anneau. On peut également retrouver ce résultat en calculant les coefficients de g en fonction de ceux de f. En écrivant le produit on obtient, et, si n 1, d où fg = 1, b 0 = 1/a 0, n b k a n k = 1, b n = 1 n 1 b k a n k. a 0

BZ 10 Proposition 5 L application qui à f associe 1/f est une isométrie de ν 1 ({0}. En écrivant 1/f 1/g = (g f/(fg, on obtient N(1/f 1/g N(g f = N(f g, puis en changeant f en 1/f et g en 1/g N(f g N(1/f 1/g, d où l égalité. Propriété : lorsque la composée a un sens, on a (1/f g = 1/(f g. En effet Donc par unicité (f g(1/f g = 1 g = 1. (1/f g = 1/(f g. Définition 3 Si f est dans K[[z]] et g dans ν 1 ({0}, on définit alors le quotient f/g par f/g = f (1/g. Dérivée d une série formelle Définition 4 Si f = a k z k, on appelle série dérivée de f la série notée f définie par f (z = (k + 1a k+1 z k. Théorème 4 dans lui-même. L application D qui à f associe f est une application linéaire continue de K[[z]]

BZ 11 La linéarité est évidente. Pour la continuité, montrons tout d abord le lemme suivant. Lemme 4 On a N(f = 2N(f a 0. Si l on a ν(f = k > 0, alors a 0 est nul et ν(f = k 1 = ν(f 1 = ν(f a 0 1. D autre part, si ν(f = 0, alors ν(f a 0 > 0, donc, en appliquant ce qui précède à f a 0, on obtient ν(f = ν((f a 0 = ν(f a 0 1. En revenant à N, on obtient le résultat voulu. Alors si (f n converge vers f, on a, à partir d un certain rang, a 0 (f n = a 0 (f, d où, à partir de ce rang, ce qui montre la continuité de D. N(f n f = 2N(f n f, Notations : si f est une série formelle, on notera f(0 le terme constant de la série. On notera f (k la série formelle dérivée d ordre k obtenue par la relation de récurrence f (k = (f (k 1 à partir de On obtient alors la formule de Taylor f (0 = f. f(z = f (k (0 k! En effet, par une récurrence immédiate, le terme constant de f (k vaut f (k (0 = k!a k. z k.

BZ 12 Propriétés : a (f + g = f + g, b f = 0 si et seulement si f est constante, c f (k = 0 si et seulement si f appartient à K k [z], d (fg = f g + gf, e (fg (k = k r=0 ( k r f (r g (k r, f (f k = kf f k 1 pour k Z, lorsque f k existe. g (f g = (f gg lorsque la composée existe. a est la linéarité. b et c résultent de la formule de Taylor. d est vraie pour les polynômes donc, par densité, pour les séries formelles. e se déduit de d par récurrence. f pour n = 2, se déduit de d, puis par récurrence pour tout entier positif et toute série formelle. Si f est dans ν 1 ({0}, en partant de la dérivée de (1/ff = 1 on trouve (1/f = f /f 2 = f f 2. Si on applique cette formule à f n lorsque n 0, on obtient (f n = ( nf f n 1 /f 2n = nf f n 1. g La formule est vraie pour des polynômes et se conserve par densité chaque fois que la composée a un sens. Primitive d une série formelle Définition 5 Si f = a k z k, la série est appelée primitive de f. F (z = k=1 a k 1 k zk,

BZ 13 Proposition 6 L application I qui à f associe F est une application linéaire continue surjective de K[[z]] sur ν 1 (N, et l on a N(I(f = N(f, 2 ainsi que D I = Id. La linéarité est évidente et par construction ν(i(f = ν(f + 1. De même, par construction D I(f = f. Puissance d une série formelle de ν 1 (N Proposition 7 Si f = a n z n, on a, pour tout k 1, n=1 f k = P n,k (a 1,..., a n k+1 z n, n=k où P n,k appartient à N[z 1,..., z n k+1 ]. La lettre z n k+1 figurant dans un seul monôme qui est kz k 1 1 z n k+1. De plus, P k,k (z 1 = z k 1. La démonstration se fait par récurrence sur k. Si l on pose on a bien et les conditions sont vérifiées. P n,1 (z 1,..., z n = z n, f = P n,1 (a 1,..., a n z n, n=1

BZ 14 Supposons la propriété vraie à l ordre k. En écrivant le coefficient de z n dans f k+1 est alors Posons donc f k+1 = f k f, n 1 P r,k (a 1,..., a r k+1 a n r. r=k n 1 P n,k+1 (z 1,..., z n k = P r,k (z 1,..., z r k+1 z n r. r=k Cela donne bien un élément de N[z 1,..., z n k ] tel que f k+1 = n=k+1 Le terme contenant z n k se trouve uniquement dans P n,k+1 (a 1,..., a n k z n. P k,k (z 1 z n k + P n 1,k (z 1,..., z n k z 1. Comme le seul monôme de P n 1,k (z 1,..., z n k contenant z n k est, par hypothèse de récurrence, kz1 k 1 z n k, le terme contenant z n k dans P n,k+1 (z 1,..., z n k est alors Enfin z k 1 z n k + kz k 1 1 z n k z 1 = (k + 1z k 1 z n k. P k+1,k+1 (z 1 = P k,k (z 1 z 1 = z k+1 1. Série réciproque d une série formelle Remarque préliminaire : l application π 0 qui à f associe f(0 est un morphisme d algèbre de K[[z]] sur K. De plus, si f g a un sens, on a (f g(0 = f(g(0. En effet, ou bien ν(g est non nul, alors g(0 = 0, et (f g(0 = f(0 = f(g(0, ou bien f est un polynôme alors n f = a k z k, n f g = a k g k,

BZ 15 donc n n (f g(0 = π 0 (f g = a k π 0 (g k = a k g(0 k = f(g(0. Théorème 5 Si f appartient à ν 1 ({1}, il existe g unique dans ν 1 ({1} tel que g f(z = z, et cette série g est aussi l unique série telle que f g(z = z. C est la série réciproque de f. Si f possède un inverse à gauche, on a donc g f(z = z, et en particulier g(f(0 = 0. Puisque f(0 est nul, il en est de même de g(0. Cherchons donc g de la forme g = b k z k. k=1 Avec les notations utilisées plus haut pour les puissances de f, on a, en intervertissant les sommations, ( n g f(z = z = b k P n,k (a 1,..., a n k+1 z n. n=1 k=1 Donc g est inverse à gauche de f si et seulement si b 1 P 1,1 (a 1 = b 1 a 1 = 1, c est-à-dire puis d où l on tire, puisque b 1 = 1, a 1 n b k P n,k (a 1,..., a n k+1 = 0, k=1 P n,n (a 1 = a n 1,

BZ 16 la relation b n = 1 a n 1 n 1 b k P n,k (a 1,..., a n k+1, k=1 ce qui permet de déterminer, avec unicité, les coefficients b n par récurrence. Donc tout élément de ν 1 ({1} possède un inverse à gauche et celui-ci est aussi dans ν 1 ({1}. Alors l inverse à gauche est aussi inverse à droite. En effet, si g f(z = z et h g(z = z, on a et aussi d où h g f(z = h (g f(z = h(z h g f(z = (h g f(z = f(z, g f(z = f g(z = z. Théorème 6 L application de ν 1 ({1} dans lui-même qui à f associe f 1 est une isométrie. Si ν(f 1 f 2 = 1, alors a 1 (1 a 1 (2, et donc Il en résulte que b 1 (1 = 1 a 1 (1 1 a 1 (2 = b 1(2. ν(f 1 1 f 1 2 = ν(f 1 f 2. Si ν(f 1 f 2 = r > 1, cela signifie que les r 1 premiers coefficients de f 1 et f 2 sont identiques. La formule de calcul des coefficients de f1 1 et f2 1 montre que ces deux séries ont également leurs r 1 premiers coefficients identiques. Pour le r ième, ( b r (i = 1 r 1 a 1 (i r b k (ip r,k (a 1 (i,..., a r k+1 (i + b 1 (ip r,1 (a 1 (i,..., a r (i = 1 a 1 (i r On en déduit alors que et de nouveau k=2 ( r 1 k=2 b k (ip r,k (a 1 (i,..., a r k+1 (i + a r(i. a 1 (i 1 b r (1 b r (2 = a 1 (i r+1 (a r(1 a r (2 0 ν(f 1 1 f 2 2 = ν(f 1 f 2. Remarque : si l on veut que f g et g f aient un sens simultanément, il n y a que trois possibilités :

BZ 17 Si de plus on veut que 1 f et g sont dans ν 1 (N, 2 f et g sont dans K[z], 3 f ou g est dans K[z] ν 1 (N. g f(z = f g(z = z, on a f(0 = 0 si et seulement si g(0 = 0, donc f et g sont dans ν 1 (N, et, en dérivant, d où f g(zg (z = 1, f (0g (0 = 1, ce qui montre que f et g sont dans ν 1 ({1}. Cette situation est celle du théorème. Dans le cas où f et g sont des polynômes, on a deg(f g = deg(f deg(g = 1, et donc nécessairement Alors avec a non nul, ce qui donne deg(f = deg(g = 1. f(z = az + b g(z = 1 (z b. a Formule : Cela résulte de la dérivation de On obtient (f 1 = 1/f f 1. f f 1 (z = z. f f 1 (z(f 1 (z = 1. Théorème 7 L ensemble ν 1 ({1} est stable pour la composition des séries formelles et l application π 1 qui à f associe f (0 est un morphisme de groupe de ν 1 ({1} sur K. De la formule on déduit (f g = f g g, (f g (0 = f g(0g (0 = f (0g (0,

BZ 18 c est-à-dire π 1 (f g = π 1 (fπ 1 (g. Donc π 1 est un morphisme. De plus, si f est dans ν 1 ({1}, il en est de même de f 1 et L élément neutre du groupe ν 1 ({1} est z. π 1 (f 1 = 1 π 1 (f. Produit de séries de séries formelles Théorème 8 Soit deux séries convergentes F = d éléments de K[[z]]. Si l on pose f n et G = n h n = f k g n k, alors la série de terme général h n est convergente et h n = F G. g n On a N(h n max 1 k n N(f k g n k max 1 k n N(f kn(g n k. Comme les séries de terme général f n et g n sont convergentes, les suites (f n et (g n convergent vers 0. Donc, pour tout ε > 0, il existe un entier Q tel que, si k Q, N(f k < ε, et il existe un entier R, tel que, si k R Alors, soit Si k < Q, alors N(g k < ε. n N = Q + R. n k N Q = R donc N(f k N(g n k N(g n k < ε.

BZ 19 Si k Q Donc N(f k N(g n k N(f k < ε. N(h n < ε, ce qui prouve que la série est convergente. Par ailleurs, on peut écrire où Or, on a la majoration 2p S p = ( n ( p f k g n k = 2p k=p+1 N(S p ( 2p k f k r=0 f n ( p g r + 2p k=p+1 g n + S p, ( 2p k g k r=0 max (max(n(f k, N(g k, p+1 k 2p et le membre de droite converge vers 0 lorsque p tend vers l infini, d où h n = F G. f r. Série entière et série formelle Il est clair que toute série entière de rayon non nul peut être considérée comme une série formelle. Cependant, il faut remarquer qu il n y a aucun rapport entre la topologie de la convergence compacte sur les séries entières et la topologie définie par N. La suite de fonctions constantes (1/n n 1 converge uniformément vers 0, mais et la suite n a pas de limite pour N. N(1/n = 1 Inversement la suite (n n z n n 0 converge vers 0 pour N puisque N(n n z n = 2 n, mais elle n a pas de limite simple, puisque, pour tout z non nul, la suite (n n z n admet + pour limite. Il est clair par ailleurs que l application qui à une série entière associe la série formelle correspondante est compatible avec les différentes opérations définies ci-dessus. On pourra donc confondre les deux notions lorsque cela sera utile.

BZ 20 Exponentielle d une série formelle Si g est un élément de ν 1 (N, et si f(z = e z, la série formelle e g = f g a donc un sens. On peut en fait lui donner un sens pour toute série formelle g. En effet, il suffit de poser e g = e g(0 e g g(0. Toutes les formules classiques de l exponentielle sont alors valables 1 e f+g = e f e g, 2 e f = 1/e f, 3 (e f = f e f. Il suffit de les vérifier pour des éléments de ν 1 (N. 1 Les séries de terme général f n /n! et g n /n! sont convergentes, car ν(f n et ν(g n sont plus grands que n. En effectuant le produit des séries, qui converge alors automatiquement, on obtient ( ( e f e g f k g n k 1 ( n = = f k g n k (f + g n = = e f+g. k! (n k! n! k n! 2 On en déduit ce qui donne 3 En dérivant les séries composées, on a alors e f f = e 0 = 1 = e f e f, e f = 1/e f. (e f = f e f. Remarque : on a toujours ν(e f = 0, et donc N(e f = 1, car (e f (0 = e f(0 0. Théorème 9 L application qui à f associe e f est une isométrie de K[[z]] dans ν 1 ({0}. En partant de on a donc e f e g = e g (e f g 1, N(e f e g = N(e g N(e f g 1 = N(e f g 1,

BZ 21 et il suffit de voir que N(e u 1 = N(u. C est évident si u(0 est nul car le premier terme de e u 1 est celui de u. Dans le cas contraire on a ν(e u 1 = ν(u = 0. Remarque : si f est une série entière vérifiant pour tout nombre a non nul, et pour z voisin de a une relation du type ( ( z a f(z = H a, f, a où H est un polynôme de deux variables, on pourra définir f g pour toute série formelle en posant ( ( g g(0 f g = H g(0, f. g(0 Cela s applique par exemple à ln z ou 1 + z.