DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES 1 Un outil pratique : le déterminant 11 Calcul d'un déterminant Un déterminant est un nombre Il se présente sous la forme d'un tableau carré ayant donc même nombre de lignes et de colonnes On le note det Il est dit d'ordre n quand il est composé de n lignes et n colonnes Il se calcule par récurrence en utilisant : ˆ la dénition d'un déterminant 22 qui est a b c d = ad bc ˆ la formule de récurrence suivante : a 11 a 1n a n1 a nn = nx i=1 ( 1) i+j a ij det A ij a 11 a 1n où det A ij est le déterminant d'ordre n 1 obtenu en rayant dans ième ligne et la jème colonne a n1 a nn la Exemple 1 Calculer le déterminant suivant : 1 2 4 2 1 1 0 1 Ainsi, on voit grâce à cet exemple, que le calcul d'un déterminant est indépendant de la ligne ou de la colonne choisie pour le développer On voit, grâce à cette dénition, que l'on peut associer un déterminant à une matrice carrée A C'est évidemment fait exprès! Ainsi, à partir de maintenant, on notera det A le déterminant associé à la matrice carrée A 12 Propriétés importantes ˆ n > 2; det I n = 1 ˆ Une matrice A est inversible si et seulement si det A 6= 0 ˆ A; B 2 M n (K); det AB = det A det B ˆ Si A est inversible (on rappelle que cela se note A 2 GL n (K), alors det A 1 = 1 det A ˆ det A = det t A 1 JMB

1 Règles de calculs On appelle rangée de A, toute ligne ou toute colonne de A Cela permettra dans la suite de ne pas faire de répétition avec lignes et colonnes d'un déterminant ou d'une matrice Quelques règles simples : ˆ si tous les éléments d'une rangée d'un déterminant sont nuls, alors ce déterminant est nul ˆ si l'on permute deux rangées parallèles dans un déterminant, alors on change le signe de ce déterminant ˆ Si deux rangées parallèles dans un déterminant sont proportionnelles, alors le déterminant est nul ˆ Si une rangée du déterminant est combinaison linéaire d'autres rangées parallèles, alors le déterminant est nul ˆ On ne modie pas le résultat du calcul d'un déterminant, lorsque l'on ajoute à une rangée, une combinaison linéaire d'autres rangées parallèles à celle-ci ˆ Si l'on multiplie tous les éléments d'une rangée par un scalaire, alors le déterminant est multiplié par Si on multiplie une matrice A par un scalaire alors on a : det A = n det A Ces diérentes propriétés vont nous permettre, en utilisant une nouvelle fois les notations dues à Gauss, de calculer plus rapidement un déterminant Exemple 2 Calculer les déterminants suivants : Exemple Soient a; b; c 2 C Soit M = c b a a c b b a c 1 1 2 2 1 0 1 1 et et N = 1 2i 1 2i j (i 1)(k 1) Š 16i6 16k6 1 2i où j est la deuxième racine cubique de l'unité Soit P (X) = ax 2 +bx +c un polynôme formel complexe 1 On note C k la kème colonne de N montrer que MC k = P j k 1Š C k 2 Exprimer det M en fonction de P (1), P (j) et P (j 2 ) En déduire une factorisation de a + b + c abc 2 JMB

14 Utilisation des déterminants pour le calcul de l'inverse d'une matrice On appelle mineur d'ordre ij, le déterminant d'ordre n 1 extrait d'un déterminant de rang n en rayant dans celui-ci, la ligne i et la colonne j On le note ij Exemple 4 Déterminer le mineur 12 du déterminant : 2 2 1 2 2 1 On appelle cofacteur c ij d'une matrice A = (a ij ), les nombres dénis par c ij = ( 1) i+j ij Exemple 5 Déterminer c 12 dans la matrice A = 1 2 2 0 1 0 2 1 On sait que soit A une matrice carrée nn alors A est inversible si et seulement si det A 6= 0 On peut, grâce aux déterminants, calculer A 1 On a : A 1 = 1 t Š Com(A) où Com(A) det A est la comatrice associée à A c'est à dire la matrice formée des cofacteurs c ij de la matrice A Exemple 6 Déterminer l'inverse de la matrice A = 1 2 2 0 1 0 2 1 15 Utilisation des déterminants pour le calcul du rang d'une matrice, d'une application linéaire Soit l'application linéaire f 2 L(E; F ), E et F deux K espaces vectoriels tels que dim E = p et dim F = n Soit B = (e 1 ; : : : ; e p ) la base canonique de l'espace vectoriel E et B 0 = (f 1 ; : : : ; f n ) la base canonique de l'espace vectoriel F Soit A = Mat B;B 0(f) alors on sait que la matrice A 2 M n;p (K) et que : Proposition 1 Soit r le rang de la matrice A et donc de l'application linéaire f, alors on a : 0 6 r 6 min(n; p) En particulier si A 6= O alors 1 6 r 6 min(n; p) Pour le calcul du rang de la matrice A et donc de l'application linéaire f, on a : Proposition 2 Le rang r de la matrice A et donc de l'application linéaire f se calcule en cherchant l'ordre du plus grand déterminant non nul issu de la matrice A Méthodologie du calcul du rang d'une matrice A : on sait d'après la proposition précédente que l'ordre de ce déterminant est nécessairement inférieur ou égal à min(n; p) Ainsi, pour le calcul du rang de A, on commencera par supposer que r = min(n; p), c'est à dire que l'on cherche un déterminant non nul extrait de la matrice (non forcément carrée!) A d'ordre min(n; p) Si on n'en trouve pas, c'est à dire que tous les déterminants d'ordre min(n; p) sont nuls, on passe au rang immédiatement inférieur c'est à dire min(n; p) trouver r Exemple 7 Déterminer le rang de la matrice A = 1 2 1 2 1 2 1 0 5 1 et ainsi de suite jusqu'à JMB

16 Déterminant d'un endomorphisme Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n Soit B et B 0 deux bases de l'espace vectoriel E Soit A = Mat B (f) et A 0 = Mat B 0(f), alors on a : det A = det A 0 Ce déterminant, indépendant donc de la base choisie, est ce que l'on appelle le déterminant de l'endomorphisme f On le note det f Proposition 1 Soit f; g 2 L(E), E espace vectoriel de dimension nie, alors on a : det g f = det g det f 2 f 2 GL(E) si det f 6= 0 c'est à dire que f est un automorphisme de E si son déterminant est non nul 2 Systèmes d'équations linéaires 21 Solutions d'un système d'équations linéaires Dénition 1 On appelle système linéaire de type (n; p), un système d'équations de la forme : (S) : ˆ où les inconnues (x 1 ; : : : ; x p ) 2 K = R ou C a 11 x 1 + + a 1p x p = b 1 a n1 x 1 + + a np x p = b n ˆ où les coecients du systèmes, c'est à dire les a ij et les b j sont donnés Une solution du système (S) est donc un p-uplet (x 1 ; : : : ; x p ) qui vérie les n équations du système (S) Un système est dit homogène, si les b i = 0; i 2 f1; : : : ; ng Un système peut avoir : ˆ plus d'équations que d'inconnues, on le dit alors surabondant ˆ moins d'équations que d'inconnues, on le dit alors sousabondant ˆ autant d'équations que d'inconnues, on le dit carré 22 Interprétation sous forme matricielle Les matrices sont pensées pour faciliter l'écriture des systèmes et même leur résolution Ainsi, le système (S) s'écrit sous la forme matricielle de la façon suivante : AX = B où A = (a ij ) 16i6n 16j6p 2 M n;p (K) et B = (b i ) 16i6n 2 M n;1 (K) sont des matrices données, X = (x j ) 16j6p 2 M p;1 (K), matrice inconnue à rechercher 4 JMB

2 Rang d'un système linéaire Dénition 2 On appelle rang d'un système linéaire (S) et on le note r, le rang de la matrice A qui lui est associée, et donc implicitement le rang de l'application linéaire f canoniquement associée à A Ainsi, r = rg(s) = dim Imf On observe donc que le rang d'un système est entièrement déterminé par la "partie gauche" du système c'est à dire la partie où apparaissent les inconnues Le membre de droite n'entre pas en compte dans le calcul du rang du système Exemple Soit le système suivant où m est un paramètre réel : 1 Déterminer explicitement l'endomorphisme f associé à ce système x + y = 1 y + z = 2 x + 2y + mz = 2 Déterminer le noyau de f et en déduire sa dimension en fonction de m Discuter suivant les valeurs du paramètre m du rang du système? 24 Théorème de Rouché-Fontené L'ensemble des solutions d'un système linéaire (S) est par dénition S = fx 2 K p =f(x) = bg où x est le vecteur canoniquement associé à la matrice X, et b celui associé à la matrice B Cet ensemble S est tel que : ˆ S = ; si b =2 Im f ˆ S = fx 0 + v=v 2 Ker fg si b 2 Im f où x 0 est un vecteur tel que f(x 0 ) = b, c'est à dire une solution de (S) On rappelle que Im f = ff(x)=x 2 Kg Ainsi, on constate que trois cas de gures se présentent Un système peut : 1 ne posséder aucune solution, c'est le cas si : b =2 Im f c'est à dire que l'on abouti à un système avec une absurdité 2 posséder une unique solution, c'est le cas si : b 2 Im f et Ker f = fo K pg posséder une innité de solutions, c'est le cas si : b 2 Im f et Ker f 6= fo K pg Dans le cas où b 2 Im f, on dit que le système est compatible, dans le sens où il est compatible avec l'existence de solutions On voit ici, toute l'importance que revêtent les ensembles Im f et Ker f On observe donc maintenant que ce qui fait la compatibilité ou l'incompatibilité d'un système est la forme du membre de droite de ce système, c'est à dire la partie ou n'apparaissent pas les inconnues Proposition 4 Si B c = (e 1 ; : : : ; e p ) est une base de K p (l'espace vectoriel de départ) alors b 2 Im f, rg(f(e 1 ); : : : ; f (e p ); b) = rg(f(e 1 ); : : : ; f (e p )) c'est à dire que l'on sait alors si le système est compatible avec l'existence de solutions ou pas 5 JMB

Exemple 9 Déterminer en fonction du paramètre m quand le système suivant est compatible : x + y = m y + z = 2 x + 2y + z = Cette théorie n'est pas forcément la plus adaptée et la plus rapide pour résoudre un système de manière fonctionnelle Voyons quelques méthodes plus pratiques 25 Système de Cramer Dénition un système linéaire (S) est dit de Cramer s'il vérie les deux conditions suivantes : (i) le système (S) est carré, c'est à dire qu'il y autant d'équations que d'inconnues, c'est à dire n = p, (ii) il admet une solution unique Quand un système (S) n'est pas de Cramer, alors on dit que le système (S) est dégénéré Les systèmes dégénérés peuvent donc posséder, selon qu'ils sont compatibles ou pas, soit une innité de solutions, soit pas de solution Attention, il existe cependant des cas de "faux" systèmes dégénérés En eet, on peut trouver des systèmes ayant n équations à p inconnues avec n 6= p mais pourtant avec une solution unique! Ils sont néanmoins quand même qualiés de systèmes dégénérés! Proposition 5 Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) (S) est un système de Cramer, (ii) la matrice A de l'équation matricielle AX = B associée à ce système est inversible (iii) det(a) 6= 0, (iv) le système homogène associé à (S) n'admet que le vecteur nul comme solution Les composantes de l'unique solution du système de Cramer (S) sont données pour tout j 2 f1; : : : ; ng par : x j = det(c 1; : : : ; C j 1 ; B; C j+1 ; : : : ; C n ) det A où les C 1 ; : : : ; C n sont les colonnes de la matrice A Pratiquement, cela signie que l'on remplace dans A la colonne j par B Exemple 10 Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer : x z = 1 y z = 1 x + 2y = 1 6 JMB

26 Résolution d'un système linéaire dans le cas général 261 Méthode du rang Elle consiste toujours à trouver le rang du système, sachant que le rang r d'un système (S) peut être calculé grâce à des déterminants En eet : Proposition 6 Le rang r d'un système (S) et donc de la matrice A associée à ce système est plus petit ou égal à min(n; p) Le rang r d'un système (S) se calcule en cherchant l'ordre du plus grand déterminant non nul issu de A On peut grâce à cette propriété, exhiber un système de Cramer (de rang r) appelé système principal avec des inconnues dites principales et des inconnues dites secondaires ou paramètres Les inconnues principales seront exprimées en fonction des inconnues secondaires Illustrons cela grâce à des exemples Exemple 11 Résoudre par la méthode du rang les systèmes suivants : x + y + z + t = 1 x + y = 1 (S 1 ) : x y z + t = 2 (S 2 ) : 2x + y = x + y + z t = x + 5y = 1 262 Méthode échelonnée de Gauss On utilise la même technique que pour la recherche du rang d'une matrice, an de mettre le système (S) sous forme dite échelonnée Ensuite, on discute du nombre des solutions grâce à ce système échelonné Illustrons cela grâce à des exemples Exemple 12 Résoudre par la méthode de Gauss les systèmes suivants : x + y 5z = 7 2x y + 2z + 6t 6v = 2x y z = 4 (S ) : y + z 2t = 1 (S 4 ) : x 2y + 4z = 11 z 2v = 2 x + 4y 2z = 11 27 Bilan Soit (S) un système de n équations à p inconnues auquel on associe l'équation matricielle AX = B Alors : si (n = p et det(a) 6= 0) alors (S) est de Cramer (donc compatible), il possède alors une unique solution, si (n = p et det(a) = 0) ou si (n 6= p) alors (S) est dégénéré avec : si (S) est compatible (c'est à dire qu'en le résolvant, on n'arrive à aucune absurdité) alors (S) possède soit une unique solution (cas d'un "faux" dégénéré), soit une innité de solutions 7 JMB

si (S) est incompatible (c'est à dire qu'en le résolvant, on arrive à au moins une absurdité) alors (S) ne possède aucune solution JMB

Exercices Exercice 1 Calculer les déterminants suivants : 2 7 1 2 2 0 1 a) e) 9 4 1 5 1 2 4 2 4 5 4 5 6 4 5 6 7 b) 1 0 4 0 2 f) c) a a a a a b b b a b c c a b c d 0 1 1 2 2 2 g) d) 0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0 a b c 2a 2a 2b b c a 2b 2c 2c c a b Exercice 2 Soient a et b deux réels distincts Donner une expression factorisée des déterminants suivants : a) D(x) = 1 x x 2 1 a a 2 1 b b 2 b) D(x) = 1 x x 2 1 a a 2 0 1 2a Exercice Déterminer l'inverse des matrices suivantes par la méthode de la comatrice ˆ 1 0 0 1 1 2 1 i 1 0 1 1 0 A = 2 4 B = i 0 1 C = 1 0 1 0 2 2 1 0 i 0 1 0 1 0 Exercice 4 Soient a; b; c trois réels non nuls et f un endomorphisme de R 1 + 1 1 1 a 1 dont la matrice dans la base canonique est : A = B @ 1 1 + 1 b 1 1 1 + 1 c Montrer que f est un automorphisme de R si et seulement si (a; b; c) n'est pas solution d'une équation simple à déterminer Exercice 5 Résoudre les systèmes suivants : m; a; b; c; d sont des paramètres réels est un paramètre complexe (S 0 ) (S ) (S 6 ) 2x + y z = 1 x + 2y + z = 2 x + 4y 5z = 4 (S 1 ) x + y + z = m + 1 mx + y + (m 1)z = m x + my + z = 1 x + y + 2 z = 0 x + y + z = 0 2 x + y + z = 0 x + 2y + z = 0 2x y + mz = 1 x + 2y + z = 2 (S 4 ) 1 C A (S 2 ) x + y + z = 1 x + ay + bz = c x + by + az = c (S 5 ) x + y + (2m 1) z = 1 mx + y + z = 1 x + my + z = (m + 1) x + ay + a 2 z = a x + by + b 2 z = b x + cy + c 2 z = c 9 JMB

(S 7 ) 2x + 5y z = 4 4x + y 9z = 1 2x + y z = 7 x + y 7z = m (S ) ( x + (m + 1)y + 2mt = 0 mx + z + t = 1 (S 9 ) x y z = a 2x + y z = b x + y z = c 2x y z = d 2A 2010-2011 Exercice 6 Déterminer l'intersection des plans dénis ci-dessous par leurs équations cartésiennes Discuter de cette intersection en fonction de (P 1 ) : x + y z = + ; (P 2 ) : 2x (1 + ) y + z = + ; (P ) : (2 + ) x y + 2z = 0 Exercice 7 Soient ( 1 ; : : : ; n ) 2 C n, on appelle déterminant de Vandermonde, le scalaire : V ( 1 ; : : : ; n ) = 1 1 1 2 1 n 1 1 n n 2 n n 1 Calculer ce déterminant (penser à une récurrence) et en déduire que : V ( 1 ; : : : ; n ) 6= 0, i 6= j; i 6= j 1 1 1 1 1 x 1 Exercice Factoriser le déterminant n 2 N ; D n (x) = 2 x 1 un produit de polynôme de 1er degré x est un réel quelconque 1 1 n x en 1 + x 1 y 1 1 + x 1 y 2 1 + x 1 y n Exercice 9 Calculer : n = 1 + x 2 y 1 1 + x 2 y 2 1 + x 2 y n 1 + x n y 1 1 + x n y 2 1 + x n y n 10 JMB