Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48
Polynôme d interpolation de Théorème (Polynôme d interpolation) Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, il existe un unique polynôme P de degré n qui coupe la fonction f sur ces points i.e. tel que : i {0,...,n} P(a i ) = f(a i ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes C est le polynôme interpolateur de de f sur les points a i. - p. 3/48
Preuve et polynôme de Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=0,k i x a k a i a k Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 4/48
Preuve et polynôme de Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=0,k i i, j L i (a j ) = x a k a i a k { 1 si i = j 0 si i j Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 4/48
Preuve et polynôme de Soient les n + 1 points distincts (a 0 < a 1 <, a n ) IR n+1, on appelle base de les polynômes de la forme : L i (x) = n k=0,k i i, j L i (a j ) = x a k a i a k { 1 si i = j 0 si i j Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Le polynôme : P(x) = f 0 L 0 (x) + f 1 L 1 (x) + + f n L n (x) Convient. On l appelle polynôme d interpolation de L unicité est à démontrer en exercice. - p. 4/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 5/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48
a 6 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48
a 3 a 6 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de a 3 a 4 a 6 Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de a 0 a 3 a 4 a 6 Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes a 1 - p. 5/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 5/48
Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 6/48
Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) - p. 6/48
Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois - p. 6/48
Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + 1 fois - p. 6/48
Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + 1 fois... g (n+1) s annule une fois en η - p. 6/48
Calcul de l erreur d interpolation Si on interpole la fonction f C n+1 sur l intervalle [a, b], par le polynôme P(x) de degré n, grâce au points d interpolation a 0 < a 1 < < a n. Théorème x [a, b] il existe η [a 0, a n ] tel que f(x) P(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Idée de la preuve : On étudie la fonction g(z) = f(z) P(z) (f(x) P(x)) φ(z) φ(x) g s annule n + 2 fois g s annule n + 1 fois... g (n+1) s annule une fois en η Or φ (n+1) = (n + 1)! et P (n+1) = 0. - p. 6/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 7/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 7/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 7/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 7/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes f(x) = 0.5 + 2 e 10x2 - p. 7/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x f (n+1) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a 0, a n ]. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x f (n+1) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a 0, a n ]. problèmes si un point est très différent des autres (f (n+1) >> 1) le polynôme a tendance à osciller entre les points d interpolations Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 8/48
Étude de la formule d erreur f(x) P(x) = 1 (n+1)! f(n+1) (η)φ(x) avec φ(x) = (x a 0 )(x a 1 ) (x a n ) L erreur dépend de : qui tend vers 0 si n. 1 (n+1)! φ(x) qui tend vers quand x. problèmes quand x f (n+1) (η) qui dépend de la fonction f et de l intervalle [a 0, a n ]. problèmes si un point est très différent des autres (f (n+1) >> 1) le polynôme a tendance à osciller entre les points d interpolations Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Certaines fonctions simples seront mal interpolées par un polynôme. - p. 8/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 9/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 9/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 9/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 9/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 9/48
Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 9/48
Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 10/48
Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 10/48
Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : - p. 10/48
Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux - p. 10/48
Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux - p. 10/48
Autres méthodes Comment améliorer l interpolation? On découpe l intervalle en petits morceaux, On utilise des polynômes de petit degré pour approcher la fonction sur chaque sous-intervalle. Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes Par exemple : Fonctions linéaires par morceaux Fonctions quadratiques par morceaux Les splines cubiques (polynôme de degré 3 par morceau). - p. 10/48
Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 11/48
Intégration numérique On cherche à approcher l intégrale d une fonction : Dont on ne connaît la valeur qu en certains points mesures Dont on peut calculer les valeurs, mais dont on ne peut pas calculer la primitive pas de formule analytique trop complexe Intégration numérique Principe Principe (suite) Il faut approcher I(f) = b a f(t)dt - p. 12/48
Principe Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48
Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48
Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48
Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynômes g i (t). Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48
Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynômes g i (t). On calcule l intégrale du polynôme d interpolation de chaque sous intervalle, cela s exprime simplement en fonction des valeurs f i = f(y i ) : Intégration numérique Principe Principe (suite) - p. 13/48
Principe On dispose de la valeur de f sur des points régulièrement espacés f(y 0 ), f(y 1 ),...,f(y m ) avec y 0 = a < y 1 < < y m 1 < y m = b et y i+1 y i = b a m On sépare [a, b] en sous-intervalles i.e. on regroupe les points y i par paquets de un, deux ([y i, y i+1 ]) ou trois ([y i, y i+1, y i+2 ]) points consécutifs. On interpole la fonction sur chaque sous-intervalle par des polynômes g i (t). On calcule l intégrale du polynôme d interpolation de chaque sous intervalle, cela s exprime simplement en fonction des valeurs f i = f(y i ) : Intégration numérique Principe Principe (suite) yi+k y i g i (t)dt = k α l f i+l l=0 - p. 13/48
Principe (suite) - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) i=0 - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point 2 points 3 points n points i=0 - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points 3 points n points i=0 - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points n points i=0 - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points approximation de degré 2 méthode de SIMPSON n points i=0 - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points approximation de degré 2 méthode de SIMPSON n points approximation de degré n 1 méthode de NEWTON-CÔTES i=0 - p. 14/48
Principe (suite) La somme de ces valeurs est une approximation de l intégrale de f sur [a, b]. Cette somme s exprime aussi simplement en fonction des valeurs f i I(f) m β i f i (1) La différence entre les méthodes vient du nombre de points d interpolations dans les paquets : 1 point approximation de degré 0 méthode des rectangles 2 points approximation de degré 1 méthode des trapèzes 3 points approximation de degré 2 méthode de SIMPSON n points approximation de degré n 1 méthode de NEWTON-CÔTES Pour chaque méthode, il existe des constantes β i qui permettent d appliquer la formule (1) et une majoration de l erreur que l on va calculer. i=0 - p. 14/48
Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 15/48
Méthode des rectangles Les points (y i ) i = 0,..., m sont pris régulièrement espacés sur [a, b] : y i = a + i b a m Sur chaque intervalle I i = [y i, y i+1 ], la fonction f est approchée par la fonction constante g i tel que g i (t) = f(y i ). yi+1 g i (t)dt = (y i+1 y i )f(y i ) = b a y i m f(y i) b a f(t)dt = y1 y 0 f(t)dt + y2 y 1 f(t)dt +... + ym y m 1 f(t)dt L approximation de b f(t)dt par la méthode des rectangles est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 16/48
Méthode des rectangles Les points (y i ) i = 0,..., m sont pris régulièrement espacés sur [a, b] : y i = a + i b a m Sur chaque intervalle I i = [y i, y i+1 ], la fonction f est approchée par la fonction constante g i tel que g i (t) = f(y i ). yi+1 g i (t)dt = (y i+1 y i )f(y i ) = b a y i m f(y i) b a f(t)dt = y1 y 0 f(t)dt + y2 y 1 f(t)dt +... + ym y m 1 f(t)dt L approximation de b f(t)dt par la méthode des rectangles est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication I R = b a m m 1 i=0 f(y i ) - p. 16/48
3 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 17/48
On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48
On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que yi+1 y i f(t) g i (t) = f (η(t))(t y i ) f(t)dt b a m f(y i) = yi+1 y i f (η(t))(t y i )dt Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48
On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que yi+1 y i f(t) g i (t) = f (η(t))(t y i ) f(t)dt b a m f(y i) = Soit M = sup t [a,b] f (t) yi+1 y i f (η(t))(t y i )dt Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48
On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que yi+1 y i f(t) g i (t) = f (η(t))(t y i ) f(t)dt b a m f(y i) = yi+1 Soit M = sup t [a,b] f (t) yi+1 f(t)dt b a m f(y i) M y i y i f (η(t))(t y i )dt yi+1 y i (t y i )dt M (y i+1 y i ) 2 2 (b a)2 M 2m 2 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 18/48
(suite) Finalement Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48
(suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 2m Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48
(suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que M (b a)2 2ε 2m f(t)dt à ε près, il suffit Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48
(suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que M (b a)2 2ε L approximation est exacte si 2m f(t)dt à ε près, il suffit Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48
(suite) Finalement Remarques : b a f(t)dt I R M (b a) 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)2 2ε L approximation est exacte si la dérivée f est nulle c est-à-dire si la fonction f est constante. 2m Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 19/48
Méthode des trapèzes Les points (y i ) i = 0,..., m sont pris régulièrement espacés sur [a, b] : y i = a + i b a m. Sur chaque intervalle I i = [y i, y i+1 ], la fonction f est approchée par la fonction affine g i coïncidant avec f en y i et y i+1 soit : g i (t) = f(y i ) + (t y i) (y i+1 y i ) (f(y i+1) f(y i )). Remarque : g i est la fonction affine par morceaux reliant les points de coordonnées (y i, f(y i )). Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 20/48
Calcul de la formule yi+1 y i g i (t)dt = y i+1 y i [ t y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i )) y i y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i ))+f(y i )]dt = y i+1 2 2 y i 2(y i+1 y i ) (f(y i+1) f(y i )) y i (f(y i+1 ) f(y i )) + (y i+1 y i )f(y i ) = y i+1+y i 2 (f(y i+1 ) f(y i )) y i f(y i+1 ) + y i+1 f(y i ) = y i+1 y i 2 (f(y i+1 ) + f(y i )) = b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) Or b a f(t)dt = y 1 y 0 f(t)dt + y 2 y 1 f(t)dt +... + y m y m 1 f(t)dt Donc l approximation de b f(t)dt par la méthode des trapèzes est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 21/48
Calcul de la formule yi+1 y i g i (t)dt = y i+1 y i [ t y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i )) y i y i+1 y i (f(y i+1 ) f(y i ))+f(y i )]dt = y i+1 2 2 y i 2(y i+1 y i ) (f(y i+1) f(y i )) y i (f(y i+1 ) f(y i )) + (y i+1 y i )f(y i ) = y i+1+y i 2 (f(y i+1 ) f(y i )) y i f(y i+1 ) + y i+1 f(y i ) = y i+1 y i 2 (f(y i+1 ) + f(y i )) = b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) Or b a f(t)dt = y 1 y 0 f(t)dt + y 2 y 1 f(t)dt +... + y m y m 1 f(t)dt Donc l approximation de b f(t)dt par la méthode des trapèzes est a donnée par : Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication I T = b a 2m (f(y 0) + 2f(y 1 ) +... + 2f(y m 1 ) + f(y m )) - p. 21/48
3 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 22/48
On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que - p. 23/48
On applique la formule d erreur de l interpolation de : t [y i, y i + 1] il existe η(t) [y i, y i + 1] tel que f(t) g i (t) = 1 2 f (η(t))(t y i )(t y i+1 ) yi+1 y i f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) = 1 2 yi+1 y i f (η(t))(t y i )(t y i+1 )dt d où si M = sup t [a,b] f (t) yi+1 y i f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) M yi+1 y i (t y i )(y i+1 t)dt - p. 23/48
(suite) Pour le calcul de y i+1 y i (t y i )(y i+1 t)dt, on effectue un changement de variable. Soit x = t y i (t = x + y i ) yi+1 y i Donc (t y i )(y i+1 t)dt = y i+1 y i 0 x(y i+1 y i x)dx y i+1 y i = y i+1 y i x 2 + x(y 0 i+1 y i )dx = (y i+1 y i ) 3 3 + (y i+1 y i ) 2 2 (y i+1 y i ) = (y i+1 y i ) 3 6 f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) M (y i+1 y i ) 3 12 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 24/48
(suite) Pour le calcul de y i+1 y i (t y i )(y i+1 t)dt, on effectue un changement de variable. Soit x = t y i (t = x + y i ) yi+1 y i Donc (t y i )(y i+1 t)dt = y i+1 y i 0 x(y i+1 y i x)dx y i+1 y i = y i+1 y i x 2 + x(y 0 i+1 y i )dx = (y i+1 y i ) 3 3 + (y i+1 y i ) 2 2 (y i+1 y i ) = (y i+1 y i ) 3 6 f(t)dt b a 2m (f(y i+1) + f(y i )) M (y i+1 y i ) 3 12 b a f(t)dt I T M (b a)3 12m 2 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 24/48
(fin) Finalement Remarques : b a f(t)dt I T M (b a) 3 12m 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)3 12ε Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 25/48
(fin) Finalement Remarques : b a f(t)dt I T M (b a) 3 12m 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)3 12ε L approximation est exacte si Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 25/48
(fin) Finalement Remarques : b a f(t)dt I T M (b a) 3 12m 2 Pour trouver une valeur approchée de b f(t)dt à ε près, il suffit a de prendre m plus grand que M (b a)3 12ε L approximation est exacte si la dérivée seconde f est nulle c est-à-dire si la fonction f est affine. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 25/48
Méthode de SIMPSON On considère les 2n + 1 points z i = a + i b a 2n (i = 0,..., 2n) Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 26/48
Méthode de SIMPSON On considère les 2n + 1 points z i = a + i b a 2n (i = 0,..., 2n) Sur chaque intervalle I i = [z 2i, z 2i+2 ], la fonction f est approchée par la parabole g i passant par les points Donc (z 2i, f(z 2i )) (z 2i+1, f(z 2i+1 )) (z 2i+2, f(z 2i+2 )) g i (t) = f(z 2i ). +f(z 2i+1 ). +f(z 2i+2 ). (t z 2i+1 )(t z 2i+2 ) (z 2i z 2i+1 )(z 2i z 2i+2 ) (t z 2i )(t z 2i+2 ) (z 2i+1 z 2i )(z 2i+1 z 2i+2 ) (t z 2i )(t z 2i+1 ) (z 2i+2 z 2i )(z 2i+2 z 2i+1 ) Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 26/48
Méthode de SIMPSON (suite) Ce qui donne, tout calcul fait : z2i+2 z 2i g i (t)dt = b a 6n (f(z 2i) + 4f(z 2i+1 ) + f(z 2i+2 )) L approximation de l intégrale par la méthode de SIMPSON est donc I S avec - p. 27/48
Méthode de SIMPSON (suite) Ce qui donne, tout calcul fait : z2i+2 z 2i g i (t)dt = b a 6n (f(z 2i) + 4f(z 2i+1 ) + f(z 2i+2 )) L approximation de l intégrale par la méthode de SIMPSON est donc I S avec I S = b a 6n ( f(z 0 ) + 4f(z 1 ) + 2f(z 2 ) + 4f(z 3 ) + 2f(z 4 ) + ) + 2f(z 2n 2 ) + 4f(z 2n 1 ) + f(z 2n ) - p. 27/48
3 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 28/48
Soit M = max t [a,b] f (4) (t) Remarques : b a f(t)dt I S M(b a)5 2880n 4 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que 4 L approximation est exacte si M (b a)5 2880ε f(t)dt à ε près, il suffit. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 29/48
Soit M = max t [a,b] f (4) (t) Remarques : b a f(t)dt I S M(b a)5 2880n 4 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que 4 M (b a)5 2880ε f(t)dt à ε près, il suffit L approximation est exacte si la dérivée f (4) est nulle c est-à-dire si la fonction f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication - p. 29/48
Soit M = max t [a,b] f (4) (t) Remarques : b a f(t)dt I S M(b a)5 2880n 4 Pour trouver une valeur approchée de b a de prendre m plus grand que 4 M (b a)5 2880ε f(t)dt à ε près, il suffit L approximation est exacte si la dérivée f (4) est nulle c est-à-dire si la fonction f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Méthode des rectangles (suite) Méthode des trapèzes Calcul de la formule (suite) (fin) Méthode de SIMPSON Méthode de SIMPSON (suite) Explication! L erreur est d ordre 4 alors que le polynôme est de degré 2 - p. 29/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. Pourquoi? - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3. z 2i z 2i+1 z 2i+2 - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3. z 2i z 2i+1 z 2i+2 f(t) g i (t) est donc un polynôme de degré 3, - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3. z 2i z 2i+1 z 2i+2 f(t) g i (t) est donc un polynôme de degré 3, il s annule 3 fois en z 2i, z 2i+1 et z 2i+2, - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3. z 2i z 2i+1 z 2i+2 f(t) g i (t) est donc un polynôme de degré 3, il s annule 3 fois en z 2i, z 2i+1 et z 2i+2, donc f(t) g i (t) = α(t z 2i )(t z 2i+1 )(t z 2i+2 ), - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3. z 2i z 2i+1 z 2i+2 f(t) g i (t) est donc un polynôme de degré 3, il s annule 3 fois en z 2i, z 2i+1 et z 2i+2, donc f(t) g i (t) = α(t z 2i )(t z 2i+1 )(t z 2i+2 ), il est symétrique par rapport au milieu du segment [z 2i, z 2i+2 ], - p. 30/48
Explication On pourrait s attendre à ce que l erreur de ma méthode de SIMPSON soit de la forme M(b a) 4 M = max t [a,b] f(3) (t) et Kn 3 or on gagne un facteur (b a) n. A Prenons le cas ou f est un polynôme de degré 3. z 2i z 2i+1 A z 2i+2 f(t) g i (t) est donc un polynôme de degré 3, il s annule 3 fois en z 2i, z 2i+1 et z 2i+2, donc f(t) g i (t) = α(t z 2i )(t z 2i+1 )(t z 2i+2 ), il est symétrique par rapport au milieu du segment [z 2i, z 2i+2 ], donc z 2i+2 z 2i f(t) g i (t) = 0 Cela peut se généraliser aux méthodes de NEWTON-COTES - p. 30/48
Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 31/48
Jusqu à présent le problème a toujours été posé de la façon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y 0, y 1,...,y n et on cherche a approcher l intégrale de f par la formule : b a f(t)dt = ou E est l erreur de la méthode n α i f(y i ) + E (2) i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 32/48
Jusqu à présent le problème a toujours été posé de la façon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y 0, y 1,...,y n et on cherche a approcher l intégrale de f par la formule : b a f(t)dt = ou E est l erreur de la méthode On cherche à minimiser l erreur E. n α i f(y i ) + E (2) i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 32/48
Jusqu à présent le problème a toujours été posé de la façon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y 0, y 1,...,y n et on cherche a approcher l intégrale de f par la formule : b a f(t)dt = ou E est l erreur de la méthode n α i f(y i ) + E (2) i=1 On cherche à minimiser l erreur E. Chaque méthode correspond à un choix de valeurs α i. Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 32/48
Jusqu à présent le problème a toujours été posé de la façon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y 0, y 1,...,y n et on cherche a approcher l intégrale de f par la formule : b a f(t)dt = ou E est l erreur de la méthode n α i f(y i ) + E (2) On cherche à minimiser l erreur E. Chaque méthode correspond à un choix de valeurs α i. Au mieux on arrive à obtenir une méthode d ordre n + 1 c est à dire dont le terme d erreur dépend de max a t b f (n+1) (t) cela signifie qu elle est exacte si f est un polynôme de degré < à n + 1. i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 32/48
Jusqu à présent le problème a toujours été posé de la façon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y 0, y 1,...,y n et on cherche a approcher l intégrale de f par la formule : b a f(t)dt = ou E est l erreur de la méthode n α i f(y i ) + E (2) On cherche à minimiser l erreur E. Chaque méthode correspond à un choix de valeurs α i. Au mieux on arrive à obtenir une méthode d ordre n + 1 c est à dire dont le terme d erreur dépend de max a t b f (n+1) (t) cela signifie qu elle est exacte si f est un polynôme de degré < à n + 1. i=1 Si on est capable de calculer f en n importe quel point, Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 32/48
Jusqu à présent le problème a toujours été posé de la façon suivante : On dispose de la valeur de f sur n + 1 points : y 0, y 1,...,y n et on cherche a approcher l intégrale de f par la formule : b a f(t)dt = ou E est l erreur de la méthode n α i f(y i ) + E (2) On cherche à minimiser l erreur E. Chaque méthode correspond à un choix de valeurs α i. Au mieux on arrive à obtenir une méthode d ordre n + 1 c est à dire dont le terme d erreur dépend de max a t b f (n+1) (t) cela signifie qu elle est exacte si f est un polynôme de degré < à n + 1. Si on est capable de calculer f en n importe quel point, on peut faire varier les y i de manière à ce que la méthode soit d ordre supérieure. i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 32/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Soit P k l ensemble des polynômes de degré inférieur à k. Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Soit P k l ensemble des polynômes de degré inférieur à k. On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Soit P k l ensemble des polynômes de degré inférieur à k. On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a } {{ } i=1 } {{ } I(f) J(f) Il y a 2n degrés de liberté, on espère obtenir une méthode d ordre Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Soit P k l ensemble des polynômes de degré inférieur à k. On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a } {{ } i=1 } {{ } I(f) J(f) Il y a 2n degrés de liberté, on espère obtenir une méthode d ordre 2n i.e. E = 0 si f est un polynôme de degré inférieur à 2n. Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Soit P k l ensemble des polynômes de degré inférieur à k. On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a } {{ } i=1 } {{ } I(f) J(f) Il y a 2n degrés de liberté, on espère obtenir une méthode d ordre 2n i.e. E = 0 si f est un polynôme de degré inférieur à 2n. Comment trouver les valeurs de α i et y i? Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
Posons le problème Soit f une fonction que l on peut calculer en n importe quel point Soit n le nombre de points de calcul Soient y 1, y 2,..., y n les points et α 1, α 2,...,α n les coefficients Soit P k l ensemble des polynômes de degré inférieur à k. On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a } {{ } i=1 } {{ } I(f) J(f) Il y a 2n degrés de liberté, on espère obtenir une méthode d ordre 2n i.e. E = 0 si f est un polynôme de degré inférieur à 2n. Comment trouver les valeurs de α i et y i? Quelle est l erreur si f n est pas un polynôme de P n? Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 33/48
On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a Par exemple, si a, b IR, on peut toujours faire une intégration sur l intervalle [ 1, 1] par le changement de variable t = b+a 2 + b a 2 u b a f(t)dt = i=1 b a 2 1 1 f(u)du Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 34/48
On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a i=1 Ces valeurs dépendent des bornes de l intégrale a et b Par exemple, si a, b IR, on peut toujours faire une intégration sur l intervalle [ 1, 1] par le changement de variable t = b+a 2 + b a 2 u b a f(t)dt = b a 2 1 1 f(u)du Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 34/48
Changement de variable On cherche les «meilleures valeurs» pour α i et y i afin de minimiser E dans la formule : b n f(t)dt = α i f(y i ) + E a i=1 Ces valeurs dépendent des bornes de l intégrale a et b on se ramène toujours à au mêmes bornes grâce à un changement de variable. Par exemple, si a, b IR, on peut toujours faire une intégration sur l intervalle [ 1, 1] par le changement de variable t = b+a 2 + b a 2 u b a f(t)dt = b a 2 1 1 f(u)du Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 34/48
Choix des α i et y i Nous n étudirons pas ici la façon dont sont trouvées ces valeurs, il vous suffit de savoir que : Les points d évaluations y 1, y 2,...,y n sont les racines d un polynôme faisant partie d une famille de polynômes orthogonaux. Il existe plusieurs familles de polynômes, chacune est associée à une certaine forme d intégrale. Pour calculer une intégrale de la forme 1 f(u)du, il faut 1 utiliser les racines des polynômes de LEGENDRE, cela s appelle la méthode de GAUSS-LEGENDRE On trouve les α i grâce à la résolution d un système linéaire qui dépend des y i. Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 35/48
Méthode de GAUSS-LEGENDRE Pour calculer une intégrale de la forme : b a f(t)dt On utilise le changment de variable t = b+a 2 + b a b a f(t)dt = On approche l intégrale par : 1 1 f(t)dt b a 2 1 1 f(u)du n α i f(y i ) i=1 2 u Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 36/48
En pratique En pratique les valeurs des α i et des y i sont connues et tabulées. Par exemple, en double précision pour la méthode de GAUSS-LEGENDRE à 12 points : y 1 = 0.98156063424671925069 y 2 = 0.90411725637047485667 y 3 = 0.76990267419430468703 y 4 = 0.5873179542866174472 y 5 = 0.36783149899818019375 y 6 = 0.12523340851146891547 y 7 = 0.12523340851146891547 y 8 = 0.36783149899818019375 y 9 = 0.58731795428661744729 y 10 = 0.76990267419430468703 y 11 = 0.90411725637047485667 y 12 = 0.98156063424671925069 α 1 = 0.04717533638651182 α 2 = 0.10693932599531843 α 3 = 0.16007832854334622 α 4 = 0.20316742672306592 α 5 = 0.23349253653835480 α 6 = 0.24914704581340278 α 7 = 0.249147045813402 α 8 = 0.233492536538354 α 9 = 0.203167426723065 α 10 = 0.16007832854334 α 11 = 0.10693932599531 α 12 = 0.04717533638651 - p. 37/48
L algorithme L algorithme de calcul de b a f(t)dt en tenant compte du changement de variable pour se ramener à [ 1, 1] est le suivant : Données : n, (y i ) 1 i n, (α i ) 1 i n, f, a, b début som 0 pour i = 1 à n faire t b a 2 y i + a+b 2 som som +α i f(t) fin Résultat : som b a 2 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 38/48
Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Sur [ 1, 1] si la fonction f n est pas un polynôme, mais qu elle est C 2n (sa dérivée 2n e est continue). Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 39/48
Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Sur [ 1, 1] si la fonction f n est pas un polynôme, mais qu elle est C 2n (sa dérivée 2n e est continue). Alors, on sait par le développement de TAYLOR que x [ 1, 1] f(x) = f(0) + x 1! f (0) + + x2n 1 (2n 1)! f(2n 1) (0) + x 0 (x s) 2n 1 (2n 1)! f (2n) (s)ds Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 39/48
Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Sur [ 1, 1] si la fonction f n est pas un polynôme, mais qu elle est C 2n (sa dérivée 2n e est continue). Alors, on sait par le développement de TAYLOR que x [ 1, 1] f(x) = f(0) + x 1! f (0) + + x2n 1 (2n 1)! f(2n 1) (0) + x 0 (x s) 2n 1 (2n 1)! f (2n) (s)ds On peut montrer que l erreur E = n 1 α if(y i ) 1 f(t)dt est de la 1 forme E = ( n i=1 ) α i yi 2n 2 2n + 1 f(2n) (γ) (2n)! Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion avec γ [ 1, 1]. - p. 39/48
Calcul de l erreur sur [a,b] Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 40/48
Calcul de l erreur sur [a,b] Sur [a, b], On effectue le changement de variable : b 1 ( b a f(t)dt = f 2 u + a + b ) dt 2 a 1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 40/48
Calcul de l erreur sur [a,b] Sur [a, b], On effectue le changement de variable : b 1 ( b a f(t)dt = f 2 u + a + b ) dt 2 a 1 Donc cela donne ( ) ( 2n+1 b a n E = 2 avec ε [a, b] i=1 ) α i yi 2n 2 2n + 1 f(2n) (ε) (2n)! La méthode est d ordre 2n c est à dire qu elle est exacte si f est un polynôme de degré < 2n. Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 40/48
- I Soit f la fonction : f(x) = 1 1 + cos(x) En calculant la somme : Alors que 12 i=1 1 1 α i f(y i ) = 1.7340961839255953 f(t)dt = 1.7340961839256152185433... Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 41/48
- II Soit f la fonction : En calculant la somme : Alors que 12 i=1 2 O f(x) = x α i f(y i ) = 1.8857676976624573 f(t)dt = 1.88561808316412... Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 42/48
- II Soit f la fonction : En calculant la somme : Alors que 12 i=1 2 O f(x) = x α i f(y i ) = 1.8857676976624573 f(t)dt = 1.88561808316412... La méthode n est pas très efficace car x n est pas dérivable en 0. Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 42/48
Autres familles orthogonales Il est possible d utiliser cette méthode pour d autres formes d intégrales : b a w(t)f(t)dt où [a, b] est un intervalle quelconque et w(x) une fonction positive sur [a, b] appelée poids. Pour chaque forme d intégrale, il existe une famille de polynômes orthogonaux, donc des points d interpolation et des coefficients qui permettent de calculer l intégrale sur [a, b] avec la formule : b a w(t)f(t)dt n α i f(y i ) i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 43/48
GAUSS-CHEBYSHEV La fonction de poids est w(x) = 1 1 x 2 L intervalle considéré est ] 1, 1[ Les polynômes orthogonaux sont : T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x) = cos(n arccos(x)) Cette méthode est adaptée au calcul des intégrales de la forme 1 1 f(t) 1 t 2 dt = n i=1 α i f(y i ) + E Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 44/48
GAUSS-LAGUERRE La fonction de poids est w(x) = exp( x) L intervalle considéré est [0, ] Les polynômes orthogonaux sont : L 0 (x) = 1 L 1 (x) = 1 x L n (x) = 2n 1 x n L n 1 (x) n 1 n L n 2(x) Cette méthode est adaptée au calcul des intégrales de la forme 0 exp( t)f(t)dt = n α i f(y i ) + E i=1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 45/48
Accélération de la méthode Il y a deux méthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de GAUSS - p. 46/48
Accélération de la méthode Il y a deux méthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de GAUSS Mais cela n est pas toujours efficace - p. 46/48
Accélération de la méthode Il y a deux méthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de GAUSS Mais cela n est pas toujours efficace Diviser l intervalle d intégration en petits intervalles Soient a 0 = a < a 1 < < a n = b avec a i+1 a i = b a n Alors b a f(t)dt = a1 a 0 f(t)dt + a2 a 1 f(t)dt + + on calcule séparément chaque petite intégrale. la borne d erreur sur le calcul est : an a n 1 f(t)dt - p. 46/48
Accélération de la méthode Il y a deux méthodes pour obtenir une meilleure approximation : Augmenter le nombre de points de GAUSS Mais cela n est pas toujours efficace Diviser l intervalle d intégration en petits intervalles Soient a 0 = a < a 1 < < a n = b avec a i+1 a i = b a n Alors b a f(t)dt = a1 a 0 f(t)dt + a2 a 1 f(t)dt + + on calcule séparément chaque petite intégrale. la borne d erreur sur le calcul est : ( ) ( 2n+1 b a n E < n 2n i=1 ) α i yi 2n 2 2n + 1 an a n 1 f(t)dt max a t b f (2n) (t) - p. 46/48
Cas des intégrales impropres Parfois on ne peut pas utiliser directement ces méthodes pour le calcul de l intégrale d une fonction : Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 47/48
Cas des intégrales impropres Parfois on ne peut pas utiliser directement ces méthodes pour le calcul de l intégrale d une fonction : 1 Si l une des bornes de l intégrale est infinie t 2 dt 1 Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 47/48
Cas des intégrales impropres Parfois on ne peut pas utiliser directement ces méthodes pour le calcul de l intégrale d une fonction : 1 Si l une des bornes de l intégrale est infinie t 2 dt Si la fonction n est pas définie sur l une des bornes 1 1 0 log(t)dt Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 47/48
Cas des intégrales impropres Parfois on ne peut pas utiliser directement ces méthodes pour le calcul de l intégrale d une fonction : 1 Si l une des bornes de l intégrale est infinie t 2 dt Si la fonction n est pas définie sur l une des bornes Si la fonction n est pas dérivable sur l une des bornes 1 1 0 1 log(t)dt 0 xdt Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 47/48
Cas des intégrales impropres Parfois on ne peut pas utiliser directement ces méthodes pour le calcul de l intégrale d une fonction : 1 Si l une des bornes de l intégrale est infinie t 2 dt Si la fonction n est pas définie sur l une des bornes Si la fonction n est pas dérivable sur l une des bornes Alors, on sépare l intégrale en de petites intégrales : ou 1 0 1 1 t 2 dt = log(t)dt = 1 1+10(k+1) k=0 1+10k 2 k k=0 1 t 2 dt 2 k 1 log(t)dt 1 0 1 log(t)dt 0 xdt Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion On calcule chaque petite intégrale séparément et on s arrête quand le reste est négligeable - p. 47/48
Conclusion Pour le calcul de l intégrale d une fonction, on se ramène au calcul de l intégrale d un polynôme. Car c est un ensemble de fonctions très simple. Il permet d approcher presque toutes les fonctions intégrables. Mais cela ne fonctionne bien que sur les fonctions très régulières. On peut couper l intervalle d intégration en petits morceaux. Pour accélérer la convergence Si l intégrale est impropre Si la fonction n est pas assez régulière (non dérivable) Posons le problème Changement de variable Choix des α i et y i Méthode de GAUSS-LEGENDRE En pratique L algorithme Calcul de l erreur sur [ 1, 1] Calcul de l erreur sur[a, b] - I - II Autres familles orthogonales GAUSS-CHEBYSHEV GAUSS-LAGUERRE Accélération de la méthode Cas des intégrales impropres Conclusion - p. 48/48