Cours de Géométrie Pour BCPST 1

Cours de Géométrie Pour BCPST 1 Année scolaire : 2004/2005 16 juin 2005 Mohamed TARQI

Table des matières 1 Géométrie 2 1.1 Repère. Changement de repère......................... 2 1.1.1 Bases et repères.............................. 2 1.1.2 Formule du changement de repère.................... 3 1.2 Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan..... 4 1.2.1 La droite dans le plan.......................... 4 1.2.2 La droite et le plan dans l'espace.................... 5 1.3 Produit scalaire, norme euclidienne....................... 5 1.3.1 Produit scalaire dans le plan...................... 5 1.3.2 Norme euclidienne............................ 6 1.3.3 Produit scalaire et la norme dans l'espace............... 7 1.3.4 Applications................................ 8 1.4 Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace................. 9 1.4.1 Orientation de l'espace.......................... 9 1.4.2 Denitions et propriétés......................... 9 1.5 Barycentre..................................... 11 1.5.1 Dénitions et propriétés......................... 11 1.5.2 Applications................................ 12 1

Chapitre 1 Géométrie Contents 1.1 Repère. Changement de repère................... 2 1.2 Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan.................................... 4 1.3 Produit scalaire, norme euclidienne................ 5 1.4 Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace.......... 9 1.5 Barycentre............................... 11 Dans ce chapitre, nous allons étudier la géomètrie des espaces affines géomètrie dans le plan et dans l'espace R 2 et R 3 ( la Un élément (x, y de R 2 ( resp. (x, y, z de R 3 est représenté graphiquement par un point, noté par exemple M, dont les coordonnées sont x et y ( resp. x, y et z. Ainsi un élément (x, y de R 2 sera considéré, selon le contexte, comme un point ou un vecteur. Si les éléments de R 2 (resp. R 3 sont considérés comme des points, on dit que R 2 ( resp. R 3 est un plan ( resp. espace affine, on le note E 2 (resp. E 3 et s'ils sont considérés comme des vecteurs on dit que R 2 (resp. R 3 est un espace vectoriel. 1.1 Repère. Changement de repère 1.1.1 Bases et repères Dénition 1.1.1. On appelle base du plan tout couple ( i, j de vecteurs du plan linéairement indépendants. On appelle base de l'espace tout triplet ( i, j, k de vecteurs de l'espace linéairement indépendants. Dénition 1.1.2. On appelle repère du plan ane E 2 tout triplet (O, i, j où ( i, j est une base du plan et O un point du plan. On appelle repère de l'espace ane E 3 tout quadruplet (O, i, j, k où ( i, j, k est une base de l'espace et O un point de l'espace. 2

1.1.2 Formule du changement de repère Proposition 1.1.1. Soient R = (O, i, j, R = (O, i, j deux repères, (x 0, y 0 les coordonnées de O dans le repère R. P la matrice de passage de la base ( i, j à la base ( i, j. Pour tout point M de E 2, on a, en notant (x, y les coordonnées de M dans R et (x, y les coordonnées de M dans R ( x y = ( x0 y 0 ( x + P y Cas particulier Soit ( i, j une base de R 2 et O (a, b un point quelconque du plan. Alors { x = a + x y = b + y avec (x, y les coordonnées de M dans (O, i, j et (x, y les coordonnées de M dans (O, i, j. ( Ici P = I 2 Démonstration : Pour tout point M de E 2, on a : OM = OO + O M d'où : avec ( x y = ( x0 y 0 ( α + β O M = α i + β j(1 Soit ( p11 p P = 21 p 12 p 22 la matrice de passage de la base ( i, j à la base ( i, j. On a : D'autre part, on a : i = p 11 i + p 12 j et i = p 21 i + p 22 j O M = x i + y j = x (p 11 i + p 12 j + y (p 21 i + p 22 j = (p 11 x + p 21 y i + (p 12 x + p 22 y j (2 (1 et (2 entraînent : ( α β ( p11 p = 21 p 12 p 22 ( x y 3

et ( x y = ( x0 y 0 ( p11 p + 21 p 12 p 22 ( x y De même on a la proposition suivante : Proposition 1.1.2. Soient R = (O, i, j, k, R = (O, i, j, k deux repères, (x 0, y 0, z 0 les cordonnées de O dans le repère R. P la matrice de passage de la base ( i, j, k à la base ( i, j, k. Pour tout M de E 3, on a, en notant (x, y, z les coordonnées de M dans R et (x, y, z les coordonnées de M dans R Exercice : x y z = x 0 y 0 z 0 + P Soit ( i, j, k la base canonique de R 3 et O = O(0, 0, 0. Déterminer les coordonnées des points A(1, 2, 0 et B(0, 1, 3 dans le repère R = (O, i, j, k avec O (1, 1, 1, i = i, j = i + j et k = i + j + k. De même déterminer les coordonnées des vecteurs U(1, 2, 3 et V (4, 2, 3 dans la base ( i, j, k. x y z 1.2 Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan 1.2.1 La droite dans le plan Soit u un vecteur non nul et A un point quelconque du plan. L'ensemble {M P / AM = t u / t R} est la droite passant par A, dirigée par le vecteur u. Dénition 1.2.1. (Proposition Soit (a, b (0, 0, c R. L'ensemble des points M(x, y de R ( 2 vériant l'équation (E : ax + by + c = 0 est la droite (D dirigée par b le vecteur u passant par ( c a a, 0 (si a 0 (E est dite équation cartésienne (E.C de la droite (D. Toute droite du plan admet une E.C Dénition 1.2.2. (Proposition Soit (a, { b (0, 0, (x 0, y 0 R 2. L'ensemble des points x = M(x, y de R 2 x0 + at vériant le système (S : (t R est la droite (D qui passe y = y 0 + bt ( ( x0 a par A dirigée par le vecteur u (S est une représentation paramétrique de la y 0 b droite (D. Exercice : Considérons les deux repères du plan R = (O, i, j et R = (O, i, j avec ( i, j la base canonique, i = i + j, j = j et O(0, 0. Déterminer une E.C de la droite D(A, u, avec A(1, 2 ( donné dans R et u = i + 3 j dans les deux repères. 4

1.2.2 La droite et le plan dans l'espace Soit A et B deux points distincts de l'espace E 3. La droite (AB est l'ensemble des points M tels que AM = t AB (t R Soit A et B deux points distincts de l'espace de coordonnées respectives (x 0, y 0, z 0 et (x 1, y 1, z 1 dans un repère donné la droite (AB a pour représentation paramétrique x = x 0 + t(x 1 x 0 (S : y = y 0 + t(y 1 y 0 (t R z = z 0 + t(z 1 z 0 Le plan passant par A de vecteurs directeurs u et v ( u et v sont linéairement indépendants est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = λ u + µ v λ R, µ R donc il a pour représentation paramétrique le système x = x 0 + λα + µα (S : y = y 0 + λβ + µβ (λ R,µ R z = z 0 + λγ + µγ 1.3 Produit scalaire, norme euclidienne 1.3.1 Produit scalaire dans le plan Dénition 1.3.1. Soit u et v deux vecteurs non nuls ; O un point quelconque du plan, U et V les points dénis par OU = u et OV = v et H la projection orthogonale de V sur la droite (OU ; on pose u. v = OU.OH ou encore u. v = OU.OV cos( u, v Et si u = 0 ou v = 0, on pose u. v = 0 u. v est appelé le produit scalaire de u et v. Propriété fondamentale Propriétés du produit scalaire u v u. v = 0 Quels que soient les vecteurs considérés et le nombres α considéré on a : 1 u. v = v. u 2 u.(α v = α( u. v 3 ( u + v. w = u. w + v. w 5

Démonstration : O, A, S, C tels que : w = OC, u = OA, v = AS. Soit K la projection orthogonale de A sur (OC et H la projection orthogonale de S sur (OC. On a : ( u + v. w = OS. OC = OH.OC(1 et u. w + v. w = OA. OC + AS. OC = OK.OC + KH.OC = OH.OC (2 Donc (1 et (2 = ( u + v. w = u. w + v. w Corollaire 1.3.1. (Expression analytique dans une base orthonormale Si u et v ont pour coordonnées dans une base orthonormale (x, y et (x, y, on a : u. v = xx + yy Démonstration : En eet, soit ( i, j une base orthonormele. u. v = (x i + y j.(x i + y j = xx i. i + (xy yx i. j + yy j. j = xx + yy 1.3.2 Norme euclidienne Soit u un vecteur non nul ; O un point quelconque du plan, U le point déni par la relation OU = u On a : u. u = OU 2 donc u. u 0 et u. u = 0 u = 0 Dénition 1.3.2. La norme euclidienne du vecteur u c'est le réel positif u = u. u = x 2 + y 2 Géomètriquement, dans un plan muni d'un repère orthonormé, u représente la distance OU. Propriété ( Relation de Pythagore u. v = 0 u + v 2 = u 2 + v 2 6

Exercice : Montrer que quels que soit u et v et le réel λ, on a : λ u = λ u et u + v u + v (Inégalité triangulaire 1.3.3 Produit scalaire et la norme dans l'espace Expression analytique dans une base orthonormale Dénition 1.3.3. Si u et v ont pour coordonnées dans une base orthonormale (x, y, z et (x, y, z, on dénit le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u. v par : et la norme euclidienne par u. v = xx + yy + zz u = u 2 = x 2 + y 2 + z 2 Dénition 1.3.4. Un vecteur non nul n est dit normal au plan (P si sa direction est orhtogonale à (P. Proposition 1.3.1. L'ensemble des points M de l'espace qui vérient k. AM = 0 où k est un vecteur non nul et A un point donné est le plan passant par A admettant k pour vecteur normal. Équation cartésienne d'un plan Soit (P le plan passant par le point A(x 0, y 0, z 0 et admettant n(a, b, c comme vecteur normal ; on a : M(x, y, z (P n. AM = 0 par suite, une équation cartésienne de (P est a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 = 0 ax + by + cz ax 0 by 0 cz 0 = 0 Réciproquement : L'ensemble (Q des points de l'espace dont les coordonnées vérient ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c (0, 0, 0 est un plan admettant le vecteur n(a, b, c comme vecteur normal. De plus si a, par exemple, n'est pas nul, on peut écrire ax + by + cz + d = 0 x = b a y c a z d a y = y z = z et l'on voit alors que (Q admet comme vecteurs directeurs les vecteurs de coordonnées ( b c a, 1, 0 et ( a, 0, 1. 7

1.3.4 Applications 1. Condition analytique d'orthogonalité de deux droites. Si les deux droites (D et (D de vecteurs directeurs respectifs u(a, b, c et u (a, b, c. On a : (D (D u. u = 0 aa + bb + cc = 0 2. Condition analytique d'orthogonalité d'une droite et d'un plan. Soit (D une droite de vecteur directeur u(α, β, γ et (P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0, (a, b, c (0, 0, 0. La droite (D est orthogonale au plan (P si, et seulement si, les vecteur u(α, β, γ et n(a, b, c sont liés. 3. Condition analytique de parallélisme et de perpondicularité de deux plans Soit (P et (P les plans d'équations respectives (P : ax + by + cz + d = 0, (a, b, c (0, 0, 0 On a donc (P : a x + b y + c z + d = 0, (a, b, c (0, 0, 0 (P (P n(a, b, c et n (a, b, c sont liés 4. Distance d'un point à un plan (P (P aa + bb + cc = 0 Soit A(x 0, y 0, z 0 un point de l'espace et (P un plan d'équation : ax+by+cz +d = 0. La distance du point A au plan (P c'est la distance du point A à sa projection orthogonal H sur (P. Or, soit n(a, b, c un vecteur normal à (P et (x 1, y 1, z 1 les coordonnées de H ; on a : n. HA = a(x 0 x 1 + b(y 0 y 1 + c(z 0 z 1 = ax 0 + by 0 + cz 0 ax 1 by 1 cz 1 soit enn puisque n. HA = ax 0 + by 0 + cz 0 + d H (P ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 par ailleurs, si l'on oriente la droite (AH dans le sens du vecteur n, on a 8

n. HA = n.ha = a 2 + b 2 + c 2.HA et d(a, (P = HA = ax 0+by 0 +cz 0 +d a 2 +b 2 +c 2 Remarque : Dans un plan rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, la distance du point A(x 0, y 0 à la droite (D d'équation ax + by + c = 0 est : d(a, (D = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 1.4 Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace 1.4.1 Orientation de l'espace Soit (O, i, j, k un repère de l'espace et les points I, J et K dénis par OI = i, OJ = j, OK = k. L'observateur d'ampère est un personnage dont la tête est en K, les pieds en O et qui regarde le point I. Deux cas sont possibles : 1 Le point J est à gauche de l'observateur. 2 Le point J est à droite de l'observateur. Orienter l'espace, c'est choisir l'un de ces deux repères. Les repères du type choisi sont dites directs, traditionnellement, ce sont du cas n 1. Lorsque le repère (O, i, j, k est direct ( resp. indirect, on dit que la base ( i, j, k est directe ( resp. indirecte Permuter deux vecteurs d'un repère change l'orientation : si (O, i, j, k est direct alors (O, j, i, k est indirect. Une permutation circulaire sur les vecteurs d'une base ne change pas l'orientation : si (O, i, j, k est direct, (O, j, k, i et (O, k, i, j sont également des repères directs. 1.4.2 Denitions et propriétés Dénition 1.4.1. Soient u et v deux vecteurs de l'éspace orienté ; A, B et C trois points tels que : AB = u et AC = v Le produit vectoriel de u et v est le vecteur noté u v déni par : Si u et v sont colinéaires, alors u v = 0 Si u et v ne sont pas colinéaires : u v est orthognal aux vecteurs u et v ; (u, v, u v est une base directe ; u v = u v sin BAC 9

Propriétés u, v et w trois vecteurs, α réel, A, B et C des points de l'espace. u v = 0 u et v colinéaires ; AB AC = 0 A, B, C alignés ; u v = v u; (α u v = u (α v = α( u v; u ( v + w = u v + u w; ( u + v w = u w + v w. Si ( i, j, k est une base orthonormée directe : i j = k, j k = i, k i = j. Interprétation géométrique du produit vectoriel Si u et v sont indépendants, avec u = AB et v = AC, on a : u v = AB.AC sin BAC = 2Air(ABC donc u v est l'aire du parallélogramme construit à partir de [OA] et [OB] et aussi le double de l'aire du triangle ABC. Aire du triangle ABC = 1 2 AB AC Expression analytique dans une base orthonormée directe ( i, j, k Si u(x, y, z et v(x, y, z alors : u v = (yz zy, zx xz, xy x y En eet : u v = (x i + y j + z k x i + y j + z k = (xx i i + xy i j + xz i k + yx j i + yy j j + yz j k + zx k i + zy k j + zz k k = (yz zy i + (zx xz j + (xy x y k Alors le produit vectoriel u v se calcule en écrivant : x y z x y z = yz zy zx xz xy x y Exercice : Montrer quels que soient les vecteurs de l'espace orienté, on a : u v 2 + ( u. v 2 = u 2 v 2 En particulier u v u. v ( avec égalité si et seulement si ( u. v = 0 Proposition 1.4.1. et w, on a : Formule du double produit vectoriel : Pour tout vecteurs u, v, u ( v w = ( u. w. v ( u. v. w Applications du produit vectoriel 10

1. Équation cartésienne d unplan A, B et C ne sont pas alignés si, et seulement si : AB AC 0 AB AC est un vecteur normal au plan (ABC M est un point du plan (ABC si et seulement si AM. AB AC = 0( La traduction analytique de cette égalité donne une équation cartésienne du plan (ABC 2. Distance d un point M à un plan(abc La distance d'un point M à un plan (ABC est donnée par : AM. AB AC AB AC. En eet : On a d(m, (ABC = ax M +by M +cz M +d a, avec n(a, b, c vecteur normal au plan (ABC, 2 +b 2 +c 2 ici on prend n = AB AC et N (ABC AN. AB AC = 0, donc AM. AB AC d(m, (ABC = AB AC Exercice : Dans E 3 on se donne un parallélépipède dont les arêtes issues de A sont AB,AC et AD. Montrer que son volume est ( AB AC. AD. Solution : Ici la base ( AB AC. AD. est directe, donc ( AB AC. AD > 0 ( ( AB AC et AD. ont le même sens. Il existe une base orthonormale ( i, j, k directe telle que AB = b i, AC = c i + c j et AD = d i + d j + d k, alors ( AB AC. AD = (bc k.d k = bcd : c'est bien le volume du parallélépipède. 1.5 Barycentre 1.5.1 Dénitions et propriétés Dans la suite du chapitre, (E désignera soit un plan soit l'espace. Soit A 1, A 2,..., A n une famille de points de (E (confondus ou non, et une famille de réels. Soit O un point xé de (E. On a pour tout M de (E : α 1, α 2,..., α n Dénition 1.5.1. Proposition Si MA i = ( MO + OAi 0, il existe un unique point G de (E tel que : GAi = 0 11

ce point G est déni par : OG = 1 P de points pondérés (A i,, i = 1, 2,..., n. OAi. On l'appelle barycentre de la famille Remarques 1. Si = 0, le vecteur MA i est constant. 2. Soit (O, i, j, k un repère de (E, ( si (E est l'espace, et si (x i, y i, z i les coordonnées de A i. Le point G a alors pour coordonnées : x G = 1 x i, y G = 1 y i, z G = 1 z i P 3. Si 0, on a pour tout M de (E Porpriétés : On a les propriétés suivantes : P MA i = ( MG P 1. le barycentre d'une famille de points pondérés est inchangé si l'on multiplie tous les coecients par un même réel non nul. 2. le barycentre de (A, α, (B, β appartient à la droite (AB ( si A B et α + β 0 3. le barycentre de (A, α, (B, β, (C, γ appartient au plan (ABC,( si A, B, C ne sont pas alignés et si α + β + γ 0 4. le barycentre d'une famille de points pondérés est inchangé si l'on remplace plusieurs points par leur barycentre partiel (quand il existe aecté d'un coecient égal à la somme de leurs coecients. Dénition 1.5.2. On appelle isobarycentre de n points A 1, A 2,..., A n le barycentre de ces points aectés de leur coecients tous égaux. Remarque L'isobarycentre de deux points A et B est le milieu de segment [A, B], celui de trois points A, B, C est le point de concours des médianes du triangle ABC.( centre de gravité du triangle ABC 1.5.2 Applications Transformation de tout M de E : MA 2 i : Soit O un point arbitrairement xé de E, on a, pour 12

MA 2 i = = 2 MA i = ( Par suite deux cas se présentent : Premier cas : on obtient Remarque ( MO + OA i 2 MO 2 + 2 MO.( OAi + OAi 2 0. Notons G le barycentre du système de points pondérés (A i, ; GAi = 0, MA 2 i = ( MG 2 + GA 2 i (1 Dans le cas particulier où n = 2 et où α 1 = α 2 = 1, la relation (1 s'écrit, en notant I le milieu de [A 1, A 2 ], Soit ( C'est la formule de la médiane MA 2 1 + MA 2 2 = 2MI 2 + IA 2 1 + IA 2 2 MA 2 1 + MA2 2 = 2MI2 + A 1A 2 2 2 Deuxième cas : V ; on obtient alors = 0 Dans ce cas, le vecteur MA i est constant ; notons-le MA 2 i = 2 MO. V + OA 2 i O est un point arbitrairement xé de (E. L'étude de l'ensemble C a = {M E : On pose ϕ(m = MA 2 i. MA 2 i = a} 13

Premier cas : 0. P ϕ(m = a GM 2 = a ϕ(g par conséquent Si a ϕ(g P 0, C a est le cercle( ou la sphère de centre G a ϕ(g et de rayon P. P Si a ϕ(g < 0, C a = Deuxième cas : par conséquent { Si V = O = 0 ϕ(m = a OM. V = ϕ(o a 2 C ϕ(o = E C a =, pour tout a distinct de ϕ(o Si V O, C a est alors la droite (ou le plan orthogonale à la droite (O, V passant par le point H 0 de cette droite (O, V déni par OH 0 = ϕ(o a 2V L'étude de l'ensemble C a = {M E : MA MB = a} ( A B On voit immédiatement que : si a < 0, C a = si a = 0, C a = {A} Soit maintenant a > 0, on alors, puisque A B, si 1 a 2 0 MA MB = a MA = amb MA 2 a 2 MB 2 = 0 MA 2 a 2 MB 2 = 0 ( MA a MB.( MA + a MB = 0 considérons I le barycentre de système {(A, 1, (B, a} et J le barycentre de système {(A, 1, (B, a}, alors (1 a 2 IM. JM = 0, donc IM. JM = 0, par suite Ca est le cercle ( ou la sphère de diamètre [IJ]. si 1 a 2 = 0, c'est à dire a = 1, C a est la droite ( ou le plan orthogonale à (AB en son milieu. 14