STRUCTURE GENERALE D UN SYSTEME ASSERVI

Drone élécommandé

. STRUCTURE GENERALE D UN SYSTEME ASSERVI -----------------------------------------------------------------------------------------------.. Rael sur la srucure générale d un sysème asservi ----------------------------------------------------------------------------------. PERFORMANCES D UN SYSTEME ASSERVI --------------------------------------------------------------------------------------------------------.. La récision ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. La raidié --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.3. La sabilié ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU PREMIER ORDRE ----------------------------------------------------------------------------------- 4 3.. Rael ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 3.. Réonse imulsionnelle d un sysème du remier ordre ------------------------------------------------------------------------------- 4 3.3. Réonse indicielle d un sysème du remier ordre --------------------------------------------------------------------------------------- 5 3.4. Réonse à une rame de ene A ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 4. ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU SECOND ORDRE ------------------------------------------------------------------------------------ 7 4.. Rael ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 4.. Réonse imulsionnelle -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 4.3. Réonse indicielle --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 5. ANALYSE FREQUENTIELLE (OU HARMONIQUE) ----------------------------------------------------------------------------------------------- 5.. Princie de l analyse fréquenielle ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.. Rerésenaions grahiques de la foncion de ransfer Lieux de ransfer ----------------------------------------------------- 3 5.3. Analyse des sysèmes élémenaires --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 5.4. Sysèmes du remier ordre ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 5.5. Diagramme de Nyquis: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6 5.6. Sysèmes du second ordre -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 5.7. Tracé de diagrammes de Bode our une foncion quelconque --------------------------------------------------------------------- 6. DEFINITION DE LA STABILITE ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.. Aroche sensiive ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6.. Réonse libre ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.3. Signaux bornés ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Méhodes d éude de la sabilié à arir de la FTBF ---------------------------------------------------------------------------------------- 7.. Éude des ôles de la FTBF -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Méhodes d éude de la sabilié à arir de la FTBO --------------------------------------------------------------------------------------- 6 8.. Lieux de ransfer (rael)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 8.. Crières grahiques ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7 9. Nécessié d une correcion -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 9.. Inroducion---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 9.. Correcion série ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 9.3. Correcion en réacion -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Princiaux yes de correceurs ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 33.. Correceur roorionnel (P) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 33.. Correceur inégral (I) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 35.3. Correceur roorionnel inégral ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 36.4. Correceur roorionnel dérivé --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 37.5. Correceur PID (our roorionnel inégral dérivaeur) -------------------------------------------------------------------------- 39

. Synhèse : influence de la correcion sur la réonse indicielle ------------------------------------------------------------------------ 4

INGESPE SEMESTRE. STRUCTURE GENERALE D UN SYSTEME ASSERVI.. Rael sur la srucure générale d un sysème asservi Un sysème asservi eu êre modélisé ar le schéma foncionnel aelé schéma bloc suivan : E Consigne Comaraeur + - Régulaeur S' Mesure Correceur Signal de commande Acionneur Chaîne direce ou chaîne d acion Caeur Perurbaions Processus S Grandeur de sorie Chaîne de reour ou chaîne de réacion Il es caracérisé ar deux chaînes : une chaîne direce ou d'acion assuran les foncions de commande e de uissance ; une chaîne de reour ou de réacion assuran la foncion de mesure. Le régulaeur élabore le signal de commande à arir de l écar (ou erreur) consaé enre la consigne e la mesure issue du caeur. Il comore : un comaraeur élaboran le signal d écar ; un correceur modifian l allure de la commande our améliorer les erformances du sysème. L acionneur fourni la uissance au rocessus à arir du signal élaboré ar le régulaeur. Le rocessus évolue selon les lois hysiques le caracérisan. Ceendan, il eu subir des erurbaions exérieures révisibles ou non. age

INGESPE SEMESTRE. PERFORMANCES D UN SYSTEME ASSERVI Le cahier des charges d un sysème asservi imose un cerain nombre de erformances oran sur les comoremens en régime éabli (récision) e en régime ransioire (raidié e sabilié). Ces rois caracérisiques son éroiemen liées. Il fau donc les rendre comaibles, ce qui asse souven ar la recherche d un correceur arorié car les exigences de récision e de sabilié imosen généralemen des réglages conradicoires... La récision Sous l acion d un des signaux d enrée yes e() ci-dessous, un sysème linéaire end à résener en sorie un signal s() du même ye. Si, en régime éabli (au bou d un cerain ems), il exise une différence enre la sorie e l enrée, alors il y a une erreur ermanene. Enrée Echelon Enrée Rame e () Erreur saique S ou de osiion Erreur de raînage T ou de suivi E e () s () s () s () : Réonse à une rame.. La raidié C es le ems que me le sysème à réagir à une variaion brusque de la grandeur d enrée (échelon). La valeur finale S de s() éan souven aeine de manière asymoique, la raidié es généralemen caracérisée ar le ems de réonse R à 5%. C es le ems mis ar la réonse s() our que :,95 S s,5 S () Régime amori Régime oscillan amori s (),5 S s () D% S max S S,95 S R à 5% R à 5% Pour le régime oscillan amori, le remier déassemen exrimé en %, caracérise l amliude des oscillaions : D % S max S S.3. La sabilié age

INGESPE SEMESTRE Pour la grande majorié des sysèmes, on ne eu as acceer, qu à consigne consane, la grandeur de sorie ne converge as vers une valeur consane comme ci-dessous : Oscillan non amori Non oscillan non amori s () s () E E Le comoremen que l on souhaie normalemen obenir es semblable à ceux roosés ci-dessous : Oscillan amori Non oscillan amori s () s () S S Si l amorissemen es ro imoran (courbe ), cela condui à une ere significaive de raidié our le sysème. La réonse roose un bon comromis enre amorissemen e raidié our un sysème oscillan. On lui réfèrera la réonse dans les alicaions où l amliude des oscillaions doi iméraivemen reser nulle. age 3

INGESPE SEMESTRE 3. ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU PREMIER ORDRE 3.. Rael Les sysèmes du remier ordre son régis ar une équaion différenielle de la forme : ds(). s( ). e( ) (avec > : gain saique e > : consane de ems) d qui condui, arès ransformée de Lalace,. S( ) S( ). E( ) à l exression de la foncion de ransfer : S( ) H ( ) E( ) 3.. Réonse imulsionnelle d un sysème du remier ordre Pour une enrée imulsionnelle e( ) ( ), nous avons E ( ), soi S( ) H( ). E( ) (la réonse imulsionnelle d un sysème es l image de sa foncion de ransfer). En revenan dans le domaine emorel, on a s() e Caracérisiques de la réonse imulsionnelle : Ordonnée à l origine : d où à = s ( ) (le sysème asse brualemen de à une valeur non nulle) (ou avec le héorème de la V.I. à arir de S() : lim s( ) lim. S( ) lim. H( ) ) Tangene à l origine : Calculons la dérivée en = : ds() d La angene à l origine a our équaion ds() y( ) s( ). d Soi ici y ( ). ( ) im Cee droie coue l axe des abscisses en. s () e De lus, à nous avons s( ) e =.37. : la valeur s () es réduie de 63%. age 4

INGESPE SEMESTRE 3.3. Réonse indicielle d un sysème du remier ordre Le sysème es soumis à une enrée de ye échelon. Nous considèrerons ici un échelon uniaire, soi e( ) u( ). Nous avons Soi avec Caracérisiques de la réonse indicielle : Ordonnée à l origine : E ( ) S( ) H( ). E( ) ; S ( ). lim s( ) lim. S( ) lim H( ) Tangene à l origine : Pene à l'origine : Valeur finale : lim s '( ) lim. S( ) lim lim s( ) lim. S( ) lim H( ) (On a une asymoe horizonale y=). On remarquera ici que l erreur saique a our exression. Un sysème du remier ordre ne ossède as d erreur saique si son gain = S Poins caracérisiques à connaîre: o our =, s() = ( e - ) =,63 o ems de réonse à 95% C es l insan r our lequel s( r ) =,95 s max r r Soi (- e ) =,95 e =,5 r 3 Si on connaî le racé de la réonse indicielle d'un sysème du er ordre, on eu rouver facilemen, ar idenificaion, le gain e la consane de ems..95..63. 3 s e () s () 3 Déerminaion de l exression de la réonse indicielle dans le domaine emorel: En revenan dans le domaine emorel ar décomosiion de S() en élémens simles suivan: A B S( ) / e ransformée de Lalace inverse, on a : age 5

INGESPE SEMESTRE 3.4. Réonse à une rame de ene A s( ) ( e ). u( ) Déerminaion de l exression de la réonse dans le domaine emorel e() = A u() E() = A Proriéés e racé de la réonse s ()= s ' ()= S() = A ( ) = ( A - A s( ) A( e ). u( ) A + ) La courbe adme une asymoe oblique de ene A en + dans le cas où =: Exisence d'une «erreur de raînage» en régime ermanen. = < > age 6

INGESPE SEMESTRE 4. ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU SECOND ORDRE 4.. Rael Les sysèmes du second ordre son régis ar une équaion différenielle de la forme : d s ( ) ds( ). s( ) e( ) d d Avec : gain saique : ulsaion rore : coefficien d'amorissemen qui condui, arès ransformée de Lalace, la foncion de ransfer :. S( ). S( ) S( ). E( ) à l exression de H().. 4.. Réonse imulsionnelle E() = S() = = D() Avec D() de discriminan rédui ' = - = ( -) Cas > : D() ossède racines réelles e e avec D où S() = ( )( ) = ( A ( ) + B ) = ( + ) D où s e e u ( ) ( ). ( ) Sysème amori (régime aériodique) Réonse imulsionnelle d un sysème du second ordre,, age 7

INGESPE SEMESTRE On eu alors écrire S() sous la forme: Soien Cas : D() ossède racines comlexes conjuguées e S ( ) ( ) ( ) = ( - ) e a =. S ( ) ( a) D où s e u ( ) sin( ). ( ) T Sysème sous-amori (régime seudo-ériodique) La seudo-ériode des oscillaions vau : T Réonse imulsionnelle d un sysème du second ordre,., Lorsqu'il n'y a as d'amorissemen ( ), on a une réonse sinusoïdale de ulsaion. Cas : D() ossède racine double L'allure de la réonse serai comarable à celle obenue dans le cas du régime aériodique mais ce cas es imossible dans la réalié: on ne eu avoir une valeur réelle de exacemen égale à. 4.3. Réonse indicielle Remarque: la réonse indicielle es l'inégrale de à de la réonse imulsionnelle. En effe, S im = H(). e S ind = H(). La réonse imulsionnelle éan nulle our =, la ene de la réonse indicielle es nulle à l'origine. Cas : sysème amori Déerminaion de l exression de la réonse dans le domaine emorel H ( ) adme ôles réels disincs e avec La foncion de ransfer H ( ) eu s écrire sous la forme d'où S ( ) ( )( ) ( )( ) H ( ) ( )( ) en osan i i age 8

INGESPE SEMESTRE On déermine s() ar la ransformée inverse : S( )..... s( ).. e. e / / e e ou bien encore s( ). Ce que l on aurai égalemen u déerminer en inégran l exression de la réonse imulsionnelle : S() = (e u u u u u u e e e e ( e e ) du e e e e o o Proriéés de la réonse En =, la courbe adme une angene horizonale. La courbe ne déasse as son asymoe horizonale (s () es monoone). Il n y a as de formule our déerminer le ems de réonse à 5%. Nous ouvons remarquer ceendan que le sysème ressemble à un remier ordre lorsqu'on s'éloigne de =. Pour calculer le ems de réonse à 5% eu donc êre aroché en raique en uilisan l abaque des ems de réonse réduis. Remarque : dans le cas où τ= ( ), on arle d'amorissemen criique, l'exisence d'un ôle double modifie la décomosiion en élémens simles e on obien : e )du La réonse es lus raide que si ξ> ( 5% 5ω ), mais l'allure de la courbe es rès similaire. Cas : sysème sous-amori Déerminaion de l exression de la réonse dans le domaine emorel age 9

INGESPE SEMESTRE Caracérisiques de la réonse La courbe adme oujours une angene horizonale à =. On observe l'aariion d'oscillaions auour de la valeur finale (réonse seudo-ériodique), d'auan lus amories que ξ es élevé. Pour ξ=, la réonse es sinusoïdale d'amliude. La seudo-ériode des oscillaions es T o Les courbes enveloes son les courbes o Le remier déassemen es obenu our = o T = e vau D = e Les valeurs des déassemens successifs euven êre lues sur l'abaque des déassemens. Les déassemens son arfois donnés en ourcenage de la valeur finale : D%= e o Le calcul du ems de réonse à 5% es encore lus comliqué que dans le cas ξ> en raison du hénomène oscillaoire. On se reorera donc à l'abaque des ems de réonse réduis. o On remarque, sur l'abaque des ems de réonse, que le minimum es obenu our une valeur ariculière : ξ=,7. Cee valeur corresond à celle our laquelle le remier déassemen vau 5%. Le sysème es di alors juse amori. Alors, 5% 3ω. Evoluion de la réonse avec le coefficien d amorissemen Diagramme de déerminaion du ems de réonse à 5 % d un sysème du deuxième ordre à une enrée indicielle (ou échelon) age

INGESPE SEMESTRE age

INGESPE SEMESTRE 5. ANALYSE FREQUENTIELLE (OU HARMONIQUE) 5.. Princie de l analyse fréquenielle L analyse fréquenielle ou harmonique es l éude de la réonse ermanene d un sysème en régime sinusoïdal. Le sysème éan soumis à une enrée sinusoïdale à ulsaion variable, on observe le comoremen de la sorie. E S Différence d amliude e() s() Déhasage < ω. L enrée es de la forme e( ) E.sin avec Régime ransioire E : amliude de l enrée : ulsaion (rad/s) Régime ermanen Dans le cas d un sysème sable, une fois le régime ermanen aein, on monre que la sorie s() es égalemen sinusoïdale e de même ulsaion : s( ) S.sin( ) L amliude de sorie S e le déhasage (décalage emorel de la sorie ar raor à l enrée) déenden de la ulsaion. On raelle que l évoluion d un sysème Linéaire Coninu Invarian es décrie ar une équaion différenielle de forme générale : n n m m d s( ) d s( ) d e( ) d e( ) a n an... a s( ) bm bm... b e( ) () n n m m d d d d j Si l on inrodui les noaions comlexes suivanes : e Ee e aries imaginaires de e e s), l équaion () donne : s S e j( ) (e() e s() rerésenan les a ( j) s a ( j) s... a s b ( j) e b ( j) e... b e n n m m n n m m d'où s b... b ( j) S e a a j E m m H( j) n... n ( ) On a donc S e j H(j ) E e Arg H(j ) Le module de la foncion de ransfer comlexe H(j ) donne le raor enre les amliudes d'enrée e sorie (gain G du sysème), foncion de la ulsaion. L'argumen de la foncion de ransfer comlexe H(j ) donne le déhasage enre l'enrée e la sorie ou hase du sysème, foncion de la ulsaion. L éude de la foncion de ransfer comlexe en foncion de la ulsaion erme donc de déerminer l amliude e la hase de la réonse harmonique du sysème. On uilisera our cela les lieux de ransfer qui son des S rerésenaions grahiques du gain e de la hase. E age

INGESPE SEMESTRE 5.. Rerésenaions grahiques de la foncion de ransfer Lieux de ransfer Diagramme de Bode G db = log H(j) On rerésene H(j) sur courbes en foncion de (axe des abscisses gradué en log()) : le module G (gain) en décibels (db): G log H(j ) db la hase en degrés ou radians : Arg H(j ),, Proriéé : suosons que H(j ) H (j ).H (j ) (foncions de ransfer en série), on a alors : G log H(j ) log H (j ) log H (j ) db Les courbes de gain s addiionnen, Arg H(j ) Arg H (j ) Arg H (j ) e les courbes de hase s addiionnen. = Arg (H(j)),, - 45-9 Remarque : les échelles de variaion ossibles des gains éan assez éendues, il es référable d'éudier les logarihmes de ces quaniés. la foncion logarihme décimal réalise la ransformaion : x,,, log x -3 - - 3 on arle de «décade» enre e. e «d ocave» enre e. dans le diagramme de Bode, il n y a as de = qui corresondrai à - un module de db corresond à un module de. on a our la foncion logarihme décimal : log (a.b)= log (a)+ log (b). Cee roriéé erme de ransformer un rodui en une somme (ce qui es rès uile uisqu une foncion de ransfer es un rodui de olynômes). Diagramme de Black (ou Black-Nichols) On rerésene le module G de H(j) en db en foncion de la hase exrimée en degrés e on gradue la courbe en. G db = log H(j) = Arg (H(j)) sens des croissans Diagramme de Nyquis Im(H(j)) Pour chaque valeur de, on rerésene H(j) dans le lan comlexe e on gradue la courbe en. - O Re(H(j)) Le gain G= H(j) =OA e le déhasage son direcemen lisibles our chaque valeur de. sens des age croissans 3 A

INGESPE SEMESTRE Remarque : le lieu de Nyquis sera uilisé lors de l éude de la sabilié (éude grahique) e on noera l imorance du oin (crière de Nyquis ou crière du revers). 5.3. Analyse des sysèmes élémenaires Sysème à acion roorionnelle Gain ur H(j ) G gain : db hase : log G db log G db log Im(H(j)) Re(H(j)) BODE BLAC NYQUIST Dérivaeur ur H( j ) j gain : GdB log log hase : 9 La ene du gain es de + db ar décade (noé +). G db log 9 (+) Im(H(j)) G db / 9 =/ Re(H(j)) BODE BLAC NYQUIST La droie rerésenan le gain asse ar le oin de coordonnées (, log ) Inégraeur ur H(j ) j G db log log - gain : GdB log log hase : 9 La ene du gain es de - db -9 ar décade (noé -). La droie rerésenan le gain asse ar le oin de coordonnées (, log ) (-) -9 G db = Im(H(j)) BODE BLAC NYQUIST Re(H(j)) Reard ur H(j ) j e G db G db Im(H(j)) G gain : db hase : Re(H(j)) BODE BLAC NYQUIST age 4

INGESPE SEMESTRE / log - - log - rad - 5.4. Sysèmes du remier ordre Module, gain e hase de la foncion de ransfer d un sysème du remier ordre H(). module : H(j ) H(j ) j gain : GdB log log log hase : arc an( ) Diagramme de Bode On race d'abord les diagrammes asymoiques: quand, H(j ) e = G db log quand, H(j ) e = -9 j G db log - log GdB log A / / / Bande assane -3 db - 3 db (-) Asymoe de ene - db/décade ulsaion de cassure en A (inersecion des asymoes) : / log = log - log = d'où = / Courbe de gain réelle : -45-9 G db (=/) = log - log = log - 3 db G db (=/) = log - log 5. = log - db de même, our = /, l'écar enre le gain e le lieu asymoique vau db. / / / -6-45 -63-9 Remarques : une modificaion de se radui ar une ranslaion vericale de la courbe de gain e n'a as d'effe sur la hase une modificaion de la consane de ems délace la ulsaion de cassure. Bande assane à - 3dB : lage des ulsaions our lesquelles la ere de gain es inférieure à 3dB age 5

INGESPE SEMESTRE Pour un sysème de foncion de ransfer H(), la bande assane défini la bande de fréquence [, f ] our laquelle l aénuaion d amliude ne déasse as une valeur limie. Cee limie es fixée convenionnellemen à 3% soi un décalage de 3 db. La bande assane es une bande de fréquence qui s exrime en Hz. La ulsaion ω corresond à la fréquence f, la bande assane à 3dB s écri alors : BP 3dB f. Ce crière erme d homogénéiser les erformances des différens consiuans d une chaîne foncion. Pour un remier ordre : = c =/ Un sysème du remier ordre es un filre asse-bas (il aénue foremen les haues fréquences). Diagramme de Black = / G db = log log - 3 Le diagramme de Black se dédui du diagramme de Bode récéden. Une modificaion du gain saique se radui ar une ranslaion vericale de la courbe de gain. (On uilisera ce diagramme our la correcion des sysèmes asservis). -9-45 5.5. Diagramme de Nyquis: H( j ) ( j ) j = a + j b Im / Re a + b = a (a - /) + b = (/) = -45 = Donc le lieu de Nyquis es un cercle de rayon / cenré en (/,) (en fai, seul le ½ cercle inférieur es arcouru car 9 ). Quand le lieu de Nyquis d'un er ordre es connu, on a e ar simle lecure. = / Evoluion du racé de Nyquis suivan la valeur du gain age 6

INGESPE SEMESTRE 8//7 9:5:33 DID'ACSYDE AUTOMATIQUE DES SYSTEMES AAH7.TMP ASSERVIS REPONSE FREQUENTIELLE AAH6.TMP IMAG - - = - -3 =5-4 -5 = -6 3 4 5 6 7 8 9 REEL 5.6. Sysèmes du second ordre Module, gain e hase de la foncion de ransfer d un sysème du second ordre H() H(j ). j. Soi, en uilisan l amliude réduie u H(u) u j.u module : H(u) u 4.u hénomène de résonance : Le module H(u) résene un maximum dans ceraines condiions : d H(u)..4.u /3. u du u.u Cee exression s annule our les valeurs de u suivanes : u, valeur qui corresond à. On a alors H(u) u : le maximum d amliude exise donc our, c'es-à-dire our Dans ces condiions la ulsaion donnan ce maximum es aelée ulsaion de résonance u La valeur de ce maximum es r Plus es faible, lus la résonance es imorane.. H( r ) amliude de résonance : H( r ). r. age 7

INGESPE SEMESTRE Le raor enre l amliude de résonance e l amliude en régime saique es aelé faceur de surension H( r ) e noé Q : Q. db Résonance si Pulsaion de résonance : r Amliude de résonance : H( r ) Faceur de surension : Q.. gain : GdB log log log u 4.u u 4.u.u arc an u hase : Diagramme de Bode G log log u 4.u.u arc an u On race d'abord les diagrammes asymoiques: GdB log >.7 r <.7 (-) quand, G db log e quand, u 4.u u 4 G db log - 4 log u e -8 Asymoe de ene - 4 db/décade Remarque : = : GdB log e = - 9-9 -8 si >, le dénominaeur de la foncion de ransfer ossède alors racines réelles e eu se mere sous la forme H( ) H( ). H( ).. On ourra consruire un diagramme asymoique de manière lus récise en considéran le rodui de deux foncions de ransfer du remier ordre de consane de ems e.. = log log log Donc log es siué au milieu de log e log (-) / / (-) age 8

INGESPE SEMESTRE DIAGRAMMES ASYMPTOTIQUES nd ORDRE G( ) db G( ) db < > db log db log db/dec db/dec log log -9-9 -8-8, = H(j ) db log 5-5 - -5 - -5 Coefficien d'amorissemen,,,4,7,3-3 -35, log - -4-6 -8 - - -4-6 -8 Coefficien d'amorissemen,,,4,7,3 - Evoluion de la réonse fréquenielle d un sysème du second ordre avec l amorissemen (ω = rad/s, =) age 9

INGESPE SEMESTRE Diagramme de Black <,7 G db log Le diagramme de Black se dédui des diagrammes de Bode récédens. >,7 Diagramme de Nyquis -8 ( u ) u H( ju) j ( u ) 4 u ( u ) 4 u = : H() = réel ur. Pour une rès faible fréquence, le déhasage es nul e l amliude vau = : H(j) = - j, imaginaire ur. La ulsaion de cassure es siuée à l inersecion de la courbe e de l axe des imaginaires. La hase vau -9. : H(j) - e -8. A haue fréquence le gain devien nul e la hase end vers -8 = r (si <,7) : gain maxi, le rayon olaire es suérieur à Im Re = 5.7. Tracé de diagrammes de Bode our une foncion quelconque Pour obenir le racé d un diagramme asymoique de Bode d une foncion de ransfer quelconque, bien souven suffisan our esimer ceraines erformances du sysème, on exrime cee foncion de ransfer sous forme de rodui de foncions connues (gain ur, dérivaeur, inégraeur, remier e second ordre...). Pour : H() = H (). H () l éude harmonique revien à éudier : H(j ω) = H (j.ω). H (j. ω). Nous avons alors : H(j. ) H (j. ). H (j. ) Arg H(j. ) Arg H (j. ) Arg H (j. ) L amliude (en db) es obenue en écrivan :.log H(j. ).log H (j. ).log H (j. ) H(j. ) H (j. ) H (j. ) db db db La hase s écri égalemen : H(j. ) H (j. ) H (j. ). Les courbes d amliude e de hase son obenues our le diagramme de Bode en somman les courbes our chaque ulsaion des foncions de ransfer élémenaires. age

INGESPE SEMESTRE 6.. Aroche sensiive 6. DEFINITION DE LA STABILITE Pour aréhender la noion de sabilié, il fau imaginer l évoluion d un sysème lorsqu il subi une imulsion qui l éloigne de sa osiion iniiale. - Si le sysème rerouve sa osiion iniiale, il es considéré comme sable - S il s éloigne de sa osiion iniiale, il es alors insable - S il end vers une osiion sable différene de la osiion iniiale, on arle de sysème indifféren Sysème sable Sysème insable Sysème indifféren 6.. Réonse libre Un sysème es sable si sa réonse à une imulsion de Dirac (réonse libre) end vers zéro à l infini. 6.3. Signaux bornés Un sysème es di sable si à une enrée bornée corresond une sorie bornée. À l oosé, si un sysème résene une sorie non bornée alors que l enrée l es, le sysème es insable. Illusraions : age

INGESPE SEMESTRE 7. Méhodes d éude de la sabilié à arir de la FTBF 7.. Éude des ôles de la FTBF Care des ôles e des zéros Rerésenaion grahique des ôles e des zéros d une foncion de ransfer dans un lan comlexe. -un ôle es rerésené ar une croix (x) -un zéro es rerésené ar un rond (o). m( ) X X e() APPLICATION Tracer la care des zéros e des ôles our les foncions de ransfer en boucle fermée suivanes : age

INGESPE SEMESTRE Vocabulaire : on aelle "équaion caracérisique" l équaion qui donne les ôles du sysème. Allure de la réonse imulsionnelle selon la osiion des ôles de la FTBF Cas ariculiers : Les ôles comlexes à arie réelle nulle génèren une sorie résenan des oscillaions enreenues (non amories) en limie de sabilié. La sabilié de la BO n imlique as nécessairemen celle de la BF e inversemen. E() + - H() S() () Noion de ôles dominans Cerains des ôles de la FTBF du sysème on une conribuion réondérane sur le comoremen dynamique du sysème. Ce son les ôles à arie réelle négaive les lus roches de l axe des imaginaires. Ils son aelés "ôles dominans". Simlificaion de l exression du dénominaeur de la FTBF en ne conservan que les ermes corresondan aux ôles dominans. Le dénominaeur doi êre nécessairemen sous forme canonique avan d effecuer la simlificaion. age 3

INGESPE SEMESTRE Exemle : Considérons la foncion de ransfer : Déerminer les ôles, lacer les ôles sur le lan comlexe e idenifier le ôle dominan. L allure de la réonse imulsionnelle s() monre que l on eu négliger la consane de ems la lus faible T ce qui condui à l exression simlifiée suivane our H() : En effe, dans l exression emorelle de s() : le erme T e corresondan au ôle dominan devien réondéran lorsque le ems croî. Il déermine la dynamique asymoique du sysème. Sysème erurbé age 4

INGESPE SEMESTRE On monrerai que : F () e F () on le même dénominaeur e ar conséquen la même équaion caracérisique : +() H () H () = L éude de sabilié du sysème es donc la même. Par conséquen, on ne fera qu une seule éude de la sabilié, celle de F (). age 5

INGESPE SEMESTRE 8. Méhodes d éude de la sabilié à arir de la FTBO 8.. Lieux de ransfer (rael) C es une rerésenaion grahique de la foncion de ransfer H() our = jω. Pour l éude de la sabilié, on race le lieu de ransfer de H BO (jω) dans le lan de Bode, de Nyquis ou de Black. Plan de Bode Courbe de gain : Courbe de hase : en foncion de la ulsaion en échelle logarihmique. (en rad/s) RAPPEL : Le rodui de foncions de ransfer se radui dans le lan de Bode ar la somme des lieux resecifs e la mulilicaion ar se radui ar la ranslaion de db de la courbe de gain, la courbe de hase resan inchangée. Plan de Nyquis On rerésene dans le lan comlexe l exrémié du veceur image de H(j) lorsque la ulsaion varie de à +. Le oin de coordonnées (X, Y) décri alors une courbe graduée dans le sens des croissans. Exemle : Sysème du er ordre Hj ( ) jt T j ( T) ( T) X Y Plan de Black On rerésene le gain G(j) de la foncion de ransfer en foncion de son argumen ) exrimé (rès souven) en degrés. La courbe obenue es orienée dans le sens des croissans. age 6

INGESPE SEMESTRE Exemle : 8.. Crières grahiques Comme l exression de la FTBF n es as oujours connue, on connaî généralemen la FTBO ar sa réonse harmonique (idenificaion). On a donc déveloé des crières grahiques ermean d éudier la sabilié de la FTBF à arir des lieux de ransfer de la FTBO. Noion de oin criique Pour le sysème asservi suivan : La sabilié es condiionnée ar le signe de la arie réelle des racines de : Il y a donc insabilié s'il exise une racine : r j avec elle que : Discussion de la sabilié d un sysème en boucle fermée à arir de la osiion du lieu de ransfer en boucle ouvere (LTBO) ar raor au oin "- ". Ce oin, exrémié du veceur de module (ou db) e d argumen - 8, es aelé oin criique. On monrerai qu un sysème bouclé es sable si le gain de boucle ouvere es inférieur à ( db) lorsque le déhasage aein - 8. Énoncé du crière du revers Dans le lan de Nyquis Le sysème sera sable en boucle fermée si en arcouran le LTBO dans le sens des ulsaions ω croissanes, on laisse le oin criique sur la gauche. age 7

INGESPE SEMESTRE Placer le oin criique e définir si le sysème es sable ou non en BF. Le domaine fréqueniel e le domaine emorel son éroiemen liés. Ainsi, si on ne laisse as "une disance suffisane" enre le oin criique e le oin de assage sur l axe réel, on risque d avoir sur la réonse indicielle un déassemen imoran qui eu êre incomaible avec le sysème uilisé. A quelle courbe ourraien corresondre les réonses indicielles suivanes? Dans le lan de Bode Définir si le sysème es sable ou non en BF : age 8

INGESPE SEMESTRE Dans le lan de Black Placer le oin criique e définir si le sysème es sable ou non en BF : Marges de sabilié Si un sysème es à la limie de la sabilié, la moindre dérive de l un des aramères, due à la eméraure en ariculier, eu enraîner l insabilié. Il es donc nécessaire de révoir des "marges" vis à vis du roblème d insabilié. Elles se raduisen ar une "disance de sécurié" enre le LTBO e le oin criique. Marge de hase : C es la disance en degrés du oin criique ( db ;-8 ) au oin d inersecion de FTBO avec la droie db. On noe U la ulsaion (au gain "unié") our laquelle : Marge de gain : C es la disance en db du oin criique ( db ; - - 8. On noe C la ulsaion (criique) our laquelle : Arg [HBO(j C )] = - 8. Les valeurs de M = 45 e MG = db son considérées comme saisfaisanes our la luar des sysèmes asservis. Ces réglages conduisen à une réonse indicielle légèremen oscillaoire, aussi es-il arfois nécessaire de les ajuser our chaque cas ariculier. Rerésenaion des marges de sabilié Dans chaque cas, réciser si le sysème es sable. Localiser les ulsaions U e C. Définir grahiquemen MG e M. Donner leurs valeurs. age 9

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INGESPE SEMESTRE 9. Nécessié d une correcion 9.. Inroducion Les chaires récédens on résené les crières de récision, de raidié e de sabilié qui ermeen de mesurer la qualié d un sysème asservi. Lorsqu un sysème résene des caracérisiques insuffisanes our un ou lusieurs crières, il es ossible d améliorer les erformances en inséran un correceur. 9.. Correcion série Le correceur eu êre lacé dans la boucle d asservissemen en aval du sysème à corriger : E() () S() + - H() E() () + C() U() H() S() - Ce correceur génère un signal U() à arir de l erreur 9.3. Correcion en réacion Une boucle inerne es ajouée. E() () S() + - H() E() + - + H() - S() C() Il exise d aures yes de correceurs qui ne seron as abordés ici. age 3

INGESPE SEMESTRE.. Correceur roorionnel (P). Princiaux yes de correceurs Princie Il s agi ici du correceur le lus basique. Il erme de régler le gain de la foncion de ransfer en boucle ouvere. u Dans le domaine emorel, le comoremen aendu es el que : La foncion de ransfer d un correceur roorionnel es définie ar : E() () U() + H() S() - Effe d un correceur roorionnel L erreur indicielle d un sysème du ye : H s. N D Où es le gain de la foncion de ransfer en boucle ouvere :. E avec es de la forme : i L augmenaion du gain du correceur roorionnel a donc our effe de diminuer l erreur indicielle e donc de gagner en récision. Par ailleurs, lorsque augmene : - la sorie devien de lus en lus oscillane, - le déassemen augmene, - la seudo ériode diminue, - le ems de monée diminue. 6 s U C. 4 = 5.. 8. 6. 4. = H,.. 4. 6. 8.. 4. 6. 8 age 33

INGESPE SEMESTRE 4 3 Poin criique =5 Gain db - = Le diagramme de Black ci-conre monre que l augmenaion du gain raroche la courbe du oin criique donc end à augmener l insabilié. - -3-4 -5-6 -8-35 -9-45 Phase (deg) Analyse fréquenielle C ( ) db Le diagramme ci conre donne l allure du diagramme de Bode d un correceur roorionnel. ω Ce correceur monre une courbe de gain consane e une hase nulle 6 ω Comme le monre le diagramme de Bode cidessous, un correceur roorionnel a our effe de décaler la réonse fréquenielle vers le hau. La ulsaion de couure es augmenée. En revanche, la marge de hase es diminuée (la sabilié diminue). 5 4 3 Magniude (db) - - -3-4 -45 Phase (deg) -9-35 -8 - - age 34

INGESPE SEMESTRE Exemles de réalisaion - C( ) = S = R E R C( ) = S = + R E R.. Correceur inégral (I) Dans le domaine emorel, ce correceur es défini ar : u T La foncion de ransfer d un correceur inégral es du ye : C Effe du correceur inégral i T. i d E() + - () Ti. U() H() S() La résence d un correceur inégral erme de surimer l erreur saique our une enrée en échelon. Ce correceur erme donc d améliorer la récision. En revanche, ce ye de correceur a our effe d inroduire un déhasage de -9 donc de diminuer la marge de hase. Par conséquen, si ce correceur améliore la récision, il es susceible de rendre le sysème insable!.5 T= T=5 Sans correcion.5 5 5 Exemle de réalisaion. duc IC C d U s U. d Ue RC I C R age 35

INGESPE SEMESTRE.3. Correceur roorionnel inégral u d Dans le domaine emorel, ce correceur es el que : La foncion de ransfer de ce ye de correceur es donc : E() + - () Ti. T. i T i i CPI T i T U() H() S() Ce correceur résene l avanage d annuler l erreur saique ou en limian la endance à l insabilié du correceur inégral. Un bon choix des consanes raidié e de sabilié. e T i erme donc de gagner en récision sans ro dégrader les crières de Analyse fréquenielle : C ( ) d B db - db/dec ω i T i - 45-9 ω Déerminaion des caracérisiques du correceur Méhode du ôle dominan Le rincie de la méhode es d éliminer le ôle dominan (ôle avec la lus grande consane de ems) dans la foncion de ransfer en boucle ouvere. Exemle : E() + - () Ti. T. i U() 5,, 5 S() On considère un sysème don la foncion de ransfer es H 5,, 5 age 36

INGESPE SEMESTRE La rocédure consisan à corriger le sysème our augmener la récision de la réonse à un échelon es la suivane :. Idenifier la consane de ems la lus grande ici Tmax, s,. Régler la consane de ems du correceur sur cee valeur : Ti Tmax C, 3. Tracer les diagrammes de Bode (ou de Black) our 4. Régler our obenir des marges de gain e de hase voulues 6 4 Magniude (db) - -4-6 -8 - - -45 Phase (deg) -9-35 -8-5 -7-3.4. Réonse corrigée.8.6.4 Réonse non corrigée...4.6.8..4.6.8.4. Correceur roorionnel dérivé d u Td d Dans le domaine emorel : La foncion de ransfer d un el correceur es : C T d age 37

INGESPE SEMESTRE Analyse fréquenielle C ( ) db db + db/dec ω 9 ω Correceur à avance de hase Le correceur défini récédemmen eu êre qualifié d idéal car raiquemen irréalisable (le rincie de causalié n es as resecé car le degré du numéraeur es suérieur au degré du dénominaeur) C es la raison our laquelle on inrodui souven le correceur à avance de hase aux roriéés sensiblemen similaires. + a. T. ( ) =. ḍ C + T C ( ) db db 9 T d d + db/dec ω L avance de hase maximale corresond au ic de la courbe de hase. Ce ic eu êre déerminé ar la formule suivane : a max arcsin a our la ulsaion max Td Ce correceur a our effe d améliorer la sabilié ar augmenaion de la marge de hase. a at d Td a T d ω age 38

INGESPE SEMESTRE.5. Correceur PID (our roorionnel inégral dérivaeur) Ce correceur fai la synhèse des correceurs récédens en combinan les acions roorionnelle, inégrale e dérivée. d Dans le domaine emorel : u Td d d T i TT i d Ti La foncion de ransfer : C Td Ti Ti C ( ) db db +9 - db/dec + db/dec T T ω Les zéros du numéraeur déenden des consanes de ems : TT Ti Si Ti 4Td, les zéros réels son els que TT TT i d SI T 4T, les zéros comlexes son els i T Ti que : T TT i d d avec On rerouve l effe PD en haues fréquences e l effe PI en basses fréquences. ω -9 age 39

INGESPE SEMESTRE. Synhèse : influence de la correcion sur la réonse indicielle En l absence de correcion : la sabilié es insuffisane l erreur saique es imorane le ems de réonse es élevé Avec un correceur roorionnel P l'erreur saique diminue l'insabilié augmene le ems de réonse es élevé Avec un correceur roorionnel dérivé PD La raidié es améliorée La sabilié es suffisane L erreur saique es oujours résene Avec un correceur roorionnel inégral dérivé PID La raidié es améliorée La sabilié es suffisane L erreur saique es annulée age 4