DIPLÔME NATIONAL DU BREVET BLANC n 2 SESSION 2013 MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE DURÉE DE L ÉPREUVE : 2 h 00 Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4. Dès qu il vous est remis, assurez-vous qu il est complet. L utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n 99-186 du 16 novembre 1999). L usage du dictionnaire n est pas autorisé. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Qualité de rédaction et de présentation 2 points 2 points 3 points 3 points 4 points 9 points 7 points 6 points 4 points
Exercice 1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse qui est exacte. 1 ) L équation 3 x + 5 = 3 x 7 a pour solution : 2 1 0 2 2 ) 3 ) 4 ) Combien de temps faut-il pour parcourir 20 km à la vitesse de 100 km/h? J achète un meuble dont le prix est de 460. Combien vais-je payer si l on fait une réduction de 20%? Je paye une chemise soldée à 36. Quel était son prix avant la réduction de 20%? 5 min 10 min 12 min 20 min 440 92 368 552 45 56 43,20 28,80 Exercice 2 1. Factoriser l expression : E = (3 x + 5) ² (3 x 5) (3 x + 5) 2. En déduire la valeur de : 3 000 000 005² 2 999 999 995 3 000 000 005 Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes et représenter leurs solutions sur un axe. 1. 7 ( x + 1 ) < 6 x 2 2. 9 x + 4 12 x 4 Exercice 4 Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation. Un père a trois fois l âge de son fils et vingt ans de moins que son père. Dans cinq ans, ils auront cent douze ans à eux trois. Quels sont les âges du fils, du père et du grand-père? Exercice 5 Une fonction f est définie par son graphique ci-contre. A l aide du graphique, déterminer la valeur approchée de(s) : a. l image du nombre 1 par la fonction f. b. f( 2), c. f(0), d. antécédent(s) par f du nombre 1, e. nombre(s) x tel que f(x) = 4, f. la valeur du nombre compris entre 2 et 6,5 qui a la plus petite image par la fonction f.
Exercice 6 Sur la figure ci-contre (où les dimensions ne sont pas respectées), ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm. F est un point du segment [AD]. E est un point de la demi-droite [AB) n appartenant pas au segment [AB] tel que BE = DF = x. (x est donc un nombre compris entre 0 et 10) 1. Démontrer que l aire du triangle BEC est égale à 5x. 2. Exprimer l aire du triangle CDF en fonction de x, puis démontrer que l aire du quadrilatère ABCF est égale à 60 3 x. On considère les fonctions f et g définies par f : x ẃ 5x et g : x ẃ 60 3x. a) Calculer f(0) et g(0). b) Calculer f(10) et g(10). 3. On a représenté ci-dessous dans un même repère les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g. Déterminer par lecture graphique : a) Une valeur approchée de l antécédent de 40 par la fonction f. b) Une valeur approchée de l antécédent de 40 par la fonction g. c) Une valeur approchée de l image de 4 par la fonction g. d) La valeur de x pour laquelle l aire du triangle BEC et l aire du quadrilatère ABCF sont égales. 4. Retrouver la réponse de la question 4.d) en écrivant une équation puis en la résolvant. Justifier. 5. Pour la valeur de x trouvée, calculer l aire du triangle BEC et l aire du quadrilatère ABCF.
Exercice 7 IJK est un triangle tel que IJ = 9,6 cm, JK = 10,4 cm et IK = 4 cm. 1. Tracer le triangle en vraie grandeur. 2. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en I. 3. Déterminer la valeur arrondie au degré près de la mesure de l angle IKJ. 4. M est le point du segment [IJ] tel que IM = 7,2 cm ; N est le point du segment [IK] tel que IN = 3 cm. a) Compléter la figure déjà tracée à la question 1). b) Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles. c) Calculer la distance MN. Exercice 8 Bruno veut construire un tipi qui aura la forme d une pyramide. La base de la pyramide est un rectangle ABCD de centre H. La hauteur de la pyramide est [SH]. AB = 1,20 m ; AD = 1,60 m et SH = 2,40 m. 1. Calculer le volume en m 3 et en L de cette pyramide On rappelle que le volume d une pyramide est V = B h où B est l aire de sa base et h est sa hauteur. 3 2. Calculer la longueur BD. 3. La baguette [EF] est parallèle à la baguette [AD]. [SD] mesure 2,60 m et [SF] mesure 1,95 m. Calculer EF.
Correction du brevet blanc 3 Points de rédaction : exercice 2 : 0,5 point si le b) est bien expliqué. exercice 5 : 0,5 point dans s'il y a des phrases. Exercice 7 : 0,5 point si la figure est précise 0,5 point pour la question 2 (réciproque de Pythagore bien rédigée) 0,5 point pour la question 3 (s'il est écrit dans le triangle IJK rectangle en I) Exercice 8: 0,5 point si les unités sont écrites. Compétences: C1 : validée si la question 3) ou la question 4) du QCM est juste. C2 : validée si au moins 2 bons calculs sur 4 dans la question 3 de l'exercice 6 (calculer f(0), g(0), f(10), g(10) ) C3 : validée dans l'exercice 8 si la question 2 (Pythagore) ou la question 3 (Thalès) est faite correctement. C4 : Validée si le calcul du volume en m3 est juste (ou la conversion de m3 en L?) Partie numérique Exercice 1 équation, fractions, pourcentages, puissances, pgcd, vitesse. 1 ) 3 x + 5 = 3 x 7 donc 3 x + 5 5 + 3 x = 3 x 7 + 3 x 5 donc 6 x = 12 donc x = 2 La bonne réponse est 2. 2 ) d = 20 km, v = 100 km/h donc t = d v = 20 = 0,2 h = 12 min 100 80 3 ) On paye 100 20 = 80% du prix donc : 100 460 = 368 Je vais payer le meuble 368 euros. 4 ) 80% 36 36 100 100% = 45 80 Le prix de la chemise était au départ de 45 euros. Exercice 2 Factorisation 1) E = ( 3 x + 5 ) ² ( 3 x 5 ) ( 3 x + 5 ) E = ( 3 x + 5 ) [ ( 3 x + 5 ) ( 3 x 5 ) ] E = ( 3 x + 5 ) [3 x + 5 3 x + 5] E = ( 3 x + 5 ) 10 ( /1) 2 ) 3 000 000 005² 2 999 999 995 3 000 000 005 Ce calcul peut s'écrire ( 3 x + 5 ) ² ( 3 x 5 ) ( 3 x + 5 ) pour x = 1 000 000 000 D'après 1 ) on a donc : 3 000 000 005² 2 999 999 995 3 000 000 005 = 3 000 000 005 10 = 30 000 000 050 ( /1 )
Exercice 3 Inéquations 1. a ) 7 ( x + 1 ) < 6 x 2 donc 7 x + 7< 6 x 2 donc 7 x + 7 7 6 x < 6 x 2 6 x 7 ( /1 + 0,5 ) x < 9 b ) 9 x + 4 12 x 4 donc 9 x 12 x 4 4 donc 3 x 8 8 x Attention le sens de l'inégalité change car je divise par un nombre négatif. 3 x 8 3 Exercice 4 Mise en équation, équation Soit x l'âge du fils. Ainsi, 3 x est l'âge du père et 3 x + 20 l'âge du grand père. Dans 5 ans, ils auront respectivement, x + 5, 3 x + 5 et 3 x + 25. x + 5 + 3 x + 5 + 3 x + 25 = 112 donc 7 x + 35 = 112 donc 7 x = 112 35 donc 7 x = 77 donc x = 11 Le fils a 11 ans, le père a 33 ans et le grand-père a 53 ans. Fonctions Exercice 5 Lecture graphique, vocabulaire a. L'image du nombre 1 est 3. ( /0,5 ) b. f ( 2 ) = 4 ( /0,5 ) c. f ( 0 ) = 3 ( /0,5 ) d. Les antécédents de 1 sont : 1,5 ; 4 et 5,5. ( /1 ) e. f ( x ) = 4 pour x = 7 ( /1 ) f. 0,5 a la plus petite image entre 2 et 6,5. ( /0,5 ) Exercice 6 Calcul d'aire, calcul d'image, lecture graphique et équation 1. BEC est un triangle rectangle en B avec BE = x cm et BC = 10 cm. ( /1 ) 10 x A = = 5 x L'aire du triangle BEC est égale à 5 x. 2 2. CDF est un triangle rectangle en D avec DF = x cm et DC = 6cm. ( /1,5 ) A CDF = 6 x 2 = 3 x L'aire du triangle CDF est égale à 3 x. ABCD est un rectangle avec : A ABCD = 10 6 = 60 cm² On a : A ABCF = A ABCD A CDF = 60 3 x L'aire du quadrilatère ABCF est 60 3 x. 3. a ) f ( 0 ) = 5 0 = 0 et g ( 0 ) = 60 3 0 = 60 b ) f ( 10 ) = 5 10 = 50 et g ( 10 ) = 60 3 10 = 30 ( /2) 4. a ) Une valeur approchée de l'antécédent de 40 par la fonction f est : 8. ( /0,5 ) b ) Une valeur approchée de l'antécédent de 40 par la fonction g est : 6,6. ( /0,5 ) c ) L'image de 4 par la fonction g est environ 48. ( /0,5 ) d ) La valeur de x pour laquelle l'aire du triangle BEC et l'aire du quadrilatère ABCF sont égales est : 7,5. ( /0,5 ) 4. A BEC = A ABCF 5 x = 60 3 x donc 5 x + 3 x = 60 3 x + 3 x donc 8 x = 60 donc x = 60 = 7,5 cm 8 Les aires de BEC et ABCF sont égales lorsque BE = DF = 7,5 cm. ( /1,5 ) 6. Pour x = 7,5 cm, A BEC = 5 7,5 = 37,5 cm² et A ABCF = 60 3 7,5 = 37,5 cm² ( /1)
Partie géométrie Exercice 7 Réciproque Pythagore, trigonométrie, réciproque et théorème de Thalès 1. Construction à la règle et au compas. ( /0,5) 2. Dans le triangle IJK, le côté le plus long est JK. ( /1,5) JK² = 10,4² = 108,16 et IJ² + IK² = 9,6² + 4² = 108,16 Ainsi, on a : JK² = IJ² + IK². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I. 3. Dans le triangle IJK rectangle en I, on a : cos ( K ) = KI KJ = 4 10,4 donc 4 IKJ = arccos ( ) 67 ( /1) 10,4 4. a) Construction géométrique. ( /0,5) b) Dans le triangle IJK, on sait que : I, N et K sont alignés dans le même ordre que I, M et J. On a : IN IK = 3 4 = 0,75 et IM IJ = 7,2 IN = 0,75 donc 9,6 IK = IM IJ D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (JK) sont parallèles. c) Dans le triangle IJK, on sait que : - (MN) // (JK) - (NK) et (MJ) sont sécantes en I. D'après le théorème de Thalès, on a : IN IK = IM IJ = NM ( /1,5) KJ Ainsi, NM 10,4 = 7,2 9,6 d'où MN = 7,2 10,4 9,6 = 7,8 cm Exercice 8 Calcul aire/volume, conversion, théorème de Thalès 1) La pyramide SABCD a pour base le rectangle ABCD. B = L x l = AD x AB = 1,6 x 1,2 = 1,92 m² V = (B x h) : 3 = (B x SH) : 3 = (1,92 x 2,40) : 3 = 1,536 m 3 ( /2) Le volume de cette pyramide est 1,536 m 3. 1m 3 = 1000L donc 1,536 m 3 = 1 536L Le volume de la pyramide SABCD est 1 536L 2) ABCD est un rectangle donc le triangle ABD est rectangle en A. Dans le triangle ABD rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : BD² = AB² + AD² = 1,2² + 1,6² = 4 ( /2) Donc BD = 4 = 2 m. 3) On sait que : - (EF) // (AD), - les droites (EA) et (FD) sont sécantes en S. D'après le théorème de Thalès, on a : SE SA = SF SD = EF AD Ainsi, EF 1,6 = 1,95 2,6 1,6 1,95 d'où : EF = = 1,2 m ( /2) 2,6 ( /2)