LES VARIÉTÉS R1EMANNIENNES DONT LA COURBURE SATISFAIT CERTAINES CONDITIONS

LES VARIÉTÉS R1EMANNIENNES DONT LA COURBURE SATISFAIT CERTAINES CONDITIONS Par M. BERGER 1. Variétés riemanniennes Dans toute la suite V désigne une variété indéfiniment differentiable, de dimension d supérieure ou égale à deux. L'espace fibre de ses vecteurs est noté T(V) = Um ev T(V) m etp:t(v)-*v est la projection canonique. F (V) désigne l'anneau des fonctions réelles indéfiniment différentiables de V et %(V) le module sur F (V) constitué par les champs de vecteurs indéfiniment différentiables de V. Une structure riemannienne (s.r.) sur V est la donnée d'une forme bilinéaire symétrique <, > sur le module 3 (F) qui, si l'on désigne encore par <, > et par abus de langage la forme bilinéaire induite sur chaque T(V) m par <, >, vérifie la condition <#,#>>0 quel que soit xgt(v) m, x4=0. On en déduit une norme \\x\\ =«#,#>)*. On dit aussi que V est une variété riemannienne (v.r.). Une isométrie f:v-^w entre deux v.r. V, W est, par définition, un difféomorphisme / tel que \\(df) (x)\\ = \\x\\ quel que soit x T(V). 2. Exemples (A) Soit R d l'espace vectoriel canonique formé avec les d-uples de nombres réels, muni de sa structure euclidienne canonique v.w définie par (a 1,...,a d )'(b 1,...,bd)=a 1 b 1 +...+a d bd et muni de sa structure canonique de variété differentiable. La translation r m :n->(n m) identifie canoniquement T(R d ) m et R d. Ceci permet de définir sur R d une s.r. canonique en posant : (x,y}=r m (x)'r m (y) quels que soient x,y T(R d ) m. (B) Soit TFune v.r. et /: V->W une application indéfiniment differentiable d'une variété indéfiniment differentiable V dans W telle que, quel que soit m G F, la différentielle df\ m de f en m soit infective. Alors V hérite canoniquement de W une s.r. en posant a; = \\(df) (x)\\ pour tout x T(V). Deux cas particuliers sont importants : (a) f est un revêtement; on dira alors que f:v^w est un revêtement riemannien; / est localement une isométrie. (b) (V,f) est une sous-variété de la v.r. R d de (A). Le théorème de Nash [22] assure que cette situation extrinsèque n'est pas, en fait, plus particulière que la situation générale de la définition d'une v.r. au 1. Lorsque dim V = 2 et d = 3, on obtient la source historique de la notion de v.r. Lorsque V = S d = {a G R d+1 1 a = r} (r > 0), pour l'application identique / : S d ->R d+1, on obtient sur cette sphère une s.r. canonique, la seule que l'on considérera dans la suite, à l'exception de la fin du 6. (C) Soit G un groupe de Lie. Une s.r. sur G est dite invariante à gauche (resp. à droite) si toutes les translations à gauche X g (resp. à droite q g ) sont 32-622036 Proceedings

448 M. BBEGEE des isométries; une s.r. est dite biinvariante si elle est invariante et à droite et à gauche. On obtient sur G des s.r. invariantes à gauche en prenant sur T(G) e n'importe quelle structure euclidienne a*b et en posant (x,y)> = (dkg 1 ) (x) - (dkg 1 ) (y) quels que soient x,yet(g) g. Si G est de plus compact on obtiendra sur G une s.r. biinvariante en prenant la moyenne, à droite et pour la mesure de Haar de G, d'une s.r. invariante à gauche. Soit maintenant H un sous-groupe fermé du groupe de Lie compact G; une s.r. biinvariante sur G définit canoniquement une s.r. invariante par G sur l'espace homogène G\H (dite alors naturelle). On procède comme suit:soit p:g->gih la projection canonique, meg/h et g tel que p(g)=m. Soit T(G) g =Vg+Wg la décomposition orthogonale où V g est le sous-espace de T(G) g constitué par l'espace tangent à la fibre gh. La restriction dp: W g ->T(GjH) m est bijective et définit donc sur T(G/H) m une structure euclidienne. Comme la s.r. sur G est biinvariante, la structure euclidienne ainsi obtenue ne dépend pas du g choisi tel que p(g)=m et l'on obtient ainsi sur GjH une s.r. canonique à partir de la s.r. biinvariante choisie sur G, et invariante par les opérations à gauche de G sur G/H. Cas particuliers. Les espaces symétriques simplement connexes de rang un : SO(d + l)/so(d), P n (C)=SU(n + l)iu(n), P n (H)=Sp(n + l)/sp(n)x Sp(l), P 2 (Ca) = FJSnin [9]. Les s.r. ainsi obtenues sur l'un d'eux sont toutes proportionnelles; pour S0(d + l)/s0(d) elles coïncident avec celles S d de l'exemple (B) (b). Pour P (C), on obtient les métriques de Fubini-Study. 3. Notions classiques Désormais V est une v.r. donnée. Si A:[0,ï]-»F est une courbe de V, de vecteur tangent k'(t) en X(t), on définit sa longueur L(X) = Jo A'(J) " dt. On pose C(m,n) = {X\X(Q)=m et X(l)=n}. On a sur V une structure canonique d'espace métrique en posant : d(m,n) = inf^ec(m,n) L(X)\ la topologie correspondante coïncide avec la topologie initiale de la variété differentiable V. Pour étudier l'ensemble SG(m,rì) = {X C(m,rì)\L(X) z =d(m,rì)} on est naturellement conduit à introduire une opération D:dt(V)->{dt(V)-+dt(V)} qui, sielle est notée X-+{Y->D X Y}, satisfait les deux axiomes : J «Y,Z}) = <D X Y,Z)+<Y,D X Z) et D X Y-D Y X = [X, Y] quels que soient X,Y,ZE 3 (F). Il se trouve que D existe, est unique et de plus une loi de dérivation, c'est à dire que DeHom F oo (V) (3c(V); Hom Ä (3E(F); %(V))) et D x (fy) = X(f)'Y+f-D x Y quels que soient X,Y %(V) et fef (V). On dit que D est la loi de dérivation canonique de la v.r. V Le commutateur R(X, Y) = D x D Y D Y D x D lxt Yi se trouve être un tenseur de type (1,3) de V, appelé le tenseur de courbure de V. Il vérifie les identités classiques : (R(x,y)z,t)=-(R(x,y)t,z}=(R(z,t)x,yy, (1) R(x,y)z + R(y,z)x + R(z,x)y=0 (2) et son tenseur dérivé DR vérifie : (DR) (x, y; z) + (DR) (y, z; x) + (DR) ((z, x; y) = 0. (3) On pourra aimer remarquer que, si l'on prend un système de coordonnées { J sur un ouvert U de V et si l'on pose dl(dçi)=x i dt(u), la quantité <i?(x i,x ; )X Ä,X Ä > n'est autre que celle R ijkh de la littérature classique.

VARIÉTÉS RIEMANNIENNES 449 Etant donnée À C(m,n), on définit le transport parallèle le long de X comme l'application T* : T( V) m ->T( V) n obtenue en exigeant que, {x(t)} étant un champ de vecteurs le long de A tel que D^t) x(t)=0 quel que soit t, alors Ti(x(0))=x(l). D'après le premier axiome de définition de D, il est clair que rx est une isométrie d'espaces euclidiens. Une élément y de SC(m,n) devant nécessairement vérifier D y. (t) y, (t)=0 quel que soit t, une courbe y telle que D Y > i t ) y'(t)=q quel que soit t sera appelée une géodésique de V; à part les géodésiques triviales, on parametrise dorénavant toutes les géodésiques en sorte que y'( ) =1 qnel que soit t. Etant donné xet(v)m (i.e. xet(v) m et x4=0) il existe une géodésique et une seule y x telle que y x (0) =p(x) et yi(0)=#/ a;. Le théorème de Hopf-Rinow [20] assure que, si V est un espace topologique complet, alors y x (t) existe quel que soit x T(V)%, quel que soit mgfet quel que soit teêet que, de plus, quels que soient m,n V:SC(m,n)=%=0 (évidemment SC(m,n) peut avoir plus d'un élément). Dorénavant toutes les v.r. considérées seront COMPLèTES. 4. La courbure sectionnelle Pour découvrir si une v.r. V est isométrique ou non à R d, pensant à S d czr d+1, il est naturel de procéder ainsi:soit PczT(V) m un sous-espace vectoriel de dimension deux de T( V) m (on désignera par G( V) l'ensemble de tous ces P lorsque m parcourt V). Soit alors C(P;e) le petit cercle de V de direction P et de rayon e, c'est-à-dire C(P;e) = {y t (e)\x6t(v)î l ()P}. Il s'agit d'étudier l(p;e)=l(c(p;e)). Il faut donc calculer le vecteur tangent à C(P;e) au point y x (s). Il est facile de voir que si {x,y} est un repère orthonormé de P, ce vecteur tangent Y(x,y;e) est, après identifications convenables, la valeur Z(e) de la solution Z de l'équation différentielle dans T(V) m : ^ = TïHR{y' x (t), T t {Z(t))y' x {t)) (4) telle que Z(0) =0 et dzjdt\t^o=y et où r t désigne le transport parallèle le long de y x de y x (0) =m à y x (t). On obtient donc pour F(a;,y;e) l'approximation : \\Y(x,y;e)\\=s + ^-<R(x,y)x,yy + o(e 3 ). (5) Il se trouve, grâce aux identités (1) et (2) que (R(x,y)x,y} ne dépend que de P et non du repère orthonormé choisi dans P. Puisque, lorsque d=2, (R(x,y)x,y) n'est autre que la courbure totale de la surface V, il est naturel de définir la courbure sectionnelle de V pour P par c(x,y)=c(p) = (R(x,y)x,y} pour tout repère orthonormé {x, y} de P. On aura donc c(p) = 3 lim -. (2ne-l(P\ s))/s 3. On posera c(v) = {c(p)\peg(v)} et on l'appellera Y ensemble de courbure de V. La connaissance de la fonction réelle P->c(P) sur G( V) entraîne celle du tenseur de courbure lui-même. Exemples. (A) On a c(r?) = {0} (puisque 1(P;S)=27ü6 que R(X, F) =0 quels que soient X, Y). OU bien parce

450 M. BERGER (B) (a) Si f:v->w est un revêtement riemannien, alors c(v)=c(w) puisque / est localement une isométrie. (ô) On a c(sf ) = {l/r 2 } (longueur d'un petit cercle). On sait aussi que, quel soit A<0, il existe sur R d une s.r., notée û d (A) et dite hyperbolique, telle que c(a d (A)) = {A}. On posera aussi, en v.r. : a d (0) = R d et, si &>0:a d (&)=Sf IVÄ. (C) On montre que, pour toute s.r. naturelle sur G\H, on a c(g\h) >0. Plus précisément, si l'on identifie T(GjH) Pie) avec le W e de la décomposition orthogonale T(G) e =V e +W e et T(G) e avec l'algèbre de Lie de G, on peut définir le crochet dans T(G/H) p(e). On montre alors que c(x,y)=0 est équivalent à [x,y]=0. D'autre part, pour les espaces riemanniens symétriques de rang un listés à la fin du 2, autre que les sphères, on a : c(f) = [A/4,A](A>0). 5. La courbure de Ricci Il est aussi naturel de calculer le volume v(m;e) de la sphère de V de centre m et de rayon e, définie par S(m;s) = {y x (e) \x T(V)m} (on sait que, pour s assez petit, on a S(m;s) = {ne V\d(m,n) =e}). Si da est l'élément de volume de la sphère unité Sf' 1 de T(V) m, on aura v(m;e)= \ s <t-i v(x;e)da, où v(x;e) = \\Y(x,y x,6)a... A F^^^e)!! pour une base orthonormée de la forme {x,y x,...,y d _ x } de T(V) m. De (5) on obtient : Y(x, y x ; e) A... A Y(x, y d -\\ s) / Fd+1 d-l \ = (y x A... A y d^) (e*' 1-2 c(x, yù + o(e d+1 )J. Pour un x tel que a; =l, la quantité rc(x) = 2f=i c(x,y t ) n'est autre que la trace de la forme quadratique {y-> (R(x,y)x,y}}, trace qui est appelée la courbure de Ricci de V en x. On posera rc( V) = {rc(x) x G T( V) et a; =1}. En général, pour un m fixé, rc(x) dépend de x. Pour d = 2, on a rc(v) =c(v); pour d = 3, la connaissance de rc(v) entraîne celle de c(v), par exemple rc(v) = {A} entraîne c(f) = {A/2}. En général, s'il existe f F (V) telle que rc(#)=/(ra) # 2 quel que soit x V m, on déduit de (3) que / est nécessairement constante et donc que rc(v) = {A}. Exemples. Si c(v) = {A} alors rc(v) = {(d 1)A}; mais un exemple moins trivial est un espace homogène GjH du type de l'exemple (C) du 2 tel que de plus la représentation adjointe ad H de H dans T(GjH) p{e) soit irréductible : en effet cette représentation laisse invariante sur T(GIH) p(e ) deux formes quadratiques : et rc. Puisque est définie positive et ad H irréductible, ceci implique que rc et sont proportionnelles. 6. La courbure scalaire On peut maintenant achever le calcul de v(m; s). Si a d = j s d-i da, on aura : ryd+l J-î- 1 * v(m;s) = a d 's d ~ 1 L d -i^(a;) -da + o(e d+1 ).

VARIETES RIEMANNIENNES 451 Puisque rc(x) est une forme quadratique en xet( V) m, si sa trace est notée sc(m), on aura J s _1 x fc(x) da = (Ijd) sc(m). La fonction réelle se : V->R est appelée la courbure scalaire. Quelle que soit la base orthonormée {x t } de T(V) m, on aura sc(m)=^i^jc(x i,x j ). Et / x T flj ove 0 * 1 -^; s) sc(m) = lim e^o 6d ^. Exemple. Soit 6r le groupe de Lie simple, compact, simplement connexe, de dimension trois (donc G est difféomorphe à S s ). A l'aide des formules de Maurer-Cartan et des équations de structure, il est facile de construire sur G, quel que soit AGi?, une structure riemannienne 6r A invariante à gauche et telle que sc(g A ) = {A}. 7. Les problèmes considérés Nous nous proposons maintenant de donner ci-dessous un exposé de résultats connus sur les relations entre la topologie de V et des hypothèses sur l'un des ensembles c(v), rc(v), sc(v). Les résultats seront énoncés sans démonstration et nous nous restreindrons à trois types d'hypothèses : dans le 8 : la courbure est constante; dans le 9 : la courbure a un signe constant; dans le 10 : la courbure varie dans un certain domaine. Une remarque préliminaire est: soit V une v.r. telle que c(v), ou rc(v), ou sc(v) satisfasse une certaine condition. Si F->F est le revêtement riemannien universel de V, alors (d'après 2, exemple (B), (a)) : c(v), ou rc(v), ou sc(v) satisfait la même condition. Le problème étudié se coupe donc en deux : problème I : étudier une telle variété lorsqu'elle est simplement connexe; problème II : étudier le groupe fondamental d'une telle variété. Nous observerons cette coupure dans les 8 et 9. Rappelons qu'implicitement toutes les variétés considérées sont des VARIéTéS RIEMANNIENNES INDéFI NIMENT DIFFéRENTIABLES, CONNEXES ET COMPLèTES, de dimension supérieure ou égale à deux. 8. Les variétés à courbure constante Problème I THéORèME 1 [15]. Soit V simplement connexe telle que c(v) = {A}. Alors V est isométrique à û(a). Rappelons le fait classique : si d =2, il existe sur V compacte une s.r. telle que c(v) = {A} (pour un certain A). La généralisation est le : THéORèME 2 [30]. Soit V une v.r. compacte (d>3). Il existe sur_v une fonction partout strictement positive et A G R telle que la nouvelle s.r. V sur V définie par =/ vérifie sc(v) = {A}. (La démonstration est un résultat fin d'équation aux dérivées partielles, elliptique et non linéaire.)

452 M. BERGER Le Théorème 2 montre que la courbure scalaire a peu de signification topologique. En outre l'exemple du 6 montre que, pour d=3 (et peut être pour tout d>3) même le signe de la courbure scalaire n'a pas d'implication topologique (tandis que, pour d=2, la formule de Gauss-Bonnet relie ce signe à celui de la caractéristique d'euler-poincaré de V). Entre les deux théorèmes extrêmes 1 et 2, comment se comporte l'hypothèse rc(f) = {A}? Le 5 montre d'abord que cette question ne se pose que pour d>é. Est-ce qu'une telle hypothèse est forte on non? Peu de résultats sont connus. Remarquons d'abord que rc(v) = {A} a certainement des implications : THéORèME 3. Soit V compacte telle que d=4 et rc (F) = {A}. Alors la caractéristique d'euler-poincaré %(V) est positive ou nulle. (Ce résultat se déduit facilement de [11]). Notons aussi qu'on ne connaît pas d'exemples de v.r. compacte V telle que rc(v) = {A}, autres que les espaces homogènes riemanniens GjH avec ad H irréductible. Les deux théorèmes suivants semblent montrer que V compacte et rc(v) = {A} est une très forte restriction : THéORèME 4 [4, 6]. Soit V compacte orientable telle que d =4 et rc(v) = {A}. Si de plus : a) il existe A > 0 tel que c( V) c ]A/4, A] alors V est isométrique à û(a') (pour un certain A'); b) si c(v)>0 et si V est Jcahlêrienne, alors V est isométrique a P 2 (C) ou a S 2 *S 2. THéORèME 5 [5]. La structure riemannienne û(a) sur S d est isolée parmi les s.r. dont la courbure de Ricci est égale à la constante (d 1)A. (Ces deux théorèmes reposent essentiellement sur la formule (6.8) de [19].) Problème II Ce qui précède montre que le Problème II n'a guère de sens, actuellement, que lorsque le revêtement universel riemannien de V est un d(a). Le Théorème 1 montre alors que le problème considéré est purement algébrique. Cependant, dans le cas A<0, on ne sait rien de plus que les Théorèmes 11, 12, 13 du 9. Pour A =0, on a le : THéORèME 6 [8]. Soit V compacte telle que c( V) = {0}. Il existe un revêtement riemannien W de V tel que W soit un tore. Pour A>0, le Théorème 14 montre d'abord que seul le cas d'impair est à considérer. Lorsque d=3, le problème est complètement résolu par [25]. Pour d >5, surtout en fait lorsque d est de la forme 4Jc +1, le problème a été ramené dans [28] a un problème de pure arithmétique. Un résultat partiel mais complet est le : THéORèME 7 [29]. Soü V telle que c(f) = {A} (A>0) et homogène. Alors n x ( V) est, soit cyclique, soit polyhedral binaire. (Le point de départ est de remarquer que l'homogénéité implique que les isométries de û(a) qui réalisent n x ( V) sont des translations. On prouve alors le résultat algébrique conjecturé par Vincent.)

VARIÉTÉS RIEMANNIENNES 453 9. Les variétés dont la courbure a un signe constant Problème I On a déjà vu au 8 qu'il n'a de sens que pour c(v) ou rc(v). On n'a de résultat en fait que pour c(v) (voir cependant Théorème 17). C'est un problème naturel de rechercher les variétés topologiques qui admettent des s.r. telles que c(v)>0, ou c(f)<0. Du côté négatif ou nul, le problème est complètement résolu par le : THéORèME 8 [14, 10]. Soit V simplement connexe telle que c(v) <0. Alors V difféomorphique à R d. (La démonstration repose essentiellement sur le théorème de Hopf- Rinow et le fait que, grâce à (4), l'application exponentielle exp m : T(V) m -+V (pour un m quelconque) a une différentielle partout bijective, et est alors un revêtement). Du côté positif ou nul, les exemples du 4 (C) montrent que le problème n'est pas aussi simple (excepté en dimension deux : voir 8). Même le cas c( V) >0 est difficile (exemples ( C) du 4). En fait on ne connaît actuellement aucune implication topologique de la condition c(f)>0. Quelques résultats partiels : THéORèME 9 [13]. Soit V hahlérienne compacte telle que c(v)>0. Alors deux sous-variétés analytiques complexes compactes, de dimension complémentaires, de V se rencontrent nécessairement. Si de plus d =4, ceci implique que V est homéomorphe à P 2 (C). (La démonstration de la première partie utilise un argument de minimum et la variation seconde; la deuxième partie est due à Andreotti.) THéORèME 10 [3]. Soit G\H un espace homogène riemannien naturel simplement connexe et tel que c(g\h)>0. A part deux exceptions (Vune pour d = l, Vautre pour d = l3), la structure variété sous-jacente de G/H est homéomorphe a Vune des : S d, P (d/2) (C), P (d/4) )(#), P 2 (Ca). (La démonstration consiste à utiliser ce qui a été dit dans l'exemple (C) du 4 pour se ramener à un problème d'algèbres de Lie.) Problème II THéORèME 11 [10]. Soit V telle que c(v)<0. Alors tout sous-groupe de n x ( V) est infini. (La méthode consiste à montrer que c(f)<0 entraîne qu'un compact de F a un barycentre unique; on utilise alors comme compact l'orbite d'un sous-groupe fini de n x (V).) THéORèME 12 [23]. Soit V compacte telle que c(f)<0. Alors n x (V) ne peut pas être abélien et tous ses sous-groupes abéliens sont cycliques. (La démonstration utilise l'existence d'une géodésique fermée dans une classe d'homotopie libre non nulle de V et le fait que c(v) <0 entraîne que tout quadrilatère de F a des angles dont la somme est strictement inférieure à 2Tï).

454 M. BERGER THéORèME 13 [18]. Soit V une variété riemannienne homogène telle que c(v)<0. Alors V est simplement connexe. (Utilise une géodésique fermée comme ci-dessus et un champ de Jacobi- Killing le long d'icelle : contradiction si c(v)<0.) On trouvera dans [12] des résultats fins sur les V telles que d=2, c( V) >0, V non compacte. On a un résultat définitif : THéORèME 14 [26]. Soit V compacte, orientable, de dimension paire et telle que c(f)>0. Alors V est simplement connexe. (On applique la variation seconde le long d'une plus courte géodésique fermée). Et des résultats partiels : THéORèME 15 [21]. Soit V compacte telle que rc(v) >0. Alors n x (V) est fini. (La variation seconde montre que rc(v)>ô>0 implique que V est de diamètre fini donc compacte. On applique ceci à V.) THéORèME 16 [11]. Soit V compacte telle que d=é. Alors, si c(v)>0 ou si c(v) <0,ona x(v) >0; et %(V) =0 implique c(v) = {0}. (S'obtient en choisissant un repère orthonormé tel que l'expression figurant sous le signe somme dans la formule généralisée de Gauss-Bonnet [1] ait une forme simple faisant intervenir la courbure sectionnelle.) THéORèME 17 [9]. Soit V kahlêrienne compacte telle que rc(f)>0. Alors il n'existe pas sur V de formes extérieures holomorphes fermées non triviales. (La méthode est celle des formes harmoniques : voir formule (3.4) de [19].) THéORèME 18 [17]. Soit V kahlêrienne compacte telle que rc(v)>0. Alors V est simplement connexe. (On utilise simultanément : le Théorème 15, le fait que V est algébrique d'après le théorème de plongement de Kodaira et les genres arithmétiques de V et f). 10. Les variétés fe-pincées On introduit une notion plus forte que c(v) >0. Une v.r. est dite k-pincée s'il existe A>0 et k tels que c(f)c= [&A,A]. (Seul le Problème I a été considéré. Pour k = \ les résultats sont satisfaisant (seule la question du difféomorphisme restant ouverte)). THéORèME 19 [24, 16]. Soit V simplement connexe et k-pincée. Si alors V est homéomorphe à S d. (La démonstration repose essentiellement sur deux résultats : celui de [16] sur le cut-locus et celui de [27] qui est essentiellement une inégalité trigonométrique). THéORèME 20 [2]. Soit V simplement connexe, non homéomorphe à S d et (D-pincêe. Alors V est isométrique a l'un des : P< d,2) (C), I* m) (H), P 2 (Ca). k>\,

VARIÉTÉS RIEMANNIENNES 455 (Raffinant la démonstration du Théorème 19, on montre que la courbure sectionnelle à travers une géodésique quelconque est invariante par transport parallèle le long d'elle; d'après [10], ceci implique que V est une v.r. symétrique). Bien que son existence théorique soit probable, on ne connaît pas actuellement un s (0<e<(D) tel que l'hypothèse «V est simplement connexe et ifc-pineée avec k>(l)-e» entraîne «Fest homéomorphe à l'une des : S d, P idl2) (C), P (dlé) (H), P 2 (Ca)» (on remarquera les deux exceptions du Théorème 10). On a un résultat partiel : THéORèME 21 [2]. Soit V compacte telle que d=2n-\-l (n>2) et k-pincée. Alors si k=2(n l)l(8n 5), le deuxième nombre de Betti réel de F est nul. (La méthode utilise la formule (3.4) de [19]). En particulier si d=5 et Jfc=2/ll, alors F aura la cohomologie réelle de S 5. Un seul résultat (très faible comme le montrent la substitution k = J et le Théorème 20) est connu reliant l'hypothèse ^-pincée et la topologie de F: THéORèME 22 [7]. Soit V compacte, k-pincée avec k>0 et telle que d=2n. Alors : \%(V)\ <2- n -(2n)\-k- n. (La méthode utilise la formule généralisée de Gauss-Bonnet [1] et les majorations pour le tenseur de courbure de [2].) BIBLIOGRAPHIE [1]. AXLENDOERFER, C. & WEIL, A., The Gauss- Bonnet theorem for Riemannian polyhedra. Trans. Amer. Math. Soc., 53 (1943), 101-129. [2]. BERGER, M., Sur quelques variétés riemanniennes suffisamment pincées. Bull. Soc. Math. France, 88 (1960), 57-71. [3]. Les variétés riemanniennes homogènes normales simplement connexes à courbure strictement positive. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, XV 1961, 179-246). [4]. Sur quelques variétés d'einstein compactes. Ann. di Mat. 53 (1961), 89-96. [5]. Les sphères parmi les variétés d'einstein. C. R. Acad. Sci. Paris, 254 (1962), 1564-1566. [6]. L es variétés kahlériennes d'einstein de dimension quatre à courbure positive (A paraître dans Tensor.) [7], On the characteristic of positively-pinched Riemannian manifolds. (A paraître 1962 dans Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.) [8]. BEEBERBACH, Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. Math. Ann. 72 (1912), 400-412. [9]. BOCHNER, S., Tensorfields and Ricci curvature in Hermitian metric. Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A., 37 (1951), 704-706. [10]. CARTAN, E., Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann. Paris, 1951. [11]. CHERN, S. S., On curvature and characteristic classes of a Riemannian manifold Abh. Math. Sem. Hamburg, 20 (1955), 117-126. [12]. COHN-VOSSEN, Totalkrünunung und Geodätische Linien auf einfach zusammenhängenden, offenenvollständigen Flächenstücken. Mat. Sb. N.S., 1 (1936). 139-164.

456 M. BERGER [13]. FRANKEL, T., Manifolds with positive curvature. Pacific J. Math., 11 (1961), 165-174. [14]. HADAMARD, J., Les surfaces à courbures opposées et leur lignes géodésique s. J. Math. Pures Appi., 4 (1898), 27-73. [15]. HOPF, H., Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem. Math. Ann., 95 (1926), 313-339. [16]. KLTNGENBERG, W., Über Riemannsche Mannifaltigkeiten mit nach oben beschränkter Krümmung. (A paraître dans Ann. di Mat. 1962.) [17]. KoBAYAsm, S., On compact Kahler manifolds with positive definite Ricci tensor. Ann. Math., 74 (1961), 570-574. [18]. Homogeneous Riemannian manifolds of negative curvature. Bull. Amer. Math. Soc, (1962), 338-339. [19]. LICHNEROWICZ, A., Géométrie des Groupes de Transformations. Paris, 1958). [20]. MYERS, S., Riemannian manifolds in the large. Duke Math. J., 1 (1935), 39-45. [21]. Riemannian manifolds with positive mean curvature. Duke Math. J., 8 (1941), 401-404. [22]. NASH, J., The imbedding problem for Riemannian manifolds. Ann. Math., 63 (1956), 20-63. [23]. PREISSMANN, A., Quelques propriétés globales des espaces de Riemann. j) Comment. Math. Helv., 15 (1942), 175-216. [24]. RAUCH, H. E., Geodesies and Curvature in Differential Geometry in the Large. New York, Yeshiva University, 1959. [25]. SEIFERT, H. & THREULFAUû, W., Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes. Math. Ann., 107 (1932), 543-586. [26]. SYNGE, J. L., On the connectivity of spaces with positive curvature. Quart. J. Math. Oxford, (1936), 316-320. [27]. TopoHorov, V. A. PimaHOBH npoctpahctba KPHBH3HH orpahhqehhoft CHH3y. yenexu Mam. nayn, 85 (1959), 87-130. [28]. VINCENT, G., Les groupes linéaires finis sans points fixes. Comment. Math. Helv., 20 (1947), 117-171. [29]. WOLF, J. A., Vincent's conjecture on Clifford translations of the sphere. Comment. Math. Helv., 136 (1961), 33-41. [30]. YAMABE, H., On deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Osaka Math. J., 12 (1960), 21-37.