Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 1 Introduction 1.1 Limites de suites En classe de première, on a déjà rencontré les limites de suites. Définition On dit qu'une suite u, définie sur une partie infinie de IN, admet une limite finie L lorsque tout intervalle ouvert autour de L On note alors : Exemple Soit u la suite définie sur IN * par : u n = 3 + 1 n Peut-on trouver un entier p tel que : n p u n ] 2,9 ; 3,1 [? Peut-on trouver un entier p tel que : n p u n ] 2,99 ; 3,01 [? Définition On dit qu'une suite u, définie sur une partie infinie de IN, admet pour limite + lorsque pour tout réel A, On note alors : De manière analogue, on définit la divergence vers. Exemple Soit v la suite définie sur IN * par : v n = n n 2 Peut-on trouver un entier p tel que : n p v n 10 6? 1.2 limites de fonctions La notion de limite est généralisable aux fonctions numériques. En classe de terminale, Sans justification, proposer les limites en + et des fonctions suivantes définies sur IR par : f(x) = x 2 ; g(x) = x 3 ; h(x) = 2x2 3 x 2 + 1 On calcule également, pour des fonctions, des limites en des valeurs finies. Sans justification, compléter les égalités suivantes : lim (1 + x 2 6x + 5 x 2 x2 ) = lim = x 1 x 1 A votre avis, quelle est la limite de 1 x en 0?
Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 2 2 Règles opératoires Les limites en +,, 0 + et 0 - des expressions du type : x n 1 ou x n ( avec n dans IN* ) sont admises en terminale S sans démonstration. Il est impératif de les connaître sans hésiter. 2.1 Multiplication par un réel Lorsque on multiplie une fonction par un réel non nul, Lorsque la limite est infinie, la limite demeure infinie et Exemple : lim ( 5 x ) = lim 2y 2 = lim 3x 3 = y + x 2.2 Sommes de limites a + b + 2.3 Produits de limites a 0 0 ± b 0 0 ± 2.4 Quotients de limites b 0 0 ± a 0 0 ± 2.5 Lever des formes indéterminées Le calcul de limites en + ou de polynômes conduit souvent à des formes indéterminées. pour résoudre le problème on : Exemple Déterminer : lim x x4 + x 3 5x 2 + 2
Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 3 On rencontre des formes indéterminées lors du calcul de limites en + et en des fractions rationnelles. Exemple : g est définie sur IR par : g(x) = x6 2x + 1 x 4 + 3x 2 + 4 Déterminer : lim g(x). 3 Asymptotes 3.1 Asymptote verticale Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a une borne de I. Si on a : alors la droite d équation : x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f. Exemple : f est définie sur par : f(x) = x2 5 x 2. 3.2 Asymptote horizontale Soit L un réel fixé. Si f est une fonction définie sur un intervalle I et telle que : Alors : la droite d équation : y = L est asymptote à la courbe représentative de f. Exemple : f est la fonction définie sur IR par : f(x) = 3x2 + 1 4x 2 + 2.
Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 4 3.3 Asymptotes obliques Soit f définie au voisinage de + et D une droite d équation réduite : y = ax + b. Alors D est asymptote à la courbe représentative de f lorsque : 4 Propriétés des limites 4.1 Théorèmes de comparaison Théorème 1 Soit f et g deux fonctions telles que : lim f(x) = L et x a Si on a, pour tout x au voisinage de a : lim g(x) = L x a Théorème 2 Soit f, g et h trois fonctions vérifiant sur un voisinage de a : g(x) f(x) h(x) Si on a : Alors : Ce théorème est habituellement appelé Théorème 3 Soit f et g deux fonctions vérifiant sur un voisinage de a : g(x) f(x) Si on a : Alors : sin x Exercice Déterminer : lim x 4.2 limites et composition Soit f une fonction composée de deux fonctions u et v, avec : f = u v, c'est-à-dire définie Supposons que : lim x a v(x) = b et lim x b u(x) = L. Alors : Exemple : Déterminer : lim sin ( 1 ) et lim x x 3 + cos x
Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 5 5 Continuité 5.1 Définition Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et soit a un élément de I. On dit que f est continue en a lorsque Par extension, on dit que f est continue sur I lorsque Interprétation graphique Une fonction est continue sur un intervalle I lorsque Propriétés 5.2 Un exemple de fonction non continue : la fonction partie entière La fonction partie entière, notée E, est définie sur IR par : E : x E(x) = N tel que N x < N + 1 Avec N Z. Représentons une allure de sa courbe représentative : 4 2 o 4-2 5.3 Propriété des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [ a ; b ]. Pour tout réel k entre : f(a) et f(b), Corollaire 1 Si de plus la fonction f est strictement monotone sur [ a ; b ]
Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 6 5.4 Exercice corrigé Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = x 3 9x 2 + 24x 10 1. Discuter, selon les valeurs de k, du nombre de solutions de l équation : f(x) = k 2. Donner un encadrement à 10-2 de la solution de : f(x) = 12 3. Donner un encadrement à 10-3 des solutions de : f(x) = 7