Daniel ALIBERT. Étude locale des fonctions dérivables. Développements limités

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 1 Daniel ALIBERT Étude locale des fonctions dérivables. Développements limités Objectifs : Savoir chercher si une fonction d'une variable réelle est dérivable en un point. Calculer sa dérivée, et dans certains cas ses dérivées d'ordre supérieur. Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions dérivées, développement limité. Savoir interpréter graphiquement les premiers termes d'un développement limité. Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs précédents.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 3 La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ( ) pour obtenir des indications pour résoudre la question, () lorsqu'une méthode plus générale est décrite, () renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3-2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 4 en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 5 Table des matières 1 A Savoir... 7 1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle 7 1-2 Dérivations successives des fonctions... 10 1-3 Développements limités... 12 1-4 Développements asymptotiques... 15 1-5 Étude locale des fonctions... 16 2 Pour Voir... 20 2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle20 2-2 Dérivations successives des fonctions... 28 2-3 Développements limités... 31 2-4 Développements asymptotiques... 40 2-5 Étude locale des fonctions... 43 3 Pour Comprendre et Utiliser... 57 3-1 Énoncés des exercices... 57 3-2 Corrigés des exercices... 72 3-3 Corrigés des questions complémentaires... 121 4 Pour Chercher... 129 4-1 Indications pour les exercices... 129 4-2 Méthodes... 136 4-3 Lexique... 139

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 6

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 7 1 A Savoir Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir. Définition 1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle Soit x 0 un réel, et f une application définie sur un intervalle ouvert centré en x 0, à valeurs dans R. On dit que f est dérivable en x 0 si le quotient : f(x) f(x 0 ) x x 0 admet une limite lorsque x tend vers x 0, en restant différent de x 0. Cette limite est la dérivée de f en x 0, notée f'(x 0 ). Une autre notation usuelle pour la dérivée de f en x 0 est df ( dx x 0). Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour x x 0 assez petit : f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) a + (x x 0 ) ε(x x 0 ). Le réel a est la dérivée de f en x 0. On dit souvent, par abus, que "l'expression f(x)" est dérivable.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 8 Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t, x 0 ], on dit que f est dérivable à gauche en x 0, si le quotient f(x) f(x 0 ) admet une limite x x 0 lorsque x tend vers x 0, avec x < x 0. ' Cette limite est la dérivée à gauche de f en x 0, notée f g (x 0 ). On définit de manière analogue la dérivée à droite. Si f est dérivable pour tout x d'un ensemble I, on dit que f est dérivable sur I. L'application qui à x de I associe f'(x) est l'application dérivée de f, ou la dérivée de f. Proposition Si f est dérivable en x 0, alors f est continue en x 0. Proposition Soient f et g des fonctions dérivables en x 0. 1) Pour tout couple de réels (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g est dérivable en x 0, et : (α.f + β.g)'(x 0 ) = α.f'(x 0 ) + β.g'(x 0 ). 2) Le produit f.g est dérivable en x 0, et : Proposition (f.g)'(x 0 ) = f'(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g'(x 0 ). Soit f une application définie au voisinage de x 0. Soit g une application définie au voisinage de f(x 0 ), composable avec f. Si f est dérivable en x 0, et g dérivable en f(x 0 ), alors l'application composée g o f est dérivable en x 0, et : (g o f)'(x 0 ) = g'(f(x 0 ))f'(x 0 ).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 9 Proposition Soient I et J, des intervalles de R, et f : I --. J une application continue bijective. On note f 1 l'application réciproque, de J dans I. Si f est dérivable en x 0, élément de I, et si f'(x 0 ) est différent de 0, alors f 1 est dérivable en f(x 0 ), et sa dérivée en f(x 0 ) est : ( f 1 ) ' 1 ( f( x 0 ))= f' ( x 0 ). Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître, ainsi que leur domaine de définition : fonction dérivée domaine x x n, n Z x n.x n-1 si n < 0, x 0 si n 0, R x log(x) x 1 (logarithme naturel) x x > 0 x e x x e x R x sin(x) x cos(x) R En application de ce tableau et des résultats précédents (dérivation d'une fonction composée), on obtient un autre tableau de formules de dérivation à connaître : forme des fonctions dérivée u u' v uv' v log(u) e u a x, a > 0 x x α, α R v 2 u' u u' e u log(a)a x x α.x α 1, x > 0 si α N

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 10 Définition 1-2 Dérivations successives des fonctions Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit f' sa fonction dérivée, également définie sur I. Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche en proche la dérivée n-ième de f au point a par : Autre notation : d n f ( dx n x 0). f (n) (n 1) (a) = ( f ) ' (a). Noter que l'existence de la dérivée n-ième en a suppose l'existence des dérivées d'ordre inférieur sur un intervalle ouvert centré en a, et pas seulement en a. Si la dérivée n-ième d'une application existe sur un intervalle ouvert I, on dit que f est n fois dérivable sur I. Si de plus la dérivée n-ième est continue sur I, on dit que f est n fois continûment dérivable sur I, ou de classe C n sur I. On écrira souvent f C n (I). Si la fonction f est n fois dérivable sur I, quel que soit n, on dit qu'elle est indéfiniment dérivable, ou encore de classe C. La dérivée n-ième d'une somme de fonctions est la somme des dérivées n-ièmes de chacune.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 11 Proposition Formule de Leibniz. Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x 0. Le produit fg est dérivable n fois également et : k =n ( fg) (n) k (k) ( x 0 ) = C n f x0 ( )g (n k ) ( x 0 ). k=0 Dans cette formule, on convient que f (0) désigne f. Rappel. Le symbole C k n désigne le coefficient du binôme : C k k!(n k)! n =. n!

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 12 Théorème 1-3 Développements limités Formule de Taylor-Young. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x 0 un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x 0 existe. Il existe une fonction h ε(h), définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x 0 contenu dans I : Définition f(x) = f( x 0 )+ ( ) k n x x 0 f (k) ( x k! 0 ) + x x 0 k=1 ( ) n ε x x 0 ( ). Soit I un intervalle ouvert, et x 0 un élément de l'adhérence de I, c'est-à-dire un point de I ou une de ses extrémités. Soit f : I R, une fonction. On dit que la fonction polynôme de x : P(x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n est un développement limité à l'ordre n de f en x 0 si l'expression f(x) P(x x 0 ) est de la forme (x x 0 ) n ε(x x 0 ), la fonction h ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0. P est la partie régulière du développement, et (x x 0 ) n ε(x x 0 ) en est le reste, ou terme complémentaire. La formule de Taylor-Young fournit un développement limité pour les fonctions qui en vérifient les hypothèses. Proposition Si P existe, il est unique.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 13 Proposition Si f et g admettent des développements limités à l'ordre n en x 0, de parties régulières P et Q, alors : 1) Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x 0, dont la partie régulière est la combinaison linéaire α.p + β.q des parties régulières des développements de f et de g. 2) Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x 0, dont la partie régulière s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ. (C'est-à-dire en ne conservant que les monômes en (x x 0 ) k, k n). Proposition Si f admet un développement limité en x 0, de partie régulière P, et y 0 = lim(f(x)) en x 0, et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y 0, de partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x 0 en substituant P(x x 0 ) à y dans Q(y y 0 ), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable (c'està-dire significatif compte tenu des termes complémentaires) Proposition Soit f : [a, b] R, continue. On suppose que f admet en x 0 [a, b] un développement limité à l'ordre n, de partie régulière P(x x 0 ). Soit F : [a, b] R une primitive de f. Alors F admet un développement limité à l'ordre n + 1 en x 0, dont la partie régulière est obtenue en calculant la primitive de P(x x 0 ) égale à F(x 0 ) en x 0.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 14 formulaire Les développements suivants en 0 sont à connaître parfaitement. On figure ci-dessous la partie régulière de chaque développement limité. fonctions développements ordre x (1 + x) α n x k 1 + α(α 1) (α k + 1) (ci-dessous deux cas k =1 k! n particuliers) xa 1 1 x + x 2 + + ( 1) n x n n 1+ x xa 1 + x 1 + 1 2 x 1 8 x2 + 1 16 x3 5 4 128 x4 x sin(x) x cos(x) x e x x log(1 + x) x x3 3! + x5 5! + + ( 1)p x 2p+1 (2p + 1)! cos(x) =1 x2 2! + x4 4! + +( 1) p x 2p (2p)! 1 + x + x2 2! x x 2 2 + + xn n! + + ( x n 1 )n+1 n 2p + 2 2p + 1 n n

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 15 1-4 Développements asymptotiques Il s'agit de généraliser l'écriture de développements limités à différents cas : Fonction non bornée au voisinage de x 0. Développement au voisinage de l'infini. Définition Soit x 0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé () de ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique d'ordre n de f au voisinage de x 0 i =n ( ) i une fonction rationnelle de la forme a i x x 0 i =p entiers relatifs (p n), vérifiant : i=n lim f(x) a i x x 0 x >x 0 i=p Définition ( ) i x x 0 ( ) n, où p et n sont des = 0. Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné. On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une fonction rationnelle de la forme i =n a i x i, où p et n sont des entiers relatifs i =p (p n), vérifiant (cas de + ) : i=n lim f(x) a i x i x >+ i=p xn = 0.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 16 1-5 Étude locale des fonctions La dérivée permet dans certains cas de résoudre des problèmes de limites (on en a vu un exemple dans le volume 3, à propos de la recherche d'équivalents). Proposition Règle de l'hôpital Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé () de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin : f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport : f' (x) g' (x) a une limite finie en a, le rapport : f(x) g(x) a également une limite finie, et : Corollaire lim x >a x a f( x) f' (x) = lim. g(x) g' (x) x >a x a Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé () de a, et si f' a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et : lim ( f' (x)) = f' (a)). x >a x a La dérivée en un point donne également des informations sur le comportement d'une fonction au voisinage de ce point (étude locale).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 17 Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement limité s'il existe au point considéré. Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il existe, est un équivalent de la fonction. Cela permet d'obtenir des informations géométriques sur le graphe de la fonction. Proposition Soit f : R R, dérivable en x 0, admettant en x 0 un maximum local ou un minimum local. Alors f'(x 0 ) = 0. Soit f une application définie sur un intervalle I. On rappelle que le graphe G de f (ou courbe représentative) est le sousensemble du plan R 2 formé des couples (x, f(x)), x étant un point quelconque de I. Soit x 0 un point de I, et M(x 0 ) le point de G d'abscisse x 0. Une droite passant par M(x 0 ) a une équation de la forme : y = f(x 0 ) + a.(x x 0 ), a désignant le coefficient directeur. Notons cette droite D(a). Définition Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction : x I, x distance(m(x), D(a)) est négligeable devant la fonction : x distance(m(x), M(x 0 )) quand x tend vers x 0 dans I.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 18 M(x) M(x0) x0 x Proposition Soit f une fonction dérivable en un point x 0. La droite D(f'(x 0 )) est la tangente à G en x 0. Proposition Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un point x 0. 1) Si ce développement est à l'ordre 1 : f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + (x x 0 )ε(x x 0 ) la droite d'équation y = a 0 + a 1 (x x 0 ) est la tangente au graphe de f au point d'abscisse x 0. 2) Si ce développement est à l'ordre 2 : f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + (x x 0 ) 2 ε(x x 0 ) la position du graphe est donnée par le signe de a 2 (si a 2 0). Si a 2 > 0, le graphe est au-dessus de sa tangente. Si a 2 < 0, la courbe est au-dessous de sa tangente.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 19 Définition Une droite D est asymptote à G lorsque x tend vers l'infini si, quand x tend vers l'infini, la distance du point de G d'abscisse x à la droite D tend vers 0. Proposition Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en + de la forme suivante : f(x) = a 1 x + a 0 + a 1 x + ε(x) x. La droite d'équation y = a 1 x + a 0 est asymptote à la courbe représentative. Si a 1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote. Si a 1 < 0, la courbe est au-dessous de son asymptote. Les mêmes considérations s'appliquent également en.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 20 2 Pour Voir Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension. 2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle "On dit que f est dérivable en x 0 si le quotient f(x) f(x 0 ) x x 0 x tend vers x 0, en restant différent de x 0." admet une limite lorsque exemple 1 Si f est l'application définie par : f(x) = x 3 x + 2, on vérifie facilement qu'elle est dérivable en 1, et même en tout point a : f(x) f(1) = x3 x + 2 2 x 1 x 1 x(x 1) = x 1 = x, (ce calcul est fait pour x 1), donc : f(x) f(1) lim x 1 = 1. x 1 x 1

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 21 Plus généralement : f(x) f(a) x a = x3 x + 2 a 3 + a 2 x a d'où : x a x a = x3 a 3 x + a x a = (x a)(x2 + ax + a 2 ) (x a) x a = x 2 + ax + a 2 1, f(x) f(a) lim x a = 3a2 1. On voit que le calcul est long, même dans un cas simple, d'où l'intérêt de méthodes et de formules générales. exemple 2 (à traiter) Soit g l'application "valeur absolue". Est-elle dérivable en 0, en 0,5? # réponse En 0. Il s'agit d'étudier la limite de l'expression x x différent de 0. On distingue deux cas :, quand x tend vers 0, en étant si x > 0, x x = 1, donc la limite à droite existe et vaut 1, si x < 0, x x = 1, donc la limite à gauche existe et vaut 1.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 22 Ces deux limites partielles étant différentes, on conclut que g n'est pas dérivable en 0. En 0,5, et plus généralement en a 0. Dans ce cas, pour étudier la limite de x a, on peut supposer x du même x a signe de a, puisque x a peut être supposé aussi petit que l'on veut. On conclut que g est dérivable, de dérivée 1 si a > 0, et de dérivée 1 si a < 0. "Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour x x 0 assez petit : f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) a + (x x 0 ) ε(x x 0 )." exemple 3 Prenons l'exemple de l'application définie par f(x) = x 2 + x +1. Étudions la dérivabilité en 0 : f(x) f(0) = x 2 + x +1 1 ( x 2 + x +1 1) x 2 + x +1 + 1 = x 2 + x + 1 +1 = x2 + x + 1 1 x 2 + x +1 +1 ( ) ( ) ( ) 1 = x ( x 2 + x +1 +1) + 1 x2 x 2 + x +1 +1 ( ).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 23 1 1 Or tend vers en 0, d'où : ( x 2 + x + 1 + 1 2 ) f(x) f(0) = x 1 2 + x 1 1 x 2 + x + 1 +1 2 + x x 2. + x +1 +1 ( ) ( ) Le deuxième terme du second membre : 1 x 1 x 2 + x +1 +1 2 + x x 2 + x +1 +1 ( ) ( ) est bien de la forme voulue, x ε(x), avec ε tendant vers 0 en 0, donc f'(0) = 1 2. exemple 4 (à traiter) Il est parfois plus pratique d'utiliser cette propriété pour démontrer la dérivabilité d'une fonction et calculer sa dérivée. Vérifier, de cette manière, que l'expression suivante est dérivable en 0 : 2x 3 + x2 + x cos(x) x x 2 + x + 4 et calculer sa dérivée. # réponse On forme d'abord la différence entre l'expression et sa valeur en a (ici, a = 0) : 2x 3 + x2 + x cos(x) x x 2 + x + 4 ( 3) = 2x + x2 + xcos(x) x x 2 + x + 4

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 24 puis on essaie de mettre x a (ici, simplement x) en facteur : 2x + x2 + x cos(x) x x + cos(x) 1 x 2 = x 2 + + x + 4 x 2. + x + 4 On étudie maintenant la limite en 0 du terme en facteur de x : x + cos(x) 1 2 + x 2 2. + x + 4 Si cette limite existe, l'expression est dérivable, et la limite est la dérivée. (Comparer avec un calcul utilisant les formules usuelles de dérivation!) On peut, plus directement, distinguer dans l'expression une "partie affine", 2x 3, et une partie où x est en facteur d'une expression tendant vers 0, x + cos(x) 1 x x 2. On conclut alors que 3 est la valeur en 0, et 2x la partie + x + 4 linéaire, donc 2 la dérivée. Ce n'est d'ailleurs que lorsque ce "repérage" formel est simple qu'on pourra se dispenser du calcul usuel de la dérivée. On y reviendra plus tard dans le cas des fonctions de plusieurs variables. "Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t, x 0 ], on dit que f est dérivable à gauche en x 0, si le quotient f(x) f(x 0 ) x x 0 admet une limite lorsque x tend vers x 0, avec x < x 0." exemple 5 Reprenons l'exemple 2. L'application valeur absolue n'est pas dérivable en 0, comme on a vu, mais elle est dérivable à gauche, de dérivée 1, et à droite, de dérivée 1. exemple 6 (à traiter) Soit r l'application définie par :

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 25 r(x) = (x 1) x 1. Elle est définie pour x 1. Montrer qu'elle est dérivable à droite en 1. Calculer la dérivée à droite en 1. # réponse Il suffit d'écrire : (x 1) x 1 = 0 + 0(x 1) + (x 1) x 1, ce qui prouve la dérivabilité, puisque r(1) = 0. La dérivée est 0. "Si f est dérivable en x 0, alors f est continue en x 0." exemple 7 En particulier, si une application n'est pas continue, elle n'est pas dérivable. Ainsi, l'application "partie entière" n'est dérivable en aucun point de Z. Elle est toutefois dérivable à droite, de dérivée 0, en ces points. exemple 8 (à traiter) Inversement, une application peut être continue en x 0 sans y être dérivable. On a vu la valeur absolue en 0 (exemple 1). Déterminer pour quelles valeurs de α, réel, l'application L α, définie par les expressions : L α (x) = x 1+ x α log( x ) L α (0) = 0, est continue, respectivement dérivable, en 0. # réponse Si x tend vers 0, log( x ) tend vers, x 1 tend vers 1. Le produit x α log(x ) tend vers 0 si et seulement si α > 0, et n'a pas de limite si α 0.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 26 Conclusion : l'application L α est continue pour α > 0. Si on factorise L α (x) + 1 x par x, on obtient : L α (x) +1 x = x( x α 1 log( x )). Si α > 1, l'expression en facteur de x a bien une limite, sinon, elle n'a pas de limite. Conclusion : l'application L α est dérivable en 0 pour α > 1, et L' α (0) = 0. "Si f est dérivable en x 0, et g dérivable en f(x 0 ), alors l'application composée g o f est dérivable en x 0, et : (g o f)'(x 0 ) = g'(f(x 0 ))f'(x 0 )." exemple 9 Il se peut que g o f soit dérivable en un point sans que f le soit : ainsi l'application "valeur absolue" n'est pas dérivable en 0, mais si g est l'application "élévation au carré", l'application composée g o f : exemple 10 (à traiter) x a x a x ( ) 2, est égale à g, donc dérivable en 0. Il se peut également que g o f soit dérivable sans que g le soit. Essayer de construire un exemple. # réponse On peut penser à composer les deux applications précédentes : (f o g)(x) = x 2 = x 2, donc f o g = g est dérivable en 0. Ici, f est dérivable à droite en 0, et g prend ses valeurs à droite de 0, justement.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 27 "Soient I et J, des intervalles de R, et f : I J une application continue bijective. Si f est dérivable en x 0, élément de I, et si f'(x 0 ) est différent de 0, alors f -1 est dérivable en f(x 0 ), et sa dérivée en f(x 0 ) est f 1 exemple 11 ( ) ' f x 0 ( ( ))= 1 ( ). " f' x 0 Il n'est pas nécessaire de connaître l'expression de la réciproque de f en fonction de la variable pour appliquer ce résultat. Soit f définie sur [0, + [ par : f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + 1. Elle est continue, et bijective (car strictement croissante), de [0, + [ sur [1, + [. Elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas. Sa fonction réciproque est donc dérivable. Par exemple, au point 4 = f(1) : ( f 1 ) ' (4) = 1 f' (1) = 1 4 + 3 + 2 = 1 9. exemple 12 (à traiter) Vérifier que l'application g définie par g(x) = x x est continue et bijective de R sur R. Son application réciproque est-elle dérivable sur R? Quelle est sa dérivée, lorsqu'elle existe? # réponse En effet pour x > 0, g(x) = x 2, donc est dérivable, et g'(x) = 2x n'est pas nul. De même pour x < 0, g(x) = x 2, et g'(x) = 2x. Comme g(0) = 0, on voit que g est continue, et strictement croissante (signe de la dérivée), donc bijective. Si on ne veut pas utiliser ce résultat, qui sera rappelé dans un prochain volume, on peut procéder directement : si x et y vérifient x x = y y, alors x et y ont le même signe, ou sont nuls tous les deux. Dans le premier cas, supposons par exemple x et y positifs, on a x 2 = y 2, et x =

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 28 y toujours à cause du signe. On raisonne de même si x et y sont négatifs. Donc g est injective. Si z est un réel positif, il a une racine carrée positive, soit x, d'où g(x) = z. Si z est un réel négatif, on raisonne de même, avec z. On trouve que g est bien surjective, donc bijective. Enfin g est continue, comme on a vu plus haut, et dérivable pour x 0. En 0, g est également dérivable, de dérivée 0 : g(x) g(0) = x x x 0 x = x. Donc g -1 est dérivable en dehors de g(0), soit 0 : ( g 1 ) ' (y) = 1, si y > 0, g 1 2 y ( ) ' (y) = 2-2 Dérivations successives des fonctions 1, si y < 0. 2 y Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche ( ) ' (a). en proche la dérivée n-ième de f au point a par f (n) (n 1) (a) = f exemple 13 La fonction f définie par : 1 f(x) = 1 + x 2 est indéfiniment dérivable sur R. En effet elle est dérivable, car quotient de fonctions dérivables, et : f ' 2x (x) = 1+ x 2 On écrira cette égalité sous la forme : ( ) 2. f ' (x) = 2x f(x) 2.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 29 Il en résulte, par récurrence, que f est dérivable à l'ordre n pour tout n. En effet, c'est vrai pour n = 1, comme on l'a vu, et si f est n fois dérivable, f' aussi d'après la relation ci-dessus, donc f est n + 1 fois dérivable. exemple 14 (à traiter) Vérifier que, dans l'exemple ci-dessus, on a la relation : (1 + x 2 )f ' (x) + 2x f(x) = 0 et en déduire une relation entre f"(x), f'(x), f(x). Calculer f"(0). # réponse La première relation est facile à déduire de l'expression de f'(x). On peut la dériver : (1 + x 2 ) f (x) + 4x f (x) + 2f(x) = 0. On trouve f"(0) = 2f(0) = 2. "Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x 0. Le produit fg est dérivable n fois également et : ( fg) (n) k (k) ( x 0 ) = C n f exemple 15 k=n ( x 0 )g (n k) ( x 0 )." k=0 Les fonctions exponentielle et cosinus sont indéfiniment dérivables, donc leur produit également, et la formule ci-dessus donne : soit : k =n ( exp(x) cos(x) ) (n) k (k ) (n k) = C n exp(x) cos(x), k =0 ( exp(x) cos(x) ) (n) k =n k π = C n exp(x) cos(x +(n - k) 2 ), k =0

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 30 exemple 16 (à traiter) ( exp(x) cos(x) ) (n) k =n k π = exp(x) C n cos(x+ (n - k) 2 ). Déterminer la valeur en 0 de la dérivée d'ordre n de la fonction g définie par : g(x) = e x2. On calculera g'(x) en fonction de g(x), puis on utilisera la formule de Leibniz. # réponse Pour la dérivée : D'où : g (x) = 2xe x2 k =0 g (n+1) (x) = ( 2xg(x) ) (n), k=n = 2xg(x). = 2 C k n (Id) (k ) ( x)g (n k) ( x), k =0 = 2xg (n) ( x) + 2ng (n 1) ( x). Pour la valeur en 0, il vient : g (n+1) (0) = 2ng (n 1) ( 0). Donc : Si n est impair, g (n) (0) = 0, puisque g'(0) = 0. Si n est pair, n = 2p, g (2p) (0) = 2(2p 1)g (2p 2) (0), d'où :

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 31 g (2p) (0) = 2(2p 1)g (2 p 2) ( 0) = 2(2p 1)2(2p 3)g (2 p 4) ( 0) = 2 p (2p 1)(2p 3) 3.1.g(0) = 2 p (2p 1)(2p 3) 3.1. 2-3 Développements limités Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x 0 un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x 0 existe. Il existe une fonction h ε(h), définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x 0 contenu dans I : exemple 17 n f(x) = f ( ( x x ) k 0 x 0 )+ f (k)( x ) 0 + x x 0 k! k=1 ( ) n ε x x 0 ( ). Pour les fonctions polynômes, la formule de Taylor, à un ordre supérieur ou égal au degré du polynôme, conduit à une égalité (sans terme ε(h)) : exemple 18 (à traiter) f(x) = f( x 0 )+ ( ) k n x x 0 f (k) ( x k! 0 ). k=1 Écrire la formule de Taylor en 0, à l'ordre 6, pour la fonction g de l'exemple 16.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 32 # réponse A partir de la valeur des dérivées successives en 0, on trouve : e x2 = 1+ x2 x4.2 + 2 4!.22.3 + x6 6! 23.5.3 + x 6 ε(x), = 1+ x 2 + x4 2 + x6 6 + x6 ε(x). On dit que la fonction polynôme de x : P(x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + + a n (x x 0 )n est un développement limité à l'ordre n de f en x 0 si l'expression f(x) P(x x 0 ) est de la forme (x x 0 )nε(x x 0 ), la fonction h --. ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0." exemple 19 Si f est définie par : f(x) =1 + x + x 2 + x2 (cos(x) 1) 1+ x 2, alors 1 + x + x 2 est son développement limité à l'ordre 2 en 0. (cos(x) 1) En effet, il est clair que 1+ x 2 tend vers 0 quand x tend vers 0. exemple 20 (à traiter) Vérifier, dans l'exemple précédent, que 1 + x + x 2 développement limité à l'ordre 3. est également le

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 33 # réponse Il faut s'assurer que l'on peut "mettre x 3 en facteur" dans le terme : x 2 (cos(x) 1) 1 + x 2 (cos(x) 1) l'autre facteur tendant vers 0. C'est-à-dire vérifier que x 1 + x 2 tend (cos(x) 1) vers 0 quand x tend vers 0. Or le quotient a pour limite la x dérivée de cos en 0, c'est-à-dire sin(0), qui vaut bien 0. "Si P existe, il est unique." exemple 21 Ainsi, si la formule de Taylor s'applique à une fonction, les coefficients du développement limité sont égaux aux coefficients de la formule de Taylor, ce qui donne un calcul de la valeur des dérivées successives de cette fonction au point considéré. 1 Si f est la fonction étudiée à l'exemple 13, f(x) = 2, le développement 1 + x limité en 0 est le suivant (formulaire) : 1 1 + x 2 = 1 x2 + x 4 + + ( 1) p x 2p + x 2p ε(x). Comme cette fonction est indéfiniment dérivable, on déduit les valeurs de ses dérivées en 0 : f (2p+1) (0) = 0, f (2p) (0) = ( 1) p (2p)! Le calcul est ici nettement plus facile par cette méthode que par un calcul des dérivées successives de f.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 34 exemple 22 (à traiter) Attention toutefois que ce raisonnement suppose la formule de Taylor utilisable. Il ne permet pas de démontrer l'existence d'une dérivée d'ordre supérieur à 1. Vérifier que la fonction définie par : h(x) = 2 x + x 2 x 3 sin 1, si x 0, h(0) = 2, x a un développement limité à l'ordre 2 en 0, mais n'est pas dérivable deux fois en 0. # réponse On voit bien que 2 x + x 2 est le développement limité à l'ordre 2, puisque le terme x 3 sin 1 x est bien de la forme x2 ε(x), ε(x) tendant vers 0 en 0. La fonction h est dérivable en 0 : h(x) h(0) = 1 + x x 2 sin 1 x x, h (0) = 1. Elle est également dérivable en dehors de 0 : h (x) = 1 + 2x 3x 2 sin 1 x 1 x3 cos 1 x = 1 + 2x 3x 2 sin 1 x + x cos 1 x. En 0, h' n'est pas dérivable : h (x) h (0) = 2 3xsin 1 x x + cos 1 x, et cette expression n'a pas de limite en 0, puisque les deux premiers termes ont une limite et le troisième n'en a pas. x 2

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 35 "Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x 0, dont la partie régulière est la combinaison linéaire α.p + β.q des parties régulières des développements de f et de g." exemple 23 Le développement limité à l'ordre 4 de cos(x + 1) en 0 s'écrit de la manière suivante : cos(x + 1) = cos(x)cos(1) sin(x)sin(1), = (1 x2 2 + x4 4! + x4 ε(x)) cos(1) (x x3 3! + x4 ε(x))sin(1), = cos(1) xsin(1) x2 x3 x4 cos(1) + sin(1) + 2 3! 4! cos(1) + x4 ε(x). Remarquer sur cet exemple l'abus d'écriture usuel qui consiste à noter de la même manière les différents termes complémentaires (ε(x)), abus qu'il faut s'entraîner à utiliser. Remarquer également l'écriture du DL (développement limité) de sin(x) à l'ordre 4 à partir de la formule standard. exemple 24 (à traiter) Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de e x+1. # réponse Il suffit de remarquer que e x+1 = e.e x, d'où : e x+1 = e(1+ x + x2 2 + x3 6 + x3 ε(x)) = e + ex + e x2 2 + e x3 6 + x3 ε(x).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 36 "Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x 0, dont la partie régulière s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ." exemple 25 Il faut s'entraîner à ne pas écrire les termes superflus. Écriture du DL de l'expression e x sin(x) à l'ordre 3 : e x =1 + x + x2 2 + x3 6 + x 3 ε(x), sin(x) = x x3 6 + x3 ε(x), e x sin(x) = 1+ x + x2 2 + x3 6 + x3 ε(x) x x3 6 + x3 ε(x) = x + x 2 x3 6 + x3 2 + x3 ε(x) = x + x 2 + x3 3 + x3 ε(x). Remarquer que, comme le DL de sin(x) est divisible par x, on aurait pu se contenter d'écrire le DL de e x à l'ordre 2. exemple 26 (à traiter) Écrire le DL de l'expression cos(x) 1 x en 0, à l'ordre 4.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 37 # réponse C'est un produit : cos(x) 1 x = cos(x) 1 1 x = 1 x2 2 + x4 4! + x4 ε(x) 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 4 ε(x) ( ) =1 + x + x 2 1 1 2 + x3 1 1 2 + 1 x4 24 1 2 +1 + x4 ε(x) =1 + x + x2 2 + x3 2 + 13x4 24 + x4 ε(x). "Si f admet un développement limité en x 0, de partie régulière P, et y 0 = lim(f(x)) en x 0, et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y 0, de partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x 0 en substituant P(x x 0 ) à y dans Q(y y 0 ), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable." exemple 27 Écriture du développement limité en 0 à l'ordre 4 de l'expression : 1 1 sin(x). En préliminaire, on écrit les DL de sin(x), et de sin(x) = x x3 6 + x4 ε(x), 1 1 x = 1+ x + x2 + x 3 + x 4 + x 4 ε(x). 1 1 x. (formulaire) : On substitue la partie régulière du DL de sin(x) dans le DL de 1 1 x.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 38 On obtient : 1 1 sin(x) x3 = 1+ x + x x3 6 6 2 + x x3 3 6 + x x3 6 4 + x 4 ε(x). On développe et on ordonne, en n'écrivant que les termes de degré au plus 4 : 1 x3 = 1+ x 1 sin(x) 6 + x2 2x x3 6 + x3 + x 4 + x 4 ε(x). On obtient enfin : exemple 28 (à traiter) 1 1 sin(x) =1 + x + x2 + 5x3 6 + 2x4 3 + x4 ε(x). Cela s'applique au cas où une fonction est un polynôme. Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de 1 + x + x 2 + x 3. # réponse Un DL préliminaire : 1 + x = 1 + 1 2 x 1 8 x2 + 1 16 x3 + x 3 ε(x). D'où : 1 + x + x 2 + x 3 =1 + 1 ( 2 x + x 2 + x 3 ) 1 ( 8 x + x2 + x 3 ) 2 + 1 16 x3 + x 3 ε(x). 1 + x + x 2 + x 3 =1 + 1 2 x + 1 2 x2 + 1 2 x3 1 8 x2 1 8 2x3 + 1 16 x 3 + x 3 ε(x), 1 + x + x 2 + x 3 =1 + 1 2 x + 3 8 x2 + 5 16 x3 + x 3 ε(x). Remarquer qu'il est utile de savoir calculer des expressions comme (a + b +c) 2, (a + b) 3

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 39 "On suppose que f admet en x 0 [a, b] un développement limité à l'ordre n, de partie régulière P(x x 0 ). Soit F : [a, b] --. R une primitive de f. Alors F admet un développement limité à l'ordre n + 1 en x 0, dont la partie régulière est obtenue en calculant la primitive de P(x x 0 ) égale à F(x 0 ) en x 0." exemple 29 Écriture du DL à l'ordre 4 de Arctan(x). 1 La dérivée est 2, dont le DL à l'ordre 3 est facile à calculer : 1 + x 1 1 + x 2 = 1 x2 + x 3 ε(x), d'où : Arc tan(x) = Arctan(0) + x x3 3 + x4 ε(x), = x x3 3 + x4 ε(x). En effet, Arctan(0) = 0. Bien noter qu'en intégrant on gagne un ordre. exemple 30 (à traiter) Écrire un DL à l'ordre 5 de log(1 + x 2 ). # réponse 2x En dérivant on obtient 2. Le DL à l'ordre 4 s'obtient en multipliant 1 + x 1 par 2x le DL à l'ordre 3 de 2. Ensuite il suffit d'intégrer : 1 + x

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 40 1 2x 1 + x 2 = 2x( 1 x 2 + x 3 ε(x) ), = 2x 2x 3 + x 4 ε(x), log(1 + x 2 ) = x 2 x 4 2 + x5 ε(x). Bien entendu, on peut aussi substituer x 2 à x dans le DL de log(1 + x) à l'ordre 3 en 0, puis tronquer à l'ordre 5. 2-4 Développements asymptotiques "Soit x 0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé de ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique i=n ( ) i d'ordre n de f au voisinage de x 0 une fonction rationnelle de la forme a i x x 0 où p et n sont des entiers relatifs (p n), vérifiant i=n lim f(x) a i x x 0 i=p x >x 0 ( ) i x x 0 ( ) n = 0. " exemple 31 1 Écriture d'un développement asymptotique de x 2 à l'ordre 1 au 3x + 2 voisinage de x 0 = 1. On multiplie par (x 1) pour obtenir une fonction développable au sens usuel, que l'on développe à l'ordre 2 : x 1 x 2 3x + 2 = 1 x 2 = 1 1+ (1 x) = ( 1 (1 x) + (1 x)2 + (1 x) 2 ε(x 1) ). x 1 x 2 3x + 2 = 1 + (1 x) (1 x)2 +(1 x) 2 ε(x 1). On obtient donc le développement asymptotique à l'ordre 1 : 1 x 2 3x + 2 = 1 1 (x 1) + (x 1)ε(x 1). x 1 i= p

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 41 exemple 32 (à traiter) Écrire le développement asymptotique en 0, à l'ordre 2, de # réponse 1 x + x 2. On met 1 x d'où : en facteur, puis on développe de manière usuelle : 1 x + x 2 = 1 x 1 1+ x = 1 ( x 1 x + x 2 x 3 + x 3 ε(x) ), 1 x + x 2 = 1 x 1+ x x2 + x 2 ε(x). On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une fonction rationnelle i=n de la forme a i x i où p et n sont des entiers relatifs (p n), vérifiant (cas de + ) : i= p exemple 33 i=n lim f(x) a i x i i=p x >+ xn = 0. Il suffit de poser h = 1, et de développer par rapport à h, pour h tendant x vers 0 (à droite si x --. +, à gauche si x --. ). Écriture du développement asymptotique d'ordre 1 en + de : x 2 +1 x 2 1.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 42 Ici h = 1 x est positif : x 2 +1 x 2 1 = 1 h 2 +1 1 h 2 1 ( ) = 1 h 1+ h2 1 h 2 = 1 h 1 + h2 h2 1 + 2 2 + h2 ε(h) = h + hε(h) = 1 x + 1 x ε 1 x. exemple 34 (à traiter) Écrire le développement asymptotique de la fonction précédente en. # réponse Ici, h = 1 x est négatif, donc h2 = h. Le développement est donc : x 2 +1 x 2 1 = 1 x + 1 x ε 1 x.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 43 2-5 Étude locale des fonctions "Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport f'(x) a une limite finie en a, le rapport lim x >a f(x) g(x) = lim f'(x) x >a g'(x). " exemple 35 f(x) g(x) g'(x) a également une limite finie, et On utilisera cet énoncé quand le rapport des dérivées est plus simple que celui des fonctions. Étude du rapport : log(x) x 1, lorsque x tend vers 1, par valeurs supérieures. Les conditions sont vérifiées, donc on peut regarder le quotient des dérivées : 1 x 1 2 x 1 Ce quotient a pour limite 0 en 1. Donc la limite de log(x) x 1 = 2 x 1. x en 1 existe et vaut 0.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 44 exemple 36 (à traiter) Déterminer la limite de l'expression : x 2 3x + 2 sin(xπ) lorsque x tend vers 1. # réponse On est bien dans les conditions d'application de ce résultat, donc on étudie le quotient des dérivées : 2x 3 πcos(xπ). En 1, la limite existe, et c'est 1 πcos(π) = 1 π. "Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé de a, et si f' a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et lim ( f'(x) ) = f'(a)). " x >a x a exemple 37 Pour f définie par : f(x) = x 2 sin 1 x, si x 0, f(0) = 0, on voit que la dérivée existe pour x 0, et vaut : f (x) = 2x sin 1 x cos 1 x, donc la limite en 0 n'existe pas. Pourtant f'(0) existe et vaut 0 : f(x) f(0) = x sin 1 x x 0.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 45 Ne pas utiliser de "réciproque" à cet énoncé. exemple 38 (à traiter) Faire la même étude pour : f(x) = x 3 sin 1, si x 0, f(0) = 0. x # réponse Dans ce cas, f'(x) existe, par un calcul direct, en x différent de 0 : f (x) = 3x 2 sin 1 x xcos 1 x. Cette expression tend vers 0 en 0, donc f'(0) existe et vaut 0. "Soit f : R --. R, dérivable en x 0, admettant en x 0 un maximum local ou un minimum local. Alors f'(x 0 ) = 0." exemple 39 On étudie la fonction définie par f(x) = 2x 3 3x 2. Sa dérivée est f (x) = 6x 2 6x. La dérivée s'annule pour x = 0, et x = 1. Ce sont les seuls points susceptibles d'être extremum local. f(0) = 0, et si x < 0, x 3 < 0, donc f(x) < 0. Si 0 < x < 3, f(x) < 0. Donc 2 il y a bien un maximum en 0. f(1) = 1. On a : 2x 3 3x 2 +1 = (x 1) 2 (2x +1), donc f(1) > 1 si 2x + 1 > 0, c'est-à-dire sur ] 1, + [. On a bien un 2 minimum local. NB : dans les deux cas, ce n'est pas un extremum absolu.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 46 exemple 40 (à traiter) La réciproque est fausse. Trouver un contre-exemple. # réponse On en rencontre souvent, par exemple f(x) = x 3, en 0. Il suffit de trouver une dérivée qui s'annule sans changer de signe. "Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction x I, x distance(m(x), D(a)) est négligeable devant la fonction x distance(m(x), M(x 0 )), quand x tend vers x 0 dans I." exemple 41 Soit G la parabole, graphe de la fonction "carré", c(x) = x 2. L'équation d'une droite D(m) passant par le point M(1) = (1, 1) est de la forme : y = 1 + m(x 1). La distance d'un point (x, x 2 ) à cette droite est donnée par : x 2 1 m(x 1) 1 + m 2. La distance de ce point à (1, 1) est : Le quotient est : (x 1) 2 + (x 2 1) 2.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 47 x 2 1 m(x 1) (x 1) 2 + (x 2 1) 2 1 + m 2 = x 1 x + 1 m x 1 1 + (x +1) 2. 1+ m 2 = x + 1 m 1 + (x +1) 2. 1+ m 2. Sa limite en 1 est : 2 m 5. 1+ m. 2 Elle n'est nulle que pour m = 2. La tangente est la droite d'équation : y = 1 + 2(x 1). exemple 42 (à traiter) Vérifier que la droite d'équation y = x 1 est tangente au graphe de la fonction x log(x). # réponse Il faut d'abord trouver un ou des points d'intersection : log(x) = x 1. Il est clair que x = 1 est une solution de cette équation. Cherchons si la droite est tangente au graphe au point (1, 0). Il faut étudier le quotient : log(x) x +1 2 (x 1) 2 + log(x) 2.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 48 log(x) x +1 2 (x 1) 2 + log(x) 2 = x 1 log(x) x 1 1 2 x 1 (1 + log(x) x 1 log(x) x 1 1 = 2 (1 + log(x) 2. x 1 On sait que le quotient log(x) a pour limite 1 quand x tend vers 1. x 1 On déduit que le quotient ci-dessus tend bien vers 0. 2 Soit f une fonction dérivable en un point x 0. La droite D(f'(x 0 )) est la tangente à G en x 0. exemple 43 On le vérifie bien dans l'exemple 41 : la dérivée de la fonction "carré" en 1 vaut bien 2, donc la tangente en (1, 1) est la droite d'équation y 1 = 2(x 1). exemple 44 (à traiter) Procéder de même pour l'exemple 42. # réponse La dérivée du logarithme en 1 est bien 1 : la tangente en (1, 0) a pour équation y = x 1.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 49 "Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement limité s'il existe au point considéré." exemple 45 C'est un usage principal de l'outil "développement limité". Il permet en particulier d'étudier certaines "formes indéterminées" lorsque le recours aux équivalents n'est pas simple (sommes de fonctions). Étude de l'expression : 1 + x + x 2 1 + x x 2 x 2 lorsque x tend vers 0. Calcul préliminaire : DL des deux termes du numérateur. Il faut connaître (formulaire) le DL de 1 + t, t tendant vers 0, puis substituer l'expression voulue. Une des difficultés est qu'il n'est pas toujours facile de prévoir à quel ordre calculer ces DL intermédiaires : il est sans intérêt d'obtenir in fine un DL dont la partie régulière est nulle. Il est également sans intérêt et coûteux en temps de déterminer trop de termes. Ici, on calculera un DL à l'ordre 2 du numérateur pour voir s'il est possible de simplifier avec le dénominateur. On rappelle que : En substituant : 1 + t = 1+ 1 2 t 1 8 t2 + t 2 ε(t).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 50 1 + x + x 2 = 1+ 1 ( 2 x + x2 ) 1 ( 8 x + ) 2 x2 + ( x + x 2 ) 2 ε(x + x 2 ) = 1+ 1 2 x + 1 2 x2 1 8 x2 + x 2 ε(x) = 1+ 1 2 x + 3 8 x2 + x 2 ε(x). 1 + x x 2 = 1+ 1 ( 2 x x2 ) 1 ( 8 x ) 2 x2 + ( x x 2 ) 2 ε(x x 2 ) On obtient donc : = 1+ 1 2 x 1 2 x2 1 8 x2 + x 2 ε(x) = 1+ 1 2 x 5 8 x2 + x 2 ε(x). 1 + x + x 2 1 + x x 2 x 2 = La limite existe et vaut 1. exemple 46 (à traiter) 1 + 1 2 x + 3 8 x2 1 + 1 2 x 5 8 x2 + x2 ε(x) =1 + ε(x). Étudier la limite de l'expression suivante lorsque x tend vers 0 : # réponse e x2 cos(x) x 4. On cherche un DL à l'ordre 4 du numérateur. Les DL à utiliser sont ceux de l'exponentielle (à l'ordre 2) et du cosinus (à l'ordre 4)(formulaire) : D'où le DL de l'expression : e x =1 + x + x2 2 + x2 ε(x), cos(x) =1 x 2 x 2 2 + x4 24 + x4 ε(x).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 51 1 + x 2 + x4 2 1+ x2 2 x4 24 + x4 ε(x) x 4 = 3 2 x2 + 11 24 x4 + x 4 ε(x) = 3 2x 2 + 11 24 + ε(x). Cette expression tend vers + quand x tend vers 0. x 4 "Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il existe, est un équivalent de la fonction." exemple 47 Ainsi, dans les exemples précédents on a obtenu des équivalents des numérateurs : 1 + x + x 2 1 + x x 2 ~ x 2 e x2 cos(x) ~ 3 2 x2 On pourrait en déduire : lim 1 + x + x2 1 + x x 2 = 2 x 0 e x2 cos(x) 3. exemple 48 (à traiter) Chercher un équivalent en 0 de l'expression : sin(x) log(1+x) x 2. # réponse Écrire les DL en 0 des trois termes, à l'ordre au moins 2, 3 par exemple :

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 52 sin(x) = x x3 6 + x3 ε(x), log(1+ x) = x x2 2 + x3 3 + x3 ε(x), x 2 = x 2. L'expression a donc le développement suivant : d'où un équivalent : x3 6 + x2 2 x3 3 x 2 + x 3 ε(x) sin(x) log(1+x) x 2 ~ x2 2. "Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un point x 0. Si ce développement est à l'ordre 1, f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + (x x 0 )ε(x x 0 ), la droite d'équation y = a 0 + a 1 (x x 0 ) est la tangente au graphe de f au point d'abscisse x 0. exemple 49 Soit f l'application définie par : f(x) =1 + x + xsin(x). Écriture de l'équation de la tangente en (0, f(0)) au graphe de f. On trouve facilement le DL à l'ordre 1 de f en 0 : f(x) = 1 + x + xε(x). L'équation de la tangente est donc : y = 1 + x. Remarquer qu'il n'est pas nécessaire de calculer une dérivée.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 53 exemple 50 (à traiter) Déterminer l'équation de la tangente en (0, g(0)) au graphe de l'application g donnée par : x + x 2 g(x) = 1 + x + 2x 2. # réponse Le développement limité à l'ordre 1 est : 2 x + x 1 + x + 2x 2 = 2 2 ( x + x )( 1 x 2x + xε ( x) ) = x + x² ε ( x). Donc la tangente a pour équation y = x. (Comparer avec le calcul de g'(0)). "Si ce développement est à l'ordre 2 : f(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )2 + (x x 0 )2ε(x x 0 ), la position du graphe est donnée par le signe de a 2 (si a 2 0). Si a 2 > 0, le graphe est au-dessus de sa tangente. Si a 2 < 0, le graphe est au-dessous de sa tangente." exemple 51 On peut reprendre l'exemple 49 : f(x) =1 + x + xsin(x). 1 + x + xsin(x) =1 + x + x( x + xε(x) ) = 1+ x + x 2 + x 2 ε(x). La courbe est au-dessus de sa tangente.

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 54 Pour ne pas recommencer le calcul, on déterminera souvent non seulement la partie du premier degré, mais également le premier terme non nul qui suit. exemple 52 (à traiter) Dans l'exemple 50, étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente. # réponse Le développement à l'ordre 2 de g(x) est le suivant : x + x 2 1 + x + 2x 2 = ( x + ) x2 1 ( x + 2x 2 )+ x + 2x 2 = x + x 2 ( ) 2 + x 2 ε(x) ( )( 1 x 2x2 + x 2 + x 2 ε(x) ) = x + x 2 x 2 + x 2 ε(x) = x + x 2 ε(x). Comme on le voit, le terme de degré 2 est nul, on n'obtient donc pas de renseignement sur la position. Généralisant l'énoncé précédent, on cherche le premier terme non nul de degré supérieur à 1 : on remarque que, comme x est en facteur au numérateur, il suffit de calculer l'autre DL à l'ordre 2, ce qui a déjà été fait ci-dessus. x + x 2 1 + x + 2x 2 = ( x + ) x2 1 ( x + 2x 2 )+ ( x + 2x 2 ) 2 + x 2 ε(x) = ( x + x 2 )( 1 x x2 + x 2 ε(x) ) = x + x 2 x 2 x 3 x 3 + x 3 ε(x) = x 2x 3 + x 3 ε(x).

Daniel Alibert Cours et Exercices corrigés Volume 4 55 Il en résulte que la différence d'ordonnées, pour des points d'abscisse x, situés respectivement sur le graphe et sur la tangente, est x 3 + x 3 ε(x). Cette différence change donc de signe selon le signe de x. On en conclut que le graphe traverse la tangente au point de tangence. "Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en + de la forme suivante f(x) = a 1 x + a 0 + a 1 x + ε(x) x. La droite d'équation y = a 1x + a 0 est asymptote à la courbe. Si a 1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote. Si a 1 < 0, la courbe est au-dessous de son asymptote." exemple 53 On note f la fonction définie par : f(x) = 1 + x + x2 1+ x 2. On détermine le comportement de cette fonction en + et en. Développement asymptotique (h = 1 x ) en + : 1 + x + x 2 x 2 1 = x 2 + 1 x +1 1 + x 2 1 x x 2 +1 ( ) 1 h2 = x 1 + h + h 2 = x 1 + h + h2 1 + h 2 2 + h3 ε(h) = x 1+ h + 1 2 h2 + 1 2 h3 + h 3 ε(h) ( ) = x +1 + 1 2x + ε 1 x. x La droite d'équation y = x + 1 est asymptote au graphe en +, le graphe est au-dessus de l'asymptote.