29-3- 2011 J.F.C. Fnpv p. 1 TD 25 2010-2011 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES Lundi 28 mars 2010 Exercice 1 ECRICOME 99 n est un élément de N. (x, y) R 2, f n (x, y) = (x n y) e x y. On se propose de déterminer les extremums éventuels de cette fonction dans les deux cas particuliers n = 2 et n = 1. Q1. a) Justifier que f n est de classe C 2 sur R 2. 1 b) Calculer les dérivées partielles du premier ordre de f n. 1+1 Q2. Ici n = 2. a) Montrer qu il n existe qu un seul point (x 0, y 0 ) de R 2 vérifiant les conditions nécessaires d existence d un extremum. 1+2 (1 pour ouvert) b) Calculer les dérivées partielles d ordre 2 de la fonction f 2 et montrer que le point (x 0, y 0 ) est bien un extremum (?!) dont on précisera la nature. 3+3 Q3. Ici n = 1. a) Montrer qu il existe une infinité de points en lesquels le gradient de f 1 s annule. 1 b) Montrer qu en ces points la fonction f 1 admet un minimum. 1+1+2 Exercice 2 Dans cet exercice on identifie les éléments de R n et de M n,1 (R). A est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont strictements positives. B est un élément de R n et X 0 est l unique élement de R n tel que AX 0 = B. Pour tout élément X de R n on pose : f(x) = 1 2 t XAX t BX = 1 2 < AX, X > < B, X > et on se propose d étudier les extremums de f. Q1. Montrer que si H est un élément non nul de R n : t HAH > 0 (on pourra utiliser une bon de vecteurs propres). Q2. a) Montrer que f est de classe C 2 sur R n. b) (i, j) [1, n] 2 et X est un élément de R n. Calculer successivement f(x), Vérifier que f(x) = AX B. Que dire de 2 f(x)? En déduire que f possède un unique point critique X. Q2. Soit H un élément de R n. Développer f(x + H) f(x ). En déduire que f possède un minimum globale en X. Normal?? f x i (X) et 2 f x j x i (X). Exercice 3 D après EDHEC 2001 On désigne par n et r deux entiers naturels vérifiant n 2 et r 3. On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à r résultats différents R 1, R 2,..., R r de probabilités respectives x 1, x 2,..., x r. On admet que, pour tout i de [1, r ], 0 < x i < 1. On effectue n épreuves indépendantes du type de celle décrite ci-dessus. Pour tout i de [1, r ], on note X i la variable aléatoire qui vaut 1 si le résultat numéro i n est pas obtenu à l issue de ces n épreuves et qui vaut 0 sinon.
J.F.C. Fnpv p. 2 On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n ont pas été obtenus à l issue des n épreuves. 1) a. Exprimer la variable X en fonction de X 1, X 2,..., X r. b. Donner la loi de X i pour tout i de {1, 2,..., r}. c. En déduire que l espérance de X est E(X) = r (1 x i ) n. La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réels x i en lesquelles E(X) admet un minimum local. Aujourd hui on continue au niveau de (*) Abandonnons le gros pipo de Sylvain pour faire les choses sérieusement et surtout arriver à la vraie conclusion. Voir plus bas pour les amateurs... r En clair on cherche un minimum local pour E(X) = (1 x i ) n sous les contraintes x 1 > 0, x 2 > 0,..., x r > 0 et x 1 + x 2 + + x r = 1. Q2. a) Mettre en place les éléments théoriques. b) Trouver l ensemble des points critiques pour l optimisation sous contrainte. c) Montrer que la fonction ϕ : t t n est convexe sur [0, + [. Conclure en utilisant (et en démontrant si vous avez le temps) le lemme suivant : Lemme : g est une fonction convexe sur I. p appartient à N. x 1, x 2,..., x p sont des éléments de I. λ 1, λ 2,..., λ p sont p des réels positifs ou nuls tels que λ k = 1. Alors : g(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ p x p ) λ 1 g(x 1 ) + λ 2 g(x 2 ) + + λ p g(x p ). (*) La suite de EDHEC 2001 2) a. Écrire E(X) comme une fonction, que l on notera f, des (r 1) variables x 1,..., x r 1. La fonction f est donc définie sur l ouvert ( ]0, 1[ ) r 1 de R r 1. b. Montrer que f est de classe C 2 sur ( ]0, 1[ ) r 1. 3) a. Déterminer les dérivées partielles d ordre 1 de f. b. Montrer ( que le seul point de R r 1 en lequel les dérivées partielles d ordre 1 de f s annulent simultanément est le 1 point R = r, 1 r,, 1 ). r 4) Déterminer la matrice M, élément de M r 1 (R), dont l élément situé à l intersection de la ligne i et de la colonne 2 f j est (R). x i x j 5) On pose A = I + J, où I est la matrice unité de M r 1 (R) et J la matrice de M r 1 (R) dont tous les éléments sont égaux à 1. a. Montrer que J est diagonalisable. b. Exprimer J 2 en fonction de J et r. En déduire que les valeurs propres de J sont 0 et r 1. c. Montrer que le sous-espace propre de J associé à la valeur propre r 1 est de dimension 1.
J.F.C. Fnpv p. 3 d. Utiliser une base de M r 1,1 (R) formée de vecteurs propres de J pour montrer que A est diagonalisable et qu il existe une matrice P d inverse t P, telle que A = P D t P où D est la matrice diagonale de M r 1 (R) dont les (r 2) premiers éléments diagonaux sont égaux à 1, celui de la (r 1)ème ligne étant égal à r. 6) a. Déduire des questions précédentes que pour tout H non nul de M r 1,1 (R), t HMH > 0. b. En posant t H = (h 1, h 2,..., h r 1 ), exprimer t HMH en fonction des réels h i et des dérivées partielles d ordre 2 de f au point R. c. En déduire que f présente un minimum local au point R. d. Donner la valeur de E(X) correspondant à ce minimum. Exercice 4 D après ESCP Caractérisation des fonctions convexes. On considère R n muni du produit scalaire canonique noté,. Soit f C 1 (R n, R) une fonction convexe. On veut montrer que pour tout x R n, f(x) est l unique vecteur h R n tel que : y R n, f(y) f(x) + h, y x (1) puis en déduire des propriétés sur les extremums de f. Q1. Soient x et y fixés dans R n et soit ψ l application définie sur [0, 1] à valeurs réelles par : t [0, 1], ψ(t) = f(ty + (1 t)x). a) Montrer que ψ est convexe sur [0, 1]. b) En déduire que ψ(1) ψ(0) ψ (0) puis que h = f(x) vérifie la propriété (1). Q2. Réciproquement, on suppose que h R n vérifie la propriété (1) pour un certain x de R n. En utilisant la dérivée de f en x dans la direction u R n, montrer que : u R n, f(x), u h, u. En déduire que h = f(x). Q3. Montrer que f(x) = 0 si et seulement si f présente un minimum global en x. Q4. On suppose que f possède un maximum global en un point x 0 R n. Montrer que f est constante sur R n. Exercice 5 (-2/3,-1/3,1)). a) (x, y, z) R 3, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy + x 2z. Etudier les extremums de f (mini abs en b) (x, y, z) R 3, f(x, y, z) = x 2 2xy + yz + y z. Etudier les extremums de f ((1,1,1) rien). Exercice 6 ESCP1998 Q1. Soit n un entier supérieur ou égal à 1. On considère l application f de R n dans R définie par : X = (x 1, x 2,..., x n ) R n, f(x) = ( x 2 k + 1 ) 2 x k a) Montrer que f est de classe C 1 sur R n et qu elle possède un unique point critique A = (a 1, a 2,..., a n ). b) Soit H = (h 1, h 2,..., h n ) un élément de R n. Simplifier f(a + H) f(a). c) Etudier les extremums de f. Q2. La durée de vie d une certaine catégorie d ampoules électriques est supposée suivre une loi exponentielle de paramètre inconnu α. Pour estimer α on considère un échantillon de N ampoules de cette catégorie, avec N 2. On
J.F.C. Fnpv p. 4 met en marche, simultanément, au temps 0 ces N ampoules, et on note, pour i [1, N ], X i la variable aléatoire égale à la durée de vie de l ampoule numéro i. Les variables aléatoires X 1, X 2,..., X N sont indépendantes. On se donne un entier r compris entre 2 et N, et on observe alors les r premiers arrêts de fonctionnement. On note pour tout i dans [1, r ], Y i l instant aléatoire du ième arrêt observé. On a donc Y 1 Y 2 Y r. a) Exprimer Y 1 en fonction des X i et déterminer sa loi. On pose Z 1 = Y 1 et i [2, r ], Z i = Y i Y i 1. On admet que Z 1, Z 2,..., Z r sont mutuellement indépendantes et que pour tout i [2, r ], Z i suit une loi exponentielle de paramètre (N i + 1)α. b) On pose U = λ 1 Y 1 + + λ r Y r. Exprimer U comme combinaison linéaire de Z 1,..., Z r. Montrer qu il existe un unique élément (λ 1, λ 2,..., λ r ) de R r tel que U ait la même espérance que X 1 et une variance minimale. Exercice 7 Une machine fonctionne avec deux combustibles, dont les quantités respectives (positives ou nulles) sont exprimées en m 3 et notées x et y. La puissance de la machine est : où k est un réel strictement positif. Q0. Etudier sur R +, ϕ : t t (1 + t) 2 P (x, y) = kxy (1 + x) 2 (1 + y) 2 Q1. Déterminer (x, y) pour que la puissance de la machine soit maximale. Q2. Les combustibles valent tous deux a euros le m 3. On se propose de déterminer (x, y) pour que le rapport puissance prix soit maximal. ϕ(x) ϕ(y) a) On pose : (x, y) (R + ) 2 si (x, y) (0, 0), g(x, y) = x + y 0 si (x, y) = (0, 0) Montrer que g est continue. b) Montrer que si x et y sont deux éléments de R + tels que Max(x, y) 2 alors g(x, y) g(1, 1). c) Résoudre le problème posé. Exercice 8 Dans la suite R 3 est muni de sa base canonique et de sa structure euclidienne canonique. On pose (x, y, z) R 3, f(x, y, z) = (1 + 4xy + 2yz + 2xz + 3z 2 ) e (x2 +y 2 +z 2 ) Q1. A = 0 2 1 2 0 1. Trouver une matrice P de M 3 (R) telle que : 1 1 3 t P P = I 3 et t P AP = 2 0 0 0 1 0 0 0 4 Q2. Soit (x, y, z) un élément de R 3. Trouver une base orthonrmale de R 3 telle que si (x, y, z ) sont les coordonnées de (x, y, z) dans cette base, alors : f(x, y, z) = (1 2x 2 + y 2 + 4z 2 ) e (x 2 +y 2 +z 2 ) Montrer que si r = (x, y, z) alors : (1 2r 2 )e r2 inégalités est une égalité. f(x, y, z) (1 + 4r 2 )e r2. Préciser dans quelles cas l une des
J.F.C. Fnpv p. 5 Q3. Déduire de ce qui précède que f possède un maximum et un minimum et préciser les points où ils sont atteints. Exercice 9 Dans toute la suite n est un élément de [2, + [. Q0. α 1, α 2,..., α n sont n réels. On suppose que l un au moins de ces réels est strictement positif et que l un au moins est strictement négatif. Montrer que la fonction numérique de la variable réelle h : t α k e α k t admet un zéro et un seul dans R. Q1. Montrer que Ω = ( R + ) n est un ouvert convexe de R n. Q2. On pose X = (x 1, x 2,..., x n ) Ω, f(x) = a) Montrer que f est de classe C 2 sur Ω. (x k ln x k ). b) Soit A = (a 1, a 2,..., a n ) un point de Ω. Étudier le signe de la forme quadratique q A associée à la hessienne de f en A. Q3. u 1, u 2,..., u n sont n réels tels que u 1 < u 2 < < u n. v est un réel. a) Montrer que f possède un point critique sous la contrainte n et qu en cas d existence ce point critique est unique. x i = 1 et n b) En supposant que v ]u 1, u n [, montrer que ce point critique correspond à un maximum. u i x i = v si et seulement si v ]u 1, u n [ Exercice 10 On considère la fonction f définie sur ]0, + [ 3 par : (x 1, x 2, x 3 ) ]0, + [ 3, f(x 1, x 2, x 3 ) = 1 4x 1 + 1 x 2 + 1 9x 3 Q1 Justifier que f est de classe C 2 sur ]0, + [ 3. Calculer ses dérivées partielles d ordre 1 et 2. Q2 On note : 2 f(a) = [ 2 f ] (A) x i x la matrice hessienne de f en A = (a 1, a 2, a 3 ). j 1 i,j 3 Justifier que, pour tout A ]0, + [ 3, pour toute matrice colonne H à trois lignes, non nulle, on a : t H 2 f(a)h > 0 Q3 f admet-elle des extremums sur ]0, + [ 3? Q4 On cherche désormais les extremums de f sous la contrainte x 1 + x 2 + x 3 = 110. a) Mettre en place tous les éléments pour traiter ce problème. b) Montrer que f admet un unique point critique sous cette contrainte : A = (30, 60, 20) c) Rappeler le théorème du programme concernant la formule de Taylor-Lagrange à l ordre 1. d) Montrer que f admet en A minimum global sous la contrainte proposée.