LES SUITES. 1 Dénitions générales

LES SUITES Objectifs Connaître les dénitions générales. Savoir calculer une limite. Connaître les théorèmes généraux de convergence. Connaître les notions de suites négligeables et de suites équivalentes. 1 Dénitions générales 1.1 Dénitions d'une suite Dénition 1. Une suite de nombres réels (ou plus simplement une suite réelle) est une famille (u n ) n N de réels indexée par l'ensemble N des entiers naturels. On dit que u n est le terme général de la suite (u n ) n N. En d'autres termes, donner une suite réelle revient donc à donner une application : N R n u n Remarque 1. Pour des raisons de commodité, le terme général u n n'est parfois déni qu'à partir d'un certain rang n 0. On note alors la suite (u n ) n n0. Dans tout ce chapitre, tout ce qui est dénie à partir de 0 est facile à transposer pour n 0. Dénition 2. Soit P une propriété portant sur les suites réelles. On dit qu'une suite (u n ) n N satisfait P à partir d'un certain rang si et seulement s'il existe un entier naturel n 0 tel que la suite (u n ) n n0 satisfait la propriété P. Parmi les multiples manières de dénir une suite, on utilise souvent le principe de récurrence. (u n ) n N est alors dénie par son premier terme u 0 est une relation de récurrence du type n N, u n+1 = f (u n ) où f est une fonction de la variable réelle. Exemple 1. fondamental : Suites arithmétiques et suites géométriques. Soit r R. Une suite arithmétique de raison r est une suite (u n ) n N donnée par le premier terme u 0 est la relation de récurrence : n N, u n+1 = u n + r 1 JA-ML-JMB

On a alors : n N, u n = u 0 + nr Soit q R. Une suite géométrique de raison q est une suite (u n ) n N donnée par le premier terme u 0 est la relation de récurrence : On a alors : n N, u n+1 = qu n n N, u n = u 0 q n Il faut retenir la formule donnant la somme des N + 1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q = 1 : N N u n = u 0 q n 1 q N+1 = u 0 1 q n=0 n=0 Remarque 2. Dans certains cas, la fonction f intervenant dans la relation de récurrence n'est pas dénie sur R entier. Il faut alors s'assurer, au besoin en discutant sur u 0 que la suite (u n ) n N est bien dénie. Exercice 1. Montrer que la suite (u n ) n N dénie par son premier terme u 0 est par la relation de récurrence : n N, u n+1 = u n + 2 est bien dénie si et seulement si u 0 2 Exercice 2. Montrer que la suite (v n ) n N dénie par son premier terme v 0 est par la relation de récurrence : n N, v n+1 = v n 2 n'est bien dénie pour aucune valeur de v 0. 1.2 Suites majorées, minorées, bornées Dénition 3. une suite réelle. 1. On dit que la suite (u n ) n N est majorée si et seulement s'il existe un réel M vériant : n N, u n M 2. On dit que la suite (u n ) n N est minorée si et seulement s'il existe un réel m vériant : n N, u n m 3. On dit que la suite (u n ) n N est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Remarque 3. La suite (u n ) n N est bornée si et seulement si ( u n ) n N est majorée, c'est à dire si et seulement s'il existe un réel M 0 vériant : n N, u n M Cette propriété très utilisée a en plus le mérite de pouvoir être utilisée avec les suites complexes. 2 JA-ML-JMB

1.3 Sens de variation Dénition 4. une suite réelle. 1. On dit que (u n ) n N est croissante (respectivement strictement croissante) si et seulement si on a : n N, u n u n+1 (respectivement n N, u n < u n+1 ) 2. On dit que (u n ) n N est décroissante (respectivement strictement décroissante) si et seulement si on a : n N, u n u n+1 (respectivement n N, u n > u n+1 ) 3. On dit que (u n ) n N est monotone (respectivement strictement monotone) si et seulement si elle est croissante ou décroissante (respectivement strictement croissante ou strictement décroissante). 4. On dit que (u n ) n N est constante si et seulement si on a : n N, u n = u n+1. On dit que (u n ) n N est stationnaire si et seulement si elle est constante à partir d'un certain rang. Remarque 4. Lorsque (u n ) n N est une suite à termes tous strictement positifs, il est parfois utile d'utiliser la forme équivalente suivante de la dénition : (u n ) n N est croissante n N, u n+1 u n 1 (u n ) n N est décroissante n N, u n+1 u n 1 Exercice 3. Montrer que la suite (u n ) n N dénie par : n N, u n = majorée. n k=1 1 est strictement croissante et k2 2 Convergence d'une suite 2.1 Limite nie d'une suite Dénition 5. une suite réelle et l R. On dit que la suite (u n ) n N converge vers l et on note : lim u n = l ou u n l si et seulement si : ε > 0, N N, n N, u n l ε On retrouve donc la dénition avec ε que l'on a déjà vue avec les fonctions. Ainsi, u n l pour tout ε > 0, u n fournit à partir d'un certain rang une valeur approchée de l à la précision ε Remarque 5. La manière dont N dépend de ε caractérise ce que l'on appelle la vitesse de convergence de la suite. Propriété 1. Si u n l alors u n l 3 JA-ML-JMB

Exercice 4. Soit la suite (u n ) n N dénie par son premier terme u 0 = 0 est par la relation de récurrence : n N, u n+1 = u n + 2. 1. Montrer que pour tout n N, u n est bien déni et positif. Donner des valeurs décimales approchées des 10 premiers termes de la suite. 2. Montrer que : n N, u n+1 2 1 2 u n 2. En déduire une majoration de u n 2 valable pour tout n. 3. En déduire que u n 2 ; pour ε > 0, donner un entier N pour lequel : n N, u n 2 ε. Proposition 1. Unicité de la limite une suite réelle. On suppose u n l et u n l alors l = l. 2.2 Limite innie d'une suite Dénition 6. une suite réelle. On dit que (u n ) n N tend vers + (respectivement ) et on note u n + (respectivement u n ) si et seulement si : A R, N N, n N, u n A (respectivement A R, N N, n N, u n A ). Dénition 7. une suite réelle. On dit que la suite (u n ) n N est divergente si elle n'est pas convergente, c'est à dire si la limite n'existe pas ou si elle est innie. Exercice 5. une suite géométrique de raison q = 0 avec u 0 = 0, montrer que : 1. si q < 1 alors u n 0 2. si q = 1 alors u n u 0 (la suite est constante) { + si u0 > 0 3. si q > 1 alors u n si u 0 < 0 2.3 Propriétés des limites 2.3.1 Limites et inégalités Théorème 1. Passage des inégalités larges à la limite et (u n) n N deux suites réelles qui convergent respectivement vers les réels l et l. On suppose qu'il existe un certain rang n 0 à partir duquel n n 0, u n u n, alors l l. 4 JA-ML-JMB

Théorème 2. Théorème des gendarmes, (v n ) n N, (w n ) n N trois suites réelles et l un réel. On suppose que u n l et et on suppose qu'il existe un certain rang n 0 à partir duquel n n 0, u n v n w n w n l alors v n l Théorème 3. Théorème de comparaison 1. deux suites réelles. On suppose : u n + et on suppose qu'il existe un certain rang n 0 à partir duquel n n 0, u n v n alors v n + 2. deux suites réelles. On suppose : v n et on suppose qu'il existe un certain rang n 0 à partir duquel n n 0, u n v n alors u n Exercice 6. Montrer que la suite (u n ) n N Exercice 7. Montrer que n! + dénie par : n 1, u n = 1 + ( 1)n n 2 + 1 converge vers 1. Exercice 8. Pour tout n 1, on note x n l'unique solution dans R + de l'équation : x n + nx 1 = 0. Montrer que x n 0. 2.3.2 Limites et opérations On peut réutiliser ici, tous les tableaux des limites pour les fonctions. Exercice 9. On considère les suites de termes généraux u n = cos n et v n = sin n. 1. Montrer que si l'une de ces deux suites converge, l'autre converge aussi. 2. Montrer que ces deux suites sont divergentes. 2.3.3 Limite d'une suite et fonction continue Théorème 4. si f est continue en a, et si lim u n = a, alors lim f (u n) = f (a). 5 JA-ML-JMB

2.4 Convergence des suites monotones Théorème 5. Théorème de la limite monotone 1. une suite croissante. Si cette suite est majorée, alors elle est convergente et on a : lim u n = sup {u n n N} Si elle n'est pas majorée, alors elle tend vers + 2. une suite décroissante. Si cette suite est minorée, alors elle est convergente et on a : lim u n = inf {u n n N} Si elle n'est pas minorée, alors elle tend vers 2.5 Suites adjacentes Dénition 8. deux suites réelles. On dit que ces suites sont adjacentes si et seulement si les deux conditions suivantes sont réunies : 1. Elles sont monotones et de sens de variations opposés. 2. u n v n 0 Théorème 6. des suites adjacentes deux suites réelles adjacentes. Alors elles sont convergentes et ont la même limite. De plus leur limite commune est comprise pour tout n entre u n et v n. Exercice 10. Pour tout n 1, on pose : u n = 1 + 1 1! + 1 2! + + 1 n! et v n = u n + 1 n.n!. Montrer que les suites (u n ) n N sont adjacentes. Leur limite commune est le nombre e. Nous le démontrerons l'an prochain. 2.6 Suites extraites Dénition 9. La suite (v n ) est une suite extraite de la suite (u n ) s'il existe une application φ strictement croissante de N vers N telle que : n N v n = u φ(n) Dans la pratique, nous utiliserons beaucoup les suites extraites d'indices pairs et impairs c'est à dire les sous-suites : (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N Théorème 7. une suite réelle. On suppose que u 2n l et u 2n+1 l alors u n l Exercice 11. Étudier la convergence de la suite réelle (u n ) n N dénie par : u n = ( 1) n sin ( ) 1 n Théorème 8. Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite. 6 JA-ML-JMB

Remarque 6. On peut utiliser la contraposée du théorème précédent pour démontrer qu'une suite (u n ) n'est pas convergente : d'exhiber une suite extraite non convergente. ou d'exhiber deux suites extraites convergeant vers des limites diérentes. Exemple 2. Nature de la suite ((u n ) dénie par : u n = ( 1) n et de (v n ) dénie par : v n = cos n π ). 4 3 Suites récurrentes réelles u n+1 = f (u n ) 3.1 Dénition Soit f une fonction réelle dénie sur un intervalle I de R tel que I soit stable par f i.e. f (I) I et soit a I. La suite (u n ) dénie par u 0 = a et n N, u n+1 = f (u n ) est un exemple de suite récurrente. 3.2 Sens de variation Propriété 2. Si f est croissante sur I, alors (u n ) est une suite monotone : croissante si f (u 0 ) u 0 i.e. si u 1 u 0. décroissante si f (u 0 ) u 0 i.e. si u 1 u 0. Remarque 7. Si f est décroissante sur I, alors les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones. Démonstration : g = f f est croissante sur I. 3.3 Convergence Propriété 3. Si I est borné et si f est croissante, alors quel que soit u 0 I, la suite (u n ) est convergente. Propriété 4. Si f est continue sur I et si (u n ) converge vers l I, alors f (l) = l i.e. l est un point xe de f. Exercice 12. On considère la suite (u n ) n N dénie par son premier terme u 0 = 2 et la relation de récurrence : n N, u n+1 = 1 ) (u n + 3un 2 1. Montrer que la suite (u n ) n N est bien dénie. 2. Montrer que (u n ) n N est minorée par 3 3. Étudier le sens de variation de (u n ) n N puis montrer qu'elle converge vers 3 4. Pour n 1, montrer que : u n 3 1 ( u n 1 2. 3) En déduire une majoration de un 2 en fonction de n. Que dire alors sur la vitesse de convergence de la suite (u n ) n N? 7 JA-ML-JMB

4 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Théorème 9. Suites récurrentes doubles On considère la suite (u n ) n N dénie par ses 2 premiers termes u 0 et u 1 et la relation de récurrence : n N, u n+2 = au n+1 + bu n a et b étant des réels. On appelle équation caractéristique, l'équation (EC) : x 2 ax b = 0. On considère les deux solutions α et β de cette équation : Si α et β sont deux réels distincts, c'est à dire Δ = a 2 + 4b > 0, il existe alors deux constantes réelles A et B telles que : n N, u n = Aα n + Bβ n Si α et β sont deux réels égaux, c'est à dire Δ = a 2 +4b = 0, il existe alors deux constantes réelles A et B telles que : n N, u n = (An + B)α n Si α et β sont deux complexes conjugués, c'est à dire Δ = a 2 + 4b < 0, ils peuvent donc être écrits : α = ρe iθ et β = ρe iθ. Il existe alors deux constantes réelles A et B telles que : n N, u n = ρ n (A cos(nθ) + B sin(nθ)) Dans chaque cas, les constantes A et B sont obtenues en résolvant un système de deux équations à deux inconnues en fonction de u 0 et u 1. Exercice 13. On considère la suite de Fibonacci (u n ) n N dénie par ses premiers termes u 0 = u 1 = 1 est la relation de récurrence : n N, u n+2 = u n+1 + u n Donner une expression de u n en fonction de n. 5 Comparaison des suites 5.1 Suites dominées - Suites négligeables Dénition 10. deux suites réelles. 1. On dit que (u n ) n N est dominée par (v n ) n N lorsque n + si et seulement si : C > 0, N N, n N, u n C v n On note : u n = O (v n) ou tout simplement u n = O(v n ). 2. On dit que (u n ) n N est négligeable devant (v n ) n N lorsque n + si et seulement si : ε > 0, N N, n N, u n ε v n On note : u n = o (v n) ou tout simplement u n = o(v n ). On dit aussi que u n est inniment petit par rapport à v n et que v n est inniment grand par rapport à u n lorsque n +. 8 JA-ML-JMB

Propriété 5. Si n N, v n = 0 : u n = O(v n ) la suite u n = o(v n ) u n v n 0 ( un v n ) n N est bornée. Proposition 2., (v n ) n N et (w n ) n N trois suites réelles. 1. Si u n = O(v n ) et v n = O(w n ) alors u n = O(w n ) 2. Si u n = o(v n ) et v n = o(w n ) alors u n = o(w n ) 3. Si u n = O(v n ) et si w n = O(v n ) alors u n + w n = O(v n ) 4. Si u n = o(v n ) et si w n = o(v n ) alors u n + w n = o(v n ) 5. Si u n = O(v n ) et si w n = O(v n ) alors u n.w n = O(v n ) 6. Si u n = o(v n ) et si w n = o(v n ) alors u n.w n = o(v n ) 7. Supposons que les termes u n et v n sont > 0. Si u n = O(v n ) alors pour tout α > 0 on a : u α n = O(v α n) 8. Supposons que les termes u n et v n sont > 0. Si u n = o(v n ) alors pour tout α > 0 on a : u α n = o(vn) α 9. Supposons que les termes u n et v n sont tous non nuls. Si u n = O(v n ) alors 1 ( ) 1 = O v n u n 10. Supposons que les termes u n et v n sont tous non nuls. Si u n = o(v n ) alors 1 ( ) 1 = o v n Proposition 3. une suite réelle qui tend vers +. 1. Si α < β alors u α n = o ( u β n) en d'autres termes, c'est la puissance la plus grande qui est inniment plus grande. 2. Si 0 < a < b alors a u n = o (b u n ) 3. ln(u n ) = o(u n ) et u n = o (e u n ). Ce sont les croissances comparées! Exercice 14. Montrer que n! = o(n n ) Exercice 15. Soient a, b > 1. Montrer que la suite (n n ) est négligeable par rapport à la suite ( a bn ). u n 5.2 Suites équivalentes 5.2.1 Dénition Dénition 11. deux suites réelles. On dit que (u n ) n N est équivalente à (v n ) n N lorsque n + si et seulement si on a : u n v n = o(v n ). On note u n v n ou plus simplement + u n v n. 9 JA-ML-JMB

On dit également que u n est un équivalent de v n. Ainsi, une caractérisation simple de l'équivalence, lorsque les termes de la suite (v n ) n N sont non nuls est : u n v n u n + v 1 n Remarque 8. Attention Danger! Ne pas confondre les propriétés u n + v n et u n v n 0. Il n'existe aucune relation d'implication entre elles deux. En eet : Prenons u n = 1 n et v n = 1 n 2 alors u n v n 0 mais u n + = 1 u n v n + Prenons u n = n 2 + n et v n = n 2 alors u n = 1 + 1 v n n 1 u n v n. Et pourtant : u n v n = n ne tend pas vers 0! Proposition 4., (v n ) n N et (u n ) n N des suites réelles. 1. Si u n v n alors u n v n 2. Si u n v n alors u n = O(v n ) et v n = O(u n ) 3. Si u n v n alors v n u n 4. Si u n v n et v n w n alors u n w n. 5. Si u n v n alors pour tout l [ ; + ] on a : u n l v n v n l 6. Soit l R et supposons u n l. Si l = 0 alors u n l. Si l = 0 alors u n est nul à partir d'un certain rang. 5.2.2 Recherche pratique d'équivalents Attention, la notion d'équivalence est compatible avec la multiplication mais pas avec l'addition ni la composition qui demandent une attention particulière. Proposition 5., (v n ) n N, (u n) n N, (v n) n N des suites réelles. 1. Si u n v n et u n v n alors u nu n v n v n. 2. Si de plus u n = 0 à partir d'un certain rang alors : u n u n v n v n Remarque 9. Attention Danger! En revanche, on ne peut en général pas dire grand chose pour la somme. Par exemple : n2 + 1 n et n n mais en additionnant on obtient 1 0 ce qui est n n bien entendu faux. On peut néanmoins énoncer cette{ règle à manier avec précaution : (λ + μ) an si λ + μ = 0 Supposons u n λa n et v n μa n alors u n + v n??? si λ + μ = 0 Exercice 16. Chercher un équivalent de u n = 1 n + 1 1 2n + 1 + 4 2n 3 7 3n + 5 10 JA-ML-JMB

Remarque 10. Attention Danger! Pour la composition, il en va de même. En général même si on a u n v n alors on a pas le droit d'armer pour une fonction φ quelconque de I dans R que φ(u n ) φ(v n ). Malgré tout on a : Proposition 6. 1. deux suites réelles à valeurs positives strictement et α un réel. Si u n v n alors u α n v α n 2. une suite de réels qui converge vers 0. (a) e un 1 u n ; ln(1 + u n ) u n ; si α R : (1 + u n ) α 1 + αu n (b) sin u n u n ; sh u n u n ; tan u n u n ; th u n u n (c) Arcsin u n u n ; Arctan u n u n ; Argsh u n u n ; Argth u n u n (d) 1 cos u n u2 n 2 ; ch u n 1 u2 n 2 Exercice 17. ( ) n ln(n + 1) Donner un équivalent simple de u n = 1 ln n Exercice 18. Donner un équivalent simple de la suite u n = Exercice 19. Déterminer la limite de la suite u n = e n ch 4 n 4 + 1 ( 2 cos 1 ) 2 n 11 JA-ML-JMB

6 Exercices Exercice 20. Déterminer la valeur de u n lorsque la suite (u n ) n N est donnée par : 1. u 1 = 5 et n N, u n+1 = n 2 u n 2. n N, u n+1 = e n 2 u n 3. u 1 = 1et n N, u n+1 = n n + 1 u n 4. n N, u n+1 = 2u n + 2 n 5. n N, u n+1 = (u n ) 2 Exercice 21. Soit la suite (u n ) n N dénie par u 1 = 2, u 2 = 3 et : n N, u n+2 = 2n + 2 n + 2 u n+1 + n n + 2 u n En utilisant la suite (v n ) n N dénie par v n = nu n, déterminer l'expression de u n en fonction de n. Exercice 22. Soit la suite (u n ) n N dénie par u 0 = 2 et : n N, u n+1 = 1 2 u n + 2 1. Montrer que la suite (v n ) n N dénie par : v n = u n 4 est une suite géométrique. En 3 déduire l'expression de v n, puis celle de u n en fonction de n. 2. Trouver la limite de (u n ) n N. 3. Calculer en fonction de n la somme : S n = n u k puis lim S n Exercice 23. Que penser-vous de l'énoncé suivant : si (u n ) (v n ) alors (e u n ) (e v n ). Donner un énoncé correct. Exercice 24. 1. Montrer que si n N u n = 0 et si (u n ) 0 alors ln(1 + u n ) u n. k=0 2. Soit a un réel. Déterminer la limite de (1 + a n )n. Exercice 25. Comparer les suites suivantes : a n = n n, b n = n ln(n), c n = e n2 n ln n, d n = (ln n) Exercice 26. Étude de (u n ) n N dénie par : Donner un équivalent de u n quand n. u 0 [0, 1], u n+1 = u 2 n. Exercice 27. Étudier la suite (u n ) n N dénie par u 0 = 1 et n N u n+1 = u n + 2 u n. En utilisant v n = u2 n 4, donner un équivalent de u n. Indication : on montrera que lim v n+1 v n = 1, n on en déduira un équivalent de v n puis de u n. 12 JA-ML-JMB

Exercice 28. Calculer la somme des n premiers nombres impairs. Exercice 29. Soit la suite (u n ) n N dénie par u 0 = 5 et : n N, u n+1 = 2u n n 2 1. Déterminer une suite (v n ) n N arithmétique vériant n N, v n+1 = 2v n n 2. 2. A l'aide de la suite (w n ) n N telle que : w n = u n v n, déterminer l'expression de u n en fonction de n. Exercice 30. la suite géométrique de raison -2 et de premier terme 3. Écrire l'équation du second ) degré x 2 + p n x + q n ayant pour racines u n et u n+1. Vérier que la suite ( pn q n n N est géométrique. Exercice 31. la suite dénie par u 0 > 0 et par la relation n N, u n+1 = 1 + nu n 1. Vérier que la suite (u n ) n N est bien dénie ainsi que la suite (v n ) n N donnée par : n N, v n = 1 1 u n+1 u n 2. En utilisant (v n ) n N, déterminer u n en fonction de u 0 et de n et déterminer sa limite quand n tend vers l'inni. Exercice 32. u n 1. Soient les suites (u n ) n N dénies par : u 0 = 2, v 0 = 3 et par : n N, u n+1 = u n 2v n et v n+1 = u n + 4v n. En utilisant les suites (a n ) n N et (b n ) n N dénies par : a n = u n + v n et b n = u n + 2v n, déterminer l'expression de (u n ) n N en fonction de n. 2. Soient les suites (u n ) n N dénies par : u 0 = 2, v 0 = 3 et par : n N, u n+1 = 3u n 5v n et v n+1 = u n 3v n. Vérier qu'il existe deux valeurs de a pour lesquelles la suite (w n ) n N dénie par w n = u n + av n est une suite géométrique. En déduire l'expression de (u n ) n N en fonction de n. 3. Soient les suites (u n ) n N dénies par : u 0 = 2, v 0 = 3 et par : n N, u n+1 = u n + 3v n et v n+1 = u n v n. Vérier que les suites (u n ) n N vérient une relation de récurrence linéaire du second ordre à coecients constants. En déduire l'expression de (u n ) n N en fonction de n. Exercice 33. On appelle suite arithmético-géométrique, toute suite (u n ) n N dénie par son 1er terme u 0 et par une relation du type : n N, u n+1 = au n + b où a et b sont deux réels xés. 1. Exprimer u n en fonction de n lorsque a = 1. 2. On suppose a = 1 (a) Vérier que l'équation l = al + b admet une unique solution l. (b) On pose w n = u n l. Vérier que (w n ) n N est une suite géométrique. (c) Exprimer u n en fonction de a, b, n, u 0. 13 JA-ML-JMB

(d) Déterminer la valeur de Exercice 34. Soit u n = n k=0 n u k en fonction de a, b, n, u 0. k=0 k 5. Montrer que u n n 7 0 n 1 Exercice 35. Soit la suite (u n ) n N dénie par u n = k=1 (n + k) (n + k + 1) Montrer que la suite (u n ) n N est convergente et donner un encadrement de sa limite. Exercice 36. On pose S n = n ( 1) k, u n = S 2n, v n = S 2n+1. k k=1 Montrer que les suites (u n ) n N sont adjacentes. En déduire la convergence de la suite (S n ) n N Exercice 37. Soit la suite (u n ) n N dénie par u 0 = 1 et : n N, u n+1 = 1 4 u2 n + 1 1. Montrer par récurrence que la suite (u n ) n N est croissante. 2. Montrer par récurrence que la suite (u n ) n N est majorée par 2. Conclure? 3. Calculer lim u n. 4. Que se passe t-il si on prend u 0 = 3? Exercice 38. Soit la suite (u n ) n N dénie par u 0 = 1 2 et : n N, u n+1 = 2u n 1. Étudier la fonction f(x) = 2x pour tout x 0. 2. Montrer par récurrence que la suite (u n ) n N est croissante. 3. Montrer par récurrence que la suite (u n ) n N est majorée par 2. Conclure? 4. Calculer lim u n. 5. Utiliser la courbe représentative de f(x) = 2x pour vérier ces résultats. Exercice 39. Soit u 0 = a > 0 et u n+1 = 1 + u n 2 u n 1. Étudier la fonction f(x) = 1 + x 2 x pour tout x > 0. 2. Montrer que n 1, u n 1 (étudier le signe de u n 1 grâce à la relation de récurrence). 3. Montrer que n N, u n+1 u n. En déduire que la suite (u n ) n N est décroissante à partir du rang 1. 4. Montrer que (u n ) n N est convergente et calculer sa limite l. 5. Vérier les résultats grâce à la courbe de f(x) = 1 + x 2 x 14 JA-ML-JMB