GNI LCIQU Conversion saique d énergie Michel Piou Conversion DC AC (onduleurs Chapire III diion 4// xrai de la ressource en ligne PowerlecPro sur le sie Inerne
able des maières POUQUOI COMMN?... CONVISSU DC AC N UN SOUC NSION CONSAN UN CHAG.L. SI... 3 ONDULU D NSION MONOPHAS A MODULAION D LAGU D'IMPULSION... 6 4 ONDULU D NSION MONOPHAS N DMI-PON... 8 5 ONDULU D NSION AVC ANSFOMAU A POIN MILIU (PUSH-PULL... 6 ONDULU D NSION IPHAS N PON A UN CNAU PA ALNANC... 7 ONDULUS D COUAN... 3 8 POBLMS XCICS... 4 Chap 3. xercice : Onduleur monophasé... 4 Chap 3. xercice : Four à inducion alimené par un onduleur auonome... 6 Chap 3. xercice 3 : Onduleur assisé monophasé... 9 9 ANNX : LS SIS D FOUI... 9. La série de Fourier d une foncion périodique... 9. Puissance acive dans un dipôle lorsque v( e i( son périodiques de même période... 4 9.3 Valeur efficace... 5 C QU J AI NU D C CHAPI... 6 PONSS AUX QUSIONS DU COUS... 7 Copyrigh : drois e obligaions des uilisaeurs Ce documen es exrai de la ressource PowerlecPro qui es disponible en version numérique sur le sie Inerne IU en ligne Je ne renonce pas à ma qualié d'aueur e aux drois moraux qui s'y rapporen du fai de la publicaion de mon documen. Les uilisaeurs son auorisés à faire un usage non commercial, personnel oollecif, de ce documen e de la ressource PowerlecPro, noammen dans les aciviés d'enseignemen, de formaion ou de loisirs. ou ou parie de cee ressource ne doi pas faire l'obje d'une vene - en ou éa de cause, une copie ne peu pas êre facurée à un monan supérieur à celui de son suppor. Pour ou exrai de ce documen, l'uilisaeur doi mainenir de façon lisible le nom de l aueur Michel Piou, la référence à PowerlecPro e au sie Inerne IU en ligne. Michel PIOU - Agrégé de génie élecrique IU de Nanes - FANC
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - POUQUOI COMMN? Prérequis : Le premier chapire «inroducion à l élecronique de puissance» e le second chapire «Conversion DC DC. Converisseurs à liaison direce e indirece» Objecifs : Dans les chapires précédens, nous avons découver une démarche pour déerminer la srucure des converisseurs à liaison direce e indirece. Nous allons coninuer à exploier cee méhode pour d aures siuaions. Dans ce chapire, nous merons égalemen l accen sur l uilisaion des «séries de Fourier». Méhode de ravail : L uilisaion des séries de Fourier consiuera l élémen nouveau de ce chapire. On rerouvera les connaissances à assimiler sur ce suje dans l Annexe : les séries de Fourier. Un cerain nombre de résulas son présenées dans cee annexe. Il es imporan de les apprendre par cœur dès mainenan car ces connaissances son aujourd hui fondamenales dans le méier d élecronicien de puissance. Comme les précédens, ce chapire mobilise les connaissances sur les bases de l élecricié. Il es donc imporan de le ravailler page après page pour acquérir l enraînemen à l uilisaion de ces lois dans des conexes divers. ravail en auonomie : Pour permere une éude dours de façon auonome, les réponses aux quesions dours son données en fin de documen. On rouvera des complémens dans la ressource en ligne «PowerlecPro» emps de ravail esimé pour un apprenissage de ce chapire en auonomie : h
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - LA CONVSION DC AC CONVISSU DC AC N UN SOUC NSION CONSAN UN CHAG.L. SI. (ude en régime permanen périodique i e Converisseur à liaison direce i c L A parir d une source ension consane, on veu alimener en régime alernaif une charge.l. série. La charge.l. consiuan une charge couran, on uilise un converisseur à liaison direce. La ension ( doi vérifier le graphe suivan ( : + o - a ude des courans i c ( e i e ( en régime périodique: Déerminer la valeur de U cmoy, en déduire la valeur de I cmoy. (éponse : Le couran i c ( es consiué de morceaux d exponenielles. eprésener ci-dessous son allure en régime périodique en indiquan les expressions des asympoes. (On pose i ( = Io. Le converisseur à liaison direce conservan la puissance insananée, en déduire l allure de i e(. (éponse : i c + Io c o o - Io + Io i e o - Io ( L origine des emps a éé fixée de façon à consiuer une foncion impaire (ce qui présenera un inérê pour la suie.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 3 b ude donverisseur à liaison direce (réalisan la foncion «onduleur». Sélecionner parmi les rois siuaions suivanes celles qui son nécessaires à la réalisaion de la ension (. n déduire la srucure donverisseur à mere en œuvre. (éponse 3: i c i c i c Pas d échange d énergie siuaion N change d énergie siuaion N change d énergie siuaion N 3 Sous le graphe de ( ci-dessous, aribuer chaque inervalle de conducion à l un des inerrupeurs (. (éponse 4: + o - ( Le choix des inervalles es éabli de façon à équilibrer le foncionnemen des inerrupeurs e simplifier leur commande.
c ude harmonique de ( e de i c (. PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 4 Les signaux ( e i c ( éan périodiques, il es possible d en calculer la décomposiion harmonique (ou décomposiion en série de Fourier. Cee approche es d un grand inérê, car après avoir franchi la difficulé héorique, elle perme de rouver rès rapidemen une approximaion des grandeurs périodiques recherchées. L éude plus précise peu ensuie êre effecuée au moyen de logiciels de simulaion. (L expérience monre que l uilisaion de logiciels de simulaion es inefficace si on ne possède pas au préalable une esimaion des grandeurs. Au besoin, on se reporera à l Annexe : les séries de Fourier page Pour pouvoir comparer l éude harmonique avec l éude des signaux réels, on adope le cas pariculier suivan : L L La consane de emps es choisie elle que sa valeur soi de ½ période : = e la valeur de o es elle que o =. 8 Par un calcul relaivemen long, on monre que dans ce cas = 3,48.I o. Sachan que ic( o = Io, représener dans ce cas le graphe de i c (. (Uiliser les asympoes e les angenes à l origine. (éponse 5: + o - + Io i c α o o - Io π θ Dans le cas général (pour o quelconque el que o, calculer la décomposiion en série 4 o de Fourier de la foncion ( en foncion de l'angle α o = ω. o = π. (en prenan l'origine des emps ou des angles comme indiqué sur le graphe de (. (On remarque que ( es une foncion impaire e présene une symérie de glissemen. Sur un même graphe, représener l'ampliude crêe des rois premiers harmoniques non nuls de π ( en foncion de α o. < αo <. (éponse 6:
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 5 La foncion ( aux bornes dircui L peu donc êre remplacée par une somme de foncions alernaives sinusoïdales. Pour déerminer i c (, il es possible d'uiliser le héorème de superposiion (car le réseau élecrique considéré es linéaire en calculan successivemen les harmoniques de i c ( engendrés par les différens harmoniques de ( : ic L ic L uc uc uc3 ucn ic Lω ic3 3Lω icn nlω... uc uc3 L'impédance dircui L a un module qui croî avec la fréquence. L'ampliude des harmoniques de ( rese limiée à une valeur maximum qui décroî avec la fréquence. π Pour α o = (cas pariculier reenu, le couran i c ( es donc proche de son harmonique 4 fondamenal (ou premier harmonique. L oujours avec l'hypohèse =,exprimer l'impédance Z du dipôle L à la fréquence du π fondamenal en foncion de. n déduire le fondamenal ic ( de la foncion i c ( pour α o = 4 en foncion de e. (en prenan l'origine des emps ou des angles comme indiqué sur le graphe de (. ucn Sachan que = 3,48.I o, représener l'allure de i sur le même graphe que i. c ( c( ic ( consiue l'approximaion de i c ( "au premier harmonique" (on se conene souven de cee approximaion. (éponse 7: π xprimer l'ampliude Ic du second harmonique non nul i pour 3max c 3 ( α o = en foncion de 4 Ic3max e, e calculer dans ce cas. Ic (éponse 8: max
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 6 3 ONDULU D NSION MONOPHAS A MODULAION D LAGU D'IMPULSION (3 (ude en régime permanen périodique La loi de commande uilisée dans l'onduleur précéden offrai un seul degré de liberé (le paramère α o (4. Ce degré de liberé éai uilisé pour faire varier le fondamenal ic (. i e vk ik k vk ik k i c L vk ik k vk ik k Si on veu en plus annuler les harmoniques de rang 3, 5 e 7 (de façon que le couran ic( soi plus proche d'une sinusoïde, il fau créer rois nouveaux degrés de liberés (5 en effecuan un découpage plus complexe de la ension uc(. La loi de commande adopée es donnée sur la feuille de réponse ci-après. (inervalles de fermeure des inerrupeurs en rais fors a eprésener sur cee feuille la ension ( ω.. (la variable ω. (avec ω. = la variable "" pour facilier les calculs ulérieurs π a éé préférée à b xprimer la valeur efficace de ( ω. en foncion de θ, θ, θ 3, θ 4.e. c Cee ension ( ω. peu êre obenue en effecuan la somme de quare foncions à un créneau par alernance: ( θ, ω. u ( θ, ω. + u ( θ, ω. u ( θ, ω.. uca ucc( 3 uca cb cc 3 cd 4 ( θ, ω. es représenée sur la feuille de réponse ci-joine. eprésener ( θ, ω. θ, ω. e ucd ( θ 4, ω.. (éponse 9: ucb (3 di "onduleur MLI" ou "onduleur PWM" (pour Pulse Widh Modulaion (4 degré de liberé: paramère don on pehoisir la valeur. (5 Donc au oal quare degrés de liberé que nous nommerons: θ, θ, θ 3 e θ 4.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 7 Onduleur monophasé à modulaion de largeur d'impulsion (réponses k k k k θ θ θ 3 θ 4 π/ 3π/ π π θ = ω - a θ = ω - b θ = ω - c θ = ω - d θ = ω -
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 8 d xprimer la décomposiion en série de Fourier de la foncion ( θ, ω.. uca n déduire la décomposiion en série de Fourier de ( ω. en foncion de θ, θ, θ 3, θ 4, e π ω. =. ablir les relaions enre θ, θ, θ 3 e θ 4. permean d'annuler les harmoniques de rang 3, 5 e 7 de la ension ( ω.. (On ne demande que les relaions e non pas la résoluion de ces équaions. (6 (éponse : 4 ONDULU D NSION MONOPHAS N DMI-PON Nous avons précédemmen éabli la srucure de principe d'un converisseur à liaison direce généralisé. i Cee srucure perme d aribuer rois e valeurs à u : h = +, u = ou + - A A k k k i ch i ch h h L L + + ch h =. Lorsque la loi de commande es convenable, cee srucure peu devenir un "onduleur en pon". Nous aurions pu égalemen envisager de fixer le poin B à une valeur à michemin enre le + e le - de la ension d'alimenaion consane, ce qui perme, d aribuer deux valeurs à h : h = + ou h =. k - Lorsque cee srucure foncionne en onduleur: k e k (qui son nécessairemen complémenaires son fermés alernaivemen pendan la moiié de la période chacun. Dans ce cas, il es possible de remplacer les deux sources par une srucure plus économique k B avec une seule alimenaion e deux condensaeurs C e C ideniques : - k B ch (6 Les résulas obenus par la résoluion de ces équaions peuven êre calculés à l'avance, puis implanés dans la mémoire de la commande élecronique de l'onduleur. Cela perme de faire varier le fondamenal de la ension uc(ω ou en facilian le filrage dans le bu de rendre le couran ic( presque sinusoïdal.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 9 i e vk A vk ik k ik k i ch h L v c v c i c C B i c C Nous allons monrer que dans le cas où la charge es équivalene à une résisance en série avec une inducance L, si la capacié de C = C es grande, on a un foncionnemen onduleur avec: vc( vc(. a n uilisan la loi des nœuds en B, monrer qu'en régime périodique, on a nécessairemen ich =. moy b eprésener vk' ( (en foncionnemen onduleur donc à rappor cyclique /. n déduire que la ension moyenne aux bornes de C es: vc moy =. c Sachan que es consan, e que C = C, monrer que ich ( =.i c(. d[ vc( ] i ch i ( C. d ( ayan une valeur finie c = a une valeur finie si C es grand: d d[ vc( ] vc( ce = vc d moy =. e Dans l'hypohèse où v c ( ce =, représener h ( en précisan les inervalles de conducion de k e de k. (rappor cyclique = /. f eprésener l'allure de son harmonique fondamenal. g eprésener l'allure de l'harmonique fondamenal i ( douran i ch ( si la fréquence f de ch foncionnemen es elle que Lω = (avec ω = πf. (Faire aenion au déphasage enre le fondamenal de h ( e celui de i ch ( (éponse :
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 5 ONDULU D NSION AVC ANSFOMAU A POIN MILIU (PUSH-PULL Voici une aure srucure d onduleur mean en oeuvre un ransformaeur. Cee srucure perme d isolée galvaniquemen l enrée de la sorie. K v N ϕ N v Sur une période de foncionnemen, K e K' son fermés alernaivemen pendan / période chacun. Le bobinage primaire de N spires es consiué de deux demi-bobinages ideniques. K' v' N Le bobinage secondaire compore N spires. Le monage es alimené par une f.e.m. consane n négligean les résisances e les inducances de fuie des rois bobinages, représener l'allure de v(, v ( e v(, e préciser les valeurs maximums (Jusifier brièvemen. (éponse : (Ce onduleur présene l'inérê de pouvoir fixer l'ampliude de la ension v par le choix du ransformaeur. Il appore égalemen une isolaion galvanique enre l'enrée e la sorie. Mais il n'offre que deux valeurs possibles à la ension v(. Aenion, nous venons de procéder à une éude sommaire de ce monage. Dans la réalié, les inducances de fuie du ransformaeur peuven engendrer de fores surensions don il convien de le proéger les inerrupeurs.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 6 ONDULU D NSION IPHAS N PON A UN CNAU PA ALNANC Afin de réaliser un onduleur riphasé, on peu uiliser rois onduleurs monophasés en pon, mais cela nécessie 4x3 inerrupeurs. Il es plus économique d'uiliser rois onduleurs monophasés en demi-pon (x3 inerrupeurs. K K K3 = ce charge riphasée K' K' K'3 On consae que les condensaeurs son en parallèles rois par rois. La srucure peu donc êre simplifiée: = ce c K K K 3 u u3 u3 i i i3 charge riphasée c K ' K ' K '3 v v v3 La source V éan une source "ension" e le converisseur éan "direc", la charge es nécessairemen "couran". On a donc nécessairemen : K' = K ; K' = K ; K'3 = K3. Pour obenir une ension v alernaive (foncionnemen en onduleur, les durées de fermeure de K e de K' doiven êre ideniques sur une période. K e K' son donc fermés pendan une demi période chacun. Il en va de même pour K e K', ainsi que pour K3 e K'3. Pour obenir un foncionnemen en "onduleur riphasé", les commuaions des inerrupeurs de chaque "bras d'onduleur" (K,K', ('K,K' e (K3,K'3 doiven êre décalés de /3 de période les uns par rappor aux aures. On parle d un onduleur à «rois bras». Si on se limie à deux commuaions par période pour chaque inerrupeur, le cycle des inervalles de fermeure de ceux-ci es le suivan:
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - K fermé K' fermé K fermé K' fermé K'fermé K fermé K' fermé K fermé K'3 fermé K3 fermé K'3 fermé K3 v Déduire des inervalles de conducion représenés ciconre les ensions v(, v( e v3(; puis u(, u3( e u3(. eprésener sur les courbes l'harmonique fondamenal des ensions u(, u3( e u3(. (éponse 3: v Hypohèse: v3 u La charge riphasée es équilibrée, e son comporemen es el qu'on peu négliger les harmoniques des courans i, i e i3 aures que les fondamenaux i (, i ( e i3 (. Les fondamenaux des ensions u, u3 e u3 formen un sysème riphasé équilibré e la charge es riphasée équilibrée u3 u3 les fondamenaux des courans son riphasés équilibrés i ( + i( + i3( = On en dédui d'après la loi des nœuds que le couran dans la liaison enre la charge riphasée e le diviseur capaciif es nul. On peu donc supprimer ce dernier (consiué des deux condensaeurs c. emarque: comme pour les onduleurs monophasés, il exise des onduleurs riphasés MLI dans le bu d'améliorer la série de Fourier associée aux ensions de sorie.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 3 7 ONDULUS D COUAN (on di aussi "commuaeurs de couran" Les onduleurs "de ension" éudiés précédemmen réalisaien des créneaux de ension alernaifs à parir d'une source de ension coninue. Les onduleurs "de couran" réalisen des créneaux de courans alernaifs à parir d'une source de couran coninu: voici une srucure possible (qui pourra êre éudiée dans un problème: L i e consane u v e k i c k 3 k k 4
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 4 8 POBLMS XCICS. Chap 3. xercice : i e vk ik k vk ik k i s (Jusifier en quelques mos. Onduleur monophasé. v s vk 3 ik 3 k 3 vk 4 ik 4 k 4 L'onduleur en pon ci-conre associe une «source ension» produisan une ension coninue de valeur consane avec une «source couran» produisan un couran alernaif sinusoïdal «is» (cf courbes ci-joines. Les inerrupeurs son supposés parfais. a Ce converisseur es-il à «liaison direce»? b Compe enu du graphe de v s ( e de i s (, aribuer les différens inervalles de conducions (représenés sous les courbes ci-joines aux inerrupeurs concernés. A parir de l analyse des conraines auxquelles doiven répondre les inerrupeurs, on obien, par une méhode hors programme, le schéma suivan : i e a a i s v s a a Chaque inerrupeur peu êre réalisé avec un hyrisor associé à une diode en aniparallèle. Il peu égalemen êre réalisé avec un ransisor équipé d une commande auomaique de blocage lors de l annulaion douran le raversan, associé à une diode en aniparallèle. c eprésener, sur la feuille de réponse, le graphe douran i e( e de la puissance insananée échangée par la source (avec deux couleurs différenes. simer, sans calcul, la puissance acive dans la source. L énergie élecrique échangée dans ce converisseur va--elle de la source vers la source «is» ou l inverse? (jusifier en quelques mos. d eprésener, sur la feuille de réponse, une esimaion du fondamenal v ( de ( e préciser la valeur du déphasage de v ( par rappor à (. i s s On sai que, si la ension e le couran dans un dipôle son périodiques de même période, la puissance acive dans ce dipôle s exprime par : ( ϕ + V.I.cos( ϕ +... + V.I.cos(... P = Vmoy.I moy + V.I.cos ϕ n + eff eff eff eff sai que l ampliude des harmoniques non nuls de ( v s n eff es de valeur n eff s 4.. cos n. π. n. π 6 v s e on n déduire la puissance acive dans la source «is» en foncion de e I max. sans uiliser le calcul inégral.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 5 I max + v s - i s θ i e e p e θ v s θ
Chap 3. xercice : (d'après un BS élecroechnique (On éudiera uniquemen le régime permanen. - A - PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 6 Four à inducion alimené par un onduleur auonome Un four à inducion es équivalen à un circui composé d'une inducance pure L = 6 µh en série avec une résisance = mω. Ce four en série avec un condensaeur de capacié 8 µf es alimené par un onduleur monophasé. Celui-ci es alimené par une baerie de force élecromorice = V. Il es consiué de quare inerrupeurs foncionnan simulanémen deux par deux avec un rappor cyclique de / e une fréquence de 6 Hz. ik k i k four u L C k 3 k 4 Les quare inerrupeurs son bidirecionnels, els que : k = k e k 4 = k3 Les inerrupeurs son fermés alernaivemen chaque demi-période, comme indiqué ci-dessous k e k 4 fermés k e k 4 fermés k e k 4 fermés k e k 3 fermés k e k 3 fermés I ude de la ension u( e douran i(. On prendra pour insan origine la fermeure de k e k 4.. eprésener la ension u( aux bornes de la charge LC. (e réserver la place pour i(, ik (, vk ( e is(.. n prenan pour insan origine la fermeure de k e k 4, cee ension u( a pour développemen en série de Fourier l'expression suivane: 4. 4. 4. 4. u( =. sin + π 3π 5π 7π avec ω = π.f, e f = 6 Hz. ( ω. +. sin( 3. ω. +. sin( 5. ω. +. sin( 7. ω.... xprimer la valeur efficace du premier harmonique douran i, ainsi que la valeur efficace de son harmonique 3. n déduire que l'on peonsidérer que le couran i( dans le circui es praiquemen sinusoïdal e égal à son premier harmonique. xprimer ce premier harmonique i ( en prenan pour origine l'insan de fermeure de k e k 4.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 7 II ude de l'onduleur auonome.. eprésener i(, ik (, vk (. A parir de l analyse des conraines auxquelles doiven répondre les inerrupeurs, on obien, par une méhode hors programme, le schéma suivan : i s a a i u L C a a Chaque inerrupeur peu êre réalisé avec un hyrisor associé à une diode en aniparallèle. Il peu égalemen êre réalisé avec un ransisor (ou un IGB équipé d une commande auomaique de blocage lors de l annulaion douran le raversan, associé à une diode en aniparallèle.. eprésener is( e calculer la puissance acive fournie par la baerie.. Commen peu-on vérifier le graphe de is( en uilisan la noion de converisseur à liaison direce? -B- ik k i k four u L k 3 k 4 Les quare inerrupeurs son bidirecionnels, els que : k = k e k 4 = k3 Les inerrupeurs son fermés alernaivemen chaque demi-période, comme indiqué ci-dessous k e k 4 fermés k e k 4 fermés k e k 4 fermés k e k 3 fermés k e k 3 fermés Alimenaion direce du four (le condensaeur C éan supprimé ; f = 6 Hz. I ude de u( e i(. On prendra pour insan origine la fermeure de k e k 4.. eprésener la ension u( aux bornes de la charge L. (e réserver la place pour i(, ik (, vk ( e is(. n déduire les équaions différenielles relaives à chaque demi-période permean de déerminer la loi douran i( dans le four. n déduire que les morceaux d'exponenielles qui consiuen i( peuven êre approchés par leur angene à l'origine.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 8. Calculer Imoy..3 représener i( e calculer sa valeur maximum. II ude de l'onduleur auonome.. eprésener ik (, vk (. A parir de l analyse des conraines auxquelles doiven répondre les inerrupeurs, on obien, par une méhode hors programme, le schéma suivan : i s b i u L b Chaque inerrupeur peu êre réalisé avec un ransisor (ou un IGB équipé d une commande auomaique d amorçage lors de la conducion de la diode en aniparallèle. b b. eprésener is( e calculer la puissance acive fournie par la baerie.
Chap 3. xercice 3 : PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 9 Onduleur assisé monophasé. On désire ransférer de l'énergie élecrique enre une source "couran" coninue e une charge "ension" alernaive sinusoïdale (ligne d'alimenaion alernaive sinusoïdale L'éude sera faie en régime permanen périodique de période. La source "couran" es réversible en ension e non réversible en couran (ie Io = ce >. La charge "ension" alernaive sinusoïdale uc es réversible en couran e en ension, d'où l'uilisaion d'une srucure en pon : Pour qu'il y ai ransmission de puissance moyenne, ic( doi nécessairemen avoir un de ses harmoniques de même fréquence que uc(. On commandera donc les inerrupeurs de façon que l'harmonique fondamenal de ic( soi de même fréquence que uc(: f = / L i e Io = consane > U v e vk ik k vk. a Jusifier les affirmaions suivanes: k 3 = k e k 4 = k ik k i c vk 3 ik 3 k 3 vk 4 ik 4 k 4 b L'inducance L es suffisammen grande pour qu'on puisse considérer ie( Io = Ce. Monrer en considéran oues les combinaisons possibles d'inerrupeurs passans, que ic( ne peu prendre que quelques valeurs; que l'on précisera. c La loi de commande adopée pour les inerrupeurs es la suivane: k e k4 fermés sur une même demi période. k e k3 fermés sur l'aure demi période. eprésener ic(, ainsi que l'allure de son harmonique fondamenal ic ( en précisan les inervalles de fermeure des différens inerrupeurs. (ne pas uiliser la feuille de réponse pour cee quesion d r r Soi ϕ l'angle oriené: ( Ic,Uc. eprésener sur la feuille de réponses ci-joine: vk(, ic( e ik( pour ϕ= - π/3 (aenion au déphasage avec la ension uc(. (uc( es déjà représenée sur la feuille de réponse. Le converisseur qui répond aahier des charges es le suivan : L Le schéma ci-conre es repris sur la feuille de réponses d'une manière différene; Le compléer avec les k i c k 3 hyrisors k, k, k3 e k4 U k k 4 e eprésener ve( sur la feuille de réponse ci-joine.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - + Io i c i k - Io Uc max v k Uc max v e i e Io = consane > i c v e U L
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 9 ANNX : LS SIS D FOUI 9. La série de Fourier d une foncion périodique n élecricié, on sai assez bien éudier le régime coninu e le régime alernaif sinusoïdal. Or une foncion périodique es égale à sa valeur moyenne plus une somme de foncions alernaives sinusoïdales (7 Cee somme es appelée "série de Fourier" de la foncion : oue foncion f ( périodique de période (fréquence = Fmoy + [ A.cos( ω. + B.sin( ω. ] + [ A.cos(. ω. + B.sin(. ω. ] [ A.cos( 3. ω. + B.sin( 3. ω. ] +... + [ A.cos( n. ω. + B.sin( n. ω. ] +... f ( + 3 3 n n f = peu se mere sous la forme: avec ω = π.f = π o + e avec A = f (.cos( n. ω.. d e B = f (.sin( n. ω. n (o quelconque o n o + o Si ( es une foncion paire f (.sin n. ω. es une foncion impaire. n choisissan o = e sachan que l aire sous la courbe d une foncion impaire sur f (, +... e f (.cos( n.. + n B ω : B n = es nulle = f (.sin( n...d = + ω es une foncion paire A = f (.cos( n. ω. n 4. d. d Si la composane alernaive de ( es une foncion impaire es une foncion impaire + moy 444444 444444 3 f ( f ( Fmoy.cos( n. ω. ( f ( F.cos( n. ω.. d = f (.cos( n. ω.. d F.cos( n. ω.. + 4444 44443 An A n = + moy d 4444 4444 3 (7 sous réserve que la somme converge (ce qui sera généralemen le cas en élecricié.
Si la composane alernaive de ( : glissemen (c es à dire si fal ( + = fal (, alors ous les ermes de la série de Fourier de rang pair son nuls: PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - f f ( ( f ( = présene une symérie de al F moy xemple: A = A 4 = A 6 = = B = B 4 = B 6 = = Aure écriure d une série de Fourier : Le erme général [ An.cos( n. ω. + Bn.sin( n. ω. ] es la somme de deux foncions alernaives sinusoïdales de même fréquence. Cee somme peu donc s effecuer en uilisan les complexes ou les veceurs de Fresnel. On obien alors : + Bn An.cos( n. ω. + Bn.sin( n. ω. = An Bn.cos( n. ω. ϕ n avec ϕ n = arcg An La série de Fourier peu donc s écrire : f ( = F + F.cos ω. ϕ + F.cos. ω. ϕ + F 3 max moy.cos max ( max ( ( 3. ω. ϕ +... + F.cos( n. ω. ϕ +... 3 n max n La foncion f ( F.cos( ω. ϕ = es appelée er harmonique max (ou harmonique fondamenal. f ( = F.cos n. ω. ϕ es appelée harmonique de rang n. La foncion ( n nmax Les ampliudes F max des harmoniques son indépendanes de l'origine choisie sur l'axe des abscisses, on aura donc inérê à choisir celle-ci de façon à rendre la foncion éudiée paire ou impaire lorsque c'es possible. n
On démonre que o + o F e ϕ son els que: max [ f ( F F.cos(. ϕ ] moy max PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 3 ω. d es minimum. On peu dire que la foncion f ( F.cos( ω. ϕ = es la sinusoïde qui sui "au plus près" la max composane alernaive de la foncion f(... Ou que la foncion f '( = F.cos( ω. ϕ + F max moy sui "au plus près" la foncion f ( (8 Sur les deux exemples suivans, représener une esimaion de la valeur moyenne e de la somme «valeur moyenne + fondamenal» de la foncion périodique. (éponse 4: u i (8 Cee formulaion n'es pas rès "mahémaique", mais elle peu nous aider à donner une dimension plus inuiive à la noion de série de Fourier, e à siuer le fondamenal d'une foncion périodique avan oalcul.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 4 9. Puissance acive dans un dipôle lorsque v( e i( son périodiques de même période. i v Si la ension e le couran dans un dipôle son périodiques de même période, ils π. peuven êre décris par des séries de Fourier avec la même pulsaion: ω = v( i( ( ω. + α + V.cos(. ω. + α +... + V.cos( n. ω. + +... = V + V.cos α moy max max nmax ( ω. + β + I.cos(. ω. + β +... + I.cos( n. ω. +... = I moy + I.cos β n + max max nmax n o n développan l expression de la puissance acive P = + o l expression suivane: v(.i(.d, on obien ( ϕ + V.I.cos( ϕ +... + V.I.cos(... P = Vmoy.I moy + V.I.cos ϕ n + eff eff eff eff n eff n eff Vnmax avec Vn =, eff I n = eff i nmax e ϕ n = α n β n (déphasage de l'harmonique n de la ension par rappor à l'harmonique n du couran. Cee relaion s ajoue à celles qui on déjà éé renconrées dans les cours précédens. lle doi êre connue par cœur. erouver à parir de l'expression générale de P les cas pariculiers * v ( = Vo = consane * i ( = Io = consane * v ( e i( alernaifs sinusoïdaux de même période * v ( alernaif sinusoïdal e i( périodique de même période * i ( alernaif sinusoïdal e v( périodique de même période (éponse 5: On peu démonrer que dans le cas où la ension e le couran son périodiques de même période, le faceur de puissance ( 9 P P k = = du dipôle es oujours inférieur ou égal à (ce S V. résula sera admis: eff I eff ( 9 Sur cerains appareils de mesure, le faceur de puissance es désigné par les leres «pf» pour «power facor».
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 5 9.3 Valeur efficace Par définiion, la valeur efficace d une foncion f ( es «la acine carrée de la valeur Moyenne de la foncion f ( au Carré». (n anglais : acine se di oo, Moyenne se di Mean e Carré se di Square d où le sigle «MS» pour les appareils qui mesuren les valeurs efficaces. F eff = o + o f (. d Si la série de Fourier de f ( es : f ( = F + F.cos ω. ϕ + F.cos. ω. ϕ +... + F.cos n. ω. ϕ moy max On peu monrer que ( ( ( +... max nmax n F ( F + ( F + ( F +... + ( F... eff = moy + eff eff neff avec Fnmax Fn =. eff Cee relaion doi êre connue par cœur. De la relaion précédene, on dédui que l imporance des harmoniques. F F e que l écar enre F e eff moy eff F moy croi avec
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 6 C QU J AI NU D C CHAPI. Comme les précédens, ce chapire mobilise les connaissances sur les bases de l élecricié. Il es donc imporan de le ravailler page après page pour acquérir l enraînemen à l uilisaion de ces lois dans des conexes divers. La réponse aux quesions suivanes perme de vérifier si ceraines connaissances son acquises, mais elle ne perme pas de vérifier l apiude à les uiliser dans une siuaion inédie. a eprésener le schéma de principe (avec des inerrupeurs d un onduleur monophasé en pon, d un onduleur monophasé en demi-pon, d un onduleur monophasé à ransformaeur à poin milieu e d un onduleur riphasé à rois bras. b Que signifien les sigles «MLI» e «PWM»? c Quel es l inérê d une modulaion de largeur d impulsion? d Quel es le héorème des réseaux élecriques linéaires qui es mis en œuvre pour calculer le couran dans un dipôle linéaire à parir de la série de Fourier de la ension à ses bornes? e Que signifie «approximaion au er harmonique»? Quel es son inérê? f Quelle es la propriéé remarquable de la série de Fourier d une foncion paire? g Quelle es la propriéé remarquable de la série de Fourier d une foncion don la composane alernaive es impaire? h Qu es-ce qu une «symérie de glissemen» pour un signal périodique? Quelle es la propriéé remarquable de la série de Fourier d une foncion don la composane alernaive présene une symérie de glissemen? i Commen peu-on esimer graphiquemen le fondamenal d une série de Fourier? j Donner l expression de la puissance acive dans un dipôle en régime périodique, à parir des séries de Fourier de la ension à ses bornes e douran qui le raverse. Définir clairemen les ermes employés. k Commen se simplifie l expression précédene si la ension es alernaive sinusoïdale de même fréquence que le fondamenal douran? l Quelle es la relaion qui lie la valeur efficace d un signal e sa série de Fourier?
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 7 PONSS AUX QUSIONS DU COUS éponse : n considéran l aire sous la courbe ( sur un inervalle d une période, on consae que Uc moy = ( i ( d Sachan que u ( L. c c = +.ic (, on en dédui que Uc d moy moyenne d une somme es la somme des valeurs moyennes, e la valeur moyenne de la ension aux bornes d une inducance es nulle Donc Ic moy = eour = +. Ic moy. (car la valeur éponse : + Io i c o - Io + Io i e o eour éponse 3: i ik k ik k i c L ik 3 k 3 ik 4 k 4 Sachan que la ension ( doi prendre les rois valeurs :, + e, on doi uiliser le converisseur en pon. eour
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 8 éponse 4: + o - k k k k k 3 k 3 k 4 k 4 Par une méhode hors programme, on peu monrer que la srucure donverisseur réalisan ce cahier des charges pour une foncion onduleur es la suivane : b i c L b b b eour éponse 5: o o - Io i c eour
éponse 6: ( es une foncion impaire A n = PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 9 ( présene une symérie de glissemen Les harmoniques de rang pair son nuls. Bn π α =. o.sin n =,3,5... π α o Bn = n =,3,5.... n. π. n. π ( n. θ.d θ =.[ cos( nπ nα + cos( nα ].[ cos( nα + cos( nα ] =.cos( nα o o 4. n. π ( 3α o o o [(. k + ( αo ] (. k + 4. cos ( ( o cos uc ( =. cos αo.sin ω. +.sin( 3. ω. +... +.sin π 3 [(. k + ω. ] +... On voi ci-dessous la «care harmonique» de (. On consae, par exemple, que si on règle 4 π Ampliude de l harmonique Ampliude de l harmonique 3 4 5π 4 3π Ampliude de l harmonique 5 π α o à la valeur, il n y a pas d harmonique 3. 6 π/ α o L harmonique N (ou harmonique fondamenal (ou «fondamenal» es la sinusoïde qui sui la courbe ( «au plus près». Voir ci-après. On consae qu en somman l harmonique avec l harmonique 3 e l harmonique 5, on approche la courbe (. Voir ci-après.
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 3 Fondamenal (harmonique o αo o π αo π θ - harmonique + harmonique 3 harmonique + harmonique 3 + harmonique 5 - eour éponse 7: L L. ω. ω = = = π Z j.,6 = + j.l. ω =. + j. π =. 3,3. e ( ( 4 π.cos Uc π 4 Ic,73..e j.,6 = = = ic( =,73..sin Z. ( 3,3.e j.,6 443,95.Io i c ( ω.,6 Io Fondamenal (harmonique On consae graphiquemen que ic ( consiue une bonne approximaion de ic ( en régime permanen périodique. C es ce qu on appelle «l approximaion au premier harmonique». Cee approximaion perme d évaluer assez rapidemen un signal avan d uiliser évenuellemen un logiciel de simulaion pour une descripion plus précise. eour
éponse 8: L L.3ω.3ω = = = 3π ( + j.3.. ( 9,48. j.,464 Z 3 = + j.l.3. ω =. π = e PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 3 4 3. π.cos Uc 3 3. π 4 j.,464 Ic3 = = =,36.. e ic3( =,36..sin( 3ω.,464 Z j.,464 3. ( 9,48. e 443,. Io L ampliude de l harmonique 3 représene % de l ampliude du fondamenal. On consae qu en prenan en compe les harmoniques e 3 on approche un peu plus ic( mais on pouvai, sans doue, se conener d une approximaion au premier harmonique. Io i c harmonique + harmonique 3 eour
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 3 éponse 9: k k k k θ θ θ 3 θ 4 π/ 3π/ π π θ = ω - a θ = ω - b θ = ω - c θ = ω - d θ = ω - ( u ( =. ( θ θ + θ θ Uceff = c moy. π eour 4 3
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 33 éponse : Dans le paragraphe ude harmonique de ( e de i c (. Page 4, on a déjà renconré une foncion du ype a ( don on a calculé sa série de Fourier. Donc : uca( = 4.. cos π ( θ.sin( ω. + cos 3 ( 3θ.sin ( 3. ω. cos +... + [(.k + ( θ ] (.k +.sin [(.k + ω. ] +... uc( = uca( ucb( + ucc( ucd ( = 4.. cos π 4.. cos π 4. +. cos π 4.. cos π ( θ.sin( ω. ( θ.sin( ω. ( θ.sin( ω. 3 ( θ.sin( ω. 4 cos + 3 ( 3θ cos + 3 cos + 3 cos + 3 ( 3θ ( 3θ 3 ( 3θ 4.sin.sin.sin.sin La série de Fourier de ( es donc : uc( = 4. π 4. + 3. π 4. + 5. π 4. + 7. π ( 3. ω. ( 3. ω. ( 3. ω. ( 3. ω. cos +... + cos +... + cos +... + cos +... +.[ cos( θ cos( θ + cos( θ cos( θ ].sin( ω..[ cos( 3θ cos( 3θ + cos( 3θ cos( 3θ ].sin( 3. ω..[ cos( 5θ cos( 5θ + cos( 5θ cos( 5θ ].sin( 5. ω. [(.k + ( θ ] (.k + [(.k + ( θ ] (.k + [(.k + ( θ3 ] (.k + [(.k + ( θ4 ] (.k +.[ cos( 7θ cos( 7θ + cos( 7θ cos( 7θ ].sin( 7. ω. +... 3 3 3 3 4 4 4 4.sin.sin.sin.sin [(.k + ω. ] [(.k + ω. ] [(.k + ω. ] +... +... +... [(.k + ω. ] +... Pour que les harmoniques 3, 5 e 7 soien nuls il fau que θ, θ, θ3 e θ4 vérifien les équaions suivanes : [ cos( 3θ cos( 3θ + cos( 3θ 3 cos( 3θ 4 ] = [ cos( 5θ cos( 5θ + cos( 5θ 3 cos( 5θ 4 ] = eour [ cos( 7θ cos( 7θ + cos( 7θ 3 cos( 7θ 4 ] =
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 34 éponse : a ich( = ic( ic( Ichmoy = I moy Icmoy n régime périodique, le couran moyen dans un condensaeur es nul, donc : Ich moy = =. b vk' ( k fermé k fermé k fermé ( i ( d ch Vk ' = =.I moy ch moy + L. + Vc moy = + + Vc d moy moy c ( v ( d( v ( d i ( i ( i ( C. c C. c ch = c c = = + d d d. ( C C ( v ( c d ( v ( d i (.C. c ch = =.ic ( d h ( / k fermé k fermé k fermé Fondamenal de h ( d e e A la fréquence du fondamenal, l argumen de l impédance du π dipôle L es de (car 4 Lω = par hypohèse. Fondamenal de i ch( Le fondamenal de h( es π donc déphasé de par rappor 4 au fondamenal douran i ch (. Par une méhode hors programme, on peu monrer que la srucure donverisseur réalisan ce cahier des charges pour une foncion onduleur es la suivane : b i c L b eour
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 35 éponse : D après la loi de Faraday : N d( ( v ( ϕ N d( ( =. ; v ' ( ϕ =. ; d d v( = N d. ( ϕ( d v ( v ( = v' ( Donc v ( = v' (.N e v ( =. v( N k fermé k fermé k fermé eour
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 36 éponse 3: K fermé K' fermé K fermé K' fermé / - / / - / / - / K'fermé v v v3 u K fermé K' fermé K fermé K'3 fermé K3 fermé K'3 fermé K3 - u3 - u3 -
PowerlecPro Chapire 3 - Conversion DC AC. Onduleurs - 37 = ce K K K 3 u u3 u3 i i i3 charge riphasée K ' K ' K '3 eour Schéma de principe à rois bras d onduleurs éponse 4: u Valeur moyenne i eour éponse 5: * v( Vo consane : P = Vo.I moy + + +... + +... = Vo. Imoy * i( = Io = consane : P = Vmoy.I o + + +... + +... = Vmoy. Io * v ( e i( alernaifs sinusoïdaux de même période ; P = + V eff.ieff.cos( ϕ + +... + +... = Veff.Ieff. cos( ϕ * v ( alernaif sinusoïdal e i( périodique de même période : P = + V eff.ieff.cos( ϕ + +... + +... = Veff.Ieff. cos( ϕ * i ( alernaif sinusoïdal e v( périodique de même période : P = + V eff.ieff.cos( ϕ + +... + +... = Veff.I eff. cos( ϕ eour